江苏省南京市第一中学2024-2025学年高二下学期5月月考检测数学试卷（含详解）

南京一中2024-2025学年度第二学期5月阶段性检测卷
2025.5
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2.已知，，，，则( )
A. p和q都是真命题 B. p和都是真命题
C. 和q都是真命题 D. 和都是真命题
3.“x，”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数，且，则( )
A. B. 1 C. 2 D.
5.已知a，b是非零实数，且，c是任意实数，则( )
A. B. C. D.
6.若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．对于掌握了的题目，他可以选择唯一正确的选项；对于有思路的题目，他做对每道的概率都为 ；对于没有思路的题目，他只好任意猜一个答案，猜对的概率为已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为
A. B. C. D.
8.在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 整数a，b属于同一“类”的充分不必要条件是“”
D. 若，，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为A事件，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”记为B事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为C事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为D事件，则下列叙述中正确的是
A. C与D互斥 B. C. A与C相互独立 D. B与D不相互独立
10.已知二次函数的图象开口向上且零点为和3，则( )
A. 且
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
11.已知正数a，b满足，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，则的展开式中含项的系数为 .
13.已知关于x的不等式的解集为A，集合，若，则实数a的取值范围是__________.
14.已知，，且，则的最小值为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
为了解甲 乙两所学校高二年级学生在学年度第二学期期末考试中的物理成绩情况，采用随机抽样方法从两所学校各抽取50名学生的物理成绩，并作出了频数分布统计表如下：
分组
甲校 频数 3 4 18 15 10
乙校 频数 2 6 12 18 12
分别估计甲校物理成绩的分位数精确到和乙校物理成绩的平均分同一组中的数据用该区间的中点值代表：
根据以上统计数据完成列联表成绩不低于60分的视为及格，并依据的独立性检验，判断两所学校的物理成绩的及格率是否存在差异.
参考公式：，其中
甲校 乙校 合计
及格
不及格
合计
16.本小题15分
会员足够多的某知名咖啡店，男会员占，女会员占现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为
随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为X，求X的分布列和数学期望．
解：记“随机选取一名会员，对服务质量满意”为事件 A，
17.本小题15分
已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两个交点，线段AB的中点为
求椭圆C的方程；
延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率.
18.本小题17分
已知函数
当时，求曲线在处的切线方程;
若函数，求函数极值点的个数;
19.本小题17分
如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上，且
证明：；
当取何值时，直线PN与平面AMN所成角最小
是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点P的位置;若不存在，请说明理由.
1.【答案】C
解：因为，
所以故选
2.【答案】C
解：对于p，当时，，所以p是假命题，是真命题，
对于q，当时，，q是真命题，是假命题.
故选
3.【答案】A
解：根据题意，x，，则有，命题“x，”是“”的充分条件，
反之，若，不一定可以推出x，，例如，，但x，y是无理数，
故“x，”是“”的充分不必要条件，
故选：
4.【答案】B
解：令，则，
由，
可得，
则，解得，
5.【答案】C
解：对于A，当时，不等式不成立，所以A错误.
对于B，当，时，满足，但，所以B错误.
对于C，因为，，所以，则，所以C正确.
对于D，因为，不一定成立，所以D错误.
故选
6.【答案】A
解：不等式成立的充分条件是，
设不等式的解集为A，则，
当时，，不满足要求；
当时，，
若，则，解得 故选
7.【答案】B
解：设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题，设事件B表示答对该题，则，，两两互斥，，
设事件U表示答对某个题，因，，两两互斥，且，则根据全概率公式得
，
设事件C表示已知将题目做对了，则该题为有思路的题目，则
故选
8.【答案】D
解：对于A，，
，故A错误;
对于B，所有的整数被4除所得余数只有0，1，2，3，四种情况，
，故B错误;
对于C，若a，b属于同一类，
则，，
，，
所以，即；
反之，不妨设，，
，，
则，
若，则，即，所以整数属于同一“类”；
故整数属于同一“类”的充要条件是“”，故C错误;
对于D，，，可设，，
所以
，故D正确. 故选
9.【答案】AC
解：因为抛掷一次骰子，包含 6 个样本点，
事件 A 表示第一次抛掷结果向上的点数为 1 、 2 ，所以 ；
事件 B 表示第二次抛掷结果向上的点数为 3 、 6 ，所以 ；
事件 C 表示结果向上的点数为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共18种情况，
而抛掷两次骰子共出现 种情况，所以 ；
事件 D 表示结果向上的点数为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共18种情况，
而抛掷两次骰子共出现 种情况，所以 ；
对于A：由上述事件 C 与事件 D 表示的结果可知， ，所以事件 C 与事件 D 互斥，故A正确；
对于B：因为 ， 表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第一次抛掷结果向上的点数小于 3 的概率，
其中事件AD包含有 ， ， ， ， ， ，共6种情况，
所以 ，所以 ，故B错误；
对于C：因为 ， ，
表示两次抛掷结果向上的点数之和为偶数且第一次抛掷结果向上的点数小于3的概率，
其中事件包含有 ， ， ， ， ， ，共6种情况，
所以 ，所以 A 与 C 相互独立，故C正确；
对于D：因为 ， ，
而 表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数的概率，
其中事件包含有 ， ， ， ， ， ，共6种情况，
所以 ，所以 B 与 D 相互独立，故D错误.故选AC.
10【答案】BC
解：对于A，由题意得且，3为一元二次方程的两个根，
故，，即，，A错误;
对于B，为一元二次方程的根，故，即，故B正确;
对于C，由A选项可知，即，解得，C正确;
对于D，即，又，故，解得，D错误. 故选
11【答案】ABD
解：对于A，因为，，且，
所以，则，
当且仅当时，等号成立，故A正确.
对于B，由，得，
又，，所以，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故B正确.
对于C，，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，故C错误.
对于D，由题意，
，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故选
12【答案】
解：因为，且，
所以，
则展开式中的第项为，，
令，解得，
故的展开式中含项的系数为 故答案为：
13【答案】
解：由题意可知，，即存在，满足不等式，只需当时，的最大值大于等于a即可.函数的图象开口向上，且对称轴为直线，故当时，取得最大值21，所以a的取值范围为
14【答案】 1
解：因为，且，
所以，
所以
，
当且仅当，
即，时，等号成立，所以的最小值为
15.
解：甲校物理成绩的前三组人数频率为，
甲校物理成绩的前四组人数频率为，
所以甲校物理成绩的分位数位于内，---------2分
所以甲校物理成绩的分位数为，----------4分
乙校物理成绩的平均分估计值为-----6分
列联表如下：
甲校 乙校 合计
及格 25 30 55
不及格 25 20 45
合计 50 50 100
------------2分
零假设：甲 乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异，
，-------------5分
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为甲 乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异.---------7分

16.则，--------4分
故随机选取一名会员，其对服务质量满意的概率为；----------5分
根据题意得X的取值为0，1，2，3，， ------2分
，
，
，
，------------6分
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则X的数学期望是 ------------10分
17..解：由题意可知，，，
，
，，---------4分
椭圆的方程为----------6分
设直线l的方程为，，，
联立，消去y得，，
则，------------3分
若四边形OAPB为平行四边形，则，设
，，--------5分
点P在椭圆上，
，-------7分
解得，即，
当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为---------9分
18.解：的定义域为，，，-------2分
所以，，所以曲线在处的切线方程为--------5分
解：，
，------------2分
对于方程，，
①当时，，，此时没有极值点;--------4分
②当时，方程的两根为，，不妨设，
则，，，
当或时，，
当时，，此时，是函数的两个极值点;----------8分
③当时，方程的两根为，，且，，
故，，当时，，故没有极值点;---------10分
综上，当时，函数有两个极值点;
当时，函数没有极值点.-----------12分
19.证明：如图，，，即-----2分
以A为原点建立空间直角坐标系，则，，，，
，，
即，，又，，
所以无论取何值，-----------5分
，，设平面AMN的一个法向量为
则，，取，则，，------2分
，----------4分
令，
，
当即时，取得最小值，此时---------6分
假设存在，易知平面ABC的一个法向量为
因为，，设是平面PMN的一个法向量.
则，，取，，，，---2分
，化简得，
解得或，---------5分
存在点P使平面PMN与平面ABC所成二面角正弦值为，
点P为上靠近的四等分点. ---------6分