北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中练习数学试卷（含答案）

人大附中2024～2025学年度第二学期高二年级数学期中练习
2025年4月23日
说明：本试卷共六道大题，26道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（共18题，满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
1. 数列的前项和为，点在函数的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的极值点的个数为（ ）
A. B. C. D.
3. 等差数列各项均为正整数，前n项和为,，若，则n＝（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 函数与的图象有且只有两个公共点，则（ ）
A. B. C. 或 D. 以上答案均不是
5. 若函数不单调，则可以为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的零点个数为（ ）
A. B. C. D.
7. 谢尔宾斯基垫片（Sierpinski Gasket）是一种分形图形，其构造过程如下：
①从一个边长为1的等边三角形开始；
②将三角形分成4个全等的等边三角形，去掉中间的三角形，完成一次操作；
③对剩下的3个三角形重复步骤②；
设第n次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和为，面积之和为．
下列结论错误的是（ ）
A. 经过n次操作，可以使得
B. 经过n次操作，可以使得
C. 经过n次操作，可以使得
D. 经过n次操作，可以使得
8. 设等差数列的前项和为，则“是递增数列”是“有最小值”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 给定函数及点M，设，若，则称是关于M的“最近点”．已知是关于的“最近点”，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 若函数的图像连续，则（ ）
A. 存在是偶函数
B. 存在在处取到极值
C. 存在是减函数
D. 存在在处取最大值
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）
11. 已知函数，则______．
12. 函数的单调递增区间是______．
14. Logistic增长模型描述了受资源限制的种群增长规律，广泛应用于生物学等领域．该模型的数学表达式为，其中表示t时刻的种群数量，M为环境的最大承载容量（种群数量的上限），为初始时刻的种群数量，r为种群的内栾增长率（与繁殖率，死亡率相关），．
①若，则初始时刻生物种群增长速度是______；
②若，则当种群数量达到环境的 大承载容量一半时，生物种群的增长速度是______．（用M，r表示）
15. 已知数列，若，
，则称为低波动数列，给出以下四个结论：
①若公差为d的等差数列是低波动数列，则；
②若公比为q的等比数列是低波动数列，则；
③若数列是低波动数列，则；
④若数列满足，则是低波动数列．其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
16. 已知等差数列的公差为d，，且2d是的等差中项
（1）求通项公式：
（2）等比数列的前n项和为，若，求n的最大值．
17. 已知函数．
（1）若时，取得极值，求a；
（2）求在[0，1]上的最小值；
（3）若直线l是与曲线有且只有一个公共点切线，直接写出直线l的方程．
18 已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）若，，求的取值范围；
（3）若、，讨论与的大小关系，并说明理由．
第Ⅰ卷（共8题，满分50分）
四、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
19. 在处取极小值，则的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
20. 下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
21. 已知是等差数列，是公比为的等比数列，为元集，则（ ）
A. B. C. D. 以上答案都不对
22. 已知（n个根号），下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
五、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）
23. 甲方和乙方分别作为买家和卖家藏某商品进行价格谈判．第一轮，甲方出价万元，乙方要价万元．以后每一轮谈判中，双方根据上一轮情况调整自己的报价，其中甲方新报价为上一轮自己报价的加上乙方上一轮报价的，乙方新报价为上一轮甲方报价的加上自己上一轮报价的．当双方报价的近似值（四舍五入到万元）相等时，以该近似值为成交价结束谈判，则成交价为______万元，共进行了______轮报价．
24. 若，则的最小值为______．
25. 无穷数列的前项和为，且满足，，给出以下四个结论：
①；
②；
③；
④若，则当时，．
其中所有正确结论的序号是______．
六、解答题（本大题共1小题，共15分．解答应写出文字说明过程或演算步骓，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
26. 已知数列的各项均为整数，对的非空子集M，用表示i取遍集合M的所有元素时的之和，例如．
（1）若数列A：1，2，3，4，直接写出所有满足的集合I与J的组合（其中I的最小元素小于J的最小元素）；
（2）若n为奇数，，求证：存在集合，，使得；
（3）设数列A中正数共t项，负数共s项，若，求证：存在集合，使得．
答案
A
B
D
C
A
B
C
A
A
A
①. ②.
①③
16.(1)由题可得：，
所以；
(2)设等比数列的公比，
则，，所以，
因为，所以，
则，
所以，
解得，所以n的最大值为.
17.(1)，则.
由题意得，得，
所以，
当时，；当时，.
所以在时取得极大值；在时取得极小值.
所以
(2)由，，得，
当时，，是单调递增函数，
当时，，
若即时，，在上是单调递减函数，；
若即时，
时，，单调递减，时，，单调递增，
故
(3)设直线与曲线相切于点，则，
直线的斜率，
直线的方程为
即，
联立，得，即，
解得或
因为直线l是与曲线有且只有一个公共点的切线，所以，得.
将代入的方程为得
直线的方程为：.
18.(1)因为，则，所以，
所以在处的切线方程为，即.
(2)令，其中，则，
由，可得.
当时，即当时，对任意的，，
此时，函数在上单调递增，则，合乎题意；
当时，即当时，由可得，由可得，
所以，函数在区间上单调递减，
故，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
(3)不妨设，且当时，，故函数在上单调递增，
先比较与的大小，即比较与的大小关系，
令，其中，所以，
故函数在上单调递增，
因为，所以，即，
即，故，
因为，故，所以，
故.
B
A
A
C
23.①. ②.
24.##
25.①②④
26.(1)
(2)记；
数列，各项均为正整数，所以，
因为为奇数．所以
而有项，所以必有两项相同，设
其中，不妨，则，
(3)首先证明，数列，各项均为正整数，且正整数满足
，则必存在非空数集，其中，满足
，
记：
数列，各项均为正整数．所以
而有项，所以必有两项相同，设
其中，不妨，则
其次，①如果数列中有0，则结论显然成立；
②当数列中没有0，则，将数列重新排列，，
其中前项为负，后项为正，并且，
则由前面结论知必存在非空数集，其中，满足,
∴，
∴，所以存在，使得.