课件21张PPT。人教新课标第十四章 因式分解
完全平方公式
第2课时1.利用平方差公式分解因式a2－b2=（a+b)(a-b)2.分解因式应注意的问题（1）左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式.（2）因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考虑用公式.（3）因式分解应进行到每一个因式不能分解为止.一、复习引入 判断下列各式从左到右的变形，是不是因式分解？如果是，运用了哪种方法？
(1)(a-3)(a+3)=a2-9;
(2)x2+x=x(x+1);
(3)4x2-9=(2x+3)(2x-3);
(4) x2+4x+4=(x+2)2.不是因式分解，是整式乘法
提取公因式法
运用平方差公式
是因式分解，方法？？
我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，逆用乘法公式，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？完全平方公式一、新课引入试计算：9992 + 1998 + 12×999×1= (999+1)2 = 106此处运用了什么公式?
完全平方公式逆用 就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。
即：完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项
3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。二、完全平方式将完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2 倒过来看看.a2+2ab+b2=（a+b）2 ；
a2－2ab+b2=（a－b）2 . 两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）x2+4x+4y2;
（3）4a2+4ab+b2; （4）a2－ab+b2;
（5）x2－6x－9; （6）a2+a+0.25.是（2）不是，因为4x不是x与2y乘积的2倍.是（4）不是， ab不是a与b乘积的2倍.（5）不是，x2与－9的符号不统一.是【跟踪训练】·例1，分解因式：(1) 16x2+24x+9分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3,
所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 +32
a22abb2+·+解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2.三、新知识或新方法运用例1: 分解因式：(2) –x2+4xy–4y2.解：(2) –x2+4xy-4y2
= -(x2-4xy+4y2)
= -[x2-2·x·2y+(2y)2]
= - (x-2y)2 三、新知识或新方法运用【例2】把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49;
（2）(m+n)2－6（m +n）+9.【解析】（1）x2+14x+49
=x2+2×7x+72
=（x+7）2. （2）(m +n)2－6(m +n)+9
=（m +n）2－2×（m +n）×3+32
=［（m +n）－3］2
=（m +n－3）2.【例题】例3: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2-12(a+b)+36.分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2(2)(a+b)2-12(a+b)+36
=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=(a+b-6)2.三、新知识或新方法运用【例4】把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2;
（2）－x2－4y2+4xy.【解析】（1）3ax2+6axy+3ay2
=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2.（2）－x2－4y2+4xy
=－（x2－4xy+4y2）
=－［x2－2·x·2y+（2y）2］
=－（x－2y）2.先提公因式3a1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2)2x(x-3y)=2x2-6xy
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1
(4)x2+4x+4=(x+2)2
(5)(a-3)(a+3)=a2-9
(6)m2-4=(m+2)(m-2)
(7)2πR+ 2πr= 2π(R+r)因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解【跟踪训练】例6.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12xy+36y2.
（2）16a4+24a2b2+9b4.【解析】（1）x2－12xy+36y2
=x2－2·x·6y+（6y）2
=（x－6y）2.（2）16a4+24a2b2+9b4
=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2
=（4a2+3b2）2.（3）－2xy－x2－y2.
（4）4－12（x－y）+9（x－y）2.【解析】（3）－2xy－x2－y2
=－（x2+2xy+y2）
=－（x+y）2.（4）4－12（x－y）+9（x－y）2
=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2
=［2－3（x－y）］2
=（2－3x+3y）2.1.（眉山·中考）把代数式 分解因式，下列结果 中正确的是（ ） A． B． C． D．【解析】选D. =m（x2－6x＋9)=m(x－3)2.2.（常德·中考）分解因式：【解析】原式是一个完全平方式，所以x2+6x+9=
答案： 3.（杭州·中考）因式分解：9x2－y2－4y－4＝_____．【解析】 9x2－y2－4y－4=9x2－（y2+4y+4）=答案：4.（黄冈·中考）分解因式：2a2–4a+2.【解析】2a2–4a+2=2（a2–2a +1）=2（a–1）2 5. 计算: 7652×17－2352 ×17.
【解析】7652×17－2352 ×17
=17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235)
=17 ×1 000 ×530=9 010 000.6.2 0132+2 013能被2 014整除吗? 【解析】∵2 0132+2013=2 013(2 013+1)=2 013 ×2 014
∴ 2 0132+2 013能被2 014整除.1：如何用符号表示完全平方公式？a2+2ab+b2=(a+b)2，
a2-2ab+b2(a-b)2．2：完全平方公式的结构特点是什么？四、小结完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项
3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。心似平原之马，易放难收。
学如逆水行舟，不进则退。课件20张PPT。第1课时14.3.2 公式法一、复习引入 1、对于等式因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解.这是提取公因式法.
所以因式分解和整式乘法是两种互为相反的变形. （1）如果从左到右看，是一种什么变形？ 什么叫因式分解？这种因式分解的方法叫什么？ （1）如果从右到左看，是一种什么变形？整式乘法x2+x=x (x+1)：3.判断下列各式是因式分解的是 .
(1) (x+2)(x-2)=x2-4
(2) x2-4=(x+2)(x-2)
(3) x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x（2）1. 计算：（1）(x+1)(x-1) (2) (y+4)(y-4)
2. 根据1题的结果分解因式：
（1） （2） =(x+1)(x-1)=(y+4)(y-4)3.由以上1、2两题你发现了什么？ 符合因式分解的定义，因此是因式分解,是利用平方差公式进行的因式分解.第1题等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第2题等式可以看作是因式分解中的平方差公式. 利用平方差公式分解因式
a2－b2=（a+b)(a-b)能用平方差公式分解因式的多项式的特点：
（1）一个二项式.
（2）每项都可以化成整式的平方.
（3）整体来看是两个整式的平方差.两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.即a2 - b2=（ ）（ ）.a2 - b2 =（ a + b）（ a - b） 2、你能将多项式a2 - b2进行因式分解吗？一、复习引入我们称之为公式法.【例1】把下列各式分解因式：
（1）25－16x2. （2）9a2－b2.【解析】（1）25－16x2=52－（4x）2 =（5+4x)(5－4x）. （2）9a2－b2 =（3a）2－（b）2 =（3a+b)(3a－b）.【例题】二、探究新知 例1 试用平方差公式对下列多项式进行因式分解：
(1)x2-4;
(2)4x2-9;
(3)(x+p)2-(x+q) 2.尝试分解
分析：（1）这些多项式的共同特征都是“平方差”的形式，都可化为（ ）2 -（ ）2. （2）最后结果都化成积的形式，即（ ）（ ）.【例2】把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2. （2）2x3－8x.【解析】（1）9（m +n）2－（m－n）2 =［3（m +n）］2－(m－n)2=[3(m +n)+(m－n)][3(m +n)－(m－n)] =（3 m +3n+ m－n)(3 m +3n－m +n）=（4 m +2n)(2 m +4n）=4（2 m +n)(m +2n）. （2）2x3－8x =2x（x2－4） =2x（x+2)(x－2）. 有公因式时，先提公因式，再考虑用公式.1.下列各式能否用平方差公式分解？如果能分解，分解成什么？
①x2+y2
② x2-y2
③ -x2+y2
④ -x2-y2能，x2-y2=(x+y)(x-y)能，-x2+y2=y2-x2=(y+x)(y-x)不能不能【跟踪训练】2.判断下列分解因式是否正确.
（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.
（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1)·(a2－1).【解析】（1）不正确.
本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中右边还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.（2）不正确.错误原因是因式分解不彻底，
因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.
应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.3.分解因式：
（1）x4-y4. （2）a3b-ab.【解析】(1)x4-y4 =（x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x+y)(x-y).(2)a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.=(x2+y2)(x2-y2)二、探究新知综合运用 例4 如图，外圆半径R=9.5 cm，内圆半径r=8.5 cm，求圆环（阴影部分）的面积.
Rr1.（杭州·中考）分解因式 m3 – 4m = .【解析】m3 – 4m =m(m+2)(m-2). 答案：m(m+2)(m-2)2.(江西·中考)因式分解:2a2－8＝___________.
【解析】 原式=
答案：3.(珠海·中考)因式分解: =______.【解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式；
即ax2-ay2=a（x2－y2）=a（x+y）（x－y）
答案:a(x+y)(x－y) 4.（东阳·中考） 因式分解：x3-x=___.
【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).
答案: x(x+1)(x-1) 5.（盐城·中考）因式分解: =______.
【解析】 原式=（x+3）(x-3).答案:（x+3）(x-3)6.利用因式分解计算：
1002-992+982-972+962-952+… +22-12.【解析】原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97）+…
+(2+1)(2-1)
=199+195+191+… +3
=5 050.1.利用平方差公式分解因式: a2－b2=（a+b)(a-b).
2.因式分解的步骤是:首先提取公因式,然后考虑用公式法.
3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止.
4.计算中应用因式分解,可使计算简便. 通过本课时的学习，需要我们掌握： 纯数学是魔术家真正的魔杖.
——诺瓦列斯课件9张PPT。十字相乘法分解因式 实际在使用此公式时，需要把一次项系数和常数项进行分拆，在试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了这个困难。十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。=(x－2)(x－4)=(x－3)(3x－1)=(5x＋3)(x－4)练习：将下列各式分解因式答案(7x＋6)(x＋1)答案－ (y＋6)(y－2)答案 (3x－y)(5x＋4y)答案 (2x－1)(5x＋8)答案 (x－1)(x－a) =(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2=(2x ＋y－1)(x－2y＋2)亲 再见
