二次函数的图像与性质
课
题
二次函数的图像与性质（四）
教学目标
掌握抛物线平移的规律．同时感悟类比、转化思想；掌握画抛物线图像的方法，并能运用图像检验抛物线的对称性．
重点、难点
掌握画抛物线图像的方法．感悟类比思想．
考点及考试要求
会用平移法和描点法作出函数的图像，类比于，归纳总结出抛物线图像的主要性质
教学内容
一【课堂导入】
通过前几次课的学习，我们知道，二次函数的图像都是抛物线.将抛物线进行适当上下平移或左右平移，可以得到抛物线或抛物线.问题：如果将抛物线向上平移3个单位，所得到的抛物线表达式是什么？二【知识精讲】一、的图像与性质：(注:相当于,下同)
( http: / / www.21cnjy.com )（如图为以为例）的符号开口方向顶点坐标对称轴图像的特点性质向上最低点抛物线向轴左右方向无限延伸；抛物线向上无限延伸；在轴的左侧是下降的，在轴的右侧是上升的。时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；当时，有最小值．向下最高点抛物线向轴左右方向无限延伸；抛物线向下无限延伸；在轴的左侧是上升的，在轴的右侧是下降的。时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．二、的图像与性质：(注:相当于,下同)
( http: / / www.21cnjy.com )（如图以为例）的符号开口方向顶点坐标对称轴图像的特点性质向上抛物线向轴左右方向无限延伸；抛物线向上无限延伸；在轴的左侧是下降的，在轴的右侧是上升的。时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；当时，有最小值．向下抛物线向轴左右方向无限延伸；抛物线向下无限延伸；在轴的左侧是上升的，在轴的右侧是下降的。时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；当时，有最大值．三、二次函数图象的平移
1、平移步骤：⑴
将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵
保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
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2、平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三【典例精析】【例1】已知二次函数.
（1）画出函数图像的草图；（2）求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（3）根据图像，说出x取哪些值时，函数值y=0，y>0，y<0.答案
（2）（3,0）（-1,0）（0,3
( http: / / www.21cnjy.com )）
（3）x=3或-1时
y=0
-1＜x＜3时
y＞0
当x＜-1或x＞3时
y＜0【练习】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．（1）试确定a、h、k的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．答案
（1）a=-1/2
h=1
k
( http: / / www.21cnjy.com )=-5
(2)开口向下
对称轴x=1
顶点（1，-5）
x≤1时，y随x增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小【例2】对于函数，请回答下列问题：(1)对于函数的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？(2)函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？分析：把化为的形式。解：=(1)由先向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到（答案不唯一）(2)对称轴：直线
顶点坐标：(-1,2)【练习】二次函数的图像是由二次函数的图像先向______平移_____个单位；再向_____平移____个单位.
答案
右
1
上
7/4【例3】已知二次函数的图像与x轴的一个交点是（2,0），求k的值，并求抛物线的顶点坐标、对称轴和抛物线与x轴的另一个交点。
解：将（2,0）代入解析式得：
解得。解析式为：顶点坐标，对称轴：；与x轴的另一个交点为（3,0）【练习】已知反比例函数y=的图象经过点A（4，），若二次函数y=x2-x的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m），C（n，2），求平移后的二次函数图象的顶点坐标．答案
设平移后为y=x2+bx+c，代入B(2,1)
C(1,2)可确定解析式y=x2-5/2x+4
顶点为(5/2,7/8)【例4】已知二次函数的对称轴是直线，且过点及坐标原点，求此函数的解析式。答案
【练习】对称轴为的抛物线过点A（6,0）和B（0,4），求抛物线的解析式及顶点坐标答案（1）由抛物线的对称轴是，
可设解析式为，
把A、B两点坐标代入上式，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
解之，得，
故抛物线解析式为，顶点为；四【课堂巩固练习】1、抛物线可以由先向______平移______单位；再向_______平移_____单位.
答案
右
3/2
上
9/42、已知二次函数的图像如图所示，试确定a、b、c、、、、的符号.
答案
a＜0
b＞0
c＞0
＞0
＜0
＞0
＜0
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( http: / / www.21cnjy.com )3、如图所示，在直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴
交于A、B两点（A在B左侧）与
y轴交于点C，如果点M在y轴右侧的抛物线上，且那么点M的坐标是_______.
答案（1，-6）或（4，6）4、若已知二次函数的图像如图所示，则下列5个代数式：ac,a+b+c;4a-2b+c;2a+b;2a-b.其中大于0的个数是________.答案
2个5、二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为………………………………………………………………………(
)答案
D
A.
( http: / / www.21cnjy.com )B.
( http: / / www.21cnjy.com )C.
( http: / / www.21cnjy.com )D.
( http: / / www.21cnjy.com )五【课后作业】选择题：抛物线的对称轴是（
）答案
DA.
直线
B.
直线
C.
直线
D.
直线二次函数的图象如右图，则点在（
）答案
DA.
第一象限
B.
第二象限C.
第三象限
D.
第四象限已知二次函数，且，，则一定有（）答案
DA.
B.
C.
D.
≤0把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（
）答案
AA.
，
B.
，C.
，
D.
，已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（
）答案
D
( http: / / www.21cnjy.com )下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（
）答案
D
( http: / / www.21cnjy.com )抛物线的对称轴是直线（
）答案
DA.
B.
C.
D.
二次函数的最小值是（
）答案
BA.
B.
2
C.
D.
1二次函数的图象如图所示，若，，则（
）答案
BA.
，，B.
，，C.
，，D.
，，二、填空题：将二次函数配方成的形式，则y=______________________.答案已知抛物线与x轴有两个交点，那么一元二次方程的根的情况是______________________.答案
有两个不同的实数解已知抛物线与x轴交点的横坐标为，则=_________.答案
1请你写出函数与具有的一个共同性质：_______________.答案
开口方向相同有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：
答案不唯一
如y=1/5x2-8/5x+3已知二次函数的图象开口向上
( http: / / www.21cnjy.com )，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.答案不唯一
如y=（x-1）2如图，抛物线的对称轴是，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是，则A点的坐标是________________.
( http: / / www.21cnjy.com )答案
（2-,0）
三、解答题：已知函数的图象经过点（3，2）.（1）求这个函数的解析式；（2）当时，求使y≥2的x的取值范围.
答案（1）函数y=x2+bx﹣1的图
( http: / / www.21cnjy.com )象经过点（3，2），
∴9+3b﹣1=2，解得b=﹣2；
∴函数解析式为y=x2﹣2x﹣1．
（2）当x=3时，y=2，根据图象知，当x≥3时，y≥2；
∴当x＞0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3．2、如右图，抛物线经过点，与y轴交于点B.（1）求抛物线的解析式；（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.答案
（1）∵A（1，0）在抛物线上，
∴可把A点坐标代入方程得-12+5×1+n=0，
解得n=-4，
∴抛物线的解析式为y=-x2+5x-4；
（2）把x=0代入抛物线方程得y=-4，
∴B点坐标为（0，-4），
∵△PAB是以AB为腰的等腰三角形，
∴可分两种情况：①PA=AB；②PB=AB，
若PA=AB，则P点和B点关于原点对称，
∴P点坐标为（0，4）；
若PB=AB，且，
∴P点坐标为。
-1
1
y
O
x二次函数的图像与性质
教学目标
1．掌握二次函数的图像；2．知道的性质；3．掌握二次函数的图像的平移关系．
重点、难点
二次函数的图像及性质;2．二次函数的图像的平移关系．
考点及考试要求
会用平移法和描点法作出函数的图像，类比于，归纳总结出抛物线图像的主要性质
教学内容
一【课堂导入】
1、在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是二次函数？答案：一次：（1）（3）二次：（4）(1)y=12x+7； (3)y=(x-2)2-x2； (4)y=4(x+3)2+2x．2、在中，若b=0，或c=0，或b，c同时为0，解析式是什么？答案：+c
, 3、请同学们回忆，前面我们在学习了正比例函数、一次函数后，是如何进一步研究这些函数的？(答：先用描点法画出函数图象，再结合图象研究性质．)4、怎样用描点法画函数的图象？二【知识精讲】知识点1：二次函数+c的图像操作：在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数和的图像.（1）列表：取自变量的一些值，计算出相应的函数值，如下表所示：…-4-3-2-101234…（2）描点：分别以所取的值和相应的函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点.（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数和的图像.
( http: / / www.21cnjy.com )【思考】：观察上面操作过程中所列的表格和画出的图像，可以发现分别在函数和的图像上且有相同横坐标的任意两点的纵坐标有什么关系？在运用图形运动来分析，这两个函数图像之间的关系？【想一想】：将函数的图像与函数的图像进行比较，可知函数的图像有哪些特征？上移2个单位
形状不变二次函数的图像是一条抛物线，这条抛物线的开口向上；它是轴对称图形，对称轴是y轴；它的顶点坐标是（0,2）；这个顶点是它的最低点.【试一试】作出函数和的图像.运用图形运动来分析，这两个函数图像之间有怎样的关系？函数的图像有哪些特征？
( http: / / www.21cnjy.com )一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（c>0）或向下（c<0）平移个单位得到.由此可知：（1）抛物线的对称轴是轴，顶点（0，c）；（2）时，抛物线+c开口向上；在对称轴的左边，曲线自左向右下降，在对称轴的右边，曲线自左向右上升；顶点是抛物线上位置最低的点.（3）时，抛物线+c开口向下；在对称轴的左边，曲线自左向右上升，在对称轴的右边，曲线自左向右下降；顶点是抛物线上位置最高的点.（4）+c与的图像形状相同，只是位置不同，他们彼此可以通过平移得到.（5）把的图像向上或向下平移个单位，即得到+c的图像.三【典例精析】【例1】函数与的图像可能是（
D
）
（B）（C）
（D）【练习】二次函数和反比例函数在同一坐标系里的大致图像…………(
D
)
A.
( http: / / www.21cnjy.com )B.
( http: / / www.21cnjy.com )C.
( http: / / www.21cnjy.com )D.
( http: / / www.21cnjy.com )【例2】已知与成正比例，其图像经过点（1,2）写出y与x的函数解析式；指出这个函数的图像的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标。答案：解：。图像为抛物线，开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标（0,1）【练习1】已知抛物线与直线交于点（-1，b）.（1）求a、b的值；（2）求抛物线与的两个交点及顶点所构成的三角形的面积.答案：（1）a=1，b=0【练习2】一条抛物线的开口方向、对称轴都与相同，其顶点纵坐标是，且经过点（1,1），求这条抛物线的解析式。答案：解：【例3】如图，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0,8），以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B.求：点A，B，C的坐标；答案：解：
( http: / / www.21cnjy.com )【练习】已知抛物线与抛物线关于轴对称，则a=___2_____,c=_____1_____.【例4】函数与直线y=2x-3交于点（1，b），求：求：（1）a与b的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）求抛物线与直线y=-2的两交点及顶点所构成的三角形的面积。答案：解：（1）将x=1，y=b代入y=2x-3解得b=-1，故其交点坐标为（1，-1）.再将x=-1，y=-1,代入中，解得a=-1，则啊=-1，b=-1.（2）抛物线的解析式为，顶点坐标为（0,0），对称轴为y轴.
(3)设直线y=-2与抛物线相交于A，B两点，由=-2，解得
( http: / / www.21cnjy.com )【练习】直线经过两点，它与二次函数的图象相交于两点，二次函数与的图象的开口大小和方向完全相同，并且的顶点坐标为，求的面积.答案
因为二次函数y=ax^+c与y=x
( http: / / www.21cnjy.com )^2的图像的开口大小和方向完全相同
所以a=1
又因为y=x^2+c的顶点坐标为（0,1）,所以c=1
所以二次函数为y=x^2+1
因为直线L经过(0,3)和(3,0)两点,所以直线方程为x+y=3
由x+y=3与y=x^2+1联立解得x=-2,y=5;x=1,y=2
所以A(-2,5),B(1,2)
记直线l与y轴的交点为C(0,3)
所以S△AOB=S△AOC+S△COB=2
3/2+1
3/2=9/2四【课堂巩固练习】1、将抛物线向上平移两个单位得到的抛物线的表达式是__________.
Y=-x2+12、抛物线与x轴有两个交点，且开口向上，则a、b的取值范围是a______,b_________.＞0
＜03、如果二次函数的值恒大于0，那么必有………………………..(
)
B
A.
取任意实数
B.
C.
D.
均可取任意实数4、若抛物线的顶点在轴的上方,则有….…………………..(
)
A
A.
n=5
B.
n=-1
C.
n=5
或-1
D.
n=-56、抛物线的图像开口________,对称轴是_______，顶点坐标是________，当x=____,时，y有最_____值为_______.
向下
y轴
（0
-3）
0
大
-37、抛物线可以由抛物线向________平移________得到，同样，也可以由抛物线向______平移_______得到.
上
4
下
4
8、已知函数①，②，函数（填序号）______有最小值，当x______时，该函数有最小值是________.
①
0
1
9、已知二次函数的开口向下，则a的取值范围是___________.
a＜-1/210、若二次函数，当x取、（）时函数值相等，则当x取时，函数值为_________.
c11、如图是上海市一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点A和，点B和分别关于y轴对称，隧道拱部分BC为一段抛物线，最高点C离路面A的距离为8米，点B离地面A的距离为6米，隧道宽A为16米.（1）求隧道拱BC的函数表达式；（2）现有一大型运货汽车，其宽为4米，车顶与路面的距离均为7米，问：它能否安全通过隧道？说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com )答案
(1)由题意可知各点坐标为
A（-8,0）,A1（8,0）
B（-8,6）,B1（8,6）
C（0,8）
由于顶部过B,C,C1三点,设抛物线方程为
y=ax^2+bx+c
将B,C,C1三点坐标代入方程得
6=a(-8)^2+b
(-8)+c
6=a
8^2+b
8+c
8=a
0^2+b
0+c
解得,a=-1/32,b=0,c=8
则抛物线解析式为
y=-1/32x^2+8
(2)易知隧道口中间部分高度最高,所以设汽车从隧道口中间通过
已知车高为7米,令y=7
可得
x1=-4√2,x2=4√2
∴当车宽小于8√2时,汽车能通过,大于8√2时不能通过五【课后作业】抛物线开口________；当x=______时，y有最_____值为________.
下
0
大
-3若将抛物线向下平移5个单位，那么可以得到抛物线_________.
Y=-2x2
-3抛物线的顶点在y轴的正半轴上，那么m=________.3若抛物线与的开口大小相同，但方向相反，则a=______.
-2已知点A（）和点B（）在二次函数的图像上，则
＜在同一直角坐标系中，函数与的图像大致是……………(
)
CA.
( http: / / www.21cnjy.com )B.
( http: / / www.21cnjy.com )C.
( http: / / www.21cnjy.com )D.
( http: / / www.21cnjy.com )7、（1）已知二次函数的图像经过点A（0，-3）、B（1,-1），求此函数的解析式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标.（2）把函数的图像向下平移2个单位，再以顶点为中心，旋转180°，求得到的图像的解析式并分析抛物线的上升下降趋势..（1）Y=2x2-3
开口向上
顶点（0
-3）（2）y=3x2-1
y轴左侧y随x增大减小
右侧
y随x增大增大二次函数的图像与性质
教学目标
1．会画二次函数的图象；2．掌握二次函数的性质，并要会灵活应用；
重点、难点
1．会画二次函数的图象；2．掌握二次函数的性质，并要会灵活应用；
考点及考试要求
掌握抛物线图像的基本性质（开口方向和大小、对称轴、顶点坐标、增减性和对称性）
教学内容
一【课堂导入】1、二次函数的图像是什么形状？
2、二次函数、、、的性质分别是什么？3、与二者之间的图像有什么关系？平移规律是什么？4、二次函数
∵a=___2______∴函数有最___小______值。二【知识精讲】知识点1：二次函数的图像画出二次函数y＝x2,y＝(x＋2)2，的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点．先列表：x…-4－3-2-101234y＝x2…89/221/201/229/28y＝(x＋2)2…9/21/201/229/2825/218y＝(x-2)21825/289/221/201/22描点并画图．观察图象，二次函数y＝(x＋1)2的图像是___________________
；
抛物线
②抛物线y＝(x＋1)2
与抛物线y＝x2的形状大小____________
；相同③
把抛物线y＝x2向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝(x＋1)2
；2．填表：函数开口方向顶点对称轴y＝x2向上（0,0）Y轴y＝(x＋2)2向上（-2,0）X=-2y＝(x-2)2向上（2,0）X=2知识点整理1．y＝ax2y＝ax2＋c开口方向a＞0
向上
a＜0
向下顶点（0,0）（0，c）(h,0)对称轴Y轴Y轴X=h对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．
形状
位置三【典例精析】【例1】对于二次函数，请回答下列问题：(1)把函数的图像作怎样的平移变换，就能得到函数的图像？(2)说出函数的图像的顶点坐标和对称轴。解:
(1)向右平移4个单位
(2)顶点坐标:(4,0)
对称轴:直线
【练习】若把抛物线向左平移2个单位，请写出所得抛物线的解析式及开口方向、顶点坐标、对称轴；若把抛物线向下平移2个单位，请写出所得抛物线的解析式及开口方向、顶点坐标、对称轴.【例2】如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．
(1)求直线AC的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)当自变量x满足什么条件时，有 答案
抛物线y=√3(x+1)^2的的顶点为为C(-1,0),与y轴交点为A(0,√3）,
过A作y轴的垂线:y=√3交抛物线于另一点B（-2，√3)，
（1）AC的斜率=√3，
直线AC的方程是y=√3x+√3.
（2）AB=2，C到AB的距离=√3，
∴△ABC的面积=√3.【练习】抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．答案
OA=2
OB=
12
AB=2
S=12
C=2+14总结：⑴
.开口方向与大小：⑵．对称轴：⑶．顶点：⑷．平移规律:四【课堂巩固练习】1．抛物线y＝4
(x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．（0,16）（2,0）2．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．y＝3（x-4）2
把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．y＝3（x+6）23．将抛物线y＝－(x－1)2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．y＝－(x－3)24．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式
y＝-2（x-5）2
___________________________．5．填表函数图象（草图）开口方向顶点对称轴y＝x2向上（0
0）Y轴y＝－5
(x＋2)2向下（-2
0）X=-2y＝3
(x－3)2向上（3
0）X=3五【课后作业】一、选择题已知，点都在函数的图像上，则（
）CA.
B.
C.
D.
抛物线的顶点在（
）DA.
第一象限
B.
第二象限
C.
轴上
D.
轴上抛物线的对称轴是（
）AA.
直线
B.
直线
C.直线
D.
轴
二、填空题抛物线的开口方向是________，对称轴是__________.
向下
y轴抛物线的顶点坐标是___________.
（-3
0）将抛物线向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是___________.
（0
3）抛物线的图像可由抛物线向_______平移_______个单位得到，它的顶点坐标是_________，对称轴是____________.
右
2
（2
0
）
x=2抛物线与抛物线的__________相同，_______________不同.形状
位置已知抛物线，当__________时，随的增大而增大；当__________时，随的增大而减小.
≤-2
＞-2如图，关于轴对称轴的抛物线的解析式为__________________.
Y=x2三、解答已知抛物线经过点，求抛物线的解析式，并写出关于对称轴的对称点的坐标.答案
y=2（x+1）2
（0
2）一个二次函数，它的顶点坐标是，且经过点.（1）写出这个二次函数的解析式；（2）图像在对称轴的右侧部分，随的增大怎样变化？（3）指出这个函数有最大值还是最小值，并求出这个值.答案（1）y=-（x+1）2
（2）随的增大而减小
（3）最大值
0已知抛物线的顶点为，直线与抛物线交于、两点，试求.答案：抛物线y=（x﹣2）2的顶点C的坐标为（2，0），
联立两函数的解析式，得：，
解得，．
所以A（6，16），B（0，4）．
如图：过A作AD⊥x轴，垂足为D；
则S△ABC=S梯形ABOD﹣S△ACD﹣S△BOC
=（OB+AD）·OD﹣OC·OB﹣CD·AD
=（4+16）×6﹣×2×4﹣×4×16
=24．
-10
-8
-6
-4
-2
-5
-4
-3
-2
-1
10
5
4
3
2
1
8
6
4
2
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