相似形与比例线段
教学目标
三角形一边的平行线的性质定理三角形一边的平行线的性质定理的推论
重点、难点
重点：三角形一边的平行线的性质定理
难点：三角形一边的平行线的性质定理
考点及考试要求
熟练掌握三角形一边的平行线的性质定理及推论
教学内容
课堂导入知识精讲1、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例。如图（1），若DE∥BC，则或或如图（2），若DE∥BC，则或或
( http: / / www.21cnjy.com )证明：答案：利用比例性质举例说明2、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。如图（1）已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，则;如图（2）已知：△ABC中，点D、E分别在CA、BA的延长线上，且DE∥BC，则.证明：答案：利用比例性质举例说明三、典例精析例1-1．如图，在中，DE∥BC，若AD=2，DB=3，则AE：AC=
；若AE：EC=3：5，AB=16，则AD=
；若AE：EC=2：3，DB－AD=3，则AD=
。答案：2:5，
6，
6例1-2、如图AD∥EB∥FC，
=
,=
,若=,则=
.
答案：
===练习
1、如图，DE∥BC，且DB=AE，若AB=5，AC=10，则AE=_______.答案：
( http: / / www.21cnjy.com )2、如图，在△PMN中，点A、B分别在MP和NP的延长线上，则答案：例2-1、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AC、BC、AB边上，且DE∥AB，DF∥BC，如果那么的周长是_______.答案：AF=6
,BF=DE=3
,
DF=BE=4的周长是14例2-2、如图，在△ABC中，AC=15，AB=10，四边形ADEF为菱形，则CF=_______.答案：设菱形边长为x由题意得：（15-x）:15=x:10解得：x=6练习
如图，点D、E分别是AB的三等分点，DF∥EG∥BC，若BC=12，则DF=______.答案：42、已知:如图中，CD是的∠ACB平分线,DE∥BC,AD:DB=2:3,AC=a,求DE.答案：由题意得：
AD:DB=AC:BC=2:3则BC=∵AD:AB=DE:BC
∴AD:AB=2:5=DE:BC∴所以DE=总结：
四、课堂巩固练习1．已知:如图中，DE∥BC，（1）若AD=3，DB=5，AE=2.25，求EC的长；答案：EC=3.75（2）若AB=5,AD=2,AC=4,求EC；答案：EC=2.4（3）若AE:EC=2:3,DB－AD=3,求AD、DB的长。答案：AD=
6
DB=92、如图，中,DE∥BC,AN交DE于M，求证：。答案：∵，∴3、
已知：△ABC中，E、G、D、F分别是边AB、CB上的一点，且GF∥ED∥AC，EF∥AD,求证：答案：由题意得：BG：BE=BF：BD
BE:BA=BD:BC
BE:BA=BF:BD
BG:BE=BD:BC五、课后作业1.已知：如图，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，EF=1.5，AB=2.5，FB=2.2，BD=3.6，求CD的长。答案：
( http: / / www.21cnjy.com )2.已知：如图，四边形AEDF为菱形，AB=12，BC=10，AC=8，求：BD、DC及AF的长。答案：设AF为x.则AF=FD=DE=AE=x.再设BD=y则有
x/8=（12-x）/12=y/10,x=4.8
y=6.
所以CD=4.BD=6,AF=4.83.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，如果DE∥BC，求答案：∵DE‖BC,
∴AE：EB=AD:DC
∵SΔADE:SΔEBD=AE:EB，SΔADB:SΔDBC=AD:DC
若设S△EBD=S
则3:S=(3+S):18
S2+3S-54=0
(S+9)(S-6)=0
S1=-9
(舍去)
S2=6
所以S△EBD=6
A
B
D
E
C
A
D
E
F
B
C
A
D
B
C
E
A
D
B
C
E
A
B
D
E
C
N
M
A
B
F
D
C
E
G
E
F
B
A
C
D
A
F
B
D
C
E相似形与比例线段
教学目标
三角形一边的平行线的判定定理平行线分线段成比例定理
重点、难点
重点：三角形一边的平行线的判定定理
难点：三角形一边的平行线的判定定理
考点及考试要求
熟练掌握三角形一边的平行线的判定定理
教学内容
课堂导入知识精讲1、三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所截得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。如图（1）若或或
则
DE∥BC如图（2）若或或
则
DE∥BC
( http: / / www.21cnjy.com )证明：利用比例性质、面积比证明。2、平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，所截得的对应线段成比例。证明：利用比例性质证明3、平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。典例精析例1-1．已知：如图，点D,F在的边上，点E在边上，且DE//BC
求证：
答案：证明：∵DE//BC∴AE:AC=AD:AB∵AF:AD=AD:AB∴AE:AC=
AF:AD∴EF∥DC例1-2．如图，已知：AC∥A′C′，BC∥B′C′;求证：AB∥A′B′.答案：∵AC∥A′C′，BC∥B′C′;∴OA:OA′=OC:OC′=OB:OB′∴AB∥A′B′练习1、已知在∠O的一边上顺次有A,B两点，在另一边上顺次有C,D两点，则依据下列式中(
)可判定AC∥BD.
答案：A
A．
B．
C．
D．2、如图，已知,,求证：(1)；(2)。答案：(1)∵,∴OA′:OA=
OB′:OB
=OC′:OC∴A′C′∥AC(2)由（1）得：B′C′:BC=OC:OC′A′C′:AC=
OC:OC′例2-1、如图，∥∥，如果BM=2，AM=3，CD=4.5，那么CN=______.答案：CN=2.7例2-2、如图，在梯形ABCD中，AD∥
( http: / / www.21cnjy.com )BC，AD=3，BC=5，EF∥AD交AB于点E，交DC于F，如果AE：EB=1:2
那么EF=______.答案：过点D作DG∥AB，交EF于G，BC于HEF=4练习1、已知：如图，l1∥l2∥l3，AB=3，DE=2，EF=4，求：BC。答案：BC=62、已知：如图，l1∥l2∥l3，AB=3，DE=2，EF=4，求BC。答案：BC=63、已知：如图，l1∥l2∥l3，AB=3，BC=5，DB=4.5，求BF。答案：BF=7.54、已知：如图，l1∥l2∥l3，AB=3，BC=3，DF=10，求DE。答案：DE=
6.255、已知：如图，l1∥l2∥l3，AB=a，BC=b，DF=c，求EF。答案：EF=总结：
四、课堂巩固练习1．△ABC中,直线DE交AB于D,交AC于点E,那么能推出DE∥BC的条件是
(
)
答案：A(A)
(B)
;
(C)
(D)
2.已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点D,(1)EF过O，且EF∥AB，求证:OE=OF.(2)若AB=2CD，MN∥AB，且MP=PN，求证：MN=CD.答案：（1）证明：因为
AB//CD,EF//AB
所以
AB//EF//CD,
所以
DE/AD=CF/BC,
因为
EF//AB,
所以
OE/AB=DE/AD,OF/AB=CF/BC
所以
OE/AB=OF/AB,
所以
OE=OF.
（2）证明：因为
MN//AB,
所以
DM/AD=MN/AB,
因为
AB//CD,MN//AB,
所以
MN//CD,
所以
AM/AD=MP/CD,
因为
DM/AD=MN/AB,
所以
AM/AD+DM/AD=MP/CD+MN/AB,
即：MP/CD+MN/AB=（AM+DM）/AD=1
因为
MP=PN,
所以
MP=1/2MN,
又因为
AB=2CD
所以
1/2MN/CD+MN/2CD=1
即：MN/CD=1
所以
MN=CD.五、课后作业1.
已知在△ABC中,点D、E、F分别在AB、AC、BC上,且,CF=CE，求证：四边形CFDE是菱形.
答案：∵AE:EC=AD:DB
∴DE∥BC
∵AD:DB=CF:BF∴DF
∥AC
∴CFDE就是平行四边形
∵CF=CE∴四边形CFDE是菱形2.在△ABC中,点D、E、F分别在AB、AC、BC上,且DE=3，CF=4.5，，求证：EF∥AB.
答案：∵∴DE∥BC∴DE：BC=2:5∴BF=3=DE∴四边形BFED是平行四边形∴EF∥AB
A
B
L1
C
D
L2
E
F
L3
A
B
L1
C
D
L2
E
F
L3
A
B
C
O
A
B
C
D
E
F
D
C
B
A
F
E
O
M
P
N
A
DD
B
F
C
E相似形与比例线段
教学目标
相似形的概念比例的性质
重点、难点
重点：比例的性质
难点：比例性质的灵活运用
考点及考试要求
熟练掌握比例的性质
教学内容
课堂导入知识精讲1．相似图形：一般而言，形状相同的图形称为相似图形。2．相似多边形：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。3．线段的比：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。
即：如果用同一长度单位量得线段a，b的长度分别是m，n,那么。在中，a叫比的前项，b叫比的后项。（1）两条线段比是一个正数,它没有单位.（2）两条线段比与所选的长度单位无关.（3）求两条线段比时.如果单位不同.那么必须先化成同一单位.再求它们的比.
生活常识：（1）同一时刻物高与影长成比例.
（2）图上长度与实际长度的比通常称为比例尺.4．已知四条线段a、b、c、d，如果a∶b＝c∶d，那么a、b、c、d叫做组成比例的
线段
，线段a、d叫做比例
外项
，线段b、c叫做比例
内项
，线段d叫做a、b、c的
第四比例项
；比例中项：如果比例内项是两条相同的线段，即
，那么线段b叫做线段a和c的比例中项。5．比例的基本性质：a∶b＝c∶d
bc=ad
；a∶b＝b∶c
（a、b、c、d不为零）。6．几个常用的性质：
（1）若，则；
（2）若，则或；
（3）若，则；（4）若，则。（5）若，则（当）三、典例精析例1-1、在如图所示的两个相似四边形中，求x、y、∠α的值．答案；因为两个四边形相似，所以它们的对应边成比例，对应角相等，则有解之得x＝27，y＝31.5，a＝-87-107-95=71°例1-2、如下图，一张矩形报纸ABCD的长AB=acm，宽BC=bcm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b等于（
）答案A
A.
：1
B.
1：
C.
：1
D.
1：练习
1、图中两个梯形相似，求出未知数x，y，z的长度和∠A′B′C′和∠C′D′A′的度数．答案：48/32=x/20=45/z=y/40
求得：x=30
y=60
z=30∠A′B′C′=70°∠C′D′A′=∠CDA=118°2、如图，矩形草坪长为20m，宽为10m，沿草坪四周处围有1m宽的环形小路，问：小路内外边缘所成的两个矩形相似吗？为什么？答案
内边缘所成矩形长宽分别为20m、10
( http: / / www.21cnjy.com )m
外边缘所成矩形长宽分别为20+1×2=22m、10+1×2=12m
20/22≠10/12,对应边不成比例
∴不相似例2-1、若线段AB=3
cm，CD=6
cm，则AB∶CD=
，CD∶AB=
答案1:2
2:1例2-2、已知，且是、的比例中项，则
，若是、的比例中项，则
.
答案
例2-3
、已知a=2m
,
b=0.4m
则a:b的值是_____________________。答案：5:1练习
1、若线段的第四比例项是4，则
.答案
+/-22、已知AB=5cm，延长AB到点C，使B
( http: / / www.21cnjy.com )C=10cm，则AB∶BC=
，AC∶BC=
，
AB：AC=
。答案
1:2
3:2
1:33、已知a=6cm
,
b=6m
则a:b的值是_____________________。答案
1:1例3-1
、在武山城区地图（比例尺1:9000，注:比例尺是指图上长度与实际长度的比）上，宁远路的图上长度与民主路的图上长度分别是16cm，10cm。（1）宁远路与民主路的实际长度各是多少米？（2）宁远路与民主路的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？答案
900m
8:5例3-2
、在比例尺为1:8000的学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1cm×3cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？答案
80m×240m练习1.在比例尺是1:8000000的《中国政区》地图上,量得福州与上海之间的距离为7.5厘米,那么福州与上海两地的实际距离是多少千米 答案
600公里2.在比例尺为1：m的地图上，规划出一块长5cm，宽2cm的矩形开发区，求该开发区的实际面积．答案
m^2/1000平方米例4、下列各组线段长度成比例的是（
）答案
DA．2cm，3cm，4cm，1cm
B．1.5cm，2.5cm，4.5cm，6.5cm
C．1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm
D．1cm，2cm，2cm，4cm
练习1、下列各组线段成比例吗？（1）
（2）答案
成比例
答案
不成（3）
（4）答案
不成比例
答案
成比例例5、
有关比例的计算（1）已知，求的值。
（2）已知x:y:z=1:3:5，求的值。答案
3
答案
（3）已知
.答案
0（4）若，则
。答案：9:6:4练习1、若，则
，
， 。答案
-
-72、若，则
答案
3或-23、已知，则
.答案
64:15:804、若，求的值。答案
6:4:35、已知，且，求的值。
答案
-1提示
用a表示出b和c，代入即可6、若，求的值。
答案
a=k(b+c+d)
( http: / / www.21cnjy.com )
b=k(a+c+d)
c=k(a+b+d)
d=k(a+b+c)
a+b+c+d=k(3a+3b+3c+3d)
k=1/3或
a+b+c+d=0
若a+b+c+d=0,则k=a/(b+c+d)=-1
k=1/3或-1总结：
四、课堂巩固练习一、选择题
1.已知线段a=3厘米,线段b=13毫米,则a与b的比是(
)
答案C
A.
B.
C.
D.2.在比例尺为1:500000的地图上,量得A、B两地的距离是4厘米,则这两地的实际距离是(
)
答案B
A.2千米
B.20千米
C.200千米
D.2000千米3.已知,下列式子一定成立的是(
)
答案D
A.3x=4y
B.x=12y
C.xy=12
D.4x=3y4.如果,那么下列等式成立的是(
)
答案A
A.
B.
C.
D.5.等腰直角三角形中,一条直角边与斜边的比是(
)
答案C
A.
B.
C.
D.6.如果ab=mn,那么下列等式不成立的是(
)
答案C
A.
B.
C.
D.7．把改写成比例式，使为第四比例项，则正确的是（
）答案D
A．
B.
C.
D.8.已知菱形ABCD中，∠A＝600，则=
(
)
答案B
A.
B.1：
C.1+
D.（+1）9.
三线段、、中，的一半的长等于的四分之一长，也等于的六分之一长，那么这三条线段的和与的比等于（
）答案D
A.
B.
C.
D.10.若
，则（
）答案B
A.11：10：15
B.8：3：7；
C.3：2：5；
D.6：7：8二、填空题1.如果a、b、c、d是成比例线段,且a=2cm,b=6cm,d=12cm,则c=
.答案
4cm2.线段，的积是625，则、的比例中项是
答案
253.如果=5,那么=
；
4.已知,则=
.答案
4
5.如果,那么x=
；答案
-2
a:b=3:1,且a+b=8,则a-b=
.答案
47．的第四比例项是
；答案
五、课后作业1.已知：线段a=1cm
,b=4cm,c=5cm.（1）求c、b比例中项；
（2）求c、b、a的第四比例项。答案
（1）2
（2）2．已知，求的值。答案
-1或3．若,
求的值。 答案
=4．已知，且，求的值。答案
a=6
b=10
c=20
原式=185．若三边，三边上的高分别为，求的值。答案
4:6：86.已知,求的值.答案
7.已知,求的值.答案
8．由,易证,那么请你根据探索到的这一规律,解答下列问题:已知△ABC和△A′B′C′中,
,且A′B′+B′C′+C′A′=20厘米,求△ABC的周长答案
C△ABC=3/4×20=15cm
签字确认
学员
教师
班主任
