鲁科版选择性必修第一册提升练 第二章第三节 单摆(有详解)

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鲁科版选择性必修第一册提升练
第二章第三节单摆
一、单项选择题
1. 如图所示，光滑固定圆弧槽半径为，为圆弧最低点，圆弧的长度远小于，两个可看作质点的小球和，球初始位置在点，球在点正上方高度处。现同时释放两球，要使球在第二次通过点时恰好与球相碰，则应为
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
2. 如图甲是演示简谐运动图象的装置，它由一根较长的细线和一个较小的沙漏组成。当沙漏摆动时，匀速拉出沙漏下方的木板，漏出的沙在板上会形成一条曲线。通过对曲线的分析，可以确定沙漏的位移随时间变化的规律。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线．经测量发现，若拉动木板1和木板2的速度大小分别为和，则（　　）
A. B. C. D.
3.测量大型圆筒的内径时，技术工人用直径为的小钢球置于圆筒内部，使其在筒横截面内做小幅摆动如图测得钢球在时间内完成全振动的次数为，假定圆筒内壁光滑，重力加速度已知，则圆筒的内半径为
A. B. C. D.
4.如图甲所示，某同学利用了智能手机和一个磁性小球来测量重力加速度．打开智能手机的磁传感器，将磁性小球由平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录磁感应强度的变化曲线如图乙所示．下列说法正确的是( )
A. 单摆的周期为 B. 测量出的重力加速度
C. 小球拉起的幅度越大，运动周期越大 D. 小球经过最低点时，速度最大，合力为零
5.美丽的襄阳市月亮湾公园位于樊城区西，防江堤与汉江之间，风景秀丽环境雅致，年被评为湖北省“最美城市公园”，给襄阳人们提供了很好的公共休闲娱乐场所。公园里有一游乐设施“海盗船”深受广大游客喜爱，其可简化为如图所示模型，竖直平面内固定光滑圆弧轨道圆弧的角度很小，是轨道的最低点。质量不同的小球、均可视为质点从轨道左侧的不同位置由静止同时释放，到达点过程中都经过图中的点，下列说法正确的是( )
A. 释放瞬间、的加速度大小相等 B. 、同时到达点
C. 、通过点时速度大小相等 D. 、在点的回复力大小相等
6.如图甲所示，一个质量为的小弹丸以的速度水平射入一个原来静止的单摆摆球并停留在里面，此后某段时间内摆球的速度时间图像如图乙所示曲线为正弦函数。已知摆球的质量为小弹丸质量的倍。重力加速度为取，。下列说法中正确的是( )
A. 小弹丸的初速度大小为 B. 摆球偏离平衡位置的最大高度为
C. 摆线的长度为 D. 摆线的拉力的变化周期为
7.如图所示，光滑绝缘固定斜面体的倾角，长度为的绝缘轻质细线一端固定在斜面上点，另一端系着质量为、带电量为的小球，小球静止于斜面上的点。现在斜面体所在空间加上磁感应强度大小为、垂直斜面向上的匀强磁场，和平行斜面与成角斜向右下方的匀强电场，电场强度大小。加上电场和磁场后小球静止时处于斜面上的点图中未画，保持细线伸直将小球沿着斜面拉离点一个小角度小于后由静止释放。已知重力加速度大小为，小球可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A. 小球经过点时所受向心力为绳子的拉力、重力沿斜面分力、电场力的合力
B. 加上电场和磁场后，小球摆动的周期为
C. 摆球连续两次通过点时细线的拉力差值与其在点的动量大小成正比
D. 若将磁场反向、磁感应强度大小变成，小球运动的周期将变成原来的
8.如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为的小铁球，两端，悬挂在倾角为的固定斜杆上，间距为。小球平衡时，端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与交点的单摆，重力加速度，则( )
A. 小球摆动周期约为 B. 摆角变小，周期变大
C. 小球平衡时，端拉力为 D. 小球平衡时，端拉力小于端拉力
9.如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，下列说法中正确的是
A. 小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力
B. 末和末，小球的势能和速度均相同
C. 从到的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐增大
D. 从到的过程中，摆球所受的回复力先增大后减小
10.将一个力电传感器连接到计算机上就可以测量并显示不同时刻的力如图甲所示，点为单摆的固定悬点与力电传感器相连，将质量的小摆球可视为质点拉至点由静止释放，摆球在竖直平面内的、之间来回摆动，其中点为的最低点，，小于且是未知量，摆动稳定后由开始计时，由计算机得到的细线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线如图乙所示，重力加速度取，，根据力学规律和题中所给的信息分析下列说法正确的是( )
A. 摆球摆动中回复力是重力和细线拉力的合力
B. 单摆的摆动周期约为
C. 单摆的摆长为
D. 摆球运动中的最大速率为
11.如图所示是同一地点的甲、乙两单摆的部分振动图像，下列说法正确的是( )
A. 甲、乙两单摆的摆长之比为
B. 乙单摆的振动方程
C. 甲单摆的机械能小于乙单摆的机械能
D. 内，甲摆球的重力势能增大，乙摆球的重力势能减小
12.如图是用传感器和计算机描绘的甲、乙两个单摆的振动图像。关于两个单摆运动的描述，下列说法正确的是( )
A. 甲单摆的振动方程为
B. 任意内，乙单摆经过的路程均为
C. 甲、乙单摆的摆长之比为
D. 甲、乙单摆的最大摆角之比为
13. 如图甲所示为杆线摆的原理图，它可以绕着悬挂轴来回摆动，其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内．某同学利用铁架台做了一个杆线摆，如图乙所示，用来探究它的周期的影响因素．把铁架台底座的一侧垫高，立柱倾斜，摆杆通过光滑铰链与立柱连接，摆杆始终与立柱垂直．让钢球小角度摆动，测出静止时摆杆与重垂线的夹角为，摆线的长度为，摆杆的长度为，根据已有的知识，下列关系可能正确的是
A. 、不变时，越大，周期越短
B. 、不变时，越大，周期越长
C. 、不变时，越大，周期越长
D. 无论、怎样改变，只要不变，则周期不变
14.如图所示，长度为的轻绳上端固定在点，下端系一小球视为质点。在点正下方，距点处的点固定一颗小钉子。现将小球拉到点处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球。点是小球运动的最低位置，点图中未标出是小球能够到达的左方最高位置。已知点与点之间的高度差为，。、、、、点在同一竖直平面内。当地的重力加速度大小为，不计空气阻力。下列说法正确的是
A. 点与点之间的高度差大于
B. 轻绳碰到钉子前后小球的向心加速度大小之比为
C. 小球从释放到第一次返回点所用时间为
D. 轻绳碰到钉子前后轻绳上的拉力大小之比为
15.摆钟利用了单摆的周期性计时，摆钟内部擒纵机构是摆钟的灵魂，是人类智慧的结晶。擒纵机构的内部结构如图所示，其工作原理为金属球小角度摆动过程中带动擒纵叉周期性锁定与释放擒纵轮齿，同时擒纵叉与擒纵轮齿碰撞将部分能量传递给擒纵机构，使金属球做等幅振动，实现精准计时，摆钟在北京走时准确。下列说法正确的是( )
A. 摆钟在月球表面无法计时
B. 将摆钟从北京带到北极，摆钟走时将变快
C. 气温升高使摆杆略微伸长，摆钟走时将变快
D. 将摆钟从北京带到海南，为使摆钟走时准确，需要将微调螺母向下调节
16.如图、所示，甲、乙两个完全一样的单摆，甲摆悬挂在天花板上，乙摆上端固定在光滑斜面上，斜面长，高为。两摆球拉离平衡位置相同的小角度同时释放，相对平衡位置的位移与时间的关系图像如图所示。则斜面的高为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
17.如图所示，一单摆悬于点，摆长为，若在点正下方的点钉一个光滑钉子，使。将单摆拉至处释放，小球将在、、间往复运动，若运动中摆线与竖直方向夹角不超过，不计空气阻力。以下说法正确的是
A. 小球第一次从到与第一次从到的时间之比为
B. 小球第一次刚要到达点与刚要离开点时绳的拉力之比为
C. 细线对小球的拉力大小随时间变化的周期为
D. 小球在段的振幅与段的振幅相等
18.如图甲所示：用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量，与力传感器连接的计算机屏幕所显示的图像如图乙，其中的最大值，已知摆球质量，重力加速度取，取，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是( )
A. 单摆周期为
B. 单摆摆长为
C. 的最小值
D. 若仅将摆球质量变为，单摆周期减小
19.如图甲所示，两根完全相同的细绳一端共同连接一个可视为质点的小球，另一端分别固定于相同高度上的、两点，形成“”形结构，、两点间距为。初始时小球静止在平衡位置点。现使小球在垂直于纸面方向做简谐运动，其振动图像如图乙所示。已知重力加速度，忽略空气阻力，下列说法正确的是
A. 一根细绳的长度为
B. 小球的运动可视为单摆运动，等效摆长为
C. 若只减小、两点之间的距离，则小球做简谐运动的周期变大
D. 若换一个质量更大的小球，其他条件不变，则小球做简谐运动的周期变大
20.力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，如图甲所示，点为单摆的固定悬点，现将摆球从点释放，则摆球在竖直平面内的之间来回摆动。点为运动中的最低位置，小于且是未知量。图乙是由力传感器得到的细线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线，图中时刻为摆球从点开始运动的时刻，重力加速度。下列说法正确的是( )
A. 单摆的周期为 B. 摆长为
C. 摆球的质量为 D. 摆球运动过程中的最大速度为
三、计算题
21.如图，光滑圆槽的半径远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三小球均可视为质点同时由静止释放，开始时乙球的位置低于甲球位置，甲球与圆心连线和竖直方向夹角为，丙球释放位置为圆槽的圆心，为圆槽最低点重力加速度为。若甲、乙、丙三球不相碰，求：
求甲球运动到点速度大小
通过计算分析，甲乙丙三球谁先第一次到达点
若单独释放甲球从释放到第次经过点所经历的时间。
22.如图甲所示是一个单摆振动的情形，是它的平衡位置，、是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右方向运动为正方向。图乙所示是这个单摆的振动图象。根据图象回答：
单摆振动的频率是多大？
若当地的重力加速度为，试求这个摆的摆长是多少？
该单摆在某星球表面摆动时，测得完成次全振动所用的时间为。求：该星球表面的重力加速度
23.摆动是生活中常见的运动形式，秋千、钟摆的运动都是我们熟悉的摆动。摆的形状各异，却遵循着相似的规律。
如图所示，一个摆的摆长为，小球质量为，拉起小球使摆线与竖直方向夹角为时将小球由静止释放，忽略空气阻力。
求小球运动到最低点时绳对球的拉力的大小。
如图所示，当小球运动到摆线与竖直方向夹角为时，求此时小球的角速度大小。
如图所示，长为的轻杆，一端可绕固定在点的光滑轴承在竖直平面内转动，在距点为和处分别固定一个质量为、可看作质点的小球，忽略轻杆的质量和空气阻力。
将杆与小球组成的系统拉到与竖直方向成角的位置由静止释放，当系统向下运动到与竖直方向夹角为时，求此时系统的角速度大小。
若较小，系统的运动可看作简谐运动，对比和的表达式，参照单摆的周期公式，写出此系统做简谐运动的周期的表达式，并说明依据。
答案和解析
1. 【答案】D
【解析】做类单摆运动，周期为，第二次通过点的时间为，根据题意，解得。
故选D。
2. 【答案】B
【解析】木板做匀速运动，设振动周期为T，由图乙可得，可得，故选B。
3.【答案】
【解析】钢球小幅摆动，属于类单摆运动，
根据单摆周期公式，又，
联立解得。
故选C。
4.【答案】
【解析】小球每次经过最低点，传感器会达到峰值。根据乙图小球每次经过最低点的时间间隔是，为半个周期，所以单摆的周期为，选项错误；
结合单摆周期公式，得到，单摆的周期为所以重力加速度，选项正确；
单摆运动周期与振幅无关，选项错误
小球经过最低点时，速度最大，合力提供向心力，不为零，选项错误
5.【答案】
【解析】B.根据，可知两个小球做简谐振动的周期相同，、同时到达点，故B正确
A.释放瞬间，、在不同位置时都是支持力与重力沿半径方向的分力大小相等，而回复力由该点重力沿着切线方向的分力充当，设释放时与竖直方向的夹角为，可知释放瞬间的加速度为，由于角度不同，故加速度大小不同，故A错误
C.整个过程中，根据动能定理可知解得通过点时速度大小为，由于角度不同，故通过点时速度大小不相等，故C错误
D.、通过点时所受的回复力均为小球在该点重力沿着切线方向的分力，两小球质量不同，回复力不同，故 D错误。故选B。
6.【答案】
【解析】A. 在弹丸射入摆球的过程中动量守恒，所以有，由图乙可知，解得，故A错误
B. 摆球上摆过程机械能守恒，有，解得，故B错误
C. 由图乙可知单摆的周期为，由单摆周期公式有，解得，故C正确
D. 当摆球运动起来后，拉力大小变化的周期为单摆周期的一半，即，故D错误。
故选C。
7.【答案】
【解析】小球摆到点时受绳子拉力、重力、支持力、电场力、磁场力的合力提供向心力，A错误
由于，则与的大小相等，等效场的加速度为，代入周期公式可得，B错误
因洛伦兹力不做功，故连续两次通过点的速率相同，方向相反，洛伦兹力相反，分别有，，则，与其在最低点的动量大小成正比，C正确
带电小球在磁场中受力始终与速度方向垂直，不影响叠加场的加速度，也不影响单摆周期， D错误。
8.【答案】
【解析】B.根据单摆的周期公式 可知周期与摆角无关，故B错误；
同一根绳中，端拉力等于端拉力，平衡时对小球受力分析如图
可得
解得
故CD错误；
A.根据几何知识可知摆长为 ，故周期为 ，故A正确。
9.【答案】
【解析】、单摆做简谐运动时，是重力沿切线方向的分力提供回复力，而不是重力和绳的拉力的合力， A错误；
、由图乙可知，单摆的周期。末到末经过的时间为，的整数倍。根据简谐运动的对称性，这两个时刻小球的位置关于平衡们置不对称，所以势能和速度不相同， B错误；
、从到的过程中，摆球从最大位移处向平衡位置运动。设摆线与竖直方向夹角为，摆球速度为摆长为，根据牛顿第二定律，。此过程中减小，增大，增大，所以绳子拉力逐渐增大， C正确；
、根据单摆回复力公式为比例系数，为位移，从到的过程中，摆球从最大位移处先到平衡位置再到另一侧最大位移处，位移先减小后增大，所以回复力先减小后增大， D错误。
10.【答案】
【解析】A.小摆球运动中回复力是重力在垂直细线方向的分力，故A错误
B.摆球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律并结合图像可知，周期，故B错误
C.由单摆的周期公式，可知摆长，故C错误
D.在最低点时，摆球的速度最大，此时细线对摆球的拉力最大，根据牛顿第二定律得，解得最大速度，故D正确。故选D。
11.【答案】
【解析】A.由振动图像可知，甲、乙单摆的周期，，
根据单摆周期公式，
可知，故A错误
B.对乙单摆有，，
故，
由图可知，时刻，乙单摆的位移为，且向负方向运动，故乙单摆的振动方程为，故B正确
C.单摆的机械能与摆球的质量、振幅等因素有关，仅从振动图像无法判断两单摆小球的质量关系，所以不能比较机械能的大小，故 C错误
D.∽内，甲、乙摆球均从平衡位置向最高点运动，故甲、乙摆球的重力势能均增大，故 D错误。
故选B。
12.【答案】
【解析】A、甲的周期，，结合图像可得甲单摆的振动方程为，故A错误；
B、乙的周期为，为四分之一周期，振动的路程不一定为，故B错误；
C、甲乙周期之比为，根据可知摆长之比为，故C正确；
D、由，由于振幅之比为，摆长之比为，则最大摆角之比为，故D错误。故选C。
13. 【答案】B
【解析】杆线摆可看成以为摆长，以为等效加速度的单摆，其摆动周期：，
由上式可知周期与无关，、不变时，越大，周期越长；
，不变时，越大，周期越长；
、不变时，越大，周期不变；
改变，不变，则周期改变。
所以选B．
14.【答案】
【解析】A.小球摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，两侧最高点动能均为零，故重力势能也相等，故最大高度相同，即 、 两点高度相同， 、 两点的高度差等于 ，故A错误；
B.根据可得线速度一定时，向心加速度与半径成反比，因为碰到钉子前后小球圆周运动的半径之比为，向心加速度之比为：，故B错误；
C.小球的时间为：，小球的时间为：，故小球摆动的周期为：，故C正确；
D.根据，故绳子的拉力，则不能确定轻绳碰到钉子前后轻绳上的拉力大小之比，故D错误。
15.【答案】
【解析】A、摆钟在月球表面仍然可以工作，摆钟的分针转动一圈的时间约为，选项A错误
B、北极的重力加速度比北京的重力加速度大，根据知，将摆钟从北京带到北极，摆钟走时将变快，选项B正确
C、气温升高使摆杆略微伸长，摆钟走时将变慢，选项C错误
D、海南的重力加速度比北京的重力加速度小，将摆钟从北京带到海南，摆钟走时将变慢，需要将微调螺母向上调节，选项D错误。故选B。
16.【答案】
【解析】设单摆绳长为
对图，
对图，摆球静止在平衡位置时，绳上的拉力为，所以
故周期为：
由图可知，，，带入周期公式可得：
又
联立可得，，故D正确。
17.【答案】
【解析】、小球从摆到的时间为：，从到的时间为：，故小球第一次从到与第一次从到的时间之比为，
由对称性知小球的运动周期为：，即细线对小球的拉力大小随时间变化的周期为，AC正确；
B、小球第一次刚要到达点时绳的拉力，刚要离开点时绳的拉力，故拉力之比为，B错误；
D、小球在运动过程中，摆线的拉力不做功，只有重力做功，其机械能守恒，小球单摆左侧和右侧的高度相同，和两点在同一水平面上，而右侧的摆线长，故其摆角应小于左侧的摆角，即小球在段的振幅与段的振幅不相等，D错误。
18.【答案】
【解析】A.当摆球经过最低点时摆线拉力最大，相邻两次经过最低点的时间间隔为半个周期，由图像可知相邻两次拉力最大值的时间间隔为，即半个周期为，则单摆周期为，故A错误；
B.由周期公式 ，可知 ，故B正确；
C.由图可得，摆球运动到最低点时细线的拉力
由牛顿第二定律得：
由最高点到最低点的过程，根据机械能守恒定律得：
拉力最小值： ，故C正确；
D.单摆的周期与质量无关，所以周期不变，故D错误。
19.【答案】
【解析】根据图乙可知，小球做简谐运动的周期为，根据，解得，根据，可知细绳长度为，A正确，B错误
C.若只减小、两点之间的距离，单摆的摆长将变长，周期增大，C正确
D.若换一个质量更大的小球，其他条件不变，则小球做简谐运动的周期不变，D错误。
故选AC。
20.【答案】
【解析】A.小球在一个周期内两次经过最低点，球在最低点时绳子拉力最大，结合图乙可知单摆周期 ，故A正确；
B.根据单摆周期
联立以上解得摆长
故B错误；
分析可知球在最低点时速度最大，图乙可知绳子拉力最大值、最小值分别为 ，设小球质量为，小球在最低点时，由牛顿第二定律有
小球在最高点时，由牛顿第二定律有
小球从最高点到最低点，由动能定理得
联立以上解得
故C正确，D错误。故选 AC。
21.【【解析】设甲球质量为，根据题意可知甲球静止释放，运动到点过程中只有重力做功，由机械能守恒定律
解得甲球运动到点速度大小为
对于丙球，根据自由落体运动规律有
解得
对于甲乙两球可看成类似单摆的简谐运动，其运动周期为
甲乙两球第一次到达点时运动周期，则
丙球最先到达，甲乙同时到达。
根据题意可知甲球做简谐运动，运动一个周期经过两次点，第次经过点所经历的时间为
已知周期
解得
答：甲球运动到点速度大小为；
丙球先第一次到达点；
若单独释放甲球从释放到第次经过点所经历的时间是。
22.【解析】由图乙可知 ，则
由 ，得
完成次全振动所用的时间为，则周期
根据公式 得

23.【解析】 ， ； ， ，依据见解析
【详解】根据机械能守恒定律可得
在最低点根据牛顿第二定律
解得
根据机械能守恒定律可得
角速度为
联立解得
根据机械能守恒定律可得
其中
，
代入解得
此系统做简谐运动的周期为
对比 和 的表达式可得
可以表示系统运动过程中的任意位置对应的角度，可知两个系统在运动过程中任意位置的角速度大小均满足
因此
可得

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