沪教版五四制八年级数学上册 19.2 线段垂直平分线与角平分线教案（表格式）

线段垂直平分线与角平分线
教学目标
线段垂直平分线与角平分线概念与定理以及逆定理的理解与应用
重点、难点
线段垂直平分线与角平分线定理与逆定理的理解与应用
考点及考试要求
定理与逆定理的应用
教学内容
知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
几何语言：∵
CD是线段AB的垂直平分线
∴CA=CB定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：∵
CA=CB
∴
点C在线段AB的垂直平分线定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线相交于一点O，且OA＝OB＝OC.
定理的作用：证明三角形内的线段相等.4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
几何语言表示：∵
OE是∠AOB的平分线，CF⊥OA，DF⊥OB
∴CF＝DF.
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
几何语言表示：∵
PC⊥OA，PD⊥OB，
PC＝PD，∴点P在∠AOB的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.线段垂直平分线练习题例1　如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，求AC的长度例2已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点
E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=
2)
如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是
3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是
例3、已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC。
求证：点O在BC的垂直平分线
例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，求证：BD＝AC＋CD.证明：练习1、如图，AC=AD，BC=BD，则（
）A.CD垂直平分AD
B.AB垂直平分CD
C.CD平分∠ACB
D.以上结论均不对2、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（
）A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形3、下列命题中正确的命题有（
）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相
( http: / / www.21cnjy.com )等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个
B.2个
C.3个
D.4个4、已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.5、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.
求证：CM=2BM.
6、如图，在△ABC中，∠ABC=120°，点D是AB延长线和AC垂直平分线的交点。联接CD，这时BC恰好平分∠DCA。求∠A的度数。角平分线例题例1、已知：如图，点B、C在∠A的两边上，
( http: / / www.21cnjy.com )且AB=AC，P为∠A内一点，
PB=PC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分别是E、F。求证：PE=PF例2、如图10，已知在四边形ABCD中，A
( http: / / www.21cnjy.com )B∥CD，AB⊥BC，EF⊥AD，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.例3、如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证：D到AB、AC的距离相等.
练习1、
△ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。2、
如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。3、三角形中到三边距离相等的点是（　　）A、三条边的垂直平分线的交点
B、三条高的交点　C、三条中线的交点　
D、三条角平分线的交点4、如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（　　）A、PD＝PE　
　B、OD＝OE　
　C、∠DPO＝∠EPO　
　D、PD＝OD5、如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A、4处　　
B、3处　　
C、2处　　　D、1处6、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（　　）
A、4㎝　
　B、6㎝　
　C、10㎝　
　D、不能确定
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第4题
第5题
第6题
7、如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是（　）A、TQ＝PQ　　B、∠MQT＝∠MQP　　C、∠QTN＝90°　　D、∠NQT＝∠MQT
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第7题
第8题
第9题8、如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3
cm，那么AE+DE等于(
)
A．2
cm
B．3
cm
C．4
cm
D．5
cm
9、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（
）A．①
B．②
C．①和②
D．①②③10、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC.12、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.家庭作业：一、选择题1．如图1，在△ABC中，AD平分∠CAE，∠B=，∠CAD=，则∠ACD等于
（
）A．
B．
C．　
D．
2．如图2，在△ABD中，AD=4，AB=3，AC平分∠BAD，则=
（
）A．
B．
C．　
D．不能确定3．如图3，在△ABC中，∠C=，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB。其中正确的有
（
）A．2个
B．3个
C．4个　
D．1个4．如图4，AD∥BC，∠D=，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关系是
（
）A．PD>PC
B．PDC．PD=PC
D．无法判断。5、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是
（
）A、三角形三条角平分线的交点；B、三角形三条垂直平分线的交点；C、三角形三条中线的交点；D、三角形三条高的交点。6、已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为
（
）A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不能确定7、如图所示，在△ABC中
( http: / / www.21cnjy.com )，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，F在BC上，并且BF＝AB，则下列四个结论：①EF∥AC，②∠EFB＝∠BAD，③AE＝EF，④△ABE≌△FBE，其中正确的结论有
（　
）A、①②③④　　　　　B、①③　　　　　C、②④　　　　　D、②③④7题图
8题图
9题图8、如图所示，在中，∠C＝90°，
AC＝4㎝，AB＝7㎝，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，则EB的长是
（
　　）A、3㎝　　　　B、4㎝　　　　　C、5㎝　　　　D、不能确定9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐
( http: / / www.21cnjy.com )步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（　　　）处。A、1　　　B、2　　　　C、3　　　　　　D、410、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的
（　　
）Ａ．三条中线的交点
Ｂ．三条高的交点Ｃ．三条边的垂直平分线的交点
Ｄ．三条角平分线的交点二、填空题。1、如图，点在的平分线上，若使，则需添加的一个条件是
（只写一个即可，不添加辅助线）：2、如图，△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，BC＝8则则△EAG的周长=
。3、如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，则△BCD的周长是
。
第2题
第3题
4.
如图，在中，，平分，，那么点到直线的距离是　　　　　　cm．5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，若BD=10，则CD=
6．如图，△ABC中，AB=AC，
( http: / / www.21cnjy.com )DE是AB的垂直平分线，
AB=8，BC=4，∠A=36°，则∠DBC=
，△BDC的周长C△BDC
=
．7．如图，∠1=50°，∠2=80°，DB=AB，CE=CA，则∠D=
，∠DAE=
．8．如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则S：S：S等于______.三、解答题1．如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的长．2．已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA
，ED⊥OB
，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD=∠EDC
；（2）OE是CD的垂直平分线
B
C
D
E
A
B
N
A
B
C
O
图3
图4
图1
图2
1题
第8题
D
E
C
B
A
O