八年级数学上册 18.1 正比例函数的图像和性质教案 沪教版五四制

正比例函数的图像和性质
知识精要
1.正比例函数的图像
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k）的图像是经过原点O(0,0)和点M（1，k）的一条直线。我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx。
2.正比例函数性质
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精讲名题
例1.若函数y=(m-1)
是正比例函数，则m=
,函数的图像经过
象限。
解:m=4,图像经过第一、三象限。
例2.已知y-1与2x成正比例，当x=-1时，y=5,求y与x的函数解析式。
解：∵y-1与2x成正比例∴设y-1=k·2x
（k）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴y-1=-2·2x∴y=-4x+1
例3.已知y与x的正比例函数，且当x=6时y=-2
(1)求出这个函数的解析式；
(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；
(3)如果点P（a，4）在这个函数的图像上，求a的值；
(4)试问，点A（-6，2）关于原点对称的点B是否也在这个图像上？
解：(1)
设y=k·x
（k）当x=6时，y=-2∴-2=6k∴∴这个函数的解析式为
(2)
的定义域是一切实数，图像如图所示：
(3)如果点P（a，4）在这个函数的图像上，∴，∴a=-12
(4)点A（-6，2）关于原点对称的点B的坐标（6，-2），
当x=6时，y=
因此，点B也在直线上
例4.已知点()，()在正比例函数y=(k-2)x的图像上，当时，，那么k的取值范围是多少？
解：由题意，得函数y随x的值增大而减小，
∴k-2<0,∴k<2
例5.（1）已知y=ax是经过第二、四象限的直线，且在实数范围内有意义，求a的取值范围。
（2）已知函数y=(2m+1)x的值随自变量x的值增大而增大，且函数y=(3m+1)x的值随自变量x的增大而减小，求m的取值范围。
解：（1）根据题意得a<0,a+3≥0
∴-3≤a<0
(2)
根据题意得2m+1>0,3m+1<0
解得-1/2例6.已知正比例函数过A(2，-4),点P在此正比例函数的图像上，若直角坐标平面内另有一点B（0,4），且，求：点P的坐标。
解：设正比例函数解析式为y=k·x
（k）
已知正比例函数过A(2，-4)
∴-4=2k，解得k=-2,
∴正比例函数的解析式为y=-2x
如图所示，画出直线y=-2x，并标出A，B两点的位置，
分析题意，点P的坐标要分两种情况讨论。
设点P的坐标为(x,，-2x)
1）若点P在第二象限，则
根据题意，得8=
8=
解得=2
又点P在第二象限，∴=-2
∴点P的坐标为(-2，4)
2）若点P在第二象限，则
根据题意，得8=
解得=6
又点P在第四象限，∴=6
∴点P的坐标为(6，-12)
∴在正比例函数图像上适合条件的P点有两个：(-2，4)，(6，-12)
热身练习
1．下列关系中的两个量成正比例的是（
C
）
A．从甲地到乙地，所用的时间和速度；
B．正方形的面积与边长
C．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；D．人的体重与身高
2．下列函数中，y是x的正比例函数的是（
C
）
A．y=4x+1
B．y=2x2
C．y=-x
D．y=
3．下列说法中不成立的是（D
）
A．在y=3x-1中y+1与x成正比例；
B．在y=-中y与x成正比例
C．在y=2（x+1）中y与x+1成正比例；
D．在y=x+3中y与x成正比例
4．若函数y=（2m+6）x2+（1-m）x是正比例函数，则m的值是（
A
）
A．m=-3
B．m=1
C．m=3
D．m>-3
5．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1>x2，则y1与y2的大小关系是（B
）
A．y1>y2
B．y1C．y1=y2
D．以上都有可能
6．下列函数中，正比例函数是：（　D　）
A．
B．－1
C．
D．
7．形如___y=kx(k)________的函数是正比例函数．
8．若x、y是变量，且函数y=（k+1）xk2是正比例函数，则k=___1______．
9．正比例函数y=kx（k为常数，k<0）的图象依次经过第__二、四______象限，函数值随自变量的增大而___减小______．
10．已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x=___-3_____．
11．已知是正比例函数，则m
=
3
．
12．函数，当m=
0
，n=
0
时为正比例函数；
自我测试
1．已知y是x的正比例函数，且当x=时，y=2，求y与x之间的比例系数，写出函数解析式，并求当y=时，x的值。
解：∵y是x的正比例函数，设函数解析式为y=kx(k≠0)
∵当x=时，y=k=2
，解得k=
∴函数解析式为y=x
当y=时，即x=，解得x=.
2．已知正比例函数y=(5-2k)x的图像经过第二、四象限，求k的取值范围。
解：∵正比例函数y=(5-2k)x的图像经过第二、四象限
∴5-2k<0，解得
3.已知2y-3与4x+5成正比例，且当x=1时，y=15，求y与x的函数关系式。
解：∵2y-3与4x+5成正比例
设解析式为
2y-3=k(4x+5)
(k≠0)
将x=1，y=15代入解析式，得2×15-3=（4×1+5）k,解得k=3
∴解析式为2y-3=3×(4x+5)
，即y=6x+9
4.函数y=(k-2)是正比例函数，且y的值随着x的减小而增大，求k的值。
解：∵函数y=(k-2)是正比例函数，
∴k-2≠0且（k-2）2=1,解得k=3
或
k=1
∵y的值随着x的减小而增大
∴
k-2<0，解得k<2
∴k=1
5.已知y=(k-2)x++k-6为正比例函数。
求k的值及函数解析式
当x取什么值时，函数的值为
解：(1)∵y=(k-2)x++k-6为正比例函数∴，解得k=-3∴函数解析式为y=
-5x
∵y=
-5x=
，解得x=
6.一个正比例函数的图像经过点A（-1，3），B(-a，-a-1)，求a的值。
解：设正比例函数的解析式为
y=kx
(k≠0)
∵函数的图像经过点A（-1，3），B(-a，-a-1)
代入解析式，得到
解得k=
-3，a=
∴a的值为
7.已知点P（2a，3b）且a与b互为相反数，过点P作y轴的垂线，垂足为点H；如果。
求：(1)直线OP的解析式；(2)点P的坐标。
解：∵点P（2a，3b）且a与b互为相反数
∴点P也可表示为（2a,-3a），点P在第二或第四象限（如图）
∵
∴∣2a∣ ∣-3a∣=15，解得a=±
点P坐标为（2，-3）或（-2，3）
设直线OP解析式为y=kx（k≠0），将点P坐标带入，解得k=-
∴直线OP解析式为y=-x
8.点燃的蜡烛，长度按照与时间成正比例缩
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cm，求y的函数解析式和x的取值范围。
解：∵y与x成正比例，设y与x的函数解析式为y=kx
(k≠0)
根据题意，将x=6，y=3.6代入解析式，得
k==
∴函数解析式为y=x
∵y≤21，∴x≤35
∵x≥0，∴x的取值范围是0≤x≤35.
9.已知正比例函数图像过点（-2,5），过图像上一点A作y轴的垂线，垂足为B的坐标为（0，-3）；
（1）求函数解析式
（2）在直角坐标平面内画出函数图像；
（3）求A点坐标及
解：(1)设正比例函数解析式为y=kx(k≠0)
将（-2，5）代入解析式，解得k=
∴函数解析式为y=x
(2)函数图像见图：
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(3)将y=-3代入解析式，得x=,∴A点坐标（，-3）=××3=
10.已知直线y=kx过点（，3），A为y=kx图像上的一点，过点A向x轴引垂线，垂足为点B，=5
(1)
求函数解析式
(2)
在直角坐标平面内画出函数图像；
(3)
求A点、B点的坐标。
解：(1)
设正比例函数解析式为y=kx(k≠0)
将（，3）代入解析式，解得k=∴函数解析式为y=x
(2)函数图像见下图：
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(3)
∵=5，∴，即，解得xA=±
∴A（，），B（，0）或A（－，），B（－，0）
11.已知在正比例函数f(x)=(2m-3)中，y随x的值减小而减小。
（1）求m的值；
（2）求f();
（3）在直角坐标平面内画出函数图像，并根据图像说明，当x取何值时，
解：(1)∵f(x)=(2m-3)为正比例函数∴2m2-7=1且2m-3≠0解得m=±2
∵y随x的值减小而减小∴2m-3>0,解得m>1.5∴m=2,函数解析式为f(x)=x
将x=代入解析式，得
f()=
函数图像：
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由函数图象可知，当x≤-2时，y≤-2