福建省龙岩第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试卷（图片版，含答案）

龙岩一中2024-2025 学年下学期高一数学第二次月考试卷
考试时间：120 分钟，共 150 分
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
2
1．已知复数 z = ，则（ ）
1+ i
A． z 的实部为 -1 B． z 的虚部为 i
C． z = 2 D． z =1- i
2．已知一组数据为 20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第 60 百分位数和众数的大小关系是（ ）
A．平均数>第 60 百分位数>众数 B．平均数<第 60 百分位数<众数
C．第 60 百分位数<众数<平均数 D．平均数=第 60 百分位数=众数
r r r r r r r r r r
3．已知向量a ，b 满足 a - b = a ×b = 2， a - b = 10 ，则 cos a,b = （ ）
2 2 4
A． B 1． 2 C． D．5 3 5
π
4．已知VABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c， A = ，b = 4 ，下面使得VABC 有两组解的 a的值可以为
3
（ ）
A．3 B． 13 C．2 D．3 3
5．设 m，n 是两条不同的直线，a , b 是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若m / /a ,n ^ b ,m ^ n ，则a ^ b
B．若m / /a ,m ^ b ，则a ^ b
C．若m ^ n, m a , n b ，则a ^ b
D．若m ^ a , n b , m ^ n，则a ^ b
6．如图，VA O B 是由斜二测画法得到的VAOB 水平放置的直观图，其中O A = O B = 2 ，点C 为线段 A B 的中点，C
对应原图中的点C ，则在原图中下列说法正确的是（ ）
uuur uuur
A．OC × AB = 0 B．VAOB 的面积为 2
uuur uuur uuur uuur 5 uuurC．OC 在OB上的投影向量为 2OB D．与 AB 同向的单位向量为 AB
10
7．如图，在棱长为 4 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，M 为棱DD1的中点， N 为棱BC1的中点，设直线 A1D1与平面MNC
交于点Q，则D1Q =（ ）
3
A．2 B． C．1 D 1．
2 2
8．已知 5 名篮球运动员在某场比赛中的得分均为个位数，且平均数、中位数和极差均为 6，则当方差取最大值时，这组
得分的第 60 百分位数是（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.）
9．下列说法中正确的是（
r ）r r r rA r．已知向量 a，b，c ，若 ar/ / b，b / / cr ，则 a / /cr
B r
r r r
．已知非零向量 a，b “ ar， ^ b ” “ ar是 × b = 0 ”的充要条件
uuur uuur uuur
C．若 A，B，P是直线 l上不同的三点，点O在直线 l外，OP = mAP + m - 2 OB m R m 3，那么 =
2
r r r rD．已知非零向量 a，b r，“ a ×b > 0 ”是“ ar，b 夹角为锐角”的必要不充分条件
10．如图，在棱长为 4 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E 为 AA1的中点，F 为 AE 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 CE与 A1C1为异面直线 B．CE / /平面BDF
C．三棱锥 E - ABD外接球的体积为 36p D 5 3．二面角 F - BD - E 的余弦值为
9
11．如图，在VABC 中，已知 AB = 4, AC =10, BAC = 60 o，BC 边上的中点为M，AC 边上的中点为 N , AM 、BN 相交
于点 P ，则下列结论正确的是（ ）
A BC 2 19 B VABC 7 - 19． = ． 的内切圆的半径为
3
uuuur uuur
C 4 91． AM 与BN 夹角的余弦值为
91
uuur uuur é 16 ù
D．过点 P 作直线交线段 AB 和BC 于点EF ，则BE × BF 的取值范围是 ê-2, - 9 ú
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12．某学校师生共有 3000 人，现用分层抽样方法抽取一个容量为 225 的样本，已知样本中教师人数为 15 人，则该校学
生人数为 ．
13．在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，AC ^ BC ，AC = BC = AA1 = 2，动点 P 在棱 B1C1 上，则点 P 到平面 A1BC 的距离为 ．
14．在VABC 中， AB = 2AC, D 为边BC 的中点， A的平分线交BC 于点E ，若VADE 的面积为 1，则VABC 的面积
为 ，DE 的最小值为 .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知 z
z 1 m
是复数， z + 2i 和 均为实数， z1 = z + - i，其中 i是虚数单位.1- i m m -1
(1)求复数 z 的共轭复数 z ;
(2)若复数 z1 在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.
16．随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企
业持续关注． 某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在 60,80 的老年人的年收入按年龄 60,70 ， 70,80
分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在 60,70 的老年人500人． 年龄在 70,80 的老年人300人．现作出年龄
在 60,70 的老年人年收入的频率分布直方图（如图所示）：
(1)根据频率分布直方图，若每个区间取中点值为代表，估计该地年龄在 60,70 的老年人年收入的平均数及第 95百分位
数；
(2)已知年龄在 60,70 的老年人年收入的方差为3，年龄在 70,80 的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试
估计年龄在 60,80 的老年人年收入的方差．
r
17．在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且向量m = 3a - b，a - c nr， = sinA r r+ sinC，sinB ，m / /n .
(1)求角 C ；
(2)若 VABC 的面积为 3，sinB =1+ cosA，点D为边 AC 的中点，求BD的长.
18．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点．现将VADE 沿 DE 折起，得到四棱锥 A - BCDE ．
(1)证明：BF // 平面 ADE；
(2)当VACD为等边三角形时，证明：平面 AEF ^ 平面 BCDE；
(3)在（2）的条件下，求二面角 A - DE - C 的余弦值．
19．如图，在三棱锥 A - BCD中，侧面 ABC 和底面BCD均为正三角形，且 AB = 2, AD = 3．
(1)求证：BC ^ AD ；
(2)已知 P 在棱 AD 上（不含端点）且 AP = l AD，
l 1（ⅰ）若 = ，求二面角P - BC - D 的大小；
2
3
（ⅱ）若直线 AC 与平面PBC 所成角的正弦值为 ，求实数l 的值．
4
龙岩一中2024-2025 学年下学期高一数学第二次月考参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D A B B D C D BD BCD ACD
12．2800 13． 2 14． 6
2
2
z 2 2(1- i)1．C = = = 1- i ,则 z1 i (1 i)(1 i) 的实部为 1，虚部为-1， z = 2 ， z =1+ i .+ + -
1
2．D 平均数为 20 + 30 + 40 + 50 + 50 + 60 + 70 + 80 = 50，Q8 60% = 4.8，\第 5 个数 50 即为第 60 百分位数.众数为
8
50，\它们的大小关系是平均数=第 60 百分位数=众数.
r r 2 r 2 r 2 r r r 2 r 2 r r 2 r 2 r 2 r r r r
3．A a - b = a + b - 2a ×b =10 ，\ a + b =14，Q a - b = a + b - 2 a b = 4，\ a b = 5，
r r r r
cos a,b ar ×b\ = r
2
=
a b 5 ．
a b sin B bsin A sin B bsin A4．B 由题意，根据正弦定理有 = ，所以 = ，要使VABC 有两组解，则 = <1，且 a < b ，
sin A sin B a a
即bsin A
π
< a < b ，即 4sin < a < 4，即 2 3 < a < 4，所以选项所给四个数据中只有 13 符合，3
5．B 6．D
7．C 在平面CDD1C1 中，延长CM 交C1D1于 P，连接PN ，交 A1D1于 Q，在VPCC1中，D1M //CC1, D1M =
1 CC
2 1
,则
D1P=C1D1,
1 1
又在△PC1N 中，D1Q//NC1, D1P=C1D1,则D1Q= NC1 = B C =1 .2 4 1 1
8．D 因为这组得分的中位数和极差均为 6，可设这组得分从小到大分别为 a, x,6, y, a + 6 0 a 3 ，因为平均数为 6，可
得 x + y =18 - 2a又因为 x 6 ， y a + 6，所以 x + y a +12，所以18 - 2a a +12，所以 a 2，故 2 a 3 .
当 a = 2时，这组得分分别为 2，6，6，8，8.方差：
(2 - 6)2 + (6 - 6)2 + (6 - 6)2 + (8 - 6)2 + (8 - 6)2 16 + 0 + 0 + 4 + 4 24
= = = 4.8
5 5 5
当 a = 3时，要使方差最大，则 x 取最小值 3， y 取最大值 9，这组得分分别为 3，3，6，9，9，
1
: [(3 - 6)2方差 + (3 - 6)2 + (6 - 6)2 + (9 - 6)2 + 9 36- 6)2 ù = = 7.2，此时方差最大.5 5
又由5 60% = 3，所以方差最大时的这组得分的第 60 百分位数是 6 和 9 的平均数 7.5.
9．BD 10．BCD
11 ACD A VABC AB 4 AC =10 1 16 +100 - BC
2
． 对于 ，在 中，且 = ， ，由余弦定理得 = ，解得BC = 2 19 ，(负根舍去)，
2 2 4 10
1 1
则 A 正确；对于 B，设VABC 的内切圆的半径为 r ，则 C
2 VABC
r = AB AC sin A，即C r = AB AC sin A，
2 VABC
即 (2 19 + 4 +10)r = 4 3 7 3 - 57 10 ，解得 r = ，故 B 错误；对于 C，如图所示，
2 3
以A 为原点，建立平面直角坐标系，易知 A(0,0)，C(10,0)，设B(x, y) ，
由两点间距离公式得 x2 + y2 =16， (x -10)2 + y2 = 76，解得 x = 2， y = 2 3 ，(负根舍去)，
uuuur uuur uuuur uuur
故B(2, 2 3)，由中点坐标公式得 N (5, 0) ，M (6, 3)，故 AM = (6, 3) ，BN = (3, -2 3) ，设 AM 与BN 的夹角为q ，
故 cosq
18 - 6 12 4 91
= = =
39 21 91 ，故 C 正确；对于 D，易知由于BC 边上的中点为M ，AC 边上36 + ( 3)2 9 + (-2 3)2
BP 2 BE BF
的中点为 N ，而 P 是VABC 两条中线的交点，故 P 是VABC 的重心，所以 = ，设 = p， = q，
BN 3 BA BC
uuur
BP 2
uuur
BN 1
uuur uuur
(BA BC) 1 ( 1
uuur 1 uuur 1 1 1 1 1
= = + = BE + BF )
3 3 3 p q ，由于 P 在直线EF 上，所以
( + ) =1 + = 3
3 p q ，即 p q ，
1 1 2
0 < p 1,0 q 1< 1 1 = 3- 2 1 3 1 9 1 3 9而 ，所以 p ， p q ，故得 - ÷ = - - ÷ ，p è p 4 è p 2 4
2 1 1 4 1 1 1
1 3 1 9 1 3 9 1
2 pq = = pq = =
- = - - -
= 2，所以 1 1 1 1 9 ， 1 1 1 1 2 ，
p è p
÷ 4 p 2 ÷ è 4

è 2 ÷ ÷ 3- ÷ ÷ 3-è p q
÷
p è p è p q p è p
1
S BE BF sin ABC
故得 VBEF 2
p AB q BC pq 4 1= 1 = =
é , ùê ú，则SVABC sin ABC AB BC AB BC 9 2
2
BE BF pq BE BF
é ù 2 2 2
= = pq é 4 , 1 ùê ú BE
32 19
BF AB + BC - AC 19ê , 4 19 ú cos B = = - ，BA BC 4 2 19 9 2 9 2AB BC 38
uuur uuur uuur uuur 19 uuur uuur é32 19 ù uuur uuur uuur uuurBE × BF =| BE | × | BF | cos B = - | BE | × | BF |由于BE BF ê , 4 19 19，则9 ú BE × BF = - | BE | × | BF | [ 2,
16
- - ]，
38 38 9
则 D 正确，
12．2800 13． 2
14． 6 2 在VABC 中，设 A, B,C 对应的边分别为 a,b,c，
2
a
因为D为BC 的中点，所以DC = .因为 AE 为 BAC 的平分线， AB = 2AC ，
2
AB BE
所以 = = 2， EC
BE a
= = ，所以DE = DC - EC
a 1
= ，因为 S
AC EC 2 3 6 VADE
= S =1，所以 S
6 VABC VABC
= 6 .
ì1 ì 2
24
bcsinA = 6,
b = ,

VABC 2 sinAí í a2 b2 c2 2bccosA
24 6 24cosA 30 - 24cosA
在 中， ，所以 ，因为 = + - = + - =
b = 2c c2 6= sinA sinA sinA sinA sinA
30 2 A 2 A sin + cos ÷ - 24 cos
2 A - sin2 A ÷
= è 2 2 è 2 2 A 3
A 1
A A = 27tan + A 18，当且仅当
tan = 时，等号成立，所以 a 3 2 ，所
2sin cos 2 tan 2 3
2 2 2
2
以DE .
2
15．（1）设 z = a + bi(a,b R)，则 z + 2i = a + (b + 2)i ，Q z + 2i为实数，\b + 2 = 0 ，解得b = -2，………2 分
z a - 2i (a - 2i)(1+ i) a + 2 a - 2
\ = = = + i a - 2\ = 0
1- i 1- i (1+ i)(1- i) 2 2 为实数， ，解得 a = 2 ………4 分，2
\ z = 2 - 2i，\ z = 2 + 2i；………5 分
1 m 1 m 2m +1 3m - 2
（2）由（1）可知， z1 = z + - i = 2 + -

2 +

÷ i = - i，………8 分m m -1 m è m -1 m m -1
ì2m +1
> 0
Q复数 z
m
1 在复平面内对应的点在第一象限，\í 3m 2 ………10 分 -- > 0
m -1
2
< m <1 m
2
解得 ，故实数 的取值范围为 ,1÷ .……13 分3 è 3
16．（1）平均数为 2 0.04 + 3 0.08 + 4 0.18 + 5 0.26 + 6 0.20 + 7 0.15 + 8 0.05 + 9 0.04 = 5.35 .………3 分
而由于0.04 + 0.08 + 0.18 + 0.26 + 0.20 + 0.15 = 0.91< 0.95，
0.04 + 0.08 + 0.18 + 0.26 + 0.20 + 0.15 + 0.05 = 0.96 > 0.95，
故第95百分位数在区间第95百分位数内，设其为7.5 + x 0 < x <1 .
则0.04 + 0.08 + 0.18 + 0.26 + 0.20 + 0.15 + 0.05x = 0.95，得 x = 0.8 .
所以第95百分位数为7.5 + 0.8 = 8.3 .………7 分
（2）代入数值即知所求方差为
s 2 500 3+ 300 1.4 500 5.35
2 + 300 3.752 500 5.35 + 300 3.75
2
= + - = 3………15 分
500 + 300 500 + 300 è 500 + 300 ÷
r r
17．（1）因为 m // n，所以 3a - b sinB - a - c sinA + sinC = 0，由正弦定理得 a 2+ b 2- c 2= 3ab，
a2 + b2 - c2 3
由余弦定理得 cosC = = 因为C 0, π π，所以C = .………6 分
2ab 2 6
（2）因为 sinB 1 5π 3 1= + cosA，所以 sinB =1+ cos - B ÷ =1- cosB + sinB
1 3
，则 sinB + cosB =1
è 6 2 2 2 2
即 sin

B
π
+ ÷ =1 0 B
5π π B π 7π B π π< < < + < + = π，又 ，所以 ，则 ，所以 B = .6 ………9è 3
分
6 3 3 6 3 2
故b = c A
2π
= . S 1， 所以 = bcsinA 3= b2VABC = 3 ，所以b = c = 2 .在 △ABD 中，由余弦定理可得3 2 4
BD2 = AB2 + AD2 - 2AB × AD cos 2π 22 12 2 2 1 ( 1× = + - - )2 = 7，
3 2
即BD = 7 ..………15 分
18．（1）在正方形 ABCD中，点E ，F 分别是 AB ，CD的中点，所以BE / /FD，且BE = FD，故四边形BEDF 为平行四
边形，于是BF / /ED.在四棱锥 A - BCDE 中，BF 平面 ADE ，ED 平面 ADE ，所以BF // 平面 ADE ；………3 分
（2）当VACD为正三角形时，因为点F 是CD的中点，所以 AF ^ CD ，
在正方形 ABCD中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，故EF ^ CD
又 AFIEF = F ， AF 平面 AEF ，EF 平面 AEF ，故CD ^平面 AEF ，
因为CD 平面BCDE ，所以平面 AEF ^ 平面BCDE ；………7 分
（3）在四棱锥 A - BCDE 中，过点A 作 AO ^ EF 于点O，过点O作OG ^ DE 于点G ，连接 AG .
a
在正方形 ABCD中，令 BC = a，则 AE = ， EF = a .因为VACD为等边三角形，点F 为CD的中点，
2
AF 3所以 = a ，从而 AE 2 + AF 2 = EF 2 ，即 AE ^ AF 由（2）知，平面 AEF ^ 平面BCDE ，平面 AEF 平面
2
BCDE = EF , AO ^ EF ， AO 平面 AEF ，故 AO ^ 平面BCDE ，从而 AO ^ DE .又OG ^ DE, AO OG = O, AO 平面
AOG,OG 平面 AOG ，故DE ^平面 AOG ，而 AG 平面 AOG ，故DE ^ AG ，
所以 AGO 为二面角 A - DE - C 的平面角………10 分
a 3
.在Rt△EAF 中， AO AE × AF
× a 3 1 a
= = 2 2 = a,OE = AE = .
EF a 4 2 4
a a
2 OG DF OE × DF × a
在Rt△DEF 中，EF ^ DF , DE = a2 a 5+ = a ，因为OG ^ DE ，所以 = ，于是OG = = 4 2 = ，
4 2 OE DE DE 5 a 4 5
2
a
3a2 a2 a OG 1
从而在Rt△ AOG 中， AG = AO2 + OG2 = + = ，故 cos AGO = = 4 5 = ，
16 80 5 AG a 4
5
因此，二面角 A - DE
1
- C 的余弦值为 . ………17 分
4
19．（1）（1）取BC 的中点O，连接 AO,OD ，因为侧面 ABC 和底面BCD均为正三角形，所以 AO ^ BC,OD ^ BC ，
又 AO IOD = O, AO,OD 平面 AOD，所以BC ^平面 AOD，
又 AD 平面 AOD，所以BC ^ AD ；………3 分
1
（2）（ⅰ）连接OP ，由l = ，所以 P 为 AD 的中点，由（1）可知BC ^平面 AOD，又OP 平面 AOD，所以
2
BC ^ OP．
所以 POD是二面角P - BC - D 的平面角，
又侧面 ABC 和底面BCD均为正三角形， AB = 2 ，所以OA = OD = 3 ，
所以OP 平分 AOD ，又 AD = 3，
2 2 2
在△AOD AO + OD - AD 3 + 3 - 9 1中，由余弦定理可得cos AOD = = = - ，
2AO ×OD 2 3 2
所以 AOD =120°，所以 POD = 60°，所以二面角P - BC - D 的大小为60°；………7 分
（ⅱ）因为 AC = 2 3 3，又直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ，所以A 与平面PBC 的距离为 ，
4 2
由（ⅰ）可得 PAO = 30°，由题意，可得 AP = 3l ，
在VAOP 出，由余弦定理可得：
OP 3= AP2 + AO2 - 2AO AP cos30° = 3 + 9l 2 - 2 3 3l = 3 + 9l 2 - 9l ，………10 分
2
由VA-BCP = VC-OPA +VB-OPA ，
1 1 2 3 9l 2 9l 3 1 1可得 + - = 3 3l sin 30° 2，
3 2 2 3 2
1
解得l = ．………17 分
3