2025年中考数学复习专练：第十五章 解直角三角形（含答案）

第十五章 解直角三角形
1.[2023·四川攀枝花]在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,c=10,则 cos A的值为 ( )
A. B. C. D.
2.[2023·广东深圳]若爬坡时坡面与水平面的夹角为α,则每爬1m耗能(1.025-cosα)J.如图,已知某人爬了1 000 m,坡角为 30°，则他耗能约为(参考数据： ( )
A.58 J B.159 J
C.1 025 J D.1732 J
3.[2023·湖南益阳]如图，在平面直角坐标系中,点A(0,1),B(4,1),C(5,6),则sin∠BAC= ( )
A.
4.[2023·湖北十堰]如图所示，有一天桥的高AB为5m，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB=45°.市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D 处，使∠D=30°,则 CD 的长度约为(参考数据： ( )
A.1.59m B.2.07m
C.3.55m D.3.66m
5.[2024·广东深圳]如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测角仪EF测得顶端A 的仰角为45°，小军在小明的前面 5 m处用高 1.5 m的测角仪CD测得顶端A 的仰角为53°，则电子厂AB的高度约为(参考数据： ( )
A.22.7m B.22.4m
C.21.2m D.23.0m
6.[2023·浙江杭州]第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE，△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形 EFGH 拼成的大正方形ABCD中,∠ABF> ∠BAF, 连 接 BE. 设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形 EFGH与正方形 ABCD 的面积之比为1：n， 则n= ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
7.[2023·广西]如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和 3m 高的支柱，则共需钢材约 m.(结果取整数，参考数据：
8.[2023·四川内江]在△ABC 中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足 则sin B 的值为 .
9.[2023·山东枣庄]如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易地把水提升至所需处.已知杠杆AB=6m,AO:OB=2:1,支架OM⊥EF,OM=3m,AB 可以绕着点O自由旋转.当点 A 旋转到如图所示的位置时,∠AOM=45°,此时点 B 到水平地面EF 的距离为 m.(结果保留根号)
10.[2023·湖北黄冈]综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图，无人机从地面CD的中点A 处竖直上升30m到达 B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F 的俯角为30°.已知博雅楼的高CE为15 m,则尚美楼的高 DF 为 m.(结果保留根号)
11.[2023·重庆 A 卷]为了满足市民的需求，我市在一条小河AB 的两侧开辟了两条长跑锻炼线路.如图，线路①：A-D-C--B;线路②:A-E--B.经勘测,点 B 在点 A 的正东方向，点C 在点 B的正北方向 10 km处,点 D 在点 C 的正西方向 14 km处,点 D 在点A 的北偏东45°方向，点E在点A 的正南方向，点E在点B 的南偏西60°方向.(参考数据：
(1)求AD 的长(结果精确到1 km);
(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短的线路进行锻炼，请通过计算说明他应该选择线路①还是线路②.
12.[2023·四川凉山州]超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的C，E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且点A，D，B，F在同一条直线上.已知点C，E到AB 的距离分别为CD,EF,且CD=EF=7m,CE=895m,在C处测得点A 的俯角为30°,在E处测得点B 的俯角为45°，小型汽车从点 A 行驶到点 B 所用的时间为45 s.
(1)求A，B两点之间的距离(结果精确到1m);
(2)若该隧道限速80 km/h,判断小型汽车从点A 行驶到点B 是否超速，并通过计算说明理由.(参考数据：
13.[2022·湖南张家界]阅读下面的材料：在△ABC中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为a,b,c,求证:
证明:如图1,过点 C作CD⊥AB 于点D.
在Rt△BCD中,CD= asin B,在Rt△ACD中,CD=bsinA,
∴asin B= bsin A,
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2,在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a，b，c，求证：
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境.如图3，规划中的一片三角形区域需要美化，已知∠A=67°,∠B=53°,AC=80m,求这片三角形区域的面积.(结果保留根号，参考数据：s
1. C ∵a=6,b=8,c=10,∴a +b =c ,
∴△ABC是直角三角形,∠C=90°,
2. B 由题意,得 1 000×(1.025--cos 30°)=
3. C 如图,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D.
∵A(0,1),B(4,1),C(5,6),∴D(5,1),
∴CD=6-1=5,AD=5,∴AC=5
4. D 在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=45°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,∴AC=AB=5m.
在 Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠D=30°,
3.66(m).
5. A由题意,得EF=BM=1.8m,CD=BN=1.5m,DF=5m,EM=BF,BD=CN,EM⊥AB,CN⊥AB.设BD=CN= xm,
∴EM=BF=DF+BD=(x+5)m.
在 Rt△AEM中,∠AEM=45°,
在Rt△ACN中,∠ACN=53°,
∵AM+BM=AN+BN=AB,
解得x=15.9,
∴AB=AN+BN=21.2+1.5=22.7(m),
∴电子厂AB的高度约为22.7 m.
6. C 设AE=a,DE=b,则BF=a,AF=b.
7.21 由题意,得CA=CB,CD⊥AB,
在Rt△ACD中,∠CAD=37°,CD=3m,
∴CA=CB=5m,AB=2AD=8m,
∴共需钢材约AC+CB+AB+CD=5+5+8+3=21(m).
∴a-6=0,c-10=0,b-8=0,
∴a=6,c=10,b=8.
∴△ABC是直角三角形,∠C=90°,
如图,过点O作OC⊥BT,垂足为C .
由题意,得BC∥OM,
∴∠AOM=∠OBC=45°.
∵AB=6m,AO:OB=2:1,
∴AO=4m,OB=2m.
在Rt△OBC 中, (m).
∵OM=3m,
∴此时点 B 到水平地面 EF 的距离为OM+
如图，过点E 作EM⊥过点B 的水平线于点M，过点 F作FN⊥过点 B 的水平线于点N.
由题意,知CM=DN=AB=30m.
∵CE=15 m,
∴EM=15 m.
在 Rt△EBM中,∠EBM=45°,
∴BM=EM=15 m.
∵A是CD的中点,
∴BN=AD=AC=BM=15 m.
在Rt△BFN中,
解得.
11.解:(1)如图,延长CD交EA 的延长线于点F.由题意，得四边形ABCF 是矩形，
∴AF=BC=10 km.
在Rt△ADF中,∠DAF=45°,
答:AD的长约为14 km.
(2)在 Rt△ADF中,∠DAF=45°,AF=10 km,∴DF=AF=10 km.
在Rt△ABE中, AB=DF+CD=24 km,
按线路①走的路程为. 14+10≈38.1(km),
按线路②走的路程为 41.52(km).
∵38.1 km<41.52 km,
∴他应该选择线路①.
12.解:(1)根据题意,得四边形 CDFE 是矩形,∠CAD=30°,∠EBF=45°,
∴DF=CE=895 m.
在Rt△EBF中,
∴DB=DF-BF=895-7=888(m).
在Rt△ACD中,
答：A，B两点之间的距离约为900 m.
(2)小型汽车从点A行驶到点B 没有超速.理由如下：
∵900÷45=20(m/s),
∴小型汽车每小时行驶的路程为20×3600=72 000(m).
∵72000m=72km,72<80,
∴小型汽车从点 A 行驶到点B 没有超速.
13.解:(1)证明:如图 1,过点 A 作 AD⊥BC 于点D.
在Rt△ABD中,AD= csin B,
在Rt△ACD中,AD= bsin C,
∴csin B= bsin C,
(2)如图2,过点A作AE⊥BC于点E.
∵∠BAC=67°,∠B=53°,∴∠C=60°.
在Rt△ACE中,
由(1),知
解得BC≈90(m),
答：这片三角形区域的面积约为