课件30张PPT。3.2.1立体几何中的向量方法（一）研究 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.共线向量定理:复习：共面向量定理:思考1：1、如何确定一个点在空间的位置？
2、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？
3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
4、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？OP一、点的位置向量二、直线的向量参数方程 除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.三、平面的法向量 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？思考2：四、平行关系：五、垂直关系：巩固性训练11.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.平行垂直平行巩固性训练21.设 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.垂直平行相交巩固性训练31、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则k= ；若 则 k= 。
2、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m= .
3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且 ，则m= .例3、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。六、夹角：lmllmllmlmll课件16张PPT。ZPZ3.2.2立体几何中的向量方法（二）空间“距离”问题一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）空间“距离”问题1. 空间两点之间的距离 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?分析:分析:∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）H 分析：面面距离点面距离解：∴ 所求的距离是问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？2、向量法求点到平面的距离：DABCGFEDABCGFE2.(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长. 当E,F在公垂线同一侧时取负号
当d等于0是即为“余弦定理”abCDABCD为a,b的公垂线A，B分别在直线a,b上3. 异面直线间的距离 ABCC1EA1B1 小结 1、E为平面α外一点,F为α内任意一
点, 为平面α的法向量,则点E到平面的
距离为: 2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b
上的点, 是a,b公垂线的方向向量,
则a,b间距离为课件23张PPT。ZPZ3.2.3立体几何中的向量方法（三）空间“角度”问题一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）向量的有关知识：两向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉直线的方向向量：与直线平行的非零向量平面的法向量：与平面垂直的向量(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长. 二面角的平面角 例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是，得设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。因此所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为 例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考： （1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，
其他条件不变，可以计算出AB的长吗？分析：∴ 可算出 AB 的长。 （2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析：如图，设以顶点 为端点的对角线
长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。 （3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形 解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作
A1E⊥AB 于点 E，EF在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。空间“夹角”问题1.异面直线所成角lmlm例2所以：练习：在长方体 中，2、二面角注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角2、二面角②法向量法解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz巩固练习2. 线面角2. 线面角l课件15张PPT。ZPZ3.2.4立体几何中的向量方法（四）空间“角度”问题1.异面直线所成角lmlm复习引入2、二面角注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角2、二面角②法向量法3. 线面角3. 线面角l设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 ( ),则2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是______ .3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为______ .基础训练:6001350N解：如图建立坐标系A-xyz,则N例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 AB=2，BC= ，SA=SB= .
(1)求证
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABCD【典例剖析】 例3 如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。 【典例剖析】 DBACEP解：以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，例4、(2004，天津)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。
(1)证明：PA//平面EDB；
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。【典例剖析】 ABCDPE【巩固练习】 1 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的余弦值为_________ .
2 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成
角的余弦值为_________ .
3正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的
中点, 则二面角E-BC-A的大小是__________如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：
(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值
(2)OS与面SAB所成角的余弦值
(3)二面角B－AS－O的余弦值【课后作业】 课件23张PPT。3.2.5立体几何中的向量方法（五）空间“综合”问题复习引入如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：
(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值
(2)OS与面SAB所成角的余弦值
(3)二面角B－AS－O的余弦值【课后作业】 例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB
(2)求证：PB⊥平面EFD
(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFABCDPEF解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EGABCDPEFG(2)求证：PB⊥平面EFDABCDPEF(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF当E,F在公垂线同一侧时取负号
当d等于0是即为“余弦定理”abCDABCD为a,b的公垂线A，B分别在直线a,b上异面直线间的距离 ABCC1EA1B1ABCDE2、如图，四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，点E是AC中点；异面直线AD与BE所成
角为 ，且 ，求四面体DABC的体积。3、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=
（1）求MN的长；
（2）a 为何值时？MN的长最小？
（3）当MN的长最小时，
求面MNA与面MNB所成
二面角的余弦值。ABCDEFMN5、如图，平行六面体 中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱 的长为b ,且
求（1） 的长；
（2）直线 与AC夹角的余弦值。ABCD
