课件14张PPT。 算 法 案 例案例1 辗转相除法与更相减损术 学习目标
1.通过辗转相除法与更相减损术的学习,进一步体会算法思想．
2.通过古代著名的算法,理解掌握辗转相除法与更相减损术算法的含义;了解其计算过程;了解其算法程序框图和程序．1. 回顾算法的三种表述：2. 思考： 小学学过的求两个数最大公约数的方法？ 先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互为质数为止，然后把所有的除数连乘起来.复 习2、除了用这种方法外还有没有其它方法？算出8251和6105的最大公约数. 1、辗转相除法（欧几里得算法） 所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数.若余数不为零,则将余数和较小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.例1.用辗转相除法求98与63的最大公约数.98=1×63＋35
63=1 ×35＋28
35=1 ×28＋7
28=4 ×7＋0所以，98与63的最大公约数为7新 课辗转相除法的原理：如果q和r是m除以n的商及余数, 即 m=nq+r,则gcd(m,n)=gcd(n,r).证明: 设 a=gcd(m,n),b=gcd(n,r) 则有a|m 及a|n,因此a|(m-nq), 即 a|r及a|n,所以a|b又 b|r及b|n,所以b|(nq+r),
即b|m及b|n,所以b|a
因为a|b并且b|a,所以a=b,即gcd(m,n)=gcd(n,r). 如计算 gcd(546, 429)
546=1×429+117,
429=3×117+78,
117=1×78+39,
78=2×39．8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4所以37是8251和6105的最大公约数 求8251和6105的最大公约数. P45)练习1(1)用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2所以45是225和135的最大公约数 思考：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？ S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤,这实际上是一个循环结构．m=n×q＋r思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？ 程序框图程 序直到型循环结构程序框图程 序当型循环结构2、更相减损术第一步：任意给定两个正整数;判断他们是否都是偶数.若是,则用2约简;若不是则执行第二步.第二步：以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止,则这个等数就是所求的最大公约数.例3 用更相减损术求98与63的最大公约数解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21
21－7＝21
14－7＝7所以，98和63的最大公约数等于7 98=63×1＋35
63=35×1＋28
35=28×1＋7 辗转相除法与更相减损术的区别
(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.
(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到用更相减损术求两个整数m，n的最大公约数课件10张PPT。案例2 秦九韶算法 学习目标
1.理解并掌握秦九韶算法的计算过程,了解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高效率的实质．
2.通过秦九韶算法,进一步算法的基本思想,了解其算法程序框图和程序．
3.理解数学算法与计算机算法的区别,理解计算机对数学的辅助作用.
4.通过对秦九韶算法的学习,了解中国古代数学家对数学的贡献,认识中国文化历史的悠久.算法1ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ = 3906算法2共做了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算.共做了4次乘法运算,5次加法运算.秦九韶算法新 课《数书九章》——秦九韶算法对该多项式按下面的方式进行改写n次加法运算次乘法运算要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即 这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法,称为秦九韶算法这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.按由里到外的顺序,依此计算一次多项式当x = 5时的值：所以,x = f(5)=时17255.25 2 3.5 -2.6 1.7 -0.8x=527 136.5 689.9 3451.2 17255.225 135 692.5 3449.5 17256
