初中数学苏科版（2024）七年级下册 12.4 定理2 课件（15张PPT ）

(共15张PPT)
定理2
学习目标
探索并掌握多边形的内角和定理，外角和定理，并能简单应用
理解多边形内角和、外角和定理之间的关系，进一步感悟定理的运用
温故旧知
1.三角形内角和定理：三角形内角和是 。
2.三角形内角和定理的推论是 。
180°
三角形的外角等于与它不相邻的两个
内角的和.
温故知新
1.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上.∠B+∠C与∠1+∠2 有怎样的数量关系 为什么
解：∠B+∠C=∠1+∠2，理由如下
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
在△ADE中，∠A+∠1+∠2=180°
∴∠B+∠C=∠1+∠2
2.(1)如图(1),AB // CD，求证：∠B+∠D=∠E.
(2)如图(2)，AB//CD，∠B，∠D，∠E之间有怎样的数量关系 证明你的结论.
（1）证明：延长BE交DC于F点
∵AB // CD
∴∠B=∠2
∵∠1是△DEF的外角
∴∠1=∠2+∠D
∴∠B+∠D=∠1
（2）解：∠B=∠D+∠E，理由如下：
∵AB//CD
∴∠B=∠1
∵∠1是△DEF的外角
∴∠1=∠D+∠E
∴∠B=∠D+∠E
探索活动
一个多边形可以分割为若干个三角形，例如：
是否可以利用三角形内角和定理推出多边形的内角和呢
如上图是一个任意的四边形ABCD，在四边形内部任取一点P，连接点P与4个顶点就得到了4个三角形，这4个三角形的内角和减去以P为顶点的周角就是四边形的内角和，
即四边形ABCD的内角和=180°x4-360°=180°x(4-2)=360°.
对任意的五边形，同样可得:
五边形的内角和=180°x5-360°=180°x(5-2)=540°.
对于n边形的内角和，你有什么猜想
四：180°x(4-2)
五：180°x(5-2)
n 边形的内角和等于(n一2)·180°
新知学习
一.多边形的内角和定理：
n 边形的内角和等于(n一2)·180°
1.十边形的内角和是 .
2. 边形的内角和的900°
（10-2）×180°=1440°
1440°
∵(n一2)·180°=900°
∴ n一2=5
∴ n=7
七
例题学习
1.已知:如图，∠ABC+∠C+∠CDE=360°，GH分别交AB，ED 于点G，H.
求证:∠1=∠2.
证明：∵五边形HDCBG内角和为
（5-2）×180°=540°
又∵∠ABC+∠C+∠CDE=360° （已知）
∴∠BGH+∠GHD=180° （等式的性质）
∵ ∠GHD=∠2 （对顶角相等）
∴ ∠BGH+∠2=180° （等量代换）
∵ ∠BGH+∠1=180° （平角的定义）
∴ ∠1=∠2. （ 等量代换）
活动探索
内角和有一般规律，外角和也有一般规律吗 仿照多边形的内角和研究过程，如何求多边形的外角和
如图△ABC的3个内角及3个对应外角共形成3个平角，因为三角形的内角和为180°，
所以三角形的外角和是：180°X3-180°=360°
.
如图，四边形ABCD的4个内角及4个对应外角共形成4个平角，因为四边形的内角和为360°，
所以四边形的外角和=180°X4-360°=360°.
我们可以把上面的结果推广到一般的n边形，得到:
多边形的外角和=180°Xn-多边形的内角和
= 180°Xn-180°X(n-2)
= 180°x2=360°.
新知学习
二.多边形外角和定理:多边形的外角和等于360°.
1.十边形的外角和是 。
2.一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形 是边形
3.如图，在操场上画出一个任意的多边形，然后从边AB上的一点S出发，沿着A→B方向，到达点B后再转向B→C方向，这样走完一圈回到点S后，一共转过了 度。
360°
由:(n一2)·180°=360°
n一2=2
n=4
4
360°
例题学习
2.如图，在四边形ABCD中,∠A+∠C=180°，∠ABE是四边形ABCD的一个外角，∠ABE与∠D相等吗 证明你的结论.
解：∠ABE=∠D，理由如下;
∵四边形ABCD的内角和=（4-2）×180°=360°
又∵∠A+∠C=180°
∴∠ABC+∠D =180°
∵∠ABC+∠ABE =180°
∴ ∠ABE=∠D
练习巩固
1.在五边形 ABCDE 中,∠A=∠E=120°,∠B=130∠C=70°,则∠D的大小为（ ）
A.100° B.110° C.120° D.130°
2.若一个正多边形的内角和是其外角和的2倍,则这个正多边形的每个内角为________
3.如图,∠1,∠2,∠3 是五边形 ABCDE的三个外角,边AE,CD的延长线相交于点F，如果∠F=a,
那么∠1+∠2+∠3的大小为 ( )
A.270°－a B.360°-a C.90°+a D.180°+a
A
2.由 (n一2)·180°=2×360°
n一2=4
n=6
∵是正多边形，∴每个内角都相等
∴每个内角度数= (6一2)·180°÷6=120°
120°
3.∵五边形ABCDE的外角和=360°
∴∠1+∠2+∠3+∠FED+∠FDE=360°
又∵∠F+∠FED+∠FDE=180°
∴360°-（∠1+∠2+∠3）=180°-∠F
∴ ∠1+∠2+∠3= 180+∠F
∴ ∠1+∠2+∠3=a+180°
D
课堂检测
1..已知一个多边形的内角和比外角和多900°,并且这个多边形各个内角的度数都相等。
这个多边形的每个内角是多少度
2.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,连接 BD，点E在选BC上,点F在边DC上,且∠1=∠2,
(1)求证：EF//BD:
(2)若BD平分∠ABC,∠A=130,∠C=70°,求∠CFE的度数
1.解：由(n一2)·180°=360°+900°得
n=9
∵每个内角都相等
∴每个内角度数=（360°+900°）÷9=140°
答：这个多边形的每个内角是140°
2.（1）证明：∵AD//BC
∴∠1=∠DBC
∵ ∠1=∠2
∴ ∠2=∠DBC
∴EF//BD:
2.（2）∵AD//BC，∠A=130
∴∠ABC=180°-∠A=130°
∵BD平分∠ABC
∴∠DBC=∠ABC=65°
由（1）得：∠2=∠DBC=65°
∵∠C=70° ∴∠CFE=180-∠C-∠2=45°
素养提升
如图①,求证:∠BOC=∠A+∠B+∠C.
[直观应用]
(1)根据上述结论,若图②中,∠EDF=α,则∠A，∠B，∠C，∠D,∠E，∠F的度数之和等于 (直接给出结论,不必说明理由)。
(2)根据上述结论，求图③中∠A,∠B,∠C,∠D.∠E的数之和,并证明你的结论.
[类比联系](3)如图①.求∠A,∠B,/C,∠D,∠E,∠F,∠G的度数之和,并证明你的结论.
总结反思
一.多边形的内角和定理：
n 边形的内角和=(n一2)·180°
二.多边形外角和定理:多边形的外角和=360°.
谢谢观看！