图形的相似与投影-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·南山模拟）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体AH的距离与到凸透镜的中心的距离之比为6：5，若物体，则其像CG的长为（ ）
A． B．3cm C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得：BO=CG，AH⊥AO，BO⊥HO
∴∠AHO=∠BOH=90°
∵∠AF1H=OF1B
∴△AHF1∽△BOF1
∴，即
解得：
∴
故答案为：C
【分析】由题意可得：BO=CG，AH⊥AO，BO⊥HO，根据相似三角形判定定理可得△AHF1∽△BOF1，则，代值计算即可求出答案.
2．（2025·婺城模拟）如图，在中，对角线AC，BD交于点，点为BC中点，于点，已知.当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
由条件可知AB=CD=5，，AO=CO，AD=BC=y，AD//BC，，
∵E为BC的中点，O为BD的中点，
∴OE//CD，，
∴△OPE∽△CPD，
∴
∴，，
∵DE⊥AC，
∴∠OPE=∠EPC=∠CPD=∠OPD=90°，
根据勾股定理得：，
PC2+PD2=52，，
∴，PC2+PD2=25，，
∴，，
∴，
∴x2+y2=5PC2+5PD2=5×25=125，
∴x2+y2为定值.
故答案为：C.
【分析】连接OE，根据平行四边形的性质得出AB=CD=5，，AO=CO，AD=BC=y，AD//BC，根据中位线性质得出OE//CD，，证明△OPE∽△CPD，得出，根据勾股定理，即可得出答案.
3．（2020·重庆模拟）若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．3：4 B．4：3 C． ：2 D．2：
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为 ：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为 ：2.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答.
4．（2025·绍兴模拟）如图，已知点A在函数是常数，，图象上，点在函数图象上，连结AC交x轴于点B，D是x轴上的点，若，，且的面积为1，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠AOB=∠ABO=∠CBD=∠CDB，
∴△BCD∽△BAO，
设点A的坐标为，点C的坐标为，
则OB=2m，BD=2(n-2m)，
∵△BCD∽△BAO，
∴，解得或（舍去）
∴，
∴，
故答案为：D .
【分析】根据等边对等角得到∠AOB=∠ABO=∠CBD=∠CDB，即可得到△BCD∽△BAO，设点A的坐标为，点C的坐标为，然后根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比求出m的值，然后代入计算解题即可.
5．（2025·文成二模）如图，在矩形ABCD中，是AD上的两个点，且，记BE长为x，BF长为，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，
∴∠BGE=∠BHF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABGE与四边形ABHF都是矩形，
∴AB=EG=FH=1，
∴AE=，BH=，
∵∠ABE=∠CBF，∠A=∠BHF=90°，
∴△ABE∽△HBF，
∴，即
∴(y2-1)(x2-1)=1，
整理得x2y2=x2+y2，
∴，
∴的值不变.
故答案为：D.
【分析】过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，由矩形及垂直的性质得∠A=∠ABC=∠BGE=∠BHF=90°，由“有三个内角为直角的四边形是矩形”得出四边形ABGE与四边形ABHF都是矩形，由矩形的对边相等得AB=EG=FH=1，然后根据勾股定理分别表示出AE及BH，进而利用“有两组角对应相等的两个三角形相似”得△ABE∽△HBF，由相似三角形对应边成比例建立方程并整理可得结论.
6．（2025·浙江模拟）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”。如图是由四个全等的直角三角形（△ABF，△DAE，△BCG，△CDH）拼接而成，连结HF并延长，交BC于点I。若BF=2，EF=1，则BI的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；“赵爽弦图”模型；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点M作IN⊥BG于点N，设FN=a，
∵大正方形ABCD是四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，BF=2，EF=1，
∴GC=BF=2，FG=EF=1，
∴BG=BF+FG=3，
∴BC=.
∵四边形EFGH为正方形，FH是它的对角线，
∴△FGH是等腰直角三角形，
∴IN=FN=a，
∴BN=BF-FN=2-a.
∵∠BNI=∠BGC=90°，∠IBN=∠CBG，
∴△BNI∽△BGC，
∴BN：BG=IN：CG=BI：BC，
∴（2-a)：3=a：2=BI：，解得a=，BI=.
故答案为：B.
【分析】先利用正方形的性质及勾股定理求得BC，再利用等腰直角三角形的判定与性质，可用a表示出IN与BN，再证明△BNI∽△BGC，列出比例式，得到关于a的方程求出a，就可求得BI.
二、填空题
7．（2025·宁波模拟） 若，则 的值为 .
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由，得.
故答案为：.
【分析】根据比例的性质，可得答案.
8．（2025·崇州模拟）如图，四边形是平行四边形，为对角线，于点，，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的性质得到，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
9．（2025·湖南模拟）如图，个边长为的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，为边，，，，的中点，的面积为，的面积为，的面积为，则 ．
【答案】
【知识点】探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
的面积为
则
故答案为：128.
【分析】利用相似三角形的性质求出. 再利用三角形的面积公式代入值计算即可.
10．（2025·安定模拟）如图，与位似，位似中心为点O，且，若的周长为9，则的周长为 ．
【答案】6
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】∵，
∴，
∵与位似，
∴，
∴，
∴
∴与的周长比为，
∵的周长为9，
∴的周长为6，
故答案为：6．
【分析】利用位似图形的周长比等于相似比解答．
11．（2025·杭州模拟）如图，点P是正方形的中心，过点P的线段和将正方形分割成4个相同的四边形，这4个四边形拼成正方形．连接，记和的面积分别为，设；
（1）若A，B，Q三点共线，则
（2）正方形和的面积之比为 ．（用含k的代数式表示）
【答案】（1）
（2）
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1)如图，连接BQ，
设BF=x，
由题意可得，，
，，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：.
(2)设AB=m，PF=n，
，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】(1)设BF=x，当A，B，Q三点共线时，易证，利用相似三角形的性质求得，由勾股定理可得，进而证得，然后计算出四边形GPFB的面积，从而计算出k的值.
(2)设AB=m，PF=n，由题意可得PH=PF=FQ=n，故，，进而得到，再利用 求得，继而得到，而，故可得.
12．（2025·苍溪模拟）如图，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点A在上，线段交于点，作轴于点，交于点，延长交于点，作轴于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）
【答案】①②④
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点A，都在上，且轴，轴，
∴，
又∵，，
∴，故①正确；
如图，过点作轴于点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴BD∥AE，故②正确；
∴，故③不正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【分析】根据反比例函数中k的几何意义可得，然后根据图形面积间的关系，根据等式的性质可推出 ，即可证明①正确；过点作轴于点，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BG∥AC∥EF，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，由两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似可得，由相似三角形对应角相等得，从而根据同位角相等，两直线平行得BD∥AE，即可求证②正确；再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可证明③不正确；根据相似三角形的对应边成比例、三角形面积计算公式及反比例函数k的几何意义可推出，即可证明④正确．
三、作图题
13．（2025·深圳模拟）在矩形中，连接．
（1）如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长．
【答案】（1）解：如图，即为所作；
，
由作图可得：，
∴；
（2）解：如图，
，
∵，又，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交于，点即为所求.
（2）根据边之间的关系可得，根据矩形性质可得，，根据勾股定理可得AC=10，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据矩形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）解：如图，即为所作；
，
由作图可得：，
∴；
（2）解：如图，
，
∵，又，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
四、解答题
14．（2025·杭州模拟） 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与BC边交于点E， F， ，连接AE， AF， .
（1） 判断的形状，并说明理由.
（2） 求证：.
（3） 若， ，求线段CF的长.
【答案】（1）解：△AEF为等边三角形，理由如下：
由作法得AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形；
（2）证明：
证明： ∵△AEF为等边三角形，
∴∠AEF =∠AFE=60°，
∴∠AEB=∠AFC=120°，
∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠C =60°，
∵∠AEF=∠BAE+∠B=60°，
∴∠BAE =∠C，
而∠AEB=∠AFC，
∴△ABE∽△CAF；
（3）解：∵△AEF为等边三角形，
∴AE=AF=EF=3，
，∵△ABE-△CAF，
∴AE：CF=BE：AF，
即3：CF=2：3，
解得
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形可判定△AEF为等边三角形.
(2)先根据等边三角形的性质得到∠AEF =∠AFE =60°， 则根据等角的补角相等得到∠AEB=∠AFC， 再证明∠BAE=∠C， 然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
(3)先根据等边三角形的性质得到AE=AF =EF=3， 由于△ABE∽△CAF， 则根据相似三角形的性质得到AE：CF =BE：AF， 即3：CF=2：3， 从而可求出CF的长.解得 .
15．（2025·钱塘模拟）已知线段满足，且．
（1）求线段的长．
（2）若线段是线段的比例中项，求线段的长．
【答案】（1）解：∵，设，，
∵，
∴，
，
，，
线段的长为12，线段的长为3．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为6．
【知识点】比例的性质；比例中项
【解析】【分析】
（1）由题意，设，，并将a、b代入已知的等式可得关于k的方程，解方程求出的值，于是a、b的长可求解；
（2）根据比例中项的意义可得，然后把（1）中求得的a、b的值代入计算即可求解．
（1）解：∵，
设，，
∵，
∴，
，
，，
线段的长为12，线段的长为3．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为6．
16．（2025·龙岗模拟）为响应国家节能减排的号召，广东新农村建设把主要村道道路上安装了太阳能路灯．如图（a）所示是行人在某村村道路灯下的影子，图（b）是该村村道上安装的两盏高度不同的太阳能路灯的示意图，其中电线杆的高度为，电线杆的高度为，的长为．身高的聪聪同学（）在两盏路灯之间走动，他在 B，D 两盏路灯下形成的影长分别记作和．（A，E，C，M，N在同一直线上，电线杆和人均垂直于地面）
（1）请在图（b）中画出聪聪同学在路灯D照射下形成的影长；
（2）当聪聪同学站在两盏路灯的中间（即E为的中点）时，请求出影长；
（3）若影长端点N处有一个竹竿，它在路灯B 的照射下其影长端点恰好与点M重合，同时影长端点M处也有一个竹竿，它在路灯D的照射下其影长端点恰好与点N重合．（竹竿，均垂直于地面）请回答下列问题：
①设的长为，则的长为 _______（请用含有x的代数式来表示）；
②请判断的值是否为定值？若是，请求出此定值 ；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：图中线段为所求．
（2）解：当米时，
∵，
∴，，
，，
即，，
解得：，，
∴．
（3）解：①根据题意画出图形：
设，
∵，
，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
即，
整理得：或，
同①可求得，
∵，
∴，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）连接并延长交于点N．
（2）先证得，，再列出比例式，，分别求出和，最后根据代入计算即可．
（3）①根据题意画出图形， 设，由（2）可知，，由全等三角形的性质得出，，再根据，进而可得出，再证明，然后列出比例式求出，
根据，计算求得．
（1）解：图中线段为所求．
（2）解：当米时，
∵，
∴，，
，，
即，，
解得：，，
∴．
（3）解：①根据题意画出图形：
设，
由（2）可知，，
，，
即，，
解得：，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
即，
整理得：或，
②方法一：同①可求得，
∵，
∴，
，
，
，
．
方法二：
∵，
∴，，
∴，，
∴，
，
，
，
∴．
五、实践探究题
17．（2025·内江模拟）【证明体验】
（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，求的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，求的长．
【答案】（1）证明：∵平分，∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
（3）解：在上取一点F，使得，连接，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴.，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用SAS得到，即可得到，然后根据三角形的内角和解题即可；
（2）利用两角相等得到，然后根据对应边成比例解题即可；
（3）在上取一点F，使得，连接，即可得到，得到对应边、对应角相等，然后证明，，根据对应边成比例解答即可．
18．（2025·舟山模拟）
（1）【思考尝试】
如图1，在矩形中，是边上一点，于点，，，，求证：四边形是正方形；
（2）【实践探究】
如图2，在正方形中，是边上一点，于点，于点，交HA的延长线于点，求线段的数量关系；
（3）【拓展迁移】
如图3，在正方形中，是边上一点，于点，点在线段上，且，连接，，．
①求证：；
②直接写出线段，的数量关系．
【答案】（1）证明：，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
（2）解：，理由如下：
，，，
，
四边形是矩形，
，
同理（1）可得，
四边形是正方形，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
；
（3）解：①证明：，四边形是正方形，
，
，
，
，
，
又，
，
；
②解：，理由如下：
四边形是正方形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
【知识点】四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到∠ADC =90°，进而可得∠ADG=∠CDF，利用AAS证得△ADG≌△CDF，再根据全等三角形的性质得到AD=CD，于是得到四边形ABCD是正方形；
(2)根据矩形的判定定理得到四边形HFDG是矩形，即可得∠G =∠DFC-90°，根据正方形的性质得到AD=CD，∠ADC =90，求得∠ADG=∠CDF，利用AAS证得△ADG≌△CDF，根据全等三角形的性质得到AG=CF，DG=DF，根据正方形的判定定理得到矩形HFDG是正方形，于是得到HF=AH+CF；
(3)①根据正方形的性质可得∠AHE=∠ABC，再利用AA证得△HEB∽△AEC，通过相似三角形对应角相等即可得证；
②根据正方形的性质得到∠BAC=45°，根据等腰直角三角形的性质得到∠HAM=45°，再根据相似三角形的性质即可得到结论.
六、综合题
19．（2024九下·兴宁开学考）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米．
（1）求像的长度．
（2）已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长．
【答案】（1）解：由题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴像的长度厘米．
（2）解：过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
∴凸透镜焦距的长为厘米．
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据相似三角形判定定理可得，，则，，即，代值计算即可求出答案.
（2）过点作交于点E，根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则，四边形为平行四边形，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（1）由题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴像的长度厘米．
（2）过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
∴凸透镜焦距的长为厘米．
20．（2025·浙江模拟）如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，F是弧BC上一点，连结AC，CF，BF，AF，AF与CD交于点G。
（1）求证：∠AFC=∠CAB；
（2）如图2，连结CB交AF于点H。
①当AF⊥CB时，试判断△CGF的形状，并说明理由；
②在①的条件下，延长CF，AB相交于点Q，若CD=10，AB=8，求的值。
【答案】（1）证明：∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，
∴，
∴∠AFC=∠CAB.
（2）解： ①△CGF是等腰三角形.
∵AF⊥CB，CD⊥AB，
∴∠AEG=∠AHB=90°，
∴∠GAE+∠AGE=∠GAE+∠ABH=90°，
∴∠AGE=∠ABH，
∵∠AGE=∠CGF，∠AFC=∠ABH，
∴∠CGF=∠AFC，
∴CG=CF，
∴△CGF是等腰三角形.
②连结OA，AD，
∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，
∴AE=EB=4 ， ，
∵CD=10，
∴OA=OC=OD=5，
在Rt△OAE中，OE==3，
∴DE=5-3=2，
在Rt△DAE中，AD== ，
∵△CGF是等腰三角形，CB⊥AF，
∴CH平分∠GCF，
∴∠FCH=∠GCH，
∵∠FCH=∠GAE，∠GCH=∠DAE，
∴∠DAE=∠GAE，
∵∠AEG=∠AED=90°，AE=AE，
∴△ADE≌△AGE（ASA），
∴DE=EG=2，
∴CG=10-2-2=6，
∴CF=6，
∵∠DAE=∠GAE
∴，
∴
∴BF=AD=，
∵∠BFQ=∠CAB，∠CAB=∠AFC，
∴∠BFQ=∠AFC，
∵∠FBQ=∠ACF，
∴△BFQ∽△CFA，
∴.
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)先利用垂径定理证明=，再利用圆周角定理证明；
（2）①先判断△CGF是等腰三角形，再说理.先说明∠AGE=∠ABH，再∠CGF=∠AFC，然后根据等腰三角形判定得出结论；
②先利用勾股定理分别求得OE与AD，再利用等腰三角形三线合一，证得CH平分∠GCF，从而可得∠FCH=∠GCH，再利用ASA证明△ADE≌△AGE，分别求得CG、CF与BF，再证明△BFQ∽△CFA，列出比例式求得.
1 / 1图形的相似与投影-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·南山模拟）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体AH的距离与到凸透镜的中心的距离之比为6：5，若物体，则其像CG的长为（ ）
A． B．3cm C． D．
2．（2025·婺城模拟）如图，在中，对角线AC，BD交于点，点为BC中点，于点，已知.当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·重庆模拟）若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．3：4 B．4：3 C． ：2 D．2：
4．（2025·绍兴模拟）如图，已知点A在函数是常数，，图象上，点在函数图象上，连结AC交x轴于点B，D是x轴上的点，若，，且的面积为1，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·文成二模）如图，在矩形ABCD中，是AD上的两个点，且，记BE长为x，BF长为，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·浙江模拟）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”。如图是由四个全等的直角三角形（△ABF，△DAE，△BCG，△CDH）拼接而成，连结HF并延长，交BC于点I。若BF=2，EF=1，则BI的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2025·宁波模拟） 若，则 的值为 .
8．（2025·崇州模拟）如图，四边形是平行四边形，为对角线，于点，，，则的值为 ．
9．（2025·湖南模拟）如图，个边长为的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，为边，，，，的中点，的面积为，的面积为，的面积为，则 ．
10．（2025·安定模拟）如图，与位似，位似中心为点O，且，若的周长为9，则的周长为 ．
11．（2025·杭州模拟）如图，点P是正方形的中心，过点P的线段和将正方形分割成4个相同的四边形，这4个四边形拼成正方形．连接，记和的面积分别为，设；
（1）若A，B，Q三点共线，则
（2）正方形和的面积之比为 ．（用含k的代数式表示）
12．（2025·苍溪模拟）如图，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点A在上，线段交于点，作轴于点，交于点，延长交于点，作轴于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）
三、作图题
13．（2025·深圳模拟）在矩形中，连接．
（1）如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长．
四、解答题
14．（2025·杭州模拟） 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与BC边交于点E， F， ，连接AE， AF， .
（1） 判断的形状，并说明理由.
（2） 求证：.
（3） 若， ，求线段CF的长.
15．（2025·钱塘模拟）已知线段满足，且．
（1）求线段的长．
（2）若线段是线段的比例中项，求线段的长．
16．（2025·龙岗模拟）为响应国家节能减排的号召，广东新农村建设把主要村道道路上安装了太阳能路灯．如图（a）所示是行人在某村村道路灯下的影子，图（b）是该村村道上安装的两盏高度不同的太阳能路灯的示意图，其中电线杆的高度为，电线杆的高度为，的长为．身高的聪聪同学（）在两盏路灯之间走动，他在 B，D 两盏路灯下形成的影长分别记作和．（A，E，C，M，N在同一直线上，电线杆和人均垂直于地面）
（1）请在图（b）中画出聪聪同学在路灯D照射下形成的影长；
（2）当聪聪同学站在两盏路灯的中间（即E为的中点）时，请求出影长；
（3）若影长端点N处有一个竹竿，它在路灯B 的照射下其影长端点恰好与点M重合，同时影长端点M处也有一个竹竿，它在路灯D的照射下其影长端点恰好与点N重合．（竹竿，均垂直于地面）请回答下列问题：
①设的长为，则的长为 _______（请用含有x的代数式来表示）；
②请判断的值是否为定值？若是，请求出此定值 ；若不是，请说明理由．
五、实践探究题
17．（2025·内江模拟）【证明体验】
（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，求的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，求的长．
18．（2025·舟山模拟）
（1）【思考尝试】
如图1，在矩形中，是边上一点，于点，，，，求证：四边形是正方形；
（2）【实践探究】
如图2，在正方形中，是边上一点，于点，于点，交HA的延长线于点，求线段的数量关系；
（3）【拓展迁移】
如图3，在正方形中，是边上一点，于点，点在线段上，且，连接，，．
①求证：；
②直接写出线段，的数量关系．
六、综合题
19．（2024九下·兴宁开学考）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米．
（1）求像的长度．
（2）已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长．
20．（2025·浙江模拟）如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，F是弧BC上一点，连结AC，CF，BF，AF，AF与CD交于点G。
（1）求证：∠AFC=∠CAB；
（2）如图2，连结CB交AF于点H。
①当AF⊥CB时，试判断△CGF的形状，并说明理由；
②在①的条件下，延长CF，AB相交于点Q，若CD=10，AB=8，求的值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得：BO=CG，AH⊥AO，BO⊥HO
∴∠AHO=∠BOH=90°
∵∠AF1H=OF1B
∴△AHF1∽△BOF1
∴，即
解得：
∴
故答案为：C
【分析】由题意可得：BO=CG，AH⊥AO，BO⊥HO，根据相似三角形判定定理可得△AHF1∽△BOF1，则，代值计算即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
由条件可知AB=CD=5，，AO=CO，AD=BC=y，AD//BC，，
∵E为BC的中点，O为BD的中点，
∴OE//CD，，
∴△OPE∽△CPD，
∴
∴，，
∵DE⊥AC，
∴∠OPE=∠EPC=∠CPD=∠OPD=90°，
根据勾股定理得：，
PC2+PD2=52，，
∴，PC2+PD2=25，，
∴，，
∴，
∴x2+y2=5PC2+5PD2=5×25=125，
∴x2+y2为定值.
故答案为：C.
【分析】连接OE，根据平行四边形的性质得出AB=CD=5，，AO=CO，AD=BC=y，AD//BC，根据中位线性质得出OE//CD，，证明△OPE∽△CPD，得出，根据勾股定理，即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为 ：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为 ：2.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答.
4．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠AOB=∠ABO=∠CBD=∠CDB，
∴△BCD∽△BAO，
设点A的坐标为，点C的坐标为，
则OB=2m，BD=2(n-2m)，
∵△BCD∽△BAO，
∴，解得或（舍去）
∴，
∴，
故答案为：D .
【分析】根据等边对等角得到∠AOB=∠ABO=∠CBD=∠CDB，即可得到△BCD∽△BAO，设点A的坐标为，点C的坐标为，然后根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比求出m的值，然后代入计算解题即可.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，
∴∠BGE=∠BHF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABGE与四边形ABHF都是矩形，
∴AB=EG=FH=1，
∴AE=，BH=，
∵∠ABE=∠CBF，∠A=∠BHF=90°，
∴△ABE∽△HBF，
∴，即
∴(y2-1)(x2-1)=1，
整理得x2y2=x2+y2，
∴，
∴的值不变.
故答案为：D.
【分析】过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，由矩形及垂直的性质得∠A=∠ABC=∠BGE=∠BHF=90°，由“有三个内角为直角的四边形是矩形”得出四边形ABGE与四边形ABHF都是矩形，由矩形的对边相等得AB=EG=FH=1，然后根据勾股定理分别表示出AE及BH，进而利用“有两组角对应相等的两个三角形相似”得△ABE∽△HBF，由相似三角形对应边成比例建立方程并整理可得结论.
6．【答案】B
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；“赵爽弦图”模型；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点M作IN⊥BG于点N，设FN=a，
∵大正方形ABCD是四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，BF=2，EF=1，
∴GC=BF=2，FG=EF=1，
∴BG=BF+FG=3，
∴BC=.
∵四边形EFGH为正方形，FH是它的对角线，
∴△FGH是等腰直角三角形，
∴IN=FN=a，
∴BN=BF-FN=2-a.
∵∠BNI=∠BGC=90°，∠IBN=∠CBG，
∴△BNI∽△BGC，
∴BN：BG=IN：CG=BI：BC，
∴（2-a)：3=a：2=BI：，解得a=，BI=.
故答案为：B.
【分析】先利用正方形的性质及勾股定理求得BC，再利用等腰直角三角形的判定与性质，可用a表示出IN与BN，再证明△BNI∽△BGC，列出比例式，得到关于a的方程求出a，就可求得BI.
7．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由，得.
故答案为：.
【分析】根据比例的性质，可得答案.
8．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的性质得到，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
9．【答案】
【知识点】探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
的面积为
则
故答案为：128.
【分析】利用相似三角形的性质求出. 再利用三角形的面积公式代入值计算即可.
10．【答案】6
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】∵，
∴，
∵与位似，
∴，
∴，
∴
∴与的周长比为，
∵的周长为9，
∴的周长为6，
故答案为：6．
【分析】利用位似图形的周长比等于相似比解答．
11．【答案】（1）
（2）
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1)如图，连接BQ，
设BF=x，
由题意可得，，
，，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：.
(2)设AB=m，PF=n，
，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】(1)设BF=x，当A，B，Q三点共线时，易证，利用相似三角形的性质求得，由勾股定理可得，进而证得，然后计算出四边形GPFB的面积，从而计算出k的值.
(2)设AB=m，PF=n，由题意可得PH=PF=FQ=n，故，，进而得到，再利用 求得，继而得到，而，故可得.
12．【答案】①②④
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点A，都在上，且轴，轴，
∴，
又∵，，
∴，故①正确；
如图，过点作轴于点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴BD∥AE，故②正确；
∴，故③不正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【分析】根据反比例函数中k的几何意义可得，然后根据图形面积间的关系，根据等式的性质可推出 ，即可证明①正确；过点作轴于点，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BG∥AC∥EF，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，由两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似可得，由相似三角形对应角相等得，从而根据同位角相等，两直线平行得BD∥AE，即可求证②正确；再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可证明③不正确；根据相似三角形的对应边成比例、三角形面积计算公式及反比例函数k的几何意义可推出，即可证明④正确．
13．【答案】（1）解：如图，即为所作；
，
由作图可得：，
∴；
（2）解：如图，
，
∵，又，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交于，点即为所求.
（2）根据边之间的关系可得，根据矩形性质可得，，根据勾股定理可得AC=10，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据矩形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）解：如图，即为所作；
，
由作图可得：，
∴；
（2）解：如图，
，
∵，又，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
14．【答案】（1）解：△AEF为等边三角形，理由如下：
由作法得AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形；
（2）证明：
证明： ∵△AEF为等边三角形，
∴∠AEF =∠AFE=60°，
∴∠AEB=∠AFC=120°，
∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠C =60°，
∵∠AEF=∠BAE+∠B=60°，
∴∠BAE =∠C，
而∠AEB=∠AFC，
∴△ABE∽△CAF；
（3）解：∵△AEF为等边三角形，
∴AE=AF=EF=3，
，∵△ABE-△CAF，
∴AE：CF=BE：AF，
即3：CF=2：3，
解得
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形可判定△AEF为等边三角形.
(2)先根据等边三角形的性质得到∠AEF =∠AFE =60°， 则根据等角的补角相等得到∠AEB=∠AFC， 再证明∠BAE=∠C， 然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
(3)先根据等边三角形的性质得到AE=AF =EF=3， 由于△ABE∽△CAF， 则根据相似三角形的性质得到AE：CF =BE：AF， 即3：CF=2：3， 从而可求出CF的长.解得 .
15．【答案】（1）解：∵，设，，
∵，
∴，
，
，，
线段的长为12，线段的长为3．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为6．
【知识点】比例的性质；比例中项
【解析】【分析】
（1）由题意，设，，并将a、b代入已知的等式可得关于k的方程，解方程求出的值，于是a、b的长可求解；
（2）根据比例中项的意义可得，然后把（1）中求得的a、b的值代入计算即可求解．
（1）解：∵，
设，，
∵，
∴，
，
，，
线段的长为12，线段的长为3．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为6．
16．【答案】（1）解：图中线段为所求．
（2）解：当米时，
∵，
∴，，
，，
即，，
解得：，，
∴．
（3）解：①根据题意画出图形：
设，
∵，
，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
即，
整理得：或，
同①可求得，
∵，
∴，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）连接并延长交于点N．
（2）先证得，，再列出比例式，，分别求出和，最后根据代入计算即可．
（3）①根据题意画出图形， 设，由（2）可知，，由全等三角形的性质得出，，再根据，进而可得出，再证明，然后列出比例式求出，
根据，计算求得．
（1）解：图中线段为所求．
（2）解：当米时，
∵，
∴，，
，，
即，，
解得：，，
∴．
（3）解：①根据题意画出图形：
设，
由（2）可知，，
，，
即，，
解得：，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
即，
整理得：或，
②方法一：同①可求得，
∵，
∴，
，
，
，
．
方法二：
∵，
∴，，
∴，，
∴，
，
，
，
∴．
17．【答案】（1）证明：∵平分，∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
（3）解：在上取一点F，使得，连接，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴.，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用SAS得到，即可得到，然后根据三角形的内角和解题即可；
（2）利用两角相等得到，然后根据对应边成比例解题即可；
（3）在上取一点F，使得，连接，即可得到，得到对应边、对应角相等，然后证明，，根据对应边成比例解答即可．
18．【答案】（1）证明：，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
（2）解：，理由如下：
，，，
，
四边形是矩形，
，
同理（1）可得，
四边形是正方形，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
；
（3）解：①证明：，四边形是正方形，
，
，
，
，
，
又，
，
；
②解：，理由如下：
四边形是正方形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
【知识点】四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到∠ADC =90°，进而可得∠ADG=∠CDF，利用AAS证得△ADG≌△CDF，再根据全等三角形的性质得到AD=CD，于是得到四边形ABCD是正方形；
(2)根据矩形的判定定理得到四边形HFDG是矩形，即可得∠G =∠DFC-90°，根据正方形的性质得到AD=CD，∠ADC =90，求得∠ADG=∠CDF，利用AAS证得△ADG≌△CDF，根据全等三角形的性质得到AG=CF，DG=DF，根据正方形的判定定理得到矩形HFDG是正方形，于是得到HF=AH+CF；
(3)①根据正方形的性质可得∠AHE=∠ABC，再利用AA证得△HEB∽△AEC，通过相似三角形对应角相等即可得证；
②根据正方形的性质得到∠BAC=45°，根据等腰直角三角形的性质得到∠HAM=45°，再根据相似三角形的性质即可得到结论.
19．【答案】（1）解：由题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴像的长度厘米．
（2）解：过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
∴凸透镜焦距的长为厘米．
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据相似三角形判定定理可得，，则，，即，代值计算即可求出答案.
（2）过点作交于点E，根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则，四边形为平行四边形，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（1）由题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴像的长度厘米．
（2）过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
∴凸透镜焦距的长为厘米．
20．【答案】（1）证明：∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，
∴，
∴∠AFC=∠CAB.
（2）解： ①△CGF是等腰三角形.
∵AF⊥CB，CD⊥AB，
∴∠AEG=∠AHB=90°，
∴∠GAE+∠AGE=∠GAE+∠ABH=90°，
∴∠AGE=∠ABH，
∵∠AGE=∠CGF，∠AFC=∠ABH，
∴∠CGF=∠AFC，
∴CG=CF，
∴△CGF是等腰三角形.
②连结OA，AD，
∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，
∴AE=EB=4 ， ，
∵CD=10，
∴OA=OC=OD=5，
在Rt△OAE中，OE==3，
∴DE=5-3=2，
在Rt△DAE中，AD== ，
∵△CGF是等腰三角形，CB⊥AF，
∴CH平分∠GCF，
∴∠FCH=∠GCH，
∵∠FCH=∠GAE，∠GCH=∠DAE，
∴∠DAE=∠GAE，
∵∠AEG=∠AED=90°，AE=AE，
∴△ADE≌△AGE（ASA），
∴DE=EG=2，
∴CG=10-2-2=6，
∴CF=6，
∵∠DAE=∠GAE
∴，
∴
∴BF=AD=，
∵∠BFQ=∠CAB，∠CAB=∠AFC，
∴∠BFQ=∠AFC，
∵∠FBQ=∠ACF，
∴△BFQ∽△CFA，
∴.
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)先利用垂径定理证明=，再利用圆周角定理证明；
（2）①先判断△CGF是等腰三角形，再说理.先说明∠AGE=∠ABH，再∠CGF=∠AFC，然后根据等腰三角形判定得出结论；
②先利用勾股定理分别求得OE与AD，再利用等腰三角形三线合一，证得CH平分∠GCF，从而可得∠FCH=∠GCH，再利用ASA证明△ADE≌△AGE，分别求得CG、CF与BF，再证明△BFQ∽△CFA，列出比例式求得.
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