锐角三角函数-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、填空题
1．（2025·拱墅模拟）如图，在中，，是的角平分线，点E在上，过点E作，交于点F．若，，，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：作于点H，则，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵于点E，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】作于点H，即可得到，然后利用得到，即可得到，求出BDC长，再根据余弦的定义解答即可．
2．（2025·崇州模拟） 如图，在中，，，点D为斜边AC上一点，连接BD，将沿BD翻折得到，BE与AC交于点F，当时，则 .
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H.
∵ED⊥AC，
∴∠EDC=90°，
由翻折变换的性质可知∠BDE=∠BDC，
∵∠BDE+∠BDC+∠EDC=360°，
∴∠BDE=∠BDC=135°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDF=45°，
∵BH⊥AC，
∴∠BHD=90°，
∴∠BDH=∠DBH =45°
∴BH=DH，
∵
∴可以假设AB=5m，AC=5m
∴，
∴
∴CH=2BH，
∴DH=CD=DE，
设DH=CD=DE=k，则，
∴
故答案为：.
【分析】过点B作BH⊥AC于点H，证明∠BDH=45°，再证明BH=DH=CD=DE，可得结论.
3．（2025·成华模拟）如图，在菱形中，，其顶点落在反比例函数的图象上，顶点落在轴的正半轴上，顶点落在反比例函数的图象上，则的值为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作轴于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，负值舍去，
经检验是方程的解，
∴，
∴，
∵菱形中，
∴，
∵顶点落在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：．
【分析】过点A作轴于点D，在Rt△AOD中，根据锐角三角函数tan∠AOB=可将AD用含OD的代数式表示出来，设，则，得出，根据点A在反比例函数的图象上可将点A的坐标代入反比例函数的解析式得关于m的方程，解方程求出m的值，根据勾股定理求出，根据菱形性质得点C的坐标，把点C的坐标代入反比例函数的解析式计算即可求解．
4．（2025·深圳模拟）如图，身高1.6米的小亮站在点测得旗杆的仰角为，小亮向旗杆走了6米到达点，测得旗杆的仰角为，则旗杆的高度为 米．（，，）
【答案】5.6
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设AE的延长线交CD于点H
∵AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，AB=EF
∴四边形ABFE，四边形ABDH都为矩形
∴DH=AB=1.6，AE=BF=6
在Rt△CEH中
∵∠ECH=90°-∠CEH=27°
∴
在Rt△ACH中
∵AH-EH=AE
∴
解得：CH=4
∴CD=CH+DH=5.6
∴旗杆的高度为5.6米
故答案为：5.6
【分析】设AE的延长线交CD于点H，根据矩形判定定理可得四边形ABFE，四边形ABDH都为矩形，则DH=AB=1.6，AE=BF=6，解直角三角形可得，，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得CH，再根据边之间的关系即可求出答案.
5．（2025·成华模拟）如图，在矩形中，，，，是边上两点，且，，连接，，和交于点，连接，则的值是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作交于点，交于点，作交于点，
矩形中，，，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
中，
，
，
中，
，
，，
，，，
四边形是矩形，
，
在中，．
故答案为：．
【分析】作交于点，交于点，作交于点，由题意，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形AMNB是矩形，由矩形的性质可得MN=AB，GM⊥AM，由线段的和差EF=BC-BE-CF求得EF的值，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求出NG的值，在Rt△CDE中，用勾股定理求得DE的值，在Rt△ENG中，用勾股定理求得EN的值，由线段的和差BN=BE+EN求得B你的值，用勾股定理求得BG的值，同理可得四边形PBNG是矩形，于是BP=NG，在Rt△BPG中，根据锐角三角函数计算即可求解．
6．（2025·崇州模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴分别交于点和点，过顶点的直线轴于点，点为线段上一点，点在线段上，且，当取最小值时，则 ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵，
当时，即，可得，，
∴，，
则，，
∴，则，
分别取，的中点，，连接，则，，是的中位线，
∴，
∵，
∴，
过点作，且，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，当在上时取等号，
即：当取最小值时，在上，
此时，过点作，则，，
又∵，
∴，则，
可得，则
∴此时，
即：当取最小值时，，
故答案为：．
【分析】先求出点B、C的坐标，根据余弦的定义求出，分别取，的中点，，连接，则是的中位线，过点作，证明，得，即可得到，当在上时取等号，此时过点作，利用解直角三角形求出BM长解题即可．
二、选择题
7．（2025·萧山模拟）如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】
过点作于点，可由等腰三角形三线合一得到，再解即可表示，即可求解．
8．（四川省南充市南部县第二中学2024-2025学年九年级下学期第一次阶段性学情诊断数学试题）如图，把矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；求正弦值
9．（2023九上·聊城月考）在中，若角，满足，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；锐角三角函数的定义；实数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
A，B，C是三角形的内角
∴∠A=30°，∠B=45°
则∠C=180°-∠A-∠B=105°
故答案为：D
【分析】根据绝对值与二次根式的性质可求出，再根据三角形中内角的三角函数值的性质可得∠A=30°，∠B=45°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
10．（2025·临平模拟）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知跑步机手柄AB与地面DE平行，支架AC、踏板CD的长分别为a，b，∠ACD=90°，记CD与地面DE的夹角为θ，则跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图， 过点C作CF⊥AB，交直线AB于F，延长FC， 交直线DE于H，
在Rt△DCH中， ∠D=θ， CD=b，
则CH=CD· sin D=bsinθ，
∵∠D=θ，
∴∠DCH =90°-θ，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACF=θ，
∴CF =AC·cos∠ACF=acosθ，
∴手柄AB所在直线与地面DE之间的距离为：acosθ+bsinθ，
故答案为：A.
【分析】过点C作CF⊥AB， 交直线AB于F， 延长FC， 交直线DE于H，根据正弦的定义求出CH，根据余弦的定义求出CF，计算即可.
11．（2024九上·江北期中）如图、点分别是正方形边上的点，且．连接并延长，交的延长线于点M，设，则( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
设
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：
∵，
∴，
∴，
∴，
取，则
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用证明，再利用全等三角形的性质得到，设，再利用正方形的性质证明，然后列出比例式，从而求出，再利用，证得与的关系式，再求出DG与DF的比．
12．（2023九下·文成模拟）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点E为小正方形的顶点，延长交于点F，分别交，于点G，H，过点D作的垂线交延长线于点K，连结．若为等腰三角形，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点K作，交的延长线于点P，与交于点O，
由题意可知：四边形和四边形是正方形，
，，，
，
是等腰三角形，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
∵四边形，
，，
，
，
，，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
由题意可得：，
，
，，
，
，
，解得，
，，
，
，
∴四边形是矩形，
，，
由题意可知：，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】先利用正方形的性质和等腰三角形的性质，证明，根据全等三角形的性质，求得AG，再利用勾股定理求得AF、AB，进而求得BE与EF，接着证明，列出比例式求得，，从而可求得，再证明，列出比例式求出NH，利用ASA证明，求得KF，进而求得DH，证明四边形是矩形，就可求得PE，再利用勾股定理求出KE，然后求出．
三、解答题
13．（2025·长沙模拟）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数）
【答案】解：∵，
∴，，
在中，
∵，
∴，
∴（米），
在中，∵，
∴（米），
∴（米）．
答：这条河的宽度米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在 和 中，利用锐角三角函数，求出QN和QM的长，然后计算出MN的长即可.
14．（2025·长沙模拟）长沙香炉洲大桥全线长约三千米，横跨湘江，连通大泽湖街道和丁字湾街道，其中西汊航道独塔斜拉桥塔高202米，刷新了长沙跨江大桥的最高纪录．某校数学实践小组的同学利用课余时间对该桥进行了实地测量，得到如下数据：，，米．
（1）求的长；
（2）若一辆小车以15米/秒的速度从A往B行驶，问小车能否在40秒钟内通过路段？（参考数据：，，）
【答案】（1）解：，，米，
（米）
（2）解：，，
，
，
米，
在中，，
，
米 ，
米
米
，
小车能在秒钟内通过路段．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）利用角所对的直角边等于斜边的一半解答；
（2）根据等边对等角可得，然后利用余弦的定义求出米，即可求出AB长，比较大小解题即可．
（1）解：，，米，
（米）
（2）解：，，
，
，
米，
在中，，
，
米 ，
米
米
，
小车能在秒钟内通过路段．
四、实践探究题
15．（2025·杭州模拟）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法.
【实践活动】如图1，小明、小充分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角，，，点B，C，D在地面的同一条直线上，于点D.（测角仪的高度忽略不计）
（1）【问题解决】计算热气球离地面的高度AD.(参考数据：，，)
（2）【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中的测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案.
爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高. 根据他的想法与思路，完成以下填空：
如图2，在锐角三角形ABC中，设，，，于点D，用含，和m的代数式表示AD.
解：设，因为，
所以.
同理，因为，
所以①.
因为，
解得②.
即可求得AD的长.
【答案】（1）解：如图，
在Rt△ACD中，
在Rt△ABD中，
∵BD-CD=BC，
解得AD=60(m).
答：热气球离地面的高度AD为60m；
（2）解：设AD=x， 因为
所以
同理， 因为
所以
因为BC=BD+CD=m，
解得
即可求得AD的长.
故答案为：
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1)根据正切的定义，在Rt△ACD中得到 在Rt△ABD中BD = AD， 再利用BD-CD=BC得到 然后解方程求出AD即可；
(2)设AD =x，利用正切的定义得到 再利用BC = BD+CD= m得到关于x的方程，然后解方程即可.
16．（2025·深圳模拟）在平行四边形中，点，分别在边，上．
（1）【尝试初探】
如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值；
（2）【深入探究】
如图2，，，，求的值；
（3）【拓展延伸】
如图3，与交于点，，，，求的值．
【答案】（1）解：∵四边形为正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∵为中点
∴，
∴
∴
∴
∴
（2）解：过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则由一线三垂直可得
∴，
∴，
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴为等腰直角三角形
∴易得
∴
（3）解：延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，
不妨设，则，由，得
由
∴，
∴，
易得
∴，
∴
∴，
∴，相似比为
∴
∴
∴
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据线段中点可得，再根据正切定义可得，则，化简即可求出答案.
（2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则由一线三垂直可得，根据全等三角形判定定理可得，根据角之间的关系可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，再根据三角形内角和定理可得，则为等腰直角三角形，再根据相似三角形判定定理可得易得，则，即可求出答案.
（3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，设，则，由，得，根据正切定义可得，，根据勾股定理可得DE，再根据相似三角形判定定理可得，则，，根据正切定义可得ON，根据边之间的关系可得OE，OD，再根据相似三角形判定定理可得，相似比为，则，即，根据相似三角形性质即可求出答案.
五、证明题
17．（2025·台州模拟）如图，在中，，交于点，点为中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
又点为中点，
；
（2）解：，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的对角线互相平分得，则是三角形的中位线；
（2）先解直角三角形ABC求出的长，再结合（1）的结论即可得出结果．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
又点为中点，
；
（2）解：，
，
，
，
．
18．（2025·宁乡市模拟）如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接、．
（1）若，求证：是的切线．
（2）连接，若，，求的半径长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2）解：是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长为．
【知识点】解直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）连接，根据圆周角定理和已知可得，根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”可得，由平行线的性质可得CE⊥OC，再根据圆的切线的判定可求解；
（2）由直径所对的圆周角是直角可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得=，结合已知求得AC的值，在Rt△ABC中，用勾股定理求出直径AB的值，由圆的性质即可求解．
（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2）解：是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长为．
六、阅读理解题
19．（2023·包头模拟）阅读下面的材料，并回答所提出的问题：如图所示，在锐角三角形中，求证：
这个三角形不是一个直角三角形，不能直接使用锐角三角函数的知识去处理，所以必须构造直角三角形，过点A作，垂足为D，则在和中由正弦定义可完成证明．
解：如图，过点A作，垂足为D，
在中，，则
中，，则
所以，即
（1）在上述分析证明过程中，主要用到了下列三种数学思想方法的哪一种（ ）
A．数形结合的思想； B．转化的思想； C．分类的思想
（2）用上述思想方法解答下面问题．
在中，，求和的面积．
（3）用上述结论解答下面的问题（不必添加辅助线）
在锐角三角形中，，求的度数．
【答案】（1）B
（2）解：过A作于D，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
直角三角形中，根据勾股定理可得，
，
；
（3）解：由题意可得：＝，
即：，
∴sinB＝，
∴．
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）由求解过程可知主要用到了转化的思想
故答案为：B；
【分析】（1）根据解过程可知主要用到了转化的思想；
（2）过A作于D， 解直角三角形求出AD、AB，根据三角形面积公式求出的面积；
（3）根据结论可得 ＝，即：，求出sinB＝，则。
20．（2021·射阳模拟）（阅读理解）设点 在矩形 内部，当点 到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点 为该边的“和谐点”.例如：如图1，矩形 中，若 ，则称 为边 的“和谐点”.
（解题运用）已知，点 在矩形 内部，且 ， .
（1）设 是边 的“和谐点”，则 ▲ 边 的“和谐点”（填“是”或“不是”）；连接 ， ，求 的值.
（2）若 是边 的“和谐点”，连接 ， ，当 时，求 的值；
（3）如图2，若 是边 的“和谐点”，连接 ； ， ，求 的最大值.
【答案】（1）解：是；过点P作PE⊥AD于E，延长EP交BC于G，作PF⊥AB于F，
∵ 是边 的“和谐点”，
∴EG为AD的垂直平分线，
∴PF=4，PG=10-PE，
∵ ，
∴ ，即20+4（10-PE）=16PE，
解得：PE=3，
∴PA= =
（2）解：如图2，过点 作 于 ， 于 ，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形， ，
∴ ，
∵ ，且 在矩形内部，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ 的值为 或 .
（3）解：如图3，过点 作 于 ，
由（2）知：点 在 和 的垂直平分线上，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
当 时， 有最大值25，
∴ 有最大值 ，
∴当 时， 的最大值是 .
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1） 是边 的“和谐点”，理由如下：
如图1， 连接 、 ，
∵ 是边 的“和谐点”，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是边 的“和谐点”，
故答案为：是；
【分析】（1）连接PB、PC，则PA=PD，由等腰三角形的性质可得∠PDA=∠PAD，由矩形的性质可得AB=CD，∠CDA=∠BAD=90°，证明△BAP≌△CDP，得到PB=PC，据此判断；过点P作PE⊥AD于E，延长EP交BC于G，作PF⊥AB于F，则EG为AD的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得PF=4，PG=10-PE，接下来根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系可得PE，然后利用勾股定理求解就可得到PA；
（2）过点P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，则AD=2AE，∠PEA=∠PFA=90°，由矩形的性质可得∠BAD=90°，BC=AD=8，AE=PF=4，由同角的余角相等可得∠PAF=∠BPF，证明△APF∽△PBF，由相似三角形的性质可得PF2=AF(AB-AF)，设AF=x，则BF=10-x，代入求解可得x，然后利用勾股定理可得PA；
（3）过点P作PN⊥AB于N，由（2）知：点P在AD和BC的垂直平分线上，则PN=4，利用三角函数的概念表示出tan∠PAB·tan∠PBA，进而得到，设AN=x，自然BN=10-x，然后表示出AN·BN，结合二次函数的性质进行求解.
1 / 1锐角三角函数-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、填空题
1．（2025·拱墅模拟）如图，在中，，是的角平分线，点E在上，过点E作，交于点F．若，，，则 ．
2．（2025·崇州模拟） 如图，在中，，，点D为斜边AC上一点，连接BD，将沿BD翻折得到，BE与AC交于点F，当时，则 .
3．（2025·成华模拟）如图，在菱形中，，其顶点落在反比例函数的图象上，顶点落在轴的正半轴上，顶点落在反比例函数的图象上，则的值为 ．
4．（2025·深圳模拟）如图，身高1.6米的小亮站在点测得旗杆的仰角为，小亮向旗杆走了6米到达点，测得旗杆的仰角为，则旗杆的高度为 米．（，，）
5．（2025·成华模拟）如图，在矩形中，，，，是边上两点，且，，连接，，和交于点，连接，则的值是 ．
6．（2025·崇州模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴分别交于点和点，过顶点的直线轴于点，点为线段上一点，点在线段上，且，当取最小值时，则 ．
二、选择题
7．（2025·萧山模拟）如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（四川省南充市南部县第二中学2024-2025学年九年级下学期第一次阶段性学情诊断数学试题）如图，把矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·聊城月考）在中，若角，满足，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·临平模拟）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知跑步机手柄AB与地面DE平行，支架AC、踏板CD的长分别为a，b，∠ACD=90°，记CD与地面DE的夹角为θ，则跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九上·江北期中）如图、点分别是正方形边上的点，且．连接并延长，交的延长线于点M，设，则( )
A． B．
C． D．
12．（2023九下·文成模拟）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点E为小正方形的顶点，延长交于点F，分别交，于点G，H，过点D作的垂线交延长线于点K，连结．若为等腰三角形，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
13．（2025·长沙模拟）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数）
14．（2025·长沙模拟）长沙香炉洲大桥全线长约三千米，横跨湘江，连通大泽湖街道和丁字湾街道，其中西汊航道独塔斜拉桥塔高202米，刷新了长沙跨江大桥的最高纪录．某校数学实践小组的同学利用课余时间对该桥进行了实地测量，得到如下数据：，，米．
（1）求的长；
（2）若一辆小车以15米/秒的速度从A往B行驶，问小车能否在40秒钟内通过路段？（参考数据：，，）
四、实践探究题
15．（2025·杭州模拟）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法.
【实践活动】如图1，小明、小充分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角，，，点B，C，D在地面的同一条直线上，于点D.（测角仪的高度忽略不计）
（1）【问题解决】计算热气球离地面的高度AD.(参考数据：，，)
（2）【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中的测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案.
爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高. 根据他的想法与思路，完成以下填空：
如图2，在锐角三角形ABC中，设，，，于点D，用含，和m的代数式表示AD.
解：设，因为，
所以.
同理，因为，
所以①.
因为，
解得②.
即可求得AD的长.
16．（2025·深圳模拟）在平行四边形中，点，分别在边，上．
（1）【尝试初探】
如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值；
（2）【深入探究】
如图2，，，，求的值；
（3）【拓展延伸】
如图3，与交于点，，，，求的值．
五、证明题
17．（2025·台州模拟）如图，在中，，交于点，点为中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
18．（2025·宁乡市模拟）如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接、．
（1）若，求证：是的切线．
（2）连接，若，，求的半径长．
六、阅读理解题
19．（2023·包头模拟）阅读下面的材料，并回答所提出的问题：如图所示，在锐角三角形中，求证：
这个三角形不是一个直角三角形，不能直接使用锐角三角函数的知识去处理，所以必须构造直角三角形，过点A作，垂足为D，则在和中由正弦定义可完成证明．
解：如图，过点A作，垂足为D，
在中，，则
中，，则
所以，即
（1）在上述分析证明过程中，主要用到了下列三种数学思想方法的哪一种（ ）
A．数形结合的思想； B．转化的思想； C．分类的思想
（2）用上述思想方法解答下面问题．
在中，，求和的面积．
（3）用上述结论解答下面的问题（不必添加辅助线）
在锐角三角形中，，求的度数．
20．（2021·射阳模拟）（阅读理解）设点 在矩形 内部，当点 到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点 为该边的“和谐点”.例如：如图1，矩形 中，若 ，则称 为边 的“和谐点”.
（解题运用）已知，点 在矩形 内部，且 ， .
（1）设 是边 的“和谐点”，则 ▲ 边 的“和谐点”（填“是”或“不是”）；连接 ， ，求 的值.
（2）若 是边 的“和谐点”，连接 ， ，当 时，求 的值；
（3）如图2，若 是边 的“和谐点”，连接 ； ， ，求 的最大值.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：作于点H，则，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵于点E，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】作于点H，即可得到，然后利用得到，即可得到，求出BDC长，再根据余弦的定义解答即可．
2．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H.
∵ED⊥AC，
∴∠EDC=90°，
由翻折变换的性质可知∠BDE=∠BDC，
∵∠BDE+∠BDC+∠EDC=360°，
∴∠BDE=∠BDC=135°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDF=45°，
∵BH⊥AC，
∴∠BHD=90°，
∴∠BDH=∠DBH =45°
∴BH=DH，
∵
∴可以假设AB=5m，AC=5m
∴，
∴
∴CH=2BH，
∴DH=CD=DE，
设DH=CD=DE=k，则，
∴
故答案为：.
【分析】过点B作BH⊥AC于点H，证明∠BDH=45°，再证明BH=DH=CD=DE，可得结论.
3．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作轴于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，负值舍去，
经检验是方程的解，
∴，
∴，
∵菱形中，
∴，
∵顶点落在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：．
【分析】过点A作轴于点D，在Rt△AOD中，根据锐角三角函数tan∠AOB=可将AD用含OD的代数式表示出来，设，则，得出，根据点A在反比例函数的图象上可将点A的坐标代入反比例函数的解析式得关于m的方程，解方程求出m的值，根据勾股定理求出，根据菱形性质得点C的坐标，把点C的坐标代入反比例函数的解析式计算即可求解．
4．【答案】5.6
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设AE的延长线交CD于点H
∵AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，AB=EF
∴四边形ABFE，四边形ABDH都为矩形
∴DH=AB=1.6，AE=BF=6
在Rt△CEH中
∵∠ECH=90°-∠CEH=27°
∴
在Rt△ACH中
∵AH-EH=AE
∴
解得：CH=4
∴CD=CH+DH=5.6
∴旗杆的高度为5.6米
故答案为：5.6
【分析】设AE的延长线交CD于点H，根据矩形判定定理可得四边形ABFE，四边形ABDH都为矩形，则DH=AB=1.6，AE=BF=6，解直角三角形可得，，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得CH，再根据边之间的关系即可求出答案.
5．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作交于点，交于点，作交于点，
矩形中，，，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
中，
，
，
中，
，
，，
，，，
四边形是矩形，
，
在中，．
故答案为：．
【分析】作交于点，交于点，作交于点，由题意，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形AMNB是矩形，由矩形的性质可得MN=AB，GM⊥AM，由线段的和差EF=BC-BE-CF求得EF的值，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求出NG的值，在Rt△CDE中，用勾股定理求得DE的值，在Rt△ENG中，用勾股定理求得EN的值，由线段的和差BN=BE+EN求得B你的值，用勾股定理求得BG的值，同理可得四边形PBNG是矩形，于是BP=NG，在Rt△BPG中，根据锐角三角函数计算即可求解．
6．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵，
当时，即，可得，，
∴，，
则，，
∴，则，
分别取，的中点，，连接，则，，是的中位线，
∴，
∵，
∴，
过点作，且，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，当在上时取等号，
即：当取最小值时，在上，
此时，过点作，则，，
又∵，
∴，则，
可得，则
∴此时，
即：当取最小值时，，
故答案为：．
【分析】先求出点B、C的坐标，根据余弦的定义求出，分别取，的中点，，连接，则是的中位线，过点作，证明，得，即可得到，当在上时取等号，此时过点作，利用解直角三角形求出BM长解题即可．
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】
过点作于点，可由等腰三角形三线合一得到，再解即可表示，即可求解．
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质；求正弦值
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；锐角三角函数的定义；实数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
A，B，C是三角形的内角
∴∠A=30°，∠B=45°
则∠C=180°-∠A-∠B=105°
故答案为：D
【分析】根据绝对值与二次根式的性质可求出，再根据三角形中内角的三角函数值的性质可得∠A=30°，∠B=45°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图， 过点C作CF⊥AB，交直线AB于F，延长FC， 交直线DE于H，
在Rt△DCH中， ∠D=θ， CD=b，
则CH=CD· sin D=bsinθ，
∵∠D=θ，
∴∠DCH =90°-θ，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACF=θ，
∴CF =AC·cos∠ACF=acosθ，
∴手柄AB所在直线与地面DE之间的距离为：acosθ+bsinθ，
故答案为：A.
【分析】过点C作CF⊥AB， 交直线AB于F， 延长FC， 交直线DE于H，根据正弦的定义求出CH，根据余弦的定义求出CF，计算即可.
11．【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
设
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：
∵，
∴，
∴，
∴，
取，则
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用证明，再利用全等三角形的性质得到，设，再利用正方形的性质证明，然后列出比例式，从而求出，再利用，证得与的关系式，再求出DG与DF的比．
12．【答案】D
【知识点】正方形的性质；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点K作，交的延长线于点P，与交于点O，
由题意可知：四边形和四边形是正方形，
，，，
，
是等腰三角形，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
∵四边形，
，，
，
，
，，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
由题意可得：，
，
，，
，
，
，解得，
，，
，
，
∴四边形是矩形，
，，
由题意可知：，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】先利用正方形的性质和等腰三角形的性质，证明，根据全等三角形的性质，求得AG，再利用勾股定理求得AF、AB，进而求得BE与EF，接着证明，列出比例式求得，，从而可求得，再证明，列出比例式求出NH，利用ASA证明，求得KF，进而求得DH，证明四边形是矩形，就可求得PE，再利用勾股定理求出KE，然后求出．
13．【答案】解：∵，
∴，，
在中，
∵，
∴，
∴（米），
在中，∵，
∴（米），
∴（米）．
答：这条河的宽度米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在 和 中，利用锐角三角函数，求出QN和QM的长，然后计算出MN的长即可.
14．【答案】（1）解：，，米，
（米）
（2）解：，，
，
，
米，
在中，，
，
米 ，
米
米
，
小车能在秒钟内通过路段．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）利用角所对的直角边等于斜边的一半解答；
（2）根据等边对等角可得，然后利用余弦的定义求出米，即可求出AB长，比较大小解题即可．
（1）解：，，米，
（米）
（2）解：，，
，
，
米，
在中，，
，
米 ，
米
米
，
小车能在秒钟内通过路段．
15．【答案】（1）解：如图，
在Rt△ACD中，
在Rt△ABD中，
∵BD-CD=BC，
解得AD=60(m).
答：热气球离地面的高度AD为60m；
（2）解：设AD=x， 因为
所以
同理， 因为
所以
因为BC=BD+CD=m，
解得
即可求得AD的长.
故答案为：
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1)根据正切的定义，在Rt△ACD中得到 在Rt△ABD中BD = AD， 再利用BD-CD=BC得到 然后解方程求出AD即可；
(2)设AD =x，利用正切的定义得到 再利用BC = BD+CD= m得到关于x的方程，然后解方程即可.
16．【答案】（1）解：∵四边形为正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∵为中点
∴，
∴
∴
∴
∴
（2）解：过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则由一线三垂直可得
∴，
∴，
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴为等腰直角三角形
∴易得
∴
（3）解：延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，
不妨设，则，由，得
由
∴，
∴，
易得
∴，
∴
∴，
∴，相似比为
∴
∴
∴
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据线段中点可得，再根据正切定义可得，则，化简即可求出答案.
（2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则由一线三垂直可得，根据全等三角形判定定理可得，根据角之间的关系可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，再根据三角形内角和定理可得，则为等腰直角三角形，再根据相似三角形判定定理可得易得，则，即可求出答案.
（3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，设，则，由，得，根据正切定义可得，，根据勾股定理可得DE，再根据相似三角形判定定理可得，则，，根据正切定义可得ON，根据边之间的关系可得OE，OD，再根据相似三角形判定定理可得，相似比为，则，即，根据相似三角形性质即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
又点为中点，
；
（2）解：，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的对角线互相平分得，则是三角形的中位线；
（2）先解直角三角形ABC求出的长，再结合（1）的结论即可得出结果．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
又点为中点，
；
（2）解：，
，
，
，
．
18．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2）解：是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长为．
【知识点】解直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）连接，根据圆周角定理和已知可得，根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”可得，由平行线的性质可得CE⊥OC，再根据圆的切线的判定可求解；
（2）由直径所对的圆周角是直角可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得=，结合已知求得AC的值，在Rt△ABC中，用勾股定理求出直径AB的值，由圆的性质即可求解．
（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2）解：是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长为．
19．【答案】（1）B
（2）解：过A作于D，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
直角三角形中，根据勾股定理可得，
，
；
（3）解：由题意可得：＝，
即：，
∴sinB＝，
∴．
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）由求解过程可知主要用到了转化的思想
故答案为：B；
【分析】（1）根据解过程可知主要用到了转化的思想；
（2）过A作于D， 解直角三角形求出AD、AB，根据三角形面积公式求出的面积；
（3）根据结论可得 ＝，即：，求出sinB＝，则。
20．【答案】（1）解：是；过点P作PE⊥AD于E，延长EP交BC于G，作PF⊥AB于F，
∵ 是边 的“和谐点”，
∴EG为AD的垂直平分线，
∴PF=4，PG=10-PE，
∵ ，
∴ ，即20+4（10-PE）=16PE，
解得：PE=3，
∴PA= =
（2）解：如图2，过点 作 于 ， 于 ，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形， ，
∴ ，
∵ ，且 在矩形内部，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ 的值为 或 .
（3）解：如图3，过点 作 于 ，
由（2）知：点 在 和 的垂直平分线上，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
当 时， 有最大值25，
∴ 有最大值 ，
∴当 时， 的最大值是 .
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1） 是边 的“和谐点”，理由如下：
如图1， 连接 、 ，
∵ 是边 的“和谐点”，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是边 的“和谐点”，
故答案为：是；
【分析】（1）连接PB、PC，则PA=PD，由等腰三角形的性质可得∠PDA=∠PAD，由矩形的性质可得AB=CD，∠CDA=∠BAD=90°，证明△BAP≌△CDP，得到PB=PC，据此判断；过点P作PE⊥AD于E，延长EP交BC于G，作PF⊥AB于F，则EG为AD的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得PF=4，PG=10-PE，接下来根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系可得PE，然后利用勾股定理求解就可得到PA；
（2）过点P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，则AD=2AE，∠PEA=∠PFA=90°，由矩形的性质可得∠BAD=90°，BC=AD=8，AE=PF=4，由同角的余角相等可得∠PAF=∠BPF，证明△APF∽△PBF，由相似三角形的性质可得PF2=AF(AB-AF)，设AF=x，则BF=10-x，代入求解可得x，然后利用勾股定理可得PA；
（3）过点P作PN⊥AB于N，由（2）知：点P在AD和BC的垂直平分线上，则PN=4，利用三角函数的概念表示出tan∠PAB·tan∠PBA，进而得到，设AN=x，自然BN=10-x，然后表示出AN·BN，结合二次函数的性质进行求解.
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