华中师大一附中2024-2025学年度下学期高一期中检测
数 学 试 题
时限：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数z满足 则复数z=
A. 2-i B. 2+i C. 2-2i D. 8+8i
2.化简以下各式，结果不是零向量的为
3.下列命题中正确的是
A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α
B 若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行
C.若直线a/直线b,直线b∥平面α 则直线a∥平面α
D.若直线 a平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点
4.若ā，b为非零向量，则 是“ = ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km 到达D，此时测得CD距离为21km，若此人必须在20分钟内从D处到达A 处，则此人的最小速度为
A.30km/h B.45km/h
C. 14km/h D. 15km/h
6.若向量，的夹角是 是单位向量， 则向量与的夹角为
A. π3 B. π/6
7.如图，在棱长均为2的直三棱柱 中，D是棱A B 的中点,过B、C、D三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点 B 所在部分的体积为
C.
8. 已知△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若 则△ABC的形状是
A.等腰三角形但不是直角三角形 B.直角三角形但不是等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知z ，z 都是复数，下列选项中正确的是
A. 若 则：z =0.或 B. 若 则
C. 若 则 是实数 D. 若 则
10.如图，已知直线l ∥l , 点A是l , l 之间的一个定点, 点A到l , l 的距离分别为l, 2.点B是直线l 上一个动点，过点A作AC⊥AB，交直线l 于点 C，点G满足 则
B. 当|AB|=4时,
C.△ABC面积的最小值是1
D. |AG|≥1
11.正方体 的棱长为2，M为AA 的中点，平面α经过点 且与CM垂直，则
A. CM⊥BD B. BD∥平面α
C. 平面C BD∥平面α D.平面α截正方体所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若2i-3是关于x的方程 的一个根，则
}3.某同学做了一个木制陀螺，该陀螺由两个底面重合的圆锥组成.已知该陀螺上、下两个圆锥的体积之比为1：2.上面圆锥的高与其底面半径相等，则上、下两个圆锥的母线长之比为 .
14. 在锐角△ABC中, 三内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且( 则的最小值为 .
四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分) 如图, 在四边形ABCD中, △ABD是等边三角形,. 是以 BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到 在翻折的过程中
(1) 求证: BD⊥PC;
(2) 若DP⊥BC垂直, 求证: PC⊥平面 BCD.
16. (15分) 如图, 在梯形ABCD中, AB∥CD, AB⊥AD, AB=2CD=4, E, F分别为DC, CB的中点, 且 P是线段AB上的一个动点.
(1) 求AD;
(2) 求∠EAF;
(3)求( 的取值范围.
17.(15分)如图，在棱长为2的正方体 中, E, F, G, H, P分别是棱AD, A B , CC , BC, CD的中点,
(1)过点A，G，H作正方体的截面，并说明理由；
(2)求三棱锥F-EPH的外接球的表面积；
(3) 设点M在平面BB C C内, 且A M∥平面AGH,求直线A M与直线AB 所成角的余弦值的最大值.
18.(17分)如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE为半径作半圆，B为半圆上除去直径端点的一点，连接BC，BD.
(1)若AD=2,以BD为边作正三角形BFD(点F在直线BD的上方), 当四边形ABFD面积为 时, 求;
(2)在△ABC中, 记∠BAC, ∠ABC, ∠ACB的对边分别为a, b, c,. 的面积为S，满足
①求证: ∠BAC=2∠ABC; ②求 的最小值.
19.(17分)布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形..边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设P是 内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ, 则称点P为△ABC的布洛卡点,角θ为△ABC的布洛卡角.如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题：
(1) 若a=c, 且. 求A和;
(3)若 求 的值.0华中师大一附中下学期高一期中检测答案
选择题：
1.C2.B
3.D4.B5.B6.A7.D8.B
9.ACD
10.ABD
11.ABD
蚁空题：
12.38
13.√10：5
14.8
解答题：
15.（1)攻BD的中点M,在等腰Rt△BCD中，BC=CD,M为BC的中点，
∴.CM⊥BD,在等边△PBD中，BD⊥PM,又PM∩CM=M,
∴.BD⊥平面PCM,又PCc平面PCM,∴.BD⊥PC
(2),在Rt△BCD中，BC⊥CD,又BC⊥DP,又CD∩DP=D,
.BC⊥平面PCD,又PCC平面PCM,∴.BC⊥PC
又由(1)知PC⊥BD(（已证)，BC∩BD=B,∴.PC⊥平面BCD
16,建立以A为原点，AB为x轴正半轴，AD为y轴正半轴的坐标系，
.A0,0),B(4,0),假设D(0,J0)0o>0),则E(1,0),C(2,0),F(3,n/2),
Ac=2,w),F=0,-2〉
(1)由AC.示=2，则4-台=2，即6=4，又为>0，∴6=2，D=2
2
(2)由（1)知：(1,2)，F3,1),AE=(,2),正=(3,1)
cos∠E4F=
证丽5而方受，义BMr为锐角
EF51√2
·∠EAF=T
4
(3)设P(,00≤0≤4)，.PE=1-x,2),PE=(1-x,2)
∴P2+PF=(4-2x,3),PA=(-o,0)
∴.(Pe+PF}PA=(4-2x,3)(-0)=(4-2xo】(←x）=2x6-4x。
=2[(x0-102-1=2(x-102-2
'0s≤4，∴.(PE+PF}Pie-2,16]
17.（1)在正方体ABCD-AB,C,D中，平面ADD1A1∥平面BCCB,
设平而AGH∩平面A1MDD1=l,平面AGH∩平面BCCB1=GH,
∴.GH∥I,又G,H分别是CC和BC的中点，
∴.GH M BC,BC∥ADI,GH∥ADI,1即为直线AD,
.正方体中过点A,G,H的截面是ADGH
(2)易知AC的中点O到F,E,P,H的距离均相等，且为OF=OE=OP=OH=√2，
∴O是三棱锥F-EPH的外接球的球心，其半径为R=V2,
.Sw=4πR2=4r(N2)2=8r
(3)取B1C的中点S,又BB1的中点Q,则S2∥BC,又GH∥BC
GHc平面AGH,.S2∥平面AGH,又在正方体ABCD-A,B,CD,中，
A1S∥AH,.ASI平面AGH,又AS∩Sg=S
.平面AS2∥平面AGH,∴.点M在线段S0上运动
又AB∥A1B1,直线AM与AB所成的角即为直线AIM与A1B所成的角∠MAB,
又AB,⊥平面BBCC,.AB⊥BM，△AIBM是Rt△
∴an∠MAR=B4-B,又BM的最小值为5
AB 2
aam24ge=9.iesM-子a
:直线AM与AB所成的角的余弦值的最大值为子V反
18,(1)设∠BAD=a,C∈(0，x),在△ABD中，AD=2,AE=AB=1,
由余弦定理：BD2=AB2+AD2-2AB·AD-cosa,
即BD2=12+22-2.2cosa=5-4c0sa
又SAOFD=SMBD+SFD=21-2sina+8D2sin60°
2
an血a+原6-4ma=g5+s如a-5sa-5+2inte-骨-25+2
4
4
4
又a0,号
5
,a=
3
2
cosLBAC-cos(-5)=cs
6
62
(2)①由（公2-bsA=2S,(g-)sin4=22csim4,叉simA=0,
.a2-b2=bc,a2=b2+bc,又由汆弦定排：a2=b2+c2-2hcco8A
∴.b2+bc=b2+c2-2 be cosA,∴.bc(2cosA+l)=c2，.b(2cosA+l)=c
'.2sin B.cos +sin B=sin C,sinC=sin(+B)=sin A.cos B+cos A.sin B
.sinB=sin A.cos B-sin B.cos A=sin(A-B),又0∴B=A-B或B+A-B=π，即A=2B或A=π（舍去)，故A=2B
即∠BAC=2∠ABC
②不妨设∠ABC=8,则∠BAC=20,∠ACB=π-8-28=π-38
[0<0<π
由正弦定律知：，6=。
、。，c=bmB义了0’·0<
0<π-30<π