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第十一章 不等式与不等式组
11.3 一元一次不等式组
1．了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义，会结合数轴找出各个不等式的解集的公共部分．
2．经历解出不等式组中的每个不等式，利用数轴得到不等式组的解集的过程，掌握不等式组的解法，培养数形结合思想的应用．
说一说解一元一次不等式的一般步骤：
去分母：在不等式两边乘各分母的最小公倍数；
去括号：把所有因式去括号展开；
移项：把含未知数的项移到不等号左边，常数项移到不等号右边；
合并同类项：化为 ax＞b（或 ax＜b）的形式（其中 a≠0）；
系数化为 1：不等式两边都除以 a，得到不等式的解集．
一个不等式可以表示一个不等关系，当一个问题中含有多个不等关系时，怎样用不等式表示并求解呢？
问题：某工程队用每小时可抽 30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过 1 200 t 而不足 1 500 t，求将污水抽完所用时间的范围.
解：设用 x h 将污水抽完，则 x 同时满足不等式：
类似于方程组，把这两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.
两个或更多的一元一次不等式合起来，都可以组成一个一元一次不等式组．
类似方程组的解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中 x 的取值范围．
思考：怎样确定不等式组中 x 的取值范围呢？
解：由不等式①，解得
x＞40．
由不等式②，解得
x＜50．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
从上图容易看出不等式①和②的解集的公共部分，也就是不等式组中x的取值范围是
40＜x＜50．
这就是说，将污水抽完所用时间多于 40 h 而少于 50 h．
“公共部分”是指解集中同时满足不等式组中每一个不等式的那部分解集．
如果不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解．
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集．
例1：利用数轴确定下列不等式组的解集：
(1) ；(2)；(3) ；(4)
解：（1）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
3
－1
0
由图可知，不等式组的解集是 x＞3；
解：（2）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
由图可知，不等式组的解集是 x≤－3 ；
1
－3
0
例1：利用数轴确定下列不等式组的解集：
(1) ；(2)；(3) ；(4)
例1：利用数轴确定下列不等式组的解集：
(1) ；(2)；(3) ；(4)
解：（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
由图可知，不等式组的解集是 －1＜x≤3 ；
3
－1
0
例1：利用数轴确定下列不等式组的解集：
(1) ；(2)；(3) ；(4)
解：（4）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
由图可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，所以不等式组无解.
3
－1
0
一元一次不等式组的解集的四种情况：
x＞a
（1）
同大取大
a
b
x＜b
（2）
同小取小
b＜x＜a
（3）
大小小大中间找
无解
（4）
大大小小无处找
设 a＞b，则
a
b
a
b
a
b
例2：解下列一元一次不等式组.
解：(1)
解不等式①，得 x＞2
解不等式② ，得 x＞3
把不等式①、 ②的解集在数轴上表示出来
所以，这个不等式组的解集是 x＞3
例2：解下列一元一次不等式组.
解：(2)
解不等式①，得 x≥8
解不等式② ，得 x＜
把不等式①、 ②的解集在数轴上表示出来
所以，此不等式组无解.
解一元一次不等式组的步骤
（1）分别解两个一元一次不等式；
（2）将两个一元一次不等式的解集表示在同一个数轴上；
（3）通过数轴确定两个一元一次不等式解集的公共部分；
（4）写出一元一次不等式组的解集．
例2：x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与都成立？
解：解不等式组
所以x可取的整数值是-2，-1，0，1，2，3，4．
得
分析：使两个不等式都成立的x的值，就是两个不等式的公共解，因此求出由这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是x可取的整数值．
【知识技能类练习】必做题：
1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
A
【知识技能类练习】必做题：
2．不等式组 的整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
【知识技能类练习】必做题：
3．解不等式组：
解：由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
【知识技能类练习】选做题：
4．求满足不等式组的正整数解．
解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
【综合拓展类练习】
5．小南解不等式组的过程如下：
解：由①，得， 第一步
∴， 第二步
∴． 第三步
由②，得， 第四步
∴， 第五步
所以原不等式组的解为．第六步
(1)老师批改时说小南的解题过程有错误，小南从第_______步开始出现错误．
(2)请你写出正确的解答过程．
四
解：（2）由①，得
，
∴，
∴．
由②，得，
∴，
∴，
∴，
所以原不等式组的解为
．
一元一次不等式组的解法
一元一次不等式组的概念
一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集
【知识技能类作业】必做题：
1．不等式组的解集是（ ）
A． B． C．无解 D．
D
【知识技能类作业】必做题：
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
3．解不等式组：
解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
【知识技能类作业】选做题：
4．不等式组，的解集是，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
C
【综合拓展类作业】
5．车厘子具有养颜美容、健脑益智等功效，鲜四季水果店老板发现五一期间该水果销量很好，准备购进智利车厘子若干千克销售．现有两个批发商价格一致，标价均为160元/千克，两个批发商推出各自销售的优惠方案，甲商家：一次性购买金额不超过6400元的部分不优惠，超过6400元的部分按标价的六折售卖；乙商家：全部按标价的八折优惠．若鲜四季水果店老板购进的车厘子为x千克．
(1)分别用含x的式子表示在甲、乙两个商家购买车厘子所需的金额：
在甲商家购买所需费用：____________元；
在乙商家购买所需费用：____________元；
(2)通过计算说明该老板到哪个商家购买更划算？
(96x+2560)
128x
【综合拓展类作业】
解：（2）当时，到乙商家购买更划算，解得，
当时，到两个商家购买费用相同，解得，
当时，到甲商家购买更划算，解得，
综上所述，当时，到甲商家购买更划算；当时，到两个商家购买费用相同；当时，到乙商家购买更划算．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 11.3 一元一次不等式组 单元 第十一章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1．了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义，会结合数轴找出各个不等式的解集的公共部分． 2．经历解出不等式组中的每个不等式，利用数轴得到不等式组的解集的过程，掌握不等式组的解法，培养数形结合思想的应用．
重点 理解一元一次不等式组的解集的意义；掌握一元一次不等式组的解法．
难点 一元一次不等式组解集的理解；借助数轴找各个不等式解集的公共部分．
探究过程
导入新课 【引入思考】 说一说解一元一次不等式的一般步骤：
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助一个问题中含有多个不等关系，研究一元一次不等式组。 问题：某工程队用每小时可抽 30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过 1 200 t 而不足 1 500 t，求将污水抽完所用时间的范围. 解：设用 x h 将污水抽完，则 x 同时满足不等式： ____________ ____________ 归纳：类似于方程组，把这两个含有同一个_________的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组. 记作： 注意：两个或更多的一元一次不等式合起来，都可以组成一个一元一次不等式组． 思考：怎样确定不等式组中 x 的取值范围呢？ 类似方程组的解，不等式组中的各不等式解集的_______部分，就是不等式组中 x 的取值范围． 解：由不等式①，解得 x＞____． 由不等式②，解得 x＜_____． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 从上图容易看出不等式①和②的解集的公共部分，也就是不等式组中x的取值范围是 _____＜x＜_____． 这就是说，将污水抽完所用时间多于_____ h 而少于_____ h． 归纳：一般地，几个不等式的解集的_______部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的______． 注意：“公共部分”是指解集中同时满足不等式组中每一个不等式的那部分解集． 如果不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解． 例1：利用数轴确定下列不等式组的解集： (1)；(2)；(3)；(4) 归纳：一元一次不等式组的解集的四种情况： 设a＞b，则 （1） 解集：x＞a，同大取大 （2） 解集：x＜b，同小取小 （3） 解集：b＜x＜a，大小小大中间找 （4） 解集：无解，大大小小无处找 例2：解下列一元一次不等式组. 例3：x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与都成立？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B．C． D． 2．不等式组 的整数解有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．解不等式组： 选做题： 4．求满足不等式组的正整数解． 【综合拓展类练习】 5．小南解不等式组的过程如下： 解：由①，得， 第一步 ∴， 第二步 ∴． 第三步 由②，得， 第四步 ∴， 第五步 所以原不等式组的解为． 第六步
(1)老师批改时说小南的解题过程有错误，小南从第_______步开始出现错误． (2)请你写出正确的解答过程．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．不等式组的解集是（ ） A． B． C．无解 D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 3．解不等式组： 选做题： 4．不等式组，的解集是，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．车厘子具有养颜美容、健脑益智等功效，鲜四季水果店老板发现五一期间该水果销量很好，准备购进智利车厘子若干千克销售．现有两个批发商价格一致，标价均为160元/千克，两个批发商推出各自销售的优惠方案，甲商家：一次性购买金额不超过6400元的部分不优惠，超过6400元的部分按标价的六折售卖；乙商家：全部按标价的八折优惠．若鲜四季水果店老板购进的车厘子为x千克． (1)分别用含x的式子表示在甲、乙两个商家购买车厘子所需的金额： 在甲商家购买所需费用：______元； 在乙商家购买所需费用：______元； (2)通过计算说明该老板到哪个商家购买更划算？
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分课时教学设计
第七课时《11.3 一元一次不等式组》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节的主要内容是一元一次不等式组的概念及解法，会利用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，进而求解。本节课在上节一元一次不等式的基础上来学习一元一次不等式组，通过利用数轴来确定一元一次不等式组的解集，让学生初步感知数形结合的数学思想方法。
学习者分析 学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组及其应用，在此基础上，由相等关系转到不等关系，学习了一元一次不等式及其应用，能运用数轴确定不等式的解集。因此通过类比，由一元一次不等式猜想一元一次不等式组的概念，并通过在数轴上展示解集的公共部分来确定不等式组的解集来开展学习。
教学目标 1．了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义，会结合数轴找出各个不等式的解集的公共部分． 2．经历解出不等式组中的每个不等式，利用数轴得到不等式组的解集的过程，掌握不等式组的解法，培养数形结合思想的应用．
教学重点 理解一元一次不等式组的解集的意义；掌握一元一次不等式组的解法．
教学难点 一元一次不等式组解集的理解；借助数轴找各个不等式解集的公共部分．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义，会结合数轴找出各个不等式的解集的公共部分． 2．经历解出不等式组中的每个不等式，利用数轴得到不等式组的解集的过程，掌握不等式组的解法，培养数形结合思想的应用．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：说一说解一元一次不等式的一般步骤： 预设： 去分母：在不等式两边乘各分母的最小公倍数； 去括号：把所有因式去括号展开； 移项：把含未知数的项移到不等号左边，常数项移到不等号右边； 合并同类项：化为 ax＞b（或 ax＜b）的形式（其中 a≠0）； 系数化为 1：不等式两边都除以 a，得到不等式的解集． 导言：一个不等式可以表示一个不等关系，当一个问题中含有多个不等关系时，怎样用不等式表示并求解呢？学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习一元一次不等式的解法的步骤，既巩固了之前的知识，又为新知识的学习做了准备。环节三：新知讲解教师活动3： 问题：某工程队用每小时可抽 30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过 1 200 t 而不足 1 500 t，求将污水抽完所用时间的范围. 解：设用 x h 将污水抽完，则 x 同时满足不等式： 归纳：类似于方程组，把这两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组. 记作： 指出：两个或更多的一元一次不等式合起来，都可以组成一个一元一次不等式组． 思考：怎样确定不等式组中 x 的取值范围呢？ 讲解：类似方程组的解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中 x 的取值范围． 解：由不等式①，解得 x＞40． 由不等式②，解得 x＜50． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 从上图容易看出不等式①和②的解集的公共部分，也就是不等式组中x的取值范围是 40＜x＜50． 这就是说，将污水抽完所用时间多于 40 h 而少于 50 h． 归纳：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集． 指出：“公共部分”是指解集中同时满足不等式组中每一个不等式的那部分解集． 如果不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解． 例1：利用数轴确定下列不等式组的解集： (1)；(2)；(3)；(4) 解：（1）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 由图可知，不等式组的解集是x＞3； （2）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 由图可知，不等式组的解集是x≤－3； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 由图可知，不等式组的解集是－1＜x≤3； （4）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 由图可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，所以不等式组无解. 归纳：一元一次不等式组的解集的四种情况： 设a＞b，则 （1） 解集：x＞a，同大取大 （2） 解集：x＜b，同小取小 （3） 解集：b＜x＜a，大小小大中间找 （4） 解集：无解，大大小小无处找 例2：解下列一元一次不等式组. 解：(1)解不等式①，得x＞2 解不等式②，得x＞3 把不等式①、②的解集在数轴上表示出来 所以，不等式组的解集是 x＞3 (2)解不等式①，得x≥8 解不等式②，得x＜ 把不等式①、②的解集在数轴上表示出来 所以，此不等式组无解. 归纳：解一元一次不等式组的步骤： (1)分别解两个一元一次不等式； (2)将两个一元一次不等式的解集表示在同一个数轴上； (3)通过数轴确定两个一元一次不等式解集的公共部分； (4)写出一元一次不等式组的解集． 例3：x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与都成立？ 分析：求出这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是x可取的整数值． 解：解不等式组 得 所以x可取的整数值是-2，-1，0，1，2，3，4 学生活动3： 学生在教师的引导下、小组合作探究中学习一元一次不等式组的相关知识，并完成例题，然后派代表行进行板演，讲解，最后认真听教师的点评和讲解活动意图说明： 让学生通过观察、总结不等式组概念、解集的形成过程，尝试解不等式组，借助数轴进一步体会不等式组中各不等式解集的公共部分的含义。然后通过例题尝试练习解不等式组，提高学生运用所学知识解决问题的能力。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：11.3 一元一次不等式组一、一元一次不等式组的概念 二、一元一次不等式组的解集 三、一元一次不等式组的解法教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．不等式组 的整数解有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 3．解不等式组： 解：由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为． 选做题： 4．求满足不等式组的正整数解． 解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的正整数解为：1，2，3． 【综合拓展类练习】 5．小南解不等式组的过程如下： 解：由①，得， 第一步 ∴， 第二步 ∴． 第三步 由②，得， 第四步 ∴， 第五步 所以原不等式组的解为． 第六步
(1)老师批改时说小南的解题过程有错误，小南从第_______步开始出现错误． (2)请你写出正确的解答过程． 解：（1）解：小南的解答过程从第四步开始出现错误， 故答案为：四 （2）解：由①，得， ∴， ∴． 由②，得， ∴， ∴， ∴， 所以原不等式组的解为．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．不等式组的解集是（ ） A． B． C．无解 D． 答案：D 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．解不等式组： 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 选做题： 4．不等式组，的解集是，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类作业】 5．车厘子具有养颜美容、健脑益智等功效，鲜四季水果店老板发现五一期间该水果销量很好，准备购进智利车厘子若干千克销售．现有两个批发商价格一致，标价均为160元/千克，两个批发商推出各自销售的优惠方案，甲商家：一次性购买金额不超过6400元的部分不优惠，超过6400元的部分按标价的六折售卖；乙商家：全部按标价的八折优惠．若鲜四季水果店老板购进的车厘子为x千克． (1)分别用含x的式子表示在甲、乙两个商家购买车厘子所需的金额： 在甲商家购买所需费用：______元； 在乙商家购买所需费用：______元； (2)通过计算说明该老板到哪个商家购买更划算？ 解：（1）由题意得：在甲商家购买所需费用（元）； 在乙商家购买所需费用（元）； （2）当时，到乙商家购买更划算，解得， 当时，到两个商家购买费用相同，解得， 当时，到甲商家购买更划算，解得， 综上所述，当时，到甲商家购买更划算；当时，到两个商家购买费用相同；当时，到乙商家购买更划算．
教学反思 本节课的教学，先从实际生活中遇到的问题出发引出一元一次不等式组的概念，然后教师借助数轴引导学生理解一元一次不等式组的解集中公共部分的含义。使学生掌握解一元一次不等式组的两个基本步骤：一是先求出这个不等式组中各个不等式的解集，二是然后利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集。让学生在解一元一次不等式的过程中充分体会数形结合思想的重要性。
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