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专题08 玩转外接球、内切球、棱切球
【题型归纳目录】
题型一：正方体、长方体外接球
题型二：正四面体外接球
题型三：对棱相等的三棱锥外接球
题型四：直棱柱外接球
题型五：直棱锥外接球
题型六：正棱锥外接球
题型七：台体模型
题型八：锥体内切球
题型九：棱切球
【知识点梳理】
考点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
考点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
考点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
考点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
考点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
考点六：正棱锥外接球
正棱锥外接球半径： ．
考点七：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
图1 图2
考点八：锥体内切球
方法：等体积法，即
考点九：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
【典型例题】
题型一：正方体、长方体外接球
【例1】（2025·高三·天津滨海新·期末）在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为，则，
由于三棱锥的表面积为，且各侧面均为等边三角形，
所以，可得，
所以正方体外接球半径为，故体积为.
故选：B
【变式1-1】（2025·高二·浙江·学业考试）一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
∴球的直径是正方体的对角线，
∴球的半径是r，
∴球的表面积是4
故选：A
【变式1-2】（2025·高二·新疆伊犁·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的半正多面体为二十四等边体．已知，则该半正多面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为3，
侧棱长为的正四棱柱的外接球，设外接球半径为，
则，所以，
则该正多面体外接球的表面积
故选：C.
【变式1-3】（2025·高二·云南昭通·期末）棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设长方体的外接球的半径为，
由已知，所以，
又棱长分别为，，的长方体的体对角线长为，
长方体体对角线等于其外接球的直径，
所以，
所以.
故选：C.
题型二：正四面体外接球
【例2】（2025·浙江嘉兴·三模）若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正四面体的内切球与其外接球球心重合，
如图，正四面体内切球与外接球球心在其高上，
则是正四面体内切球半径，是正四面体外接球半径，
由正四面体的内切球的表面积为，得，令，
，，，
在中，，解得，，
所以该正四面体的外接球的体积.
故选：C
【变式2-1】（2025·高三·广东潮州·期末）若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法一：如图，正四面体中，
作底面的高，由正四面体的性质，点为的中心，设为外接球的球心，外接球的半径为，
由正三角形的性质，，
；
由，得，解得，
该球的表面积为．
故选：A．
方法二：如下图
在立方体中，通过连接面对角线可得到正四面体，
可知两者的外接球相同，正四面体的棱长为立方体的一个面的对角线长，则立方体的棱长为.
立方体的体对角线即为外接球的直径.代入计算可得，外接球的半径，
外接球的表面积为.
故选：A.
【变式2-2】（2025·高二·贵州·开学考试）已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为正四面体的棱长为2，所以底面三角形的高，
棱锥的高为，
设外接球半径为，则
，解得.
所以外接球的表面积为.
故选：B.
题型三：对棱相等的三棱锥外接球
【例3】（2025·河北邯郸·一模）已知三棱锥P﹣ABC每对异面的棱长度都相等，且△ABC的边长分别为，3，4，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积为 .
【答案】
【解析】将三棱锥补成一个长方体，且该长方体各面上的对角线长分别为，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，可以求出a2+b2+c2＝18，从而确定外接球的直径，进而得到外接球的体积.∵三棱锥P﹣ABC每对异面的棱长度都相等，
∴该三棱锥可以补成一个长方体，且该长方体各面上的对角线长分别为，
设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
且不妨假设，b2+c2＝32＝9，a2+c2＝42＝16，
∴a2+b2+c2＝18，
∴三棱锥外接球的直径为，
∴外接球的体积为.
故答案为：.
【变式3-1】（2025·高一·四川绵阳·期末）四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为,则该四面体的外接球的表面积为
【答案】
【解析】根据题意将四面体补成一个长方体， 三个面上对角线长分别为，
则有，解得，
外接球半径为，故外接球的表面积为，
故答案为：
【变式3-2】（2025·高一·新疆乌鲁木齐·期末）在四面体中，三组对棱棱长分别相等且依次为、、15，则此四面体的外接球的体积为
【答案】
【解析】由于四面体三组对棱长相等，则可将四面体补形为长方体，长方体的面对角线长为四面体的棱长，设长方体的边长为，则，，上述式子相加可得，设外接球的半径外，则，解得，故外接球的体积为.
题型四：直棱柱外接球
【例4】（2025·高一·江苏无锡·期中）已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，该直三棱柱可补形为长方体，
则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球.
所以体对角线的长为球的直径，设球的半径为，
则，解得，
设侧棱长为，则，解得，即侧棱长为.
故选：C.
【变式4-1】（2025·高一·湖北武汉·期末）在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .
【答案】
【解析】由正三棱锥的侧棱垂直于底面的性质，设球心O到平面ABD距离为，设，
有因为为直角三角形，则经过直角三角形斜边中点，即为中点.
故取的中点设为，则由正三角形求解高知如图，设，
设球心O到平面ABD距离为OF，设
，，
，
当且仅当时即取“=”.
，.
故最小为.
故答案为：.
【变式4-2】（2025·高一·江西吉安·期末）在正六棱锥中，底面中心为，，．若平行于底面的平面与正六棱锥的交点分别为，，，，，，构造一个上底面为正六边形，下底面在平面里的正六棱柱，则该正六棱柱的外接球体积的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图，依题意画出示意图，
设正六棱柱为，其中上底面的中心为，球心为，下底面的中心为．
因为，，
所以在中，
，
所以，
设，，
因为，
所以，
所以，
设正六棱柱的外接球半径为，
在中，，
所以，
当且仅当时取得最小值为，
此时球O的半径，
所以球O的体积.
故答案为：.
题型五：直棱锥外接球
【例5】（2025·高一·浙江温州·期中）在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取的外接圆圆心，过点作平面的垂线，
则三棱锥的外接球的球心在该垂线上，且，
在中，，即，
所以，
即（当且仅当时取等号），
设外接圆半径为，由正弦定理得，即，
所以外接球的半径，则，
故三棱锥的外接球表面积的最小值为.
故选：.
【变式5-1】已知四棱锥底面是矩形，其中，，侧棱底面，E为的中点，四棱锥的外接球表面积为，则直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设.可将该四棱锥补成如图所示的长方体：
则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，其直径为，
故表面积为，得，
因为，故或其补角为异面直线与所成的角，
因为平面，平面，得平面平面，
由，得平面，
且平面，故，故为锐角，
又E为的中点，故在中，，
在中，，故.
故选：D.
【变式5-2】（2025·高三·浙江·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为底面，底面，即，
根据题意可知为等边三角形，为直角三角形，
而，
则，
取的中点，连接，所以，
易知，则，
所以三棱锥的外接球的球心为F，
，
∴该外接球的体积为.
故选：B
题型六：正棱锥外接球
【例6】如图，已知正四棱锥的所有棱长均为4，平面经过，则平面截正四棱锥的外接球所得截面圆的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，交于，连接，则底面且是中点，
，，
所以到，，，，的距离均为，点即为正四棱锥的外接球球心，取中点，连接，分析可知，当时，截面圆的面积最小，线段也即此时截面圆的直径，所以截面圆的面积的最小值为．
故选：C．
【变式6-1】（2025·高三·湖北十堰·期末）已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设正三棱锥的底面中心为，外接球的球心为，显然球心在直线上.
设正三棱锥的高为，外接球的半径为，
由，可得正三角形的面积为，
所以，解得.
球心到底面的距离为，
由，得，
所以外接球的表面积为.
故选：D.
【变式6-2】（2025·高三·宁夏吴忠·阶段练习）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设点在底面的射影为点，
因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上，
连接，设球的半径为，则，
由正弦定理，解得，
在中，，则，
在中，由，解得，
则球的表面积为.
故选：B.
题型七：台体模型
【例7】（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球心为，点距离下底面的高度为.
因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，.
设棱台的外接球的半径为，根据勾股定理可得，解得，
则，所以正四棱台的外接球表面积为.
故选：D.
【变式7-1】已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【解析】取圆台轴截面如图所示，
外接球球心在中轴线上．
由勾股定理可知，，设，，
则, 解得．
先设的中点到的距离为，
再用等面积法可得：，
则有：，
此时，
从而可知内切球半径，
所以，该圆台外接球和内切球表面积之比为，
故选：C．
【变式7-2】（2025·高一·河北·期中）如图，是圆锥底面圆的内接三角形，，，为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆.
(1)求圆锥的外接球的表面积；
(2)求三棱锥体积的最大值；
(3)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积.
【解析】（1）设底面圆心为，半径为，，所以
由正弦定理可知，，
又圆锥的侧面展开图是半圆，所以，所以，所以圆锥的高
设圆锥外接球的半径为，则，解得，
所以外接球的表面积为
（2）过圆心作弦的垂线，垂足为，则，
那么底面面积的最大值为，
所以三棱锥的最大值为
（3）设圆台的上底面半径为，内切球的半径为，
由图根据三角形相似可知，
解得，，
所以圆台的体积为
题型八：锥体内切球
【例8】（多选题）（2025·高一·河北·期中）已知球的半径为，，，为球面上三点，且，，若球心到平面的距离等于，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若圆柱的外接球为球，则圆柱侧面积的最大值为
C．若正三棱柱的内切球为球，则正三棱柱的体积为
D．若正四面体的各棱与球相切，则正四面体的表面积为
【答案】BCD
【解析】在中，，.
由余弦定理可得，而为三角形内角，.
对于A，设的外接圆圆心为，半径为，由正弦定理得，
因为球心到平面的距离等于球半径的，
所以，，，故A错误；
对于B，设圆柱的高为，底面半径为，则，
圆柱的侧面积为，
当且仅当，即时“=”成立.故B正确；
对于C，因为球内切于正三棱柱，那么三棱柱的高为4，底面正三角形的内切圆半径为2，
故底面边长为，那么正三棱柱的体积为，故C正确；
对于D，设正四面体的棱长为，则正四面体的棱切球即为棱长为的正方体的内切球，
即，，所以正四面体的表面积为，故D正确.
故选：BCD.
【变式8-1】（2025·高一·吉林·期中）多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为 ．
【答案】
【解析】由正八面体的结构特征易知，其外接球和内切球的球心重合，且为体对角线的交点，
令正八面体的棱长为2，外接球和内切球的半径分别为，则外接球半径，
各侧面积，构成正八面体的两个正四棱锥的高为，
所以正八面体的体积，可得，
所以外接球和内切球的表面积比为.
故答案为：
【变式8-2】如图所示，斜三棱柱中，为AB的中点，为的中点，平面平面．
(1)求证：直线平面；
(2)若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角正切值；
(3)若，，，若三棱柱有内切球，求三棱柱的体积．
【解析】（1）如图，连接交于点，连接，
得为的中点，而为的中点，由中位线定理得，
因为平面，平面，故平面.
（2）因为，所以为与所成角．
因为为正三角形，为的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，而平面，
故，．又因为，，
平面，所以平面，而平面
则，则，
设，得到，，
则，，
故由勾股定理得，
则，
解得，故，则，
即异面直线与所成角正切值为．
（3）我们首先来证明三余弦定理，我们记为平面上方的一点，
过的斜线在平面上的射影为，为平面内的任意一条直线，
记为斜线角，为线面角，为射影角，如图，我们给出如下三角形，
在此图中，，，是直角三角形，
则，，，
得到，即三余弦定理得证，
如图，作于点，作于点，连接，
因为，所以，而，
面，则平面，
故三棱柱内切球半径等于的内切圆半径，
在，
而平面平面，由三余弦定理得，
，结合同角三角函数的基本关系得，
故，
同理，
得到，
因为，所以，
则，解得，则，则为正三角形，
设内接球半径为，则，解得，
因为，，所以由余弦定理得，
且，由同角三角函数的性质得
所以，则．
题型九：棱切球
【例9】（2025·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ．
【答案】
【解析】
设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心，
则外接球的半径，，
所以，
因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径，
所以.
故答案为：
【变式9-1】（2025·高三·江苏连云港·阶段练习）已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 .
【答案】
【解析】
如图所示，取上下底面的中心，分别为上底面棱上的切点，
则为的中点，设，
由题意易知，
则，
因为，
所以.
故答案为：.
【变式9-2】（2025·四川乐山·一模）若一个正三棱锥底面边长为1，高为，求与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图所示：
设底面外接圆的圆心为，连接，，延长交于点，
球与棱分别切于点，则，球的半径为，
注意到在边长为1的等边三角形中，，，
且底面，底面，所以，
所以，，
所以，而，所以，即，
解得（舍去），
从而与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为.
故答案为：.
【变式9-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为 .
【答案】
【解析】设，外接球的半径为，
该多面体是由棱长为的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，
如图，过，，三点的截面为正六边形，其面积，即，
根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球，
故，即，
故该多面体的棱切球的表面积为．
故答案为：．
【强化训练】
【变式9-4】（2025·甘肃·模拟预测）半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为半径为2的球内切于正三棱柱，
所以正三棱柱的高，且该组合体过球心且平行于平面的截面为球的大圆内切于与全等的正三角形，如图.
由正三角形及其内切圆的性质，得，
所以的面积为，
所以正三棱柱的体积为.
故选：A
【变式9-5】（2025·高一·天津东丽·期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，
设底面直角三角形的外接圆的半径为，可得，
设直三棱柱上下底面直角三角形的外心（斜边的中点）分别为，
则三棱柱外接球的球心为的中点，设为，
又因为三棱柱的高为，
所以外接球的直径为，
可得，所以该三棱柱的外接球的体积为.
故选：A.
【变式9-6】（2025·高一·福建泉州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，，∴，即有，
又平面，所以，，两两互相垂直，该瞥臑如图所示：
图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线，
也是外接球的直径，设外接球半径为R，则，
所以瞥臑的外接球表面积为.
故选：B．
【变式9-7】（2025·高一·天津滨海新·期中）棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】棱长为的正方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为,
则，即，
所以外接球的表面积.
故选：B
【变式9-8】（2025·高一·山东青岛·期中）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图：
故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，
故该三棱锥外接球的半径.
所以外接球的体积.
故选：B
【变式9-9】（2025·高三·山东·阶段练习）与棱长为的正方体所有棱都相切的球的体积为 ．
【答案】
【解析】与正方体所有棱都相切的球的球心为正方体的体对角线的交点，
半径为面对角线的一半，因为正方体的棱长为
所以正方体的面对角线长为
，则球的半径为
所以球的体积为
故答案为：
【变式9-10】（2025·高一·山东泰安·期中）三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为 .
【答案】
【解析】由余弦定理可知：，
即，又，解得.
因为，故，所在小圆的圆心为中点，小圆半径；
记球心到小圆圆心的距离为，球半径为，三棱锥的高为，
则有，
当三棱锥的体积最大时，与在球心两侧，此时有
，
再由，可知，
故，解得，此时，
故答案为：.
【变式9-11】（2025·高一·天津滨海新·期中）已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为
【答案】/
【解析】正方体内能放入的最大球体即为其内切球，该球直径为正方体棱长2，半径为1，
所以所求最大球的体积为.
故答案为：
【变式9-12】（2025·高一·重庆·期中）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 ．
【答案】
【解析】
取的中点，连接，
因为，所以，
因为二面角为直二面角，平面，
所以平面，
因为，，所以，,
，所以，，
因为，所以外接球的球心在上，设为，连接，
则，
可得，解得，
所以该球的体积为.
故答案为：
【变式9-13】（2025·高一·天津和平·期中）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图，在四面体中，所有棱长都为，设底面三角形外接圆圆心为,
则,
设,则,
所以外接球半径为,所以表面积为,
故答案为: .
【变式9-14】（2025·高一·天津·期中）已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
【答案】
【解析】如下图所示：
在正三棱台中，取上、下底面中心分别为，外接球球心为，
由正三棱台性质可知在上，
易知上、下底面边长分别为和的正三角形，其外接圆半径分别为；
可得，即；
即，
又，设，则，解得；
所以外接球半径为，
可得则该球的表面积为.
故答案为：
【变式9-15】（2025·高一·陕西西安·期中）正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为 ．
【答案】
【解析】设正方体的棱长为，则其内切球 棱切球 外接球的半径分别为，即半径之比为，
又球的体积公式为（为球的半径），
所以正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为.
故答案为：
【变式9-16】（2025·高一·广东惠州·期中）已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是 .
【答案】
【解析】在中，，则，，
由正弦定理得外接圆半径，设球半径为，
于是，解得，所以球的体积是.
故答案为：.
【变式9-17】（2025·高一·安徽阜阳·期中）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，则球的表面积是 ，体积是 ．
【答案】
【解析】由题设，则，故外接圆的半径，
若球体的半径为，则球心到截面的距离为，故，
所以，故球的表面积是，体积为.
故答案为：，
【强化训练】
1．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A．5π B．10π C．28π D．56π
【答案】D
【解析】如图所示，
连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、，
所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
同理：平面，
设等边的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O，
则平面，平面，
所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，
在等边中由正弦定理得，解得：，
又因为，
所以，
所以四棱锥外接球表面积为.
故选：D.
2．（2025·浙江·模拟预测）如图1，直角梯形中，，取中点，将沿翻折（如图2），记四面体的外接球为球（为球心）.是球上一动点，当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，均为等腰直角三角形，所以四面体的外接球的球心在的中点，
因为是球上的动点，若直线与直线所成角的最大，则与球相切，，此时，最大，
因为，，所以，
过作垂足为，则在以为圆心，为半径的圆上运动.
所以当平面时四面体的体积取得最大值.
因为，所以，
所以，
故选：D.
3．（2025·高一·安徽马鞍山·期中）长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】长方体的外接球的半径.
则接球表面积为.
故选：B.
4．（2025·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）在一次立体几何模型的实践课上，老师要求学生将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC进行翻折，使得D到达的位置，此时平面平面，连接，得到四面体，记四面体的外接球球心为O，则点O到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意作出图形如图所示，连接，，
则，显然四面体的外接球球心O为AC的中点．
由于平面平面，且交线为,
所以,
又．
设点O到平面的距离为h，则由，
可得，解得，
故选:A．
5．（2025·浙江温州·模拟预测）已知三棱锥的体积为，外接球面积为9π，且，，．则直线AB，AP所成角的最小正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线AB，AP所成角的最小正弦值即AP与平面所成角的最小正弦值，
由，，，
由余弦定理可得：，
故，则，
又因为外接球面积为9π，设外接球的半径为，
所以，解得：，
设是球心，是的外心，是在平面的投影，
，解得：，
则，，由，
由，
当时，最小，此时，
则.
故选：A.
6．已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】三棱锥的所有棱长均为2，
故可把三棱锥放置在正方体中，
如图
设正方体的棱长为a，则，解得，
三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
故球的半径，所以球的表面积.
故选：D
7．（2025·高一·河南商丘·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示：
依题意得，
底面的外接圆半径为，
点到平面的距离为，
所以，
所以，
设球的半径为，所以，
则，得，
设球的半径为，则，
又，得，
所以球的表面积为．
故选：A．
8．（2025·四川德阳·模拟预测）设正四面体的内切球表面积为，则能装下该正四面体的最小正方体(不计厚度)的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正四面体的内切球半径为，则，解得，
如图所示，为的中点，连接，过点作⊥于点，
则⊥平面，
设正四面体的内切球球心为，则则上，
过点作⊥于点，
则，
设正四面体的棱长为，则，
则，
，其中，
故，
故，
∽，故，
即，
解得，
将正四面体按照如图放入正方体中，即正四面体的每条边均为正方体的面对角线，
此时为能装下该正四面体的最小正方体，
设正方体的棱长为，则，解得，
故此正方体的体积为.
故选：C
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专题08 玩转外接球、内切球、棱切球
【题型归纳目录】
题型一：正方体、长方体外接球
题型二：正四面体外接球
题型三：对棱相等的三棱锥外接球
题型四：直棱柱外接球
题型五：直棱锥外接球
题型六：正棱锥外接球
题型七：台体模型
题型八：锥体内切球
题型九：棱切球
【知识点梳理】
考点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
考点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
考点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
考点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
考点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
考点六：正棱锥外接球
正棱锥外接球半径： ．
考点七：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
图1 图2
考点八：锥体内切球
方法：等体积法，即
考点九：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
【典型例题】
题型一：正方体、长方体外接球
【例1】（2025·高三·天津滨海新·期末）在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2025·高二·浙江·学业考试）一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2025·高二·新疆伊犁·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的半正多面体为二十四等边体．已知，则该半正多面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2025·高二·云南昭通·期末）棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：正四面体外接球
【例2】（2025·浙江嘉兴·三模）若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2025·高三·广东潮州·期末）若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2025·高二·贵州·开学考试）已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型三：对棱相等的三棱锥外接球
【例3】（2025·河北邯郸·一模）已知三棱锥P﹣ABC每对异面的棱长度都相等，且△ABC的边长分别为，3，4，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积为 .
【变式3-1】（2025·高一·四川绵阳·期末）四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为,则该四面体的外接球的表面积为
【变式3-2】（2025·高一·新疆乌鲁木齐·期末）在四面体中，三组对棱棱长分别相等且依次为、、15，则此四面体的外接球的体积为
题型四：直棱柱外接球
【例4】（2025·高一·江苏无锡·期中）已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2025·高一·湖北武汉·期末）在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .
【变式4-2】（2025·高一·江西吉安·期末）在正六棱锥中，底面中心为，，．若平行于底面的平面与正六棱锥的交点分别为，，，，，，构造一个上底面为正六边形，下底面在平面里的正六棱柱，则该正六棱柱的外接球体积的最小值为 ．
题型五：直棱锥外接球
【例5】（2025·高一·浙江温州·期中）在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知四棱锥底面是矩形，其中，，侧棱底面，E为的中点，四棱锥的外接球表面积为，则直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2025·高三·浙江·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型六：正棱锥外接球
【例6】如图，已知正四棱锥的所有棱长均为4，平面经过，则平面截正四棱锥的外接球所得截面圆的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2025·高三·湖北十堰·期末）已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2025·高三·宁夏吴忠·阶段练习）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型七：台体模型
【例7】（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．2 B． C． D．3
【变式7-2】（2025·高一·河北·期中）如图，是圆锥底面圆的内接三角形，，，为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆.
(1)求圆锥的外接球的表面积；
(2)求三棱锥体积的最大值；
(3)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积.
题型八：锥体内切球
【例8】（多选题）（2025·高一·河北·期中）已知球的半径为，，，为球面上三点，且，，若球心到平面的距离等于，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若圆柱的外接球为球，则圆柱侧面积的最大值为
C．若正三棱柱的内切球为球，则正三棱柱的体积为
D．若正四面体的各棱与球相切，则正四面体的表面积为
【变式8-1】（2025·高一·吉林·期中）多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为 ．
【变式8-2】如图所示，斜三棱柱中，为AB的中点，为的中点，平面平面．
(1)求证：直线平面；
(2)若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角正切值；
(3)若，，，若三棱柱有内切球，求三棱柱的体积．
题型九：棱切球
【例9】（2025·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ．
【变式9-1】（2025·高三·江苏连云港·阶段练习）已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 .
【变式9-2】（2025·四川乐山·一模）若一个正三棱锥底面边长为1，高为，求与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为 .
【变式9-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为 .
【强化训练】
【变式9-4】（2025·甘肃·模拟预测）半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-5】（2025·高一·天津东丽·期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-6】（2025·高一·福建泉州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-7】（2025·高一·天津滨海新·期中）棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-8】（2025·高一·山东青岛·期中）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-9】（2025·高三·山东·阶段练习）与棱长为的正方体所有棱都相切的球的体积为 ．
【变式9-10】（2025·高一·山东泰安·期中）三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为 .
【变式9-11】（2025·高一·天津滨海新·期中）已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为
【变式9-12】（2025·高一·重庆·期中）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 ．
【变式9-13】（2025·高一·天津和平·期中）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 ．
【变式9-14】（2025·高一·天津·期中）已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
【变式9-15】（2025·高一·陕西西安·期中）正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为 ．
【变式9-16】（2025·高一·广东惠州·期中）已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是 .
【变式9-17】（2025·高一·安徽阜阳·期中）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，则球的表面积是 ，体积是 ．
【强化训练】
1．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A．5π B．10π C．28π D．56π
2．（2025·浙江·模拟预测）如图1，直角梯形中，，取中点，将沿翻折（如图2），记四面体的外接球为球（为球心）.是球上一动点，当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·高一·安徽马鞍山·期中）长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）在一次立体几何模型的实践课上，老师要求学生将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC进行翻折，使得D到达的位置，此时平面平面，连接，得到四面体，记四面体的外接球球心为O，则点O到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江温州·模拟预测）已知三棱锥的体积为，外接球面积为9π，且，，．则直线AB，AP所成角的最小正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·高一·河南商丘·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·四川德阳·模拟预测）设正四面体的内切球表面积为，则能装下该正四面体的最小正方体(不计厚度)的体积为（ ）
A． B． C． D．
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