2025年浙江省中考数学模拟试卷（9）（含解析）

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2025年浙江省中考数学模拟试卷（9）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025 渝北区一模）的相反数是（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
2．（2025 鹤山市一模）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．厨余垃圾Food Waste B．可回收物Recyclable
C．其他垃圾Residual Waste D．有害垃圾Hazardous Waste
3．（2024秋 娄底校级期末）电影《志愿军：存亡之战》以7.61亿元票房领跑2024年国庆档电影票房．其中数据7.61亿用科学记数法表示为（　　）
A．0.761×109 B．7.61×108 C．7.61×106 D．761×108
4．（2025 华蓥市模拟）下列计算正确的是（　　）
A．（m3）5＝m15 B．m4+m4＝m8 C．m6÷m2＝m3 D．（m+1）2＝m2+1
5．（2025 盐城一模）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
6．（2025 吉林二模）关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集如图所示，那么a的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
7．（2025 崂山区一模）某中学足球队16名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别为（　　）
年龄（单位岁） 14 15 16 17 18
人数 2 4 5 3 2
A．15，16 B．16，16.5 C．16，16 D．17，16.5
8．（2025 西宁一模）某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3h，只清理了一半垃圾，为了加快进步，再调用乙车，两车合作1.2h清理完另一半垃圾，设乙车单独清理全部垃圾的时间为xh，根据题意可列出方程为（　　）
A．+＝1 B．+＝ C．+＝1 D．+＝
9．（2025 义乌市二模）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，，对角线AC平分∠BAD，∠DCA：∠BCA＝2：3，则CD的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025 滨江区一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，点E为劣弧（不含端点）上一点，连接AE，CE，分别交OD，OB于点F，G．若⊙O的半径为1，记OF＝x，BG＝y，则下列代数式的值不变的是（　　）
A．2x﹣y B． C．2y﹣x D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024 新丰县一模）因式分解：m2﹣25＝　 　 ．
12．（2025 上虞区二模）若分式的值为1，则字母x的取值为　 　 ．
13．（2025 濠江区一模）一个袋子中有2个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是，则袋子中有　 　 个黑球．
14．（2025 建邺区一模）如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（0，﹣1），点B的坐标是（2，0），点C在y轴上．若反比例函数的图象经过点D，则k＝ 　 　 ．
15．（2025 济宁二模）如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为　 　 ．
16．（2025 宣城二模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在BC，AD上．将该正方形沿EF折叠，使点A落在CD边上的点M处，连接AM，与折痕EF交于点P．
（1）若M是CD的中点，则AF的长为 　 　 ；
（2）若G为MN的中点，随着折痕EF位置的变化，PG+PM的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，其中第17-22题每题8分，第23题10分，第24题每题12分，共72分）
17．（2025 西宁一模）计算：．
18．（2025 乾安县模拟）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（2a+b），其中a＝﹣2，b＝1．
19．（2025 泰州二模）如图，△ABC中，∠ABC为锐角，AB＜BC．点E为边BC上一点，点F为平面内一点，且四边形AECF为菱形．
（1）在图1中，请利用无刻度的直尺和圆规，作出菱形AECF．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC＝5，BC＝8，且△ABC的面积为16，则菱形AECF的边长为 　 　 ．
20．（2025 齐齐哈尔一模）2024年嫦娥六号探测器成功完成了人类历史上首次月球背面采样的壮举，2025年嫦娘七号与嫦娥八号的研制工作也将稳步向前，中国航空航天技术即将开启新的篇章．某校为了普及航空航天知识，对该校2000名学生进行了“航空航天”知识测试，
从中随机抽取了部分学生的成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组 x＜60 5%
B组 60≤x＜70 15%
C组 70≤x＜80 a%
D组 80≤x＜90 35%
E组 90≤x≤100 25%
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中a＝ 　 　 ；
（2）补全条形统计图；
（3）本次抽取的学生成绩的中位数落在 　 　 组（选填A、B、C、D或E）；
（4）试估计该校2000名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数．
21．（2025 淮安区模拟）如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AB＝8，CE＝3，求△ABC的周长．
22．（2025 西湖区二模）小敏和小慧去西湖风景区游玩，约好在少年宫广场见面．如图1，A地、B地、少年宫广场在一条直线上．小敏从A地出发，先匀速步行至车站，再坐公交车前往少年宫广场．同时，小慧从B地出发，骑车去少年宫广场，平均速度为200米/分钟．两人距离A地的路程s（米）和所经过的时间t（分）之间的函数关系如图2所示．（公交车的停车时间忽略不计）
（1）求公交车的平均速度．
（2）求同时出发后，经过多少时间小敏追上小慧．
（3）在小敏坐公交车的过程中，当她与小慧相距400米时，求t的值．
23．（2024 玉环市二模）已知二次函数y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）．
（1）若二次函数过点（1，1）
①求二次函数的表达式；
②当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．
（2）若点和点在该二次函数图象上，求的值．
24．（2025 宁波一模）已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D，交BC于点E，M是AD上一点．
（1）若AB＝AC，　 　 ，求∠BDC的度数．
①AM＝2ME＝2DE；②∠MBC＝∠MBA＝2∠BAD．
（作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解∠BDC的度数．）
（2）若AB＝c，AE＝m，AC＝b，求DE的长．
（3）若∠MBC＝∠MCA＝∠MAB，求证：BC2＝AB AC．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025 渝北区一模）的相反数是（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【点拨】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解析】解：的相反数是﹣，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（2025 鹤山市一模）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．厨余垃圾Food Waste B．可回收物Recyclable
C．其他垃圾Residual Waste D．有害垃圾Hazardous Waste
【点拨】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（2024秋 娄底校级期末）电影《志愿军：存亡之战》以7.61亿元票房领跑2024年国庆档电影票房．其中数据7.61亿用科学记数法表示为（　　）
A．0.761×109 B．7.61×108 C．7.61×106 D．761×108
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：7.61亿＝761000000＝7.61×108．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2025 华蓥市模拟）下列计算正确的是（　　）
A．（m3）5＝m15 B．m4+m4＝m8 C．m6÷m2＝m3 D．（m+1）2＝m2+1
【点拨】根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方和公式的运算法则，对各选项分析判断求解即可．
【解析】解：根据整式的相关运算法则逐项分析判断如下：
A．（m3）5＝m15，正确，符合题意；
B．m4+m4＝2m4，原式计算错误，不符合题意；
C．m6÷m2＝m4，原式计算错误，不符合题意；
D．（m+1）2＝m2+2m+1，原式计算错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方和公式，掌握以上运算法则是解题的关键．
5．（2025 盐城一模）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
【点拨】根据k＝7＞0，可得反比例函数图象和增减性，即可进行比较．
【解析】解∵k＝7＞0，
∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随着x增大而减小，
根据A，B，C点横坐标，可知点A，B在第三象限，C在第一象限，
﹣3＜﹣1，2＞0，
∴y2＜y1＜y3；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
6．（2025 吉林二模）关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集如图所示，那么a的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【点拨】先求出不等式的解集，然后根据数轴写出不等式的解集，从而可以得到关于a的方程，再求解即可．
【解析】解：由不等式2x﹣a≤﹣1可得x≤，
由数轴可得，该不等式的解集为x≤1，
∴＝1，
解得a＝3，
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
7．（2025 崂山区一模）某中学足球队16名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别为（　　）
年龄（单位岁） 14 15 16 17 18
人数 2 4 5 3 2
A．15，16 B．16，16.5 C．16，16 D．17，16.5
【点拨】根据中位数、众数的意义进行计算即可．
【解析】解：足球队16名队员的年龄出现次数最多的是16岁，共出现5次，
因此众数是16岁；
将这16名队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的两个数都是16岁，
因此中位数是16岁，
故选：C．
【点睛】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解题的关键．
8．（2025 西宁一模）某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3h，只清理了一半垃圾，为了加快进步，再调用乙车，两车合作1.2h清理完另一半垃圾，设乙车单独清理全部垃圾的时间为xh，根据题意可列出方程为（　　）
A．+＝1 B．+＝ C．+＝1 D．+＝
【点拨】首先明确将总工作量看作单位1，则甲乙合作完成的工作量＝；根据甲的工作量为，乙的工作量为：，可得方程．
【解析】解：甲的工作效率为，乙的工作效率为，所以方程为：+＝．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键．
9．（2025 义乌市二模）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，，对角线AC平分∠BAD，∠DCA：∠BCA＝2：3，则CD的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据角平分线的意义和平行线的性质可证明△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AC＝2，由∠DCA：∠BCA＝2：3得∠ACD＝30°，过点D作DE⊥AC，可证明△ADE是等腰直角三角形，设DE＝AE＝x，则CE＝2﹣x，由可求出x的值，再根据可求出CD的长．
【解析】解：∵AD∥BC，∠B＝90°，AB＝，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴，
∴，
∵∠DCA：∠BCA＝2：3，
∴；
如图，过点D作DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠ADE＝∠DAE＝45°，
∴AE＝DE，
设DE＝AE＝x，则CE＝2﹣x，
∵，
∴
∴，即，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟知以上知识是解题的关键．
10．（2025 滨江区一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，点E为劣弧（不含端点）上一点，连接AE，CE，分别交OD，OB于点F，G．若⊙O的半径为1，记OF＝x，BG＝y，则下列代数式的值不变的是（　　）
A．2x﹣y B． C．2y﹣x D．
【点拨】如图，由题可得∠1＝∠2＝45°，，导角证明△ACF∽△GAC，则，化简即可得到，即可判断．
【解析】解：如图，连接AC
∵AB，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，OA＝OC＝1，
∴∠1＝∠2＝45°，，
设∠OAF＝α，
则∠CAF＝∠1+∠OAF＝45°+α，，
∴∠CAF＝∠AGC，
∴△ACF∽△GAC，
∴，即，
∴（1+x）（2﹣y）＝2，
∴2﹣y+2x﹣xy＝2，
∴2x﹣y＝xy，
两边同时除以xy得：，
故D符合题意，而A、B、C代数式的值均不能证明不变，故不符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024 新丰县一模）因式分解：m2﹣25＝　（m+5）（m﹣5）　 ．
【点拨】原式利用平方差公式分解即可．
【解析】解：原式＝（m+5）（m﹣5），
故答案为：（m+5）（m﹣5）
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12．（2025 上虞区二模）若分式的值为1，则字母x的取值为　2　 ．
【点拨】由题意易得＝1，解方程后并检验即可．
【解析】解：由题意得＝1，
去分母得：x+2＝4，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是分式方程的解，
故答案为：2．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
13．（2025 濠江区一模）一个袋子中有2个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是，则袋子中有　3　 个黑球．
【点拨】设袋子中有x个黑球，由此列式求解即可．
【解析】解：设袋子中有x个黑球，
∵随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是，
∴，
解得，x＝3，
检验，当x＝3时，原分式方程有意义，
∴袋子中有3个黑球，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了概率公式，熟记概率公式熟解题的关键．
14．（2025 建邺区一模）如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（0，﹣1），点B的坐标是（2，0），点C在y轴上．若反比例函数的图象经过点D，则k＝ 　﹣6　 ．
【点拨】根据三角形相似，可求出D点坐标，把D点坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值．
【解析】
解：过点D作DE垂直于y轴，并交y轴于点E，
∠CAB+∠ABO＝90°，
∠CAB+∠ACB＝90°
∴∠ABO＝∠ACB，
在Rt△OAB和Rt△OCB中，
∠AOB＝∠COB，
∠ABO＝∠ACB，
∴Rt△OAB和∽Rt△OCB，
∴＝，
∵OA＝1，OB＝2，
∴OC＝4，
∵DC∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵DC＝AB，∠DCA＝∠CAB，∠DEC＝∠BOA，
∴△DEC＝△BOA，
∴DE＝OB，CE＝AO，
∴D点坐标为（﹣2，3），
∴点D在反比例函数上，
∴y＝，即3＝，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
15．（2025 济宁二模）如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为　　 ．
【点拨】如图，取AB的中点K，以AB为直径作⊙K，想办法求出FK，CK，根据CF≥CK﹣FK即可解决问题．
【解析】解：如图，取AB的中点K，以AB为直径作⊙K，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°，
∵AK＝BK，
∴KF＝AK＝BK，
∵正方形ABCD的外接圆的半径为，
∴AB＝BC＝＝2，
∴KF＝AK＝KB＝1，
∵∠CBK＝90°，
∴CK＝＝＝，
∵CF≥CK﹣KF，
∴CF≥﹣1，
∴CF的最小值为﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．（2025 宣城二模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在BC，AD上．将该正方形沿EF折叠，使点A落在CD边上的点M处，连接AM，与折痕EF交于点P．
（1）若M是CD的中点，则AF的长为 　　 ；
（2）若G为MN的中点，随着折痕EF位置的变化，PG+PM的最小值为 　3　 ．
【点拨】（1）由折叠得EF是AM的中垂线，根据线段垂直平分线的性质求出AF＝MF，再根据勾股定理求出AF的长．
（2）取AB的中点Q，根据两点之间线段最短得出PG+PM的最小值．
【解析】解：（1）根据折叠的性质可得EF是AM的垂直平分线，
∴AF＝MF，
设AF＝MF＝x，则DF＝6﹣x．
∵M是CD的中点，
∴DM＝CD＝3，
在Rt△DFM中，DF2+DM2＝FM2，
即（6﹣x）2+32＝x2，
解得x＝，
即AF的长为，
故答案为：；
（2）如图，取AB的中点Q，连接QP，PG，PD，由折叠的对称性可知PQ＝PG．
∵G为MN的中点，△ADM为直角三角形，
∴PD＝AM＝PM，
∴PG+PM＝PQ+DP≥DQ，
当且仅当D，P，Q三点共线时PG+PM最小，最小值＝＝＝3，
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题，第二问有难度，解题的关键是取AB的中点Q，确定PG+PM＝PQ+DP，属于中考常考题型．
三．解答题（共8小题，其中第17-22题每题8分，第23题10分，第24题每题12分，共72分）
17．（2025 西宁一模）计算：．
【点拨】先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案．
【解析】解：
＝
＝
＝0．
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握乘方运算的法则，零指数幂的运算法则，二次根式的化简，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
18．（2025 乾安县模拟）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（2a+b），其中a＝﹣2，b＝1．
【点拨】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解析】解：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（2a+b）
＝（4a2+4ab+b2）﹣（b2﹣4a2）
＝4a2+4ab+b2﹣b2+4a2
＝8a2+4ab，
当a＝﹣2，b＝1时，
原式＝8×（﹣2）2+4×（﹣2）×1
＝8×4﹣8
＝32﹣8
＝24．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
19．（2025 泰州二模）如图，△ABC中，∠ABC为锐角，AB＜BC．点E为边BC上一点，点F为平面内一点，且四边形AECF为菱形．
（1）在图1中，请利用无刻度的直尺和圆规，作出菱形AECF．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC＝5，BC＝8，且△ABC的面积为16，则菱形AECF的边长为 　　 ．
【点拨】（1）作线段AC的垂直平分线MN，MN交BC于点E，以C为圆心，CE为半径作弧交MN于点F，连接AF，CF，四边形AECF即为所求．
（2）过点A作AH⊥BC于点H．利用面积法求出AH，设AE＝EC＝x，利用勾股定理构建方程求出x即可．
【解析】解：（1）如图1中，四边形AECF即为所求；
（2）过点A作AH⊥BC于点H．
∵△ABC的面积＝ BC AH，
∴AH＝＝4，
∴CH＝＝＝3，
设AE＝EC＝x，则有x2＝42+（x﹣3）2，
解得x＝．
∴AE＝EC＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题
20．（2025 齐齐哈尔一模）2024年嫦娥六号探测器成功完成了人类历史上首次月球背面采样的壮举，2025年嫦娘七号与嫦娥八号的研制工作也将稳步向前，中国航空航天技术即将开启新的篇章．某校为了普及航空航天知识，对该校2000名学生进行了“航空航天”知识测试，
从中随机抽取了部分学生的成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组 x＜60 5%
B组 60≤x＜70 15%
C组 70≤x＜80 a%
D组 80≤x＜90 35%
E组 90≤x≤100 25%
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中a＝ 　20　 ；
（2）补全条形统计图；
（3）本次抽取的学生成绩的中位数落在 　D　 组（选填A、B、C、D或E）；
（4）试估计该校2000名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数．
【点拨】（1）利用1减去其他四组所占的百分比即可得a的值；
（2）先根据A的条形统计图和统计表信息求出此次调查抽取的总人数，再乘以C组所占百分比可得C组的人数，据此补全条形统计图即可得；
（3）根据中位数的定义求解即可得；
（4）利用该校学生总人数乘以成绩在80分以上（包括80分）的人数所占的百分比即可得．
【解析】解：（1）利用1减去其他四组所占的百分比可得：
a%＝1﹣5%﹣15%﹣35%﹣25%＝20%，
∴a＝20，
故答案为：20．
（2）此次调查抽取的总人数为10÷5%＝200（名），
则C组的人数为200×20%＝40（名），
补全条形统计图如下：
（3）∵10+30+40＝80，10+30+40+70＝150，
∴排在第100个数和第101个数均在D组，
∴被抽取的学生成绩的中位数落在D组，
故答案为：D．
（4）2000×（35%+25%）＝1200（名），
答：估计该校1200名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数为1200名．
【点睛】本题考查了统计表、条形统计图、中位数、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
21．（2025 淮安区模拟）如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AB＝8，CE＝3，求△ABC的周长．
【点拨】（1）先根据斜边上的中线性质得到DA＝DC，则∠A＝∠ACD，再根据平行线的性质得到∠ACD＝∠CDE，所以∠A＝∠CDE，加上∠ACB＝∠DCE＝90°，则根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△DEC；
（2）先利用斜边上的中线性质得到CD＝AB＝4，再利用勾股定理计算出DE＝5，接着根据相似三角形的性质得到＝＝，然后求出AC、BC，从而得到△ABC的周长．
【解析】（1）证明：∵DC⊥CE，
∴∠DCE＝90°，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠A＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△DEC；
（2）解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝4，
在Rt△DCE中，DE＝＝＝5，
∵△ABC∽△DEC，
∴＝＝，即＝＝，
∴AC＝，BC＝，
∴△ABC的周长＝++8＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算是解决问题的关键．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
22．（2025 西湖区二模）小敏和小慧去西湖风景区游玩，约好在少年宫广场见面．如图1，A地、B地、少年宫广场在一条直线上．小敏从A地出发，先匀速步行至车站，再坐公交车前往少年宫广场．同时，小慧从B地出发，骑车去少年宫广场，平均速度为200米/分钟．两人距离A地的路程s（米）和所经过的时间t（分）之间的函数关系如图2所示．（公交车的停车时间忽略不计）
（1）求公交车的平均速度．
（2）求同时出发后，经过多少时间小敏追上小慧．
（3）在小敏坐公交车的过程中，当她与小慧相距400米时，求t的值．
【点拨】（1）根据速度＝路程÷时间计算即可；
（2）分别写出当10≤t≤30时小敏距离A地的路程s和所经过的时间t之间的函数关系式、小慧距离A地的路程s和所经过的时间t之间的函数关系式，令两函数值相等列关于t的一元一次方程并求解即可；
（3）当10≤t≤30时，令两函数值差的绝对值为400，列关于t的方程并求解即可．
【解析】解：（1）（8800﹣800）÷（30﹣10）＝400（米/分）．
答：公交车的平均速度是400米/分．
（2）当10≤t≤30时，小敏距离A地的路程s和所经过的时间t之间的函数关系式为s＝800+400（t﹣10）＝400t﹣3200，
小慧距离A地的路程s和所经过的时间t之间的函数关系式为s＝200t+1800，
当小敏追上小慧时，得400t﹣3200＝200t+1800，
解得t＝25．
答：同时出发后，经过25分小敏追上小慧．
（3）当10≤t≤30时，得|400t﹣3200﹣（200t+1800）|＝400，
解得t＝23或27．
答：小敏坐公交车的过程中，当她与小慧相距400米时，求t的值为23或27．
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
23．（2024 玉环市二模）已知二次函数y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）．
（1）若二次函数过点（1，1）
①求二次函数的表达式；
②当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．
（2）若点和点在该二次函数图象上，求的值．
【点拨】（1）①依据题意，由二次函数过点（1，1），从而可得1＝a﹣2（a+1）+4，求出a后即可得解；
②依据题意，由①y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，结合二次函数的性质可以判断得解；
（2）依据题意，先求出抛物线对称轴，在根据P，Q关于对称轴对称求出n＝2，再把点P坐标代入抛物线求出b＝2﹣，再求出（+b）2+n2的值；
【解析】解：（1）①∵二次函数过点（1，1），
∴1＝a﹣2（a+1）+4．
∴a＝1．
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+4．
②由①y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小．
∴当y随x的增大而减小时，x＜2．
（2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1+．
∵点P（，b）和点Q（+n，b）关于对称轴对称，
∴＝1+．
∴n＝2．
把P（，b）代入函数解析式得：a×﹣2（a+1）×+4＝b，
解得b＝2﹣．
∴（+b）2+n2＝（+2﹣）2+22＝8．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．
24．（2025 宁波一模）已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D，交BC于点E，M是AD上一点．
（1）若AB＝AC，　①（或②）　 ，求∠BDC的度数．
①AM＝2ME＝2DE；②∠MBC＝∠MBA＝2∠BAD．
（作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解∠BDC的度数．）
（2）若AB＝c，AE＝m，AC＝b，求DE的长．
（3）若∠MBC＝∠MCA＝∠MAB，求证：BC2＝AB AC．
【点拨】（1）当选择①时，由题意易得AE⊥BC，BE＝EC，∠BAD＝∠CAD，然后可得AD是直径，则有点M是圆心，且四边形BDCM是平行四边形，进而问题可求解；若选择②，由题意易得AE⊥BC，∠BAD＝∠CAD，设∠BAD＝α，则有∠MBC＝∠MBA＝2α＝∠BAC，然后可得方程2α+3α＝90°，进而问题可求解；
（2）由题意易得∠BAD＝∠CAD，则可证△ABD∽△AEC，则有，进而问题可求解；
（3）先证明△ABC∽△BMD，△ABC∽△MDC，则有，，然后根据BD＝CD可得，进而问题可求证．
【解析】（1）解：当选择①时；
∵已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D，AB＝AC，
∴AE⊥BC，BE＝EC，∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴AD是直径，
∵AM＝2ME＝2DE，
∴ME＝DE，AM＝DM，
∴点M是圆心，且四边形BDCM是平行四边形，
∵BM＝CM，
∴四边形BDCM是菱形，
∴BM＝BD＝DM＝CD＝MC，
∴△BDM，△CDM都为等边三角形，
∴∠BDM＝∠CDM＝60°，
∴∠BDC＝120°；
若选择②；
∵已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D，AB＝AC，
∴AE⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
由∠MBC＝∠MBA＝2∠BAD可设∠BAD＝α，则有∠MBC＝∠MBA＝2α＝∠BAC，
∴∠BMD＝∠MBA+∠BAD＝3α，
∵∠MEB＝90°，
∴∠MBC+∠BME＝90°，即2α+3α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠BAC＝2α＝36°，
∵四边形ABDC内接于圆O，
∴∠BDC＝180°﹣∠BAC＝144°，
故答案为：①（或②）；
（2）解：已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠ADB＝∠ACE，
∴△ABD∽△AEC，
∴，
∵AB＝c，AE＝m，AC＝b，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠MBC＝∠MCA＝∠MAB，
∴∠MBC＝∠MCA＝∠MAB＝∠CAD，
∴∠BMD＝∠BAM+∠ABM＝∠ABM+∠MBC＝∠ABC，
∵∠BDM＝∠ACB，
∴△ABC∽△BMD，
∴，即，
∵∠DMC＝∠CAD+∠ACM＝2∠CAD，
∴∠BAC＝∠DMC，
∵∠ABC＝∠MDC，
∴△ABC∽△MDC，
∴，
∴，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴BD＝CD，
∴，
∴，
∴BC2＝AB AC．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查垂径定理、菱形的性质与判定、圆周角的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、菱形的性质与判定、圆周角的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
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