浙江杭州学军中学2025年高一下学期第二轮测试数学试卷（图片版，含详解）

杭州学军中学 2024级高一下第二轮测试
数学试卷
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用 2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合A= x|log2x<1 ,B= x|x<1 ，则A∪B= ( )
A. -∞,1 B. 0,1 C. -∞,2 D. 0,2
2. z= 10-5i设复数 2 (i为虚数单位)，则 z的虚部为 ( )(2-i)
A. 2 B. 2i C. 1 D. i
3.设m,n是两条不同直线，α,β是两个不同的平面，下列命题正确的是 ( )
A. m⊥ α,m⊥n n α B. m⊥ α,n⊥ β且 α⊥ β，则m⊥n
C. m⊥n,m⊥ α,n β，那么 α⊥ β D. m α,n α,m β,n β α β
4.在锐角△ABC中，“tanA> 1”是“A不是最小内角”的 ( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
x2-2x-m+1, x<3
5.若函数 f x = 的值域为 -3,+∞ ，则实数m的可能值共有 ( )msinx+1, x≥3
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6.已知函数 f(x) = sin 2ωx+ π6 + cos2ωx(ω> 0)在 [0,π]内有且仅有 3个零点，则ω的取值范围是
( )
A. 4 , 11 B. 4 , 11 C. 5 , 13 D. 5 13 3 6 3 6 3 6 3 , 6
7.在正三棱锥A-BCD中，AB= 2BC，点E，F分别在棱AB和AD上，且BE=DF= 13 AB，则异面直
线CE和BF所成角的余弦值为 ( )
A. - 1 1 1 120 B. 20 C. - 10 D. 10
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8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB= 3，BC=CC1= 2，点P在矩形BCC1B1内运动 (包括边界)，
M，N分别为BC,CC1的中点，若A1P 平面MAN，当A1P取得最小值时，∠B1BP的余弦值为 ( )
A. 5 B. 2 5 C. 10 D. 3 105 5 10 10
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.若 a，b∈R，且 ab> 0，则下列不等式恒成立的是 ( )
2 2 2 2
A. a+ b≥ 2 ab B. ab≤ a+b2 C.
a+b ≤ a +b2 2 D.
b a
a + ≥ 2b
10.如图，矩形ABCD中，AB= 4，BC= 2，E为边AB的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A1处 (A1
平面ABCD)，若M为线段A1C的中点，平面A1DE与平面DEBC所成锐二面角 α，直线A1E与平面
DEBC所成角为 β，则在△ADE折起过程中，下列说法正确的是 ( )
A. 存在某个位置，使得BM⊥A1D
B. △A1EC面积的最大值为 2 2
C. sinα= 2sinβ
D. 三棱锥A1-EDC体积最大时，三棱锥A1-EDC的外接球的表面积 16π
11.已知函数 f x ，g x 的定义域均为R，且 f x + g 1-x = 3，g x + f x-3 = 3．若 y= g x 的图象关
于点 (1,0)对称，则 ( )
2022 2020
A. f -x =-f x B. g -x = g x C. f k = 6066 D. g k = 0
k=1 k=1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12. 1 1已知实数 a,b,c满足 3a= 6b= c，且 a + = 2，则 c= .b
13.三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC且△ABC为正三角形，M、N分别是PB、PC的中点，若截面
AMN⊥侧面PBC，则此棱锥侧面PBC与底面ABC夹角的余弦值为 .
14.已知四边形ABCD为平行四边形，AB= 4，AD= 3，∠BAD= π3 ，现将△ABD沿直线BD翻折，得到三
棱锥A -BCD，若A C= 13，则三棱锥A -BCD的内切球与外接球表面积的比值为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

15. 已知向量 a= 3,2 ，b= x,-1 .

(1)当 a +2b ⊥ 2a -b 且 x> 0时，求实数 x的值；
(2)当 c= -8,-1 ，a b+c ，求向量 a与 b的夹角 α.
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16.如图，等腰Rt△ABE与四边形ABCD所在平面互相垂直，若BF=EF,AD∥BC，AB=AE=BC=
2AD
(1)求证：AF∥平面CDE；
(2)若∠ABC= 90°,AB= 2，求四面体CDEF的体积.
a b2+c2-a2
17.在△ ABC中，A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且 2R- a=
a2+c2 2
，其中R是三角形外接圆半径，
-b
且A不为直角.
(1) B= π若 6 ，求A的大小；
(2) 2a
2-c2
求 2 的最小值.b
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18.在多面体ABCDE中，已知AB=AC= 4，EA=EB=DA=DC= 2 3 DE= 1， 2 BC且DE BC，
∠BAC= 90°．
(1)证明：平面ABE⊥平面ABC；
(2)求直线AE与平面BCD所成角的正弦值．
19.已知 a，b，c，d∈R，且 a< b< c< d，定义 a,b ∪ c,d 的“区间长度”为 d- c+ b- a﹐函数 f x =
2sinx-t 2tsinx+1 t∈R 的定义域为 0,2π ，
(1)当 t=-1时，求关于 x的不等式 f x ≤ 0解集的“区间长度”，
(2) 1已知 2 < t< 2，设关于 x的不等式 f x ≥ 0解集的“区间长度”为 I．
(ⅰ)若 I= π，求 t；
(ⅱ)求 I的最大值．
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参考答案
C
【解析】由题意可得：A= x|log2x<1 = x|0且B= x|x<1 ，所以A∪B= -∞,2 .
故选：C.
2.C
z= 10-5i = 10-5i (10-5i)(3+4i)【解析】由题得，
(2-i)2 3-4i
= ( - )( + ) = 2+ i，所以 z的虚部为 1.3 4i 3 4i
故选：C.
3.B
【解析】对于A选项，直线n可能在平面 α内，故A选项错误.
对于B选项，由于m⊥ α,n⊥ β且 α⊥ β，所以m⊥n正确，故B选项正确.
对于C选项，α,β可能平行，故C选项错误.
对于D选项，α,β可能相交，故D选项错误.
故选：B
【点睛】本小题主要考查线面平行、面面平行、线线垂直、面面垂直的知识，属于基础题.
4.C
【解析】当A= 50°,B= 60°,C= 70°时，tanA> 1，
此时A是最小内角，故充分性不成立；
若A不是最小内角，不妨设C为最大角，则B假设 tanA≤ 1，由 0° 则B< 45°，此时C> 90°，与题意矛盾，所以 tanA> 1，
若锐角△ABC的最大角小于或等于 45°，则三角形的内角和小于或等于 135°，
这与三角形的内角和等于 180°矛盾，
所以若A不是最小内角，则 tanA> 1，故必要性成立，
综上所述“tanA> 1”是“A不是最小内角”的必要不充分条件.
故选：C.
5.B
【解析】当 x< 3时，f x = x2- 2x-m+ 1= (x- 1)2-m≥-m，
当 x≥ 3时，f x =msinx+ 1，
若m= 0，当 x< 3时，f x ≥ 0，当 x≥ 3时，f x = 1，
此时 f x 的值域为 0,+∞ ，不合题意；
若m> 0，则 x≥ 3时，f x ∈ -m+1,m+1 ，f(x)min=-m+ 1，
由于-m+ 1>-m，由题意需使-m=-3, ∴m= 3；
若m< 0，则 x≥ 3时，f x ∈ m+1,-m+1 ,f(x)min=m+ 1，
由于-m> 0，故需使m+ 1=-3, ∴m=-4，
即实数m的可能值共有 2个.
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故选：B．
6.A
【解析】f(x) = sin 2ωx+ π6 + cos2ωx= sin2ωxcos
π
6 + cos2ωxsin
π
6 + cosωx=
3
2 sin2ωx+
3
2 cos2ωx= 3sin 2ωx+
π
3 ,
∵当 x∈ [0，π]时，2ωx+ π3 ∈
π
3 ,2πω+
π
3 ，
∵ f(x)在 [0，π]有且仅有 3个零点，
∴ 3π≤ 2πω+ π3 < 4π ，
4
综上：3 ≤ω<
11
6 ,
故选：A
7.B
【解析】过E作EG BF，交AD于G，则∠GEC或其补角为异面直线CE和BF所成的角，
设BC= 9，则AB=AD=AC= 18,BE=DF= 6,AE=AF= 12,AG= 8，
2 2 2
由余弦定理得 cos∠BAC= cos∠BAD= cos∠DAC= 18 +18 -9 72×18×18 = 8 ，
由余弦定理得EG= 122+82-2×12×8× 78 = 2 10 ,EC= 12
2+182-2×12×18× 78 = 3 10，
GC= 82+182-2×8×18× 78 = 2 34，
GEC cos∠GEC= 40+90-136 1在三角形 中，由余弦定理得 =- ，
2×2 10×3 10 20
所以异面直线CE和BF 1所成角的余弦值为 20 .
故选：B
8.D
【解析】如图，取BB1的中点E，B1C1的中点F，连接EF,A1E,A1F,FM，所以EF BC1，
又M ,N分别为BC,CC1的中点，所以MN BC1，故EF MN，
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EF 平面MAN，MN 平面MAN，所以EF 平面MAN，
又AA1 MF，AA1=MF，所以四边形A1AMF为平行四边形，故A1F AM，
A1F 平面MAN，AM 平面MAN，A1F 平面MAN，
又A1F,EF 平面A1EF，A1F∩EF=F，故平面A1EF 平面MAN，
所以当A1P 平面A1EF时，A1P 平面MAN，则点P在线段EF上，
当A1P⊥EF时，A1P取得最小值，易知 A1E = A1F = 9+1= 10，
此时P为线段EF的中点.
2 2
由平面几何知识可知， BE = 1 EP = 2 ， 2 ， BP =
1
2 +
3
2 =
10
2 ，
BE 2 + BP 2 - EP∠ =
2
cos B1BP = 3 10 .2 BE × BP 10
所以∠B1BP 3 10的余弦值为 10 .
故选：D.
【点睛】方法点睛：A1P 平面MAN，则P点在过A1与平面MAN平行的平面内，E,F分别为BB1,B1C1的中
点，由平面A1EF 平面MAN得点P在线段EF上，且P为线段EF的中点，三角形中余弦定理求∠B1BP
的余弦值.
9.BCD
【解析】当 a< 0,b< 0时，A不成立，A错；
由 (a- b)2
2
≥ 0得 a2+ b2≥ 2ab，所以 a2+ 2ab+ b2≥ 4ab，即 ab≤ a+b2 ，B正确；
2 2 2
2(a2+ b2)≥ a2+ 2ab+ b2= (a+ b)2 a +b ≥ a+b， 2 2 ，C正确．
ab> 0 a > 0 a + b，则 ， ≥ 2 aa b
b
a = 2，当且仅当 a= b时等号，D成立，D正确；b b
故选：BCD．
10.BCD
对于B，依题意先得到S△A EC= 2 2sin∠A1EC，从而可得到△A1EC面积的最大值；1
对于C，取DE的中点P，DC的中点Q，作A1O⊥平面DEBC，且点O在平面DEBC内，连接A1P，PQ，
A O A O
EO，先说明点O在直线PQ上，再证明∠A1PO= α，∠A1EO= β，得到 sinα= 1 ，sinβ= 1 ，进而可2 2
得结论；
对于D，先根据三棱锥的体积公式得到点O与点P重合，即A1P⊥平面DEBC时，VA -EDC最大，进而可得1
到三棱锥A1-EDC的外接球的半径和长、宽、高分别为 2，2，2 2的长方体的外接球的半径相等，从而可求
得其外接球的半径，即可求解．
【解析】对于A，取A1D的中点N，连接EN，MN，
显然MN∥CD MN= 1，且 2 CD，又BE∥CD BE=
1
，且 2 CD，所以BE∥MN，且BE=MN，
所以四边形MNEB为平行四边形，所以BM∥EN，
又A1E= 2，DE= 2 2，且N为A1D的中点，
则EN与A1D不垂直，所以BM与A1D也不垂直，故A错误；
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对于B，由A1E= 2，EC= 2 2，则S 1△A EC= 2 ×A1E×EC× sin∠A1EC= 2 2sin∠A1EC，1
π
所以当∠A1EC= 2 时，S△A EC最大，且最大值为 2 2，故B正确；1
对于C，取DE的中点P，DC的中点Q，作A1O⊥平面DEBC，且点O在平面DEBC内，
连接A1P，PQ，EO，
由A1E=A1D= 2，则A1P⊥DE，又PQ∥EC，且DE⊥EC，则DE⊥PQ，
则A1P在平面DEBC上的射影在直线PQ上，即点O在直线PQ上，
∠ A O A O则 A1PO平面A1DE与平面DEBC所成的二面角，则∠A1PO= α，所以 sinα= 1 = 1 ，A1P 2
A O A O
又A1E在平面DEBC上的射影为OE，则∠A1EO= β，所以 sinβ= 1 = 12 ，A1E
所以 sinα= 2sinβ，故C正确；
对于D，结合C可知，V 1A -EDC= 3 ×S△EDC×A1O=
4
1 3 A1O，
4 2
则当点O与点P重合，即A1P⊥平面DEBC时，VA -EDC最大，且最大值为1 3 ，
则A1P⊥EC，又DE⊥EC，且A1P∩DE=P，则EC⊥平面A1DE，
所以A1D，A1E，EC两两垂直，且A1D= 2，A1E= 2，EC= 2 2，
则三棱锥A1-EDC的外接球的半径和长、宽、高分别为 2，2，2 2的长方体的外接球的半径相等，
22+22+ 2 2 2
所以其外接球的半径为R= 2 = 2，
所以三棱锥A1-EDC的外接球的表面积为S= 4πR2= 16π，故D正确．
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故选：BCD．
【点睛】三棱锥外接球点睛：
求三棱锥外接球时，常见方法有两种：一种是直接法，一种是补形．解题时要认真分析图形，看能否把三棱
锥补成一个正方体 (长方体)，若能，则正方体 (长方体)的顶点均在球面上，正方体 (长方体)的体对角线长等
于球的直径；另一种是直接法，三棱锥任意两个面过外心的垂线的交点即为三棱锥外接球的球心．
11.BD
【解析】因为 y= g x 的图象关于点 (1,0)对称，所以 g 1-x + g 1+x = 0，
g x 的定义域均为R，故 g 1 = 0，由 f x + g 1-x = 3，得 f -x + g 1+x = 3，所以 f x + f -x = 6，
故A错误；
令 x= 0得，f 0 = 3，因为 g x + f x-3 = 3，
所以 g x+1 + f x-2 = 3与 f x + g 1-x = 3联立得，
f x + f x-2 = 6，则 f x-2 + f x-4 = 6，
所以 f x = f x-4 ，即 f x 的其中一个周期为 4，
因为 g x + f x-3 = 3，所以 g x+4 + f x+1 = 3．
即 g x+4 = g x ，所以 g x 的其中一个周期也为 4，
由 g x + f x-3 = 3，得 g x-1 + f x-4 = 3，
与 f x + g 1-x = 3联立，得 g x-1 = g 1-x ，
即 g x = g -x ．所以B正确；
由 f x + f x-2 = 6，得 f 1 + f 3 = 6，但 f 1 与 f 3 的值不确定，
又 f 0 = 3，f 2 = 3，
2022
所以 f(k) = f(1) + f(2) + 505[ f(1) + f(2) + f(3) + f(4)]= 6063+ f(1)
k=1
故C错误；
由 g x + f x-3 = 3，得 g 3 + f 0 = 3，所以 g 3 = 0，
又 f -1 + g 2 = 3，f 1 + g 4 = 3，
2020
两式相加得，g 2 + g 4 = 0，所以 g k = 0= 505 g 1 +g 2 +g 3 +g 4 = 0，故D正确，
k=1
故选：BD．
【点睛】抽象函数的对称性、周期性、奇偶性综合的问题难度较大，不易推导求解，平时要多去推导练习.
12. 3 2
【解析】由 3a= 6b= c可知 c> 0,a= log3c,b= log6c，
1 + 1所以 a = logc3+ log 6= log 18= 2，即 c
2
c c = 18，所以 c= 3 2 .b
故答案为：3 2 .
13. 66
【解析】取MN和BC的中点分别为E，F，
∵M，N分别是PB，PC的中点，
∴MN BC,PE⊥MN ,
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由于PA=PB=PC且△ABC为正三角形，
∴PC=PB,PA=PA,AC=AB,，故△APC≌△APB,
由于M，N分别是PB，PC的中点，因此AN=AM，
故AE⊥MN ,
由于截面AMN⊥侧面PBC，所以∠PEA= 90°,进而可得PA=AF,
由于PF⊥BC,AF⊥BC
故∠AFP为侧面PBC与底面ABC的二面角的平面角，
设AB= 2a，∴PA=PB=PC=AF= 3a，∴PF= PB2-BF 2= 2a，∴EF= 22 a
在直角△AEF中，cos∠AFE= EF = 66 ，AF
6
故答案为： 6
14. 557
π
【解析】在△ABD中，AB= 4,AD= 3,∠BAD= 3 ，
故DB2=AB2+AD2- 2AB AD cos∠BAD= 42+ 32- 2× 4× 3× 12 = 13，即DB= 13，
则折成的三棱锥A -BCD中，A C=DB，A B=AB=DC，A D=AD=BC，
即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，
设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为 a，b，c
a
2+b2=13 a= 3
则 a2+c2=9 ，解得 b= 10，b2+c2=16 c= 6
此长方体的外接球是三棱锥A -BCD的外接球，
设外接球的直径 2R外= a2+b2+c2= 19
19
，即R外= 2 ，
又因为三棱锥A -BCD是长方体切掉四个角，
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故三棱锥VABCD= abc- 4×
1
3 ×
1
2 abc=
1
3 abc= 2 5，
三棱锥A -BCD四个侧面是全等的，
S表= 4S△ABD= 4×
1
2 AB AD sin
π
3 = 2× 4× 3×
3
2 = 12 3，
设内切球半径为R内，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的四个小三棱锥，
四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，
R = 3V = 3×2 5 = 15故 内 S表 12 3 6
，
15
2 2
A
4πR
-BCD 内
R
= 内 = 36 = 5则三棱锥 的内切球与外接球表面积的比值为 2 2 19 57 .4πR外 R外
4
5
故答案为：57 .
【点睛】方法定睛：多面体与球切、接问题的求解方法
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点 (一般为接、切点)或线作截面，把空
间问题转化为平面问题求解．
(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA= a，PB= b，PC= c，一般把
有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据 4R2= a2+ b2+ c2求解．
(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长．
(4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．
(5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，
弄清球的半径 (直径)与该几何体已知量的关系，列方程 (组)求解．
15. (1)6
(2) π4
(2)根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得 x= 5，结合数量积的定义计算即可求解.

【解析】(1)已知 a= 3,2 ,b= x,-1 ，

所以 a + 2b= 3+2x,0 ,2a - b= 6-x,5 .

又因为 a+2b ⊥ 2a -b ，所以有 a+2b 2a-b = 0，
所以 3+2x 6-x + 0× 5= 0，解得 x= 6或 x=- 32 .
由 x> 0，可知 x= 6.

(2) 因为 c= -8,-1 ，所以 b+ c= x-8,-2 .

a b+c 又 ，所以 3× -2 - 2× x-8 = 0，

解得 x= 5，所以 b= 5,-1 .

= a
b
cosθ = 3×5-2×1 2所以 = ，
|a | |b| 32+22 52+ -1 2 2
因为 0≤ θ≤ π，所以 θ= π4 .
16. (1)证明见解析
数学试题 第 11 页 共 16 页
(2) 23
(2)因为AF∥平面CDE，所以四面体CDEF的体积VF-CDE=VA-CDE=VE-CDA，由已知可证得AE⊥平面
ABCD，代入即可求出答案.
【解析】(1)证明：过F点作BC的平行线交EC于点M，连接DM，
因为BF=EF，所以FM为△BCE中位线，
即FM= 12 BC且FM∥BC，
AD∥BC,AD= 1又因为 2 BC，
所以四边形AFMD是平行四边形，
所以AF∥DM，
因为AF 平面CDE,DM 平面CDE，
所以AF∥平面CDE：
(2)由AF∥平面CDE，
所以四面体CDEF的体积VF-CDE=VA-CDE=VE-CDA，
因为等腰Rt△ABE与四边形ABCD所在平面互相垂直，且交线为AB，
又因为AB=AE，所以AB⊥AE，
因为AE 平面ABE，所以AE⊥平面ABCD，
又因为∠ABC= 90°,AD∥BC，
因为AB= 2，
1
所以VE-ACD= 3 S△ACD EA
= 1 13 2 AD AB EA=
1 13 2 ×1×2 ×2=
2
3 ,
2
所以四面体CDEF的体积是 3 .
17. (1) π6
(2)4 2- 7
2 2
(2) 2a -c运用正弦定理和二倍角的余弦公式，化简，再利用基本不等式求解
b2
的最小值.
数学试题 第 12 页 共 16 页
a b2+c2-a2
(1) △ABC ∵ 2R- a= = a×2bccosA = bcosA【解析】 在 中，
a2+c2-b2 2accosB cosB
，
进而 2RcosB- acosB= bcosA，
2RcosB- 2RsinAcosB= 2RsinBcosA，
∴ cosB= sinAcosB+ cosAsinB= sin(A+B) = sinC，
又A π π不为直角，则B+C≠ 2 ，∴C= 2 +B，
∵B= π6 ，∴A= π-B-C=
π
6 .
a b2+c2-a2
(2)由 (1) 知，∵ 2R- a=
a2+c2-b2
转化为 cosB= sinC，又A+B+C= π，C= π2 +B
π
，∴A= 2 - 2B.
∴ 2a
2-c2 2sin2= A-sin
2C
b2 sin2B
2sin2 π2 -2B -cos2B= = 2cos22B-cos2B
sin2B sin2B
2 1-2sin2B 2 - 1-sin2B= = 8sin
4B-8sin2B+2-1+sin2B
sin2B sin2B
= 8sin
4B-7sin2B+1
2 = 8sin
2B+ 1 - 7
sin B sin2B
≥ 2× 8sin2B× 12 - 7= 4 2- 7，sin B
4
当且仅当 8sin2B= 1 ，即 sinB= 1 时，等号成立，
sin2B 8
∴ 2a
2-c2
2 的最小值为 4 2- 7.b
18. (1)证明见解析；
(2) 2 3015 .
(2)根据已知条件，通过线面位置关系，可得∠AEH就是直线AE与平面BCD所成的角，分别求出AH，AE
的值，即可求解∠AEH．
【解析】(1)如图，分别取AB，AC 1的中点F、G，连接FG、EF、DG，则FG= 2 BC且FG BC，

因为DE BC DE= 1且 2 BC，
所以DE FG,且DE=FG
则四边形DEFG为平行四边形，所以EF DG且EF=DG，
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因为DA=DC，所以DG⊥AC，
所以EF⊥AC，
又因为∠BAC= 90°，所以AB⊥AC，
又因为AB∩EF=F，AB、EF 平面ABE，
所以AC⊥平面ABE，
又因为AC 平面ABC，
所以平面ABE⊥平面ABC．
(2)取BC的中点为N，DE的中点为Q，连接AN，QN，AQ，如图所示，

因为AB=AC，所以AN⊥BC，
在等腰梯形BCDE中，易得QN⊥BC，
又因为AN∩QN=N，AN、QN 平面AQN，
所以BC⊥平面ANQ，
因为BC 平面BCD，
所以平面ANQ⊥平面BCD，
过A作AH⊥QN于点H，由平面ANQ∩平面BCDE=QN，AH 平面AQN，
则AH⊥平面BCDE，
连接EH，则∠AEH就是直线AE与平面BCD所成的角，
因为EH 平面BCD，所以AH⊥EH，
由AB=AC= 4，∠BAC= 90°，得AN= 2 2，BC= 4 2，DE= 12 BC= 2 2，EA=DA= 2 3，Q是DE
中点，AQ⊥DE，AQ= (2 3)2-( 2)2= 10，
在等腰梯形BCDE中，QN= (2 3)2-(2 2- 2)2= 10，
2 2× ( 10)2-( 2)2
所以在等腰△QAN中，腰QN上的高AH= = 8 ，
10 10
又因为AE= 2 3，
8
所以 sin∠AEH= AH = 10 = 2 30
AE 2 3 15
，
所以直线AE 2 30与平面BCD所成角的正弦值为 15 ．
19. (1) 4π3
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(2) ( ) 6+ 2 6- 2 ( ) 4πⅰ 2 或 2 ；ⅱ 3
(2) (ⅰ)不等式解集为 sinx≥ t sinx≤- 12 或 2t ，设 sinx=
t
2 的两个根为 x1,x2，sinx=-
1
2t 的两个根为 x3,
x x + x = 3π4，求出 1 3 2 ，其中 sinx sinx
1 3π 1 π 5π
1 3=- 4 ，即 sinx1 sin 2 -x1 =- 4 ，解得 2x1= 6 或 6 ，故 x1=
π 5π π
12 或 12 ，所以 t= 2sin 12 或 t= 2sin
5π
12 ，结合正弦和差公式得到答案；
( ) ( ) sinx sinx =- 1ⅱ 由 ⅰ 可得 1 3 4 ，平方后，结合同角三角函数关系，基本不等式得到 cosx1cosx
2
3+1 ≥
1
16 ，所以 cosx1cosx3≥-
3
4 ，所以 cos x
1 4π 4π
1+x3 ≥- 2 ，故 x1+ x3≥ 3 ，所以 I= 4π- 2 x1+x3 ≤ 3 ，故 I的
4π
最大值为 3 .
【解析】(1)t=-1时，f x = 2sinx+1 -2sinx+1 = 1- 4sin2x，
f x ≤ 0 1- 4sin2x≤ 0，故 sinx≥ 12 或 sinx≤-
1
2 ，
f x
π 5π 7π 11π
的定义域为 0,2π ，所以 6 ≤ x≤ 6 或 6 ≤ x≤ 6 ，
f x ≤ 0 5π - π 11π 7π 4π所以 解集的“区间长度”为 6 6 + 6 - 6 = 3 ；
(2) (ⅰ) 2sinx-t 2tsinx+1 1 ≥ 0，2 < t< 2，
t
其中 2 > 0>-
1 t 1
2t ，故不等式解集为 sinx≥ 2 或 sinx≤- 2t ，
设 sinx= t π2 的两个根为 x1,x2，其中 0< x1< 2 < x2< π，且 x1+ x2= π，
同理，设 sinx=- 12t 的两个根为 x3,x4，其中 π< x <
3π
3 2 < x4< 2π，且 x3+ x4= 3π，
所以 I= x2- x1+ x4- x3= 4π- 2 x1+x3 ，
又 I= π 3π，所以 x1+ x3= 2 ，
其中 sinx1 sinx t3= 2 -
1
2t =-
1
4 ，即 sinx1 sin
3π 1
2 -x1 =- 4 ，
由诱导公式得-sinx cosx =- 11 1 4 ，即-
1
2 sin2x1=-
1
4 ，sin2x
1
1= 2 ，
又 0< x1< π2 ，解得 2x =
π 5π π 5π
1 6 或 6 ，故 x1= 12 或 12 ，
π π π π
所以 t= 2sinx1= 2sin 12 = 2sin 4 - 6 = 2sin 4 cos
π
6 - 2cos
π
4 sin
π
6
= 2× 22 ×
3 - 2× 22 2 ×
1
2 =
6- 2
2
5π π π π
或 t= 2sinx1= 2sin 12 = 2sin 4 + 6 = 2sin 4 cos
π + 2cos π6 4 sin
π
6
= 2× 2 × 3 + 2× 2 × 1 6+ 22 2 2 2 = 2 ；
(ⅱ)由 (ⅰ)可得 sinx1 sinx =- 13 4 ，
则 sin2x1 sin2x 13= 16 ，
即 1-cos2x1 1-cos2x3 = 1- cos2x 2 2 2 11+cos x3 + cos x1cos x3= 16 ，
因为 cosx1> 0,cosx3< 0，
所以 cos2x1+ cos2x3≥-2cosx1cosx3，当且仅当 cosx1+ cosx3= 0时，等号成立，
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所以 1+ 2cosx cosx + cos2x cos21 3 1 x3≥ 116 ，即 cosx1cosx3+1
2 ≥ 116 ，
所以 cosx1cosx3+ 1≥ 14 或 cosx1cosx3+ 1≤-
1
4 ，
由于 cosx1∈ 0,1 ,cosx3∈ -1,0 ，故 cosx1cosx3∈ -1,1 ，
所以 cosx1cosx3+ 1∈ 0,2 1 ，cosx1cosx3+ 1≤- 4 舍去，
故 cosx1cosx3+ 1≥ 14 cosx1cosx3≥-
3
4 ，
所以 cos x1+x3 = cosx1cosx3- sinx1sinx 33≥- 4 - -
1 =- 14 2 ，
因为 0< x < π1 2 ,π< x3<
3π
2 ，所以 π< x1+ x3< 2π，
由 cos x1+x3 ≥- 12 可知，x1+ x
4π
3≥ 3 ，
当且仅当 cosx1+ cosx3= 0，sinx 1 π 7π1 sinx3=- 4 ，即 x1= 6 ,x3= 6 时，等号成立，
所以 I= 4π- 2 4π 4π x1+x3 ≤ 3 ，故 I的最大值为 3 .
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