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2024-2025学年下学期期末考试押题卷02
高一·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数，其中为虚数单位，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
2．有一组数据按从小到大排序如下：70，71，73，75，76，则这组数据的40%分位数，70%分位数分别是（ ）
A．71，74 B．71，75 C．72，74 D．72，75
3．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面
5．在正方体中，为的中点，则（ ）
A． B． C．平面 D．平面
6．如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（ ）
A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时
7．已知的内角的对边分别为，若 ，，则角（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，且A在平面上，在平面的同侧，M为BC的中点，若在平面上的射影是以A为直角顶点的，则AM与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若A，B是互斥事件，则
B．若，则
C．若A，B是相互独立事件，则
D．若，则A，B是相互独立事件
10．已知复数在复平面内对应的向量分别为，其中O为原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（定体积为），固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是（ ）
A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面所在四边形的面积为定值
C．棱总与水面所在的平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，（定值）
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．抚州市政府为了促进十一黄金假期期间文昌里文化街区餐饮服务质量的提升，抚州市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了名游客，把这名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成、、、、五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为 ，评分的平均数为 ．
13．如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 ．
14．将3个边长为4的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图左）；将这六个部分接于一个边长为的正六边形边上（如图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为时对颗粒物的累积净化量，以克表示.根据GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量（CCM）有如下等级划分：
累积净化量（克） 以上
等级
为了了解一批空气净化器（共台）的质量，随机抽取台机器作为样本进行估计，已知这台机器的累积净化量都分布在区间中.按照，，，，均匀分组，其中累积净化量在的所有数据有：，，，，和，并绘制了如图所示频率分布直方图：
(1)求的值及频率分布直方图中的值；
(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共台）中等级为的空气净化器有多少台？
16．（15分）
甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为．
(1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率；
(2)若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率．
17．（15分）
如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形. ，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与夹角的余弦值.
18．（17分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足，.
(1)求B；
(2)若D为线段BC上一点，且满足，，求CD的长；
(3)若为锐角三角形，求面积的范围.
19．（17分）
如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．
(1)当为何值时，平面平面
(2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径．
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2024-2025学年下学期期末考试押题卷02
高一·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数，其中为虚数单位，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以.
故选：C.
2．有一组数据按从小到大排序如下：70，71，73，75，76，则这组数据的40%分位数，70%分位数分别是（ ）
A．71，74 B．71，75 C．72，74 D．72，75
【答案】D
【解析】数据从小到大排序：70，71，73，75，76，
是整数，这组数据的40%分位数是；
不是整数，这组数据的70%分位数是.
故选：D.
3．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】掷骰子一共4次，基本事件共种情况，
其中，得两分平局两人抛出的都是；共有1种；
得三分平均两人均有两种情况，两人共种，
以此类推，甲、乙平局一共有种情况，
其余甲、乙获胜机会均等，各575种情况，所以甲获胜的概率为．
故选：B
4．下列说法正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面
【答案】D
【解析】各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误；
有两个面互相平行且相似，其余面都是梯形的多面体不一定是棱台，
只有当梯形的腰延长后交于一点时，这个多面体才是棱台，B错误；
直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，C错误；
用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，D正确.
故选：D
5．在正方体中，为的中点，则（ ）
A． B． C．平面 D．平面
【答案】C
【解析】对于A：由正方体的性质可知，
显然，与不平行，所以与不平行，故A错误；
对于B：由正方体的性质可知，，所以，
由A可知与不平行，且、平面，
所以与不垂直，则与不垂直，故B错误；
对于C：设，则为的中点，连接，又为的中点，
所以，又平面，平面，所以平面，故C正确；
对于D：若平面，平面，则，
又，所以，又四边形为矩形，
所以四边形为正方形，所以，
又为正方体，所以，显然不满足，
故假设不成立，所以与平面不垂直，故D错误.
故选：C
6．如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（ ）
A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时
【答案】A
【解析】由题意，在中，，，，
所以，
由正弦定理可得，，
则；
又在中，，，
由余弦定理可得，
，所以，
因此救援船到达点需要的时间为小时.
故选：A.
7．已知的内角的对边分别为，若 ，，则角（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，由正弦定理可得，
又，所以，
又，由正弦定理可得，
即，
由余弦定理，
所以，
所以为锐角，
所以，
所以
，
又，所以.
故选：C
8．如图，在中，，且A在平面上，在平面的同侧，M为BC的中点，若在平面上的射影是以A为直角顶点的，则AM与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
， M为BC的中点，
∴，故，
设，则点M到地面的距离为，
，，
∵射影是以A为直角顶点的，
∴，
在直角梯形中，，
即，所以,
设AM与平面所成角为，
则,
所以.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若A，B是互斥事件，则
B．若，则
C．若A，B是相互独立事件，则
D．若，则A，B是相互独立事件
【答案】CD
【解析】A项，若是互斥事件，不可能同时发生， ，故A错误；
B项，若，则，则，故B错误；
C项，若相互独立，则，
所以，故C正确；
D项，由，且事件互斥，则,
若， 则，
又，，故相互独立，故D正确.
故选：CD.
10．已知复数在复平面内对应的向量分别为，其中O为原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【解析】，，
A项，若，则，故A错误；
B项，由A知，，则，故B正确；
C项，若，则，故C错误；
D项，由C知，，则，
，
则，，
故，故D正确.
故选：BD.
11．如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（定体积为），固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是（ ）
A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面所在四边形的面积为定值
C．棱总与水面所在的平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，（定值）
【答案】ACD
【解析】依题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形，
对于A：依题意，水面，而平面平面，平面，则，同理，而，，又平面，平面平面，因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确；
对于B：水面是矩形，线段的长一定，从图1到图2，再到图3的过程中，线段长逐渐增大，则水面所在四边形的面积逐渐增大，故B错误；
对于C：因为，平面，平面，因此平面，
即棱总是与水面所在的平面平行，故C正确；
对于D :当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高为，体积为，
又，，所以，故D正确.
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．抚州市政府为了促进十一黄金假期期间文昌里文化街区餐饮服务质量的提升，抚州市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了名游客，把这名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成、、、、五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为 ，评分的平均数为 ．
【答案】
【解析】因为频率分布直方图中所有矩形面积之和为，
则有，解得，
评分的平均数为.
故答案为：；.
13．如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 ．
【答案】
【解析】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短．
设实际速度、船速、水流速度分别为、、，
如图，，已知，
则，河宽，
所以，船的航行时间．
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要．
故答案为：.
14．将3个边长为4的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图左）；将这六个部分接于一个边长为的正六边形边上（如图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是 .
【答案】32
【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体的体积为正方体的一半，又由已知可得正方体的棱长为4，故.
故答案为：32
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为时对颗粒物的累积净化量，以克表示.根据GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量（CCM）有如下等级划分：
累积净化量（克） 以上
等级
为了了解一批空气净化器（共台）的质量，随机抽取台机器作为样本进行估计，已知这台机器的累积净化量都分布在区间中.按照，，，，均匀分组，其中累积净化量在的所有数据有：，，，，和，并绘制了如图所示频率分布直方图：
(1)求的值及频率分布直方图中的值；
(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共台）中等级为的空气净化器有多少台？
【解析】（1）因为之间的数据一共有个，
再由频率分布直方图可知：落在之间的频率为，
因此，，
又，
；
（2）由频率分布直方图可知：落在之间共：（台）
又因为在之间共台，
落在之间共台，
所以（台）.
故这批空气净化器等级为的空气净化器共有台.
16．（15分）
甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为．
(1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率；
(2)若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率．
【解析】（1）第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况：
①乙丙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为；
②乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为；
综上，甲获胜的概率为.
（2）若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况：
①甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为，
②甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜的概率为，
③甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，乙甲对战甲胜的概率为，
所以最终甲获胜的概率为.
17．（15分）
如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形. ，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与夹角的余弦值.
【解析】（1）在四棱锥中，连接，连接，
在梯形中，由，得，
由点是棱上靠近端的三等分点，得，则，
而平面，平面，所以平面.
（2）在上取点，使，连接，则，即，
因此是异面直线与所成的角或其补角，，
由平面，平面，得，
，，在中，，
由余弦定理得，
在等腰中，，
所以异面直线与夹角的余弦值是.
18．（17分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足，.
(1)求B；
(2)若D为线段BC上一点，且满足，，求CD的长；
(3)若为锐角三角形，求面积的范围.
【解析】（1）由题可得，
∴，∵，∴.
（2）D为线段BC上一点，且满足，，
∴为等边三角形，
∴.
设，在中，，
即，
整理得：，解得或（舍），即.
（3）在△ABC中，，由正弦定理得：
，
于是得.
因为是锐角三角形，则，且，
于是有，则，即，，
从而得，
所以△ABC面积的取值范围是.
19．（17分）
如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．
(1)当为何值时，平面平面
(2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径．
【解析】（1）连接，由题意得，，
则为等边三角形，，
在中，，
由余弦定理得，
所以，由，
则，故.
若平面平面，
由平面平面，平面，，
则平面，平面，则，
所以.
下面证明当时，平面平面.
证明：由，则，
所以，又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
故当时，平面平面；
（2）由（1）知，，则平面平面.
在平面内过作，
由平面平面，平面，
则平面，平面，则.
如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
由，
，
因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，
化简得，解得或（舍去），
故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为；
（3）设点到平面的距离为，
由，其中为定值，
则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大，
取中点，连接，则，
当平面时，点到平面的距离最大，
此时，由平面，则平面平面，
由（1）知，，为直角三角形， .
则，
，
，
在中，，取中点，
则，且，
所以，
设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知，
其中，，
故，
故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为.
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