【江苏省各地区期末真题汇编】热点题型分类突破：解答题（含解析）-2024-2025学年数学七年级下册苏科版（2024）
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| 名称 | 【江苏省各地区期末真题汇编】热点题型分类突破：解答题（含解析）-2024-2025学年数学七年级下册苏科版（2024） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 974.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-30 15:25:00 | ||
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文档简介
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【江苏省各地区期末真题汇编】热点题型分类突破：解答题-2024-2024学年数学七年级下册苏科版（2024）
1．（2024春 赣榆区期末）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n．试利用该结论求x的值：3×9x×81＝321．
2．（2024春 徐州期末）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y．
（1）如果2×4x＝219，求x的值；
（2）如果5x+2﹣5x+1＝500，求x的值．
3．（2024春 海陵区期末）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：25＞23，55＞45．
（1）比较254，1253的大小．
（2）比较3555，4444，5333的大小．
4．（2024春 宜兴市期末）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）＝ ，（4，1）＝ （2，0.25）＝ ；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
5．（2024春 灌南县期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）
（2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
6．（2024春 海陵区期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作可以得到一个公式： ．
（2）利用你得到的公式，计算：20242﹣2023×2024；
（3）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）．
7．（2023秋 启东市月考）将边长为x的小正方形ABCD和边长为y的大正方形CEFG按如图所示放置，其中点D在边CE上．
（1）若x+y＝10，y2﹣x2＝20，求y﹣x的值；
（2）连接AG，EG，若x+y＝8，xy＝14，求阴影部分的面积．
8．（2024春 高新区月考）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x一5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．
具体解题过程是：原式（a+3）x﹣6y+5，
∵代数式的值与x的取值无关，
∴a+3＝0，解a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关，则m值为 ．
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣2），B＝x（m﹣x），且A+2B的值与x的取值无关，求m的值．
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
9．（2024春 苏州校级期末）如图，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF．
（1）若∠B＝80°，∠F＝32°，求∠A的度数；
（2）若BC＝5，EC＝3，求CF的长．
10．（2024春 东海县期末）△ABC在平面直角坐标系中，如图所示，A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）线段AC与A2C2关于点D成中心对称，请直接写出点D的坐标．
11．（2024春 赣榆区期末）如图，把△ABC绕着A点按逆时针方向旋转40°得到△AEF，EF与AC交于点D点，若∠ADF＝90°，求∠C的度数．
12．（2024春 锡山区期末）如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F．
（1）若∠DAC＝60°，求∠DFE的度数；
（2）若BF＝15，BE＝CE，求平移的距离；
（3）在（2）的条件下，若三角形ABC的周长为25，求四边形ABFD的周长．
13．（2024 铜山区二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数．
14．（2024春 沛县月考）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示：
类型 进价/（元/个） 售价/（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元．
（1）求m和n的值．
（2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3000元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？
15．（2024 泰兴市二模）某公司组织50名员工外出团建，有两种出行方案及对应费用如表：
方案类型 坐动车人数 坐飞机人数 总费用
方案一 10人 40人 24000元
方案二 15人 35人 23750元
根据表中信息，求动车和飞机票价分别是多少元？
16．（2024春 海门区期末）为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．
（1）如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”；
（2）如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？
17．（2024春 南京期末）某校计划创建大小图书角共20个，现有图书3200册，其中每个小图书角需图书100册，每个大图书角需图书250册，问该校创建的大小图书角分别有多少个？
（1）小亮根据题意，列出方程组，请分别指出未知数x，y表示的意义：x表示 ，y表示 ．
（2）小丽“设该校创建的大图书角m个，小图书角n个”，请按照小丽的思路列出方程组，并求m，n的值．
18．（2024春 丹阳市期末）【定义】我们把关于x、y的两个二元一次方程ax+by＝c与bx+ay＝c（a≠b）叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于x、y的“对称二元一次方程组”．例如：2x+y＝3与x+2y＝3是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于x、y的“对称二元一次方程组”．
【理解】
（1）方程2x﹣3y＝5的“对称二元一次方程”是 ；
（2）若关于x、y的方程组为“对称二元一次方程组”，则a＝ ，b＝ ；
【探究】
（3）解下列方程组（直接写出方程组的解）：
①的解为 ；
②的解为 ；
③的解为 ；
（4）根据你的发现，直接写出方程组的解为 ；
【拓展】
（5）若关于x、y的方程组的解是，那么关于x、y的方程组的解为 ．
19．（2024春 高新区校级月考）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
20．（2024春 沛县月考）阅读下列材料：
[数学问题]已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
[问题解决]∵x﹣y＝2，∴x＝y+2．
又∵x＞1，
∴y+2＞1，∴y＞﹣1．
又∵y＜0，
∴﹣1＜y＜0．①
同理得：1＜x＜2．②
由①+②得：﹣1+1＜x+y＜0+2．
即：0＜x+y＜2．
[类比探究]
（1）在数学问题中的条件下，x+2y的取值范围是 ．
（2）已知x﹣y＝5，且x＞2，y＜0，
①求y的取值范围．
②求x+2y的取值范围．
（3）已知y≥1，x＜﹣1，若x+y＝a（a＞0），直接写出x﹣2y的取值范围（用含a的代数式表示）．
21．（2024春 亭湖区校级期末）如图，①AB∥CD，②BE平分∠ABD，③DE平分∠BDC，④∠1+∠2＝90°．（1）若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是 （“真”或“假”）命题；
（2）若（1）为真命题，证明（1）中的结论：若（1）为假命题，请举出反例．
22．（2024春 睢宁县期末）如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
（1）这三个命题中，真命题的个数为 ；
（2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据）
如图，已知 ，
求证：
证明：
【江苏省各地区期末真题汇编】热点题型分类突破：解答题-2024-2024学年数学七年级下册苏科版（2024）
参考答案与试题解析
一．解答题（共22小题）
1．（2024春 赣榆区期末）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n．试利用该结论求x的值：3×9x×81＝321．
【解答】解：∵3×9x×81＝3×32x×34＝31+2x+4＝32x+5，
∴2x+5＝21，
∴x＝8．
2．（2024春 徐州期末）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y．
（1）如果2×4x＝219，求x的值；
（2）如果5x+2﹣5x+1＝500，求x的值．
【解答】解：（1）由条件可得2×（22）x＝219，
∴2×22x＝219，22x+1＝219，
∴2x+1＝19，
解得：x＝9；
（2）由条件可知5x+1（5﹣1）＝53×4，
∴5x+1＝53，
∴x+1＝3，
解得：x＝2．
3．（2024春 海陵区期末）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：25＞23，55＞45．
（1）比较254，1253的大小．
（2）比较3555，4444，5333的大小．
【解答】解：（1）254＝（52）4＝58，
1253＝（53）3＝59，
∵58＜59，
∴254＜1253．
（2）3555＝（35）111＝243111，
4444＝（44）111＝256111，
5333＝（53）111＝125111．
∵256111＞243111＞125111，
∴4444＞3555＞5333．
4．（2024春 宜兴市期末）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）＝ 3 ，（4，1）＝ 0 （2，0.25）＝ ﹣2 ；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2，
故答案为：3，0，﹣2；
（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∴3a×3b＝30，
∴3a×3b＝3c，
∴a+b＝c．
5．（2024春 灌南县期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）
（2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
【解答】解：（1）阴影部分的面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝5a2+3ab；
（2）当a＝3，b＝2时，原式＝5×32+3×3×2＝63（平方米）．
6．（2024春 海陵区期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作可以得到一个公式： a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
（2）利用你得到的公式，计算：20242﹣2023×2024；
（3）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）．
【解答】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝20242﹣（2024﹣1）（2024+1）
＝20242﹣20242+1
＝1；
（3）原式＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）
＝（216﹣1）（216+1）
＝232﹣1．
7．（2023秋 启东市月考）将边长为x的小正方形ABCD和边长为y的大正方形CEFG按如图所示放置，其中点D在边CE上．
（1）若x+y＝10，y2﹣x2＝20，求y﹣x的值；
（2）连接AG，EG，若x+y＝8，xy＝14，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵y2﹣x2＝20，即（y+x）（y﹣x）＝20，而x+y＝10，
∴y﹣x＝2，
答：y﹣x的值为2；
（2）由题意得，
S阴影部分＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG﹣S△EFG
＝x2+y2x（x+y）y2
x2xyy2
[（x+y）2﹣2xy]xy
当x+y＝8，xy＝14时，
原式（64﹣28）14
＝18﹣7
＝11，
答：阴影部分的面积是11．
8．（2024春 高新区月考）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x一5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．
具体解题过程是：原式（a+3）x﹣6y+5，
∵代数式的值与x的取值无关，
∴a+3＝0，解a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关，则m值为 4 ．
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣2），B＝x（m﹣x），且A+2B的值与x的取值无关，求m的值．
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【解答】解：（1）mx﹣4x+3
＝（m﹣4）x+3，
∵关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关，
∴m﹣4＝0，
解得：m＝4，
故答案为：4；
（2）∵A＝（2x+1）（x﹣2）
＝2x2﹣4x+x﹣2
＝2x2﹣3x﹣2，
2B＝2x（m﹣x）
＝2mx﹣2x2，
∴A+2B＝2x2﹣3x﹣2+2mx﹣2x2
＝2x2﹣2x2+2mx﹣3x﹣2
＝2mx﹣3x﹣2
＝（2m﹣3）x﹣2，
∵A+2B的值与x无关，
∴2m﹣3＝0，
解得：；
（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），
∴S1﹣S2
＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）
＝ax﹣3ab﹣2bx+4ab
＝（a﹣2b）x+ab，
∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，
∴S1﹣S2取值与x无关，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
9．（2024春 苏州校级期末）如图，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF．
（1）若∠B＝80°，∠F＝32°，求∠A的度数；
（2）若BC＝5，EC＝3，求CF的长．
【解答】解：（1）因为△DEF由△ABC沿BC方向平移得到，
所以∠2＝∠F＝32°．
又因为∠B＝80°，
所以∠A＝180°﹣32°﹣80°＝68°．
（2）由平移可知，
EF＝BC，
所以EF﹣EC＝BC﹣EC，
即CF＝BE．
又因为BC＝5，EC＝3，
所以BE＝BC﹣EC＝5﹣3＝2，
所以CF＝BE＝2．
10．（2024春 东海县期末）△ABC在平面直角坐标系中，如图所示，A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）线段AC与A2C2关于点D成中心对称，请直接写出点D的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）连接AA2，CC2相交于点D，
∴点D的坐标为（2，0）．
11．（2024春 赣榆区期末）如图，把△ABC绕着A点按逆时针方向旋转40°得到△AEF，EF与AC交于点D点，若∠ADF＝90°，求∠C的度数．
【解答】解：∵把△ABC绕着A点按逆时针方向旋转40°得到△AEF，
∴∠C＝∠F，∠DAF＝40°，
而∠ADF＝90°，
∴∠C＝∠F＝50°．
12．（2024春 锡山区期末）如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F．
（1）若∠DAC＝60°，求∠DFE的度数；
（2）若BF＝15，BE＝CE，求平移的距离；
（3）在（2）的条件下，若三角形ABC的周长为25，求四边形ABFD的周长．
【解答】解：（1）∵△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，
∴AC∥DF，AD∥BF，
∴∠ACB＝∠DFE，∠ACB＝∠DAC，
∴∠DFE＝∠DAC＝60°；
（2）由平移的性质可得BE＝CF，
又∵BE＝CE，
∴，
∴平移的距离为5；
（3）由平移的性质可得AD＝BE＝CF＝5，DF＝AC，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+2AD＝25+2×5＝35．
13．（2024 铜山区二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数．
【解答】解：设个位数字为x，十位数字为y，
，
解得：，
则这个三位数为648．
14．（2024春 沛县月考）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示：
类型 进价/（元/个） 售价/（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元．
（1）求m和n的值．
（2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3000元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：，
∴m的值为80，n的值为60；
（2）根据题意得：120x+90y＝3000，
∴40x+30y＝1000，
∴（120﹣80）x+（90﹣60）y＝40x+30y＝1000，
答：该商场可获利1000元；
（3）设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球，
根据题意得：（120﹣80﹣10）a+（90×3﹣60×3﹣10×2）b＝600，
∴，
又∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球．
15．（2024 泰兴市二模）某公司组织50名员工外出团建，有两种出行方案及对应费用如表：
方案类型 坐动车人数 坐飞机人数 总费用
方案一 10人 40人 24000元
方案二 15人 35人 23750元
根据表中信息，求动车和飞机票价分别是多少元？
【解答】解：设动车票价是x元，飞机票价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：动车票价是440元，飞机票价是490元．
16．（2024春 海门区期末）为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．
（1）如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”；
（2）如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？
【解答】解：（1）设去年秋季有x名民工子女进入主城区小学学习，y名民工子女进入主城区中学学习，
根据题意得：，
解得：，
∴500×20%x+1000×30%y＝500×20%×3400+1000×30%×1600＝820000（元）．
答：今年秋季新增的1160名中小学生共免收820000元“借读费”；
（2）根据题意得：3400×（1+1+20%）÷40×2+1600×（1+1+30%）÷40×3
＝7480÷40×2+3680÷40×3
＝374+276
＝650（名）．
答：按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备650名中小学教师．
17．（2024春 南京期末）某校计划创建大小图书角共20个，现有图书3200册，其中每个小图书角需图书100册，每个大图书角需图书250册，问该校创建的大小图书角分别有多少个？
（1）小亮根据题意，列出方程组，请分别指出未知数x，y表示的意义：x表示 大图书角所需的图书册数 ，y表示 小图书角所需的图书册数 ．
（2）小丽“设该校创建的大图书角m个，小图书角n个”，请按照小丽的思路列出方程组，并求m，n的值．
【解答】解：（1）x表示大图书角所需的图书册数，y表示小图书角所需的图书册数，
故答案为：大图书角所需的图书册数，小图书角所需的图书册数；
（2）由题意得：，
解得：，
答：m＝8，n＝12．
18．（2024春 丹阳市期末）【定义】我们把关于x、y的两个二元一次方程ax+by＝c与bx+ay＝c（a≠b）叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于x、y的“对称二元一次方程组”．例如：2x+y＝3与x+2y＝3是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于x、y的“对称二元一次方程组”．
【理解】
（1）方程2x﹣3y＝5的“对称二元一次方程”是 ﹣3x+2y＝5 ；
（2）若关于x、y的方程组为“对称二元一次方程组”，则a＝ 2 ，b＝ ﹣1 ；
【探究】
（3）解下列方程组（直接写出方程组的解）：
①的解为 ；
②的解为 ；
③的解为 ；
（4）根据你的发现，直接写出方程组的解为 ；
【拓展】
（5）若关于x、y的方程组的解是，那么关于x、y的方程组的解为 ．
【解答】解：（1）由题意，∵关于x、y的两个二元一次方程ax+by＝c与bx+ay＝c（a≠b）叫作“对称二元一次方程”，
∴方程2x﹣3y＝5的“对称二元一次方程”是﹣3x+2y＝5．
故答案为：﹣3x+2y＝5．
（2）由题意，∵关于x、y的方程组为“对称二元一次方程组”，
∴．
∴．
故答案为：2，﹣1．
（3）①∵，
∴5x+5y＝20，则x+y＝4．
∴（2x+3y）﹣（2x+2y）＝10﹣8．
∴y＝2．
∴x＝2．
∴原方程组的解为．
故答案为：．
②∵，
∴7x+7y＝﹣14，则x+y＝﹣2．
∴（3x+4y）﹣（3x+3y）＝﹣7﹣（﹣6）．
∴y＝﹣1．
∴x＝﹣1．
∴原方程组的解为．
故答案为：．
③∵，
∴﹣3x﹣3y＝﹣12，则x+y＝4．
∴（2x﹣5y）﹣（2x+2y）＝﹣6﹣8．
∴﹣7y＝﹣14，则y＝2．
∴x＝2．
∴原方程组的解为．
故答案为：．
（4）由题意，可以发现，方程组的解为．
∴的解为．
故答案为：．
（5）由题意，∵，
∴．
又∵关于x、y的方程组的解是，
∴，即．
∴方程组的解为．
故答案为：．
19．（2024春 高新区校级月考）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
【解答】解：（1）设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10﹣x）件，
由题意，x+3（10﹣x）＝14，
解得x＝8，
∴10﹣x＝2，
∴A种产品应生产8件，B种产品应生产2件．
（2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10﹣m）件，
由题意得，
解这个不等式组，得2≤m＜5，
∵m为正整数，m可以取2或3或4；
∴生产方案有3种：
①生产A种产品2件，B种产品8件；
②生产A种产品3件，B种产品7件．
③生产A种产品4件，B种产品6件．
（3）设总利润为y万元，生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件，
则利润y＝x+3（10﹣x）＝﹣2x+30，
则y随x的增大而减小，即可得，A产品生产越少，获利越大，
所以当生产A种产品2件，B种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3＝26（万元）．
20．（2024春 沛县月考）阅读下列材料：
[数学问题]已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
[问题解决]∵x﹣y＝2，∴x＝y+2．
又∵x＞1，
∴y+2＞1，∴y＞﹣1．
又∵y＜0，
∴﹣1＜y＜0．①
同理得：1＜x＜2．②
由①+②得：﹣1+1＜x+y＜0+2．
即：0＜x+y＜2．
[类比探究]
（1）在数学问题中的条件下，x+2y的取值范围是 ﹣1＜x+2y＜2 ．
（2）已知x﹣y＝5，且x＞2，y＜0，
①求y的取值范围．
②求x+2y的取值范围．
（3）已知y≥1，x＜﹣1，若x+y＝a（a＞0），直接写出x﹣2y的取值范围（用含a的代数式表示）．
【解答】解：（1）∵﹣1＜y＜0，
∴﹣2＜2y＜0，
∵1＜x＜2，
∴﹣1＜x+2y＜2；
故答案为：﹣1＜x+2y＜2；
（2）①∵x﹣y＝5，
∴x＝5+y，
又∵x＞2，
∴5+y＞2，
∴y＞﹣3，
又∵y＜0，
∴﹣3＜y＜0，
②∵x﹣y＝5，
∴y＝x﹣5，
又∵y＜0，
∴x﹣5＜0，
∴x＜5，
∴2＜x＜5，
∵﹣3＜y＜0，
∴﹣6＜2y＜0，
∴﹣4＜x+2y＜5．
（3）∵x+y＝a，
∴x＝a﹣y，
又∵x＜﹣1，
∴a﹣y＜﹣1，
∴y＞1+a，
又∵y≥1，a＞0，
∴y＞1+a，
∴﹣2y＜﹣2﹣2a
同理得：x＜﹣1，
∴x﹣2y＜﹣3﹣2a，
∴x﹣2y的取值范围是x﹣2y＜﹣3﹣2a．
21．（2024春 亭湖区校级期末）如图，①AB∥CD，②BE平分∠ABD，③DE平分∠BDC，④∠1+∠2＝90°．（1）若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是 真 （“真”或“假”）命题；
（2）若（1）为真命题，证明（1）中的结论：若（1）为假命题，请举出反例．
【解答】解：（1）即若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是真命题，
故答案为：真；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠1，
∵DE平分∠BDC，
∴∠CDE＝∠2，
∵∠ABD+∠CDB＝180°，
∴∠ABE+∠1+∠CDE+∠2＝180°，
∠1+∠1+∠2+∠2＝180°，
2（∠1+∠2）＝180°，
∠1+∠2＝90°．
22．（2024春 睢宁县期末）如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
（1）这三个命题中，真命题的个数为 3 ；
（2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据）
如图，已知 ①∠1＝∠2，②∠C＝∠D ，
求证： ③∠A＝∠F
证明： ∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知），
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠4＝∠C（等量代换），
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
【解答】解：（1）由 ①②，得 ③；由①③，得②；由②③，得①；均正确，
故答案为3
（2）已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F，
证明：如图所示：
∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知），
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠4＝∠C（等量代换），
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
证明步骤同上．
故答案为：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D；∠A＝∠F；
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【江苏省各地区期末真题汇编】热点题型分类突破：解答题-2024-2024学年数学七年级下册苏科版（2024）
1．（2024春 赣榆区期末）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n．试利用该结论求x的值：3×9x×81＝321．
2．（2024春 徐州期末）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y．
（1）如果2×4x＝219，求x的值；
（2）如果5x+2﹣5x+1＝500，求x的值．
3．（2024春 海陵区期末）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：25＞23，55＞45．
（1）比较254，1253的大小．
（2）比较3555，4444，5333的大小．
4．（2024春 宜兴市期末）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）＝ ，（4，1）＝ （2，0.25）＝ ；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
5．（2024春 灌南县期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）
（2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
6．（2024春 海陵区期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作可以得到一个公式： ．
（2）利用你得到的公式，计算：20242﹣2023×2024；
（3）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）．
7．（2023秋 启东市月考）将边长为x的小正方形ABCD和边长为y的大正方形CEFG按如图所示放置，其中点D在边CE上．
（1）若x+y＝10，y2﹣x2＝20，求y﹣x的值；
（2）连接AG，EG，若x+y＝8，xy＝14，求阴影部分的面积．
8．（2024春 高新区月考）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x一5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．
具体解题过程是：原式（a+3）x﹣6y+5，
∵代数式的值与x的取值无关，
∴a+3＝0，解a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关，则m值为 ．
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣2），B＝x（m﹣x），且A+2B的值与x的取值无关，求m的值．
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
9．（2024春 苏州校级期末）如图，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF．
（1）若∠B＝80°，∠F＝32°，求∠A的度数；
（2）若BC＝5，EC＝3，求CF的长．
10．（2024春 东海县期末）△ABC在平面直角坐标系中，如图所示，A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）线段AC与A2C2关于点D成中心对称，请直接写出点D的坐标．
11．（2024春 赣榆区期末）如图，把△ABC绕着A点按逆时针方向旋转40°得到△AEF，EF与AC交于点D点，若∠ADF＝90°，求∠C的度数．
12．（2024春 锡山区期末）如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F．
（1）若∠DAC＝60°，求∠DFE的度数；
（2）若BF＝15，BE＝CE，求平移的距离；
（3）在（2）的条件下，若三角形ABC的周长为25，求四边形ABFD的周长．
13．（2024 铜山区二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数．
14．（2024春 沛县月考）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示：
类型 进价/（元/个） 售价/（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元．
（1）求m和n的值．
（2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3000元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？
15．（2024 泰兴市二模）某公司组织50名员工外出团建，有两种出行方案及对应费用如表：
方案类型 坐动车人数 坐飞机人数 总费用
方案一 10人 40人 24000元
方案二 15人 35人 23750元
根据表中信息，求动车和飞机票价分别是多少元？
16．（2024春 海门区期末）为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．
（1）如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”；
（2）如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？
17．（2024春 南京期末）某校计划创建大小图书角共20个，现有图书3200册，其中每个小图书角需图书100册，每个大图书角需图书250册，问该校创建的大小图书角分别有多少个？
（1）小亮根据题意，列出方程组，请分别指出未知数x，y表示的意义：x表示 ，y表示 ．
（2）小丽“设该校创建的大图书角m个，小图书角n个”，请按照小丽的思路列出方程组，并求m，n的值．
18．（2024春 丹阳市期末）【定义】我们把关于x、y的两个二元一次方程ax+by＝c与bx+ay＝c（a≠b）叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于x、y的“对称二元一次方程组”．例如：2x+y＝3与x+2y＝3是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于x、y的“对称二元一次方程组”．
【理解】
（1）方程2x﹣3y＝5的“对称二元一次方程”是 ；
（2）若关于x、y的方程组为“对称二元一次方程组”，则a＝ ，b＝ ；
【探究】
（3）解下列方程组（直接写出方程组的解）：
①的解为 ；
②的解为 ；
③的解为 ；
（4）根据你的发现，直接写出方程组的解为 ；
【拓展】
（5）若关于x、y的方程组的解是，那么关于x、y的方程组的解为 ．
19．（2024春 高新区校级月考）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
20．（2024春 沛县月考）阅读下列材料：
[数学问题]已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
[问题解决]∵x﹣y＝2，∴x＝y+2．
又∵x＞1，
∴y+2＞1，∴y＞﹣1．
又∵y＜0，
∴﹣1＜y＜0．①
同理得：1＜x＜2．②
由①+②得：﹣1+1＜x+y＜0+2．
即：0＜x+y＜2．
[类比探究]
（1）在数学问题中的条件下，x+2y的取值范围是 ．
（2）已知x﹣y＝5，且x＞2，y＜0，
①求y的取值范围．
②求x+2y的取值范围．
（3）已知y≥1，x＜﹣1，若x+y＝a（a＞0），直接写出x﹣2y的取值范围（用含a的代数式表示）．
21．（2024春 亭湖区校级期末）如图，①AB∥CD，②BE平分∠ABD，③DE平分∠BDC，④∠1+∠2＝90°．（1）若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是 （“真”或“假”）命题；
（2）若（1）为真命题，证明（1）中的结论：若（1）为假命题，请举出反例．
22．（2024春 睢宁县期末）如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
（1）这三个命题中，真命题的个数为 ；
（2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据）
如图，已知 ，
求证：
证明：
【江苏省各地区期末真题汇编】热点题型分类突破：解答题-2024-2024学年数学七年级下册苏科版（2024）
参考答案与试题解析
一．解答题（共22小题）
1．（2024春 赣榆区期末）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n．试利用该结论求x的值：3×9x×81＝321．
【解答】解：∵3×9x×81＝3×32x×34＝31+2x+4＝32x+5，
∴2x+5＝21，
∴x＝8．
2．（2024春 徐州期末）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y．
（1）如果2×4x＝219，求x的值；
（2）如果5x+2﹣5x+1＝500，求x的值．
【解答】解：（1）由条件可得2×（22）x＝219，
∴2×22x＝219，22x+1＝219，
∴2x+1＝19，
解得：x＝9；
（2）由条件可知5x+1（5﹣1）＝53×4，
∴5x+1＝53，
∴x+1＝3，
解得：x＝2．
3．（2024春 海陵区期末）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：25＞23，55＞45．
（1）比较254，1253的大小．
（2）比较3555，4444，5333的大小．
【解答】解：（1）254＝（52）4＝58，
1253＝（53）3＝59，
∵58＜59，
∴254＜1253．
（2）3555＝（35）111＝243111，
4444＝（44）111＝256111，
5333＝（53）111＝125111．
∵256111＞243111＞125111，
∴4444＞3555＞5333．
4．（2024春 宜兴市期末）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）＝ 3 ，（4，1）＝ 0 （2，0.25）＝ ﹣2 ；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2，
故答案为：3，0，﹣2；
（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∴3a×3b＝30，
∴3a×3b＝3c，
∴a+b＝c．
5．（2024春 灌南县期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）
（2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
【解答】解：（1）阴影部分的面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝5a2+3ab；
（2）当a＝3，b＝2时，原式＝5×32+3×3×2＝63（平方米）．
6．（2024春 海陵区期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作可以得到一个公式： a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
（2）利用你得到的公式，计算：20242﹣2023×2024；
（3）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）．
【解答】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝20242﹣（2024﹣1）（2024+1）
＝20242﹣20242+1
＝1；
（3）原式＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）
＝（216﹣1）（216+1）
＝232﹣1．
7．（2023秋 启东市月考）将边长为x的小正方形ABCD和边长为y的大正方形CEFG按如图所示放置，其中点D在边CE上．
（1）若x+y＝10，y2﹣x2＝20，求y﹣x的值；
（2）连接AG，EG，若x+y＝8，xy＝14，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵y2﹣x2＝20，即（y+x）（y﹣x）＝20，而x+y＝10，
∴y﹣x＝2，
答：y﹣x的值为2；
（2）由题意得，
S阴影部分＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG﹣S△EFG
＝x2+y2x（x+y）y2
x2xyy2
[（x+y）2﹣2xy]xy
当x+y＝8，xy＝14时，
原式（64﹣28）14
＝18﹣7
＝11，
答：阴影部分的面积是11．
8．（2024春 高新区月考）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x一5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．
具体解题过程是：原式（a+3）x﹣6y+5，
∵代数式的值与x的取值无关，
∴a+3＝0，解a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关，则m值为 4 ．
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣2），B＝x（m﹣x），且A+2B的值与x的取值无关，求m的值．
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【解答】解：（1）mx﹣4x+3
＝（m﹣4）x+3，
∵关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关，
∴m﹣4＝0，
解得：m＝4，
故答案为：4；
（2）∵A＝（2x+1）（x﹣2）
＝2x2﹣4x+x﹣2
＝2x2﹣3x﹣2，
2B＝2x（m﹣x）
＝2mx﹣2x2，
∴A+2B＝2x2﹣3x﹣2+2mx﹣2x2
＝2x2﹣2x2+2mx﹣3x﹣2
＝2mx﹣3x﹣2
＝（2m﹣3）x﹣2，
∵A+2B的值与x无关，
∴2m﹣3＝0，
解得：；
（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），
∴S1﹣S2
＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）
＝ax﹣3ab﹣2bx+4ab
＝（a﹣2b）x+ab，
∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，
∴S1﹣S2取值与x无关，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
9．（2024春 苏州校级期末）如图，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF．
（1）若∠B＝80°，∠F＝32°，求∠A的度数；
（2）若BC＝5，EC＝3，求CF的长．
【解答】解：（1）因为△DEF由△ABC沿BC方向平移得到，
所以∠2＝∠F＝32°．
又因为∠B＝80°，
所以∠A＝180°﹣32°﹣80°＝68°．
（2）由平移可知，
EF＝BC，
所以EF﹣EC＝BC﹣EC，
即CF＝BE．
又因为BC＝5，EC＝3，
所以BE＝BC﹣EC＝5﹣3＝2，
所以CF＝BE＝2．
10．（2024春 东海县期末）△ABC在平面直角坐标系中，如图所示，A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）线段AC与A2C2关于点D成中心对称，请直接写出点D的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）连接AA2，CC2相交于点D，
∴点D的坐标为（2，0）．
11．（2024春 赣榆区期末）如图，把△ABC绕着A点按逆时针方向旋转40°得到△AEF，EF与AC交于点D点，若∠ADF＝90°，求∠C的度数．
【解答】解：∵把△ABC绕着A点按逆时针方向旋转40°得到△AEF，
∴∠C＝∠F，∠DAF＝40°，
而∠ADF＝90°，
∴∠C＝∠F＝50°．
12．（2024春 锡山区期末）如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F．
（1）若∠DAC＝60°，求∠DFE的度数；
（2）若BF＝15，BE＝CE，求平移的距离；
（3）在（2）的条件下，若三角形ABC的周长为25，求四边形ABFD的周长．
【解答】解：（1）∵△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，
∴AC∥DF，AD∥BF，
∴∠ACB＝∠DFE，∠ACB＝∠DAC，
∴∠DFE＝∠DAC＝60°；
（2）由平移的性质可得BE＝CF，
又∵BE＝CE，
∴，
∴平移的距离为5；
（3）由平移的性质可得AD＝BE＝CF＝5，DF＝AC，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+2AD＝25+2×5＝35．
13．（2024 铜山区二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数．
【解答】解：设个位数字为x，十位数字为y，
，
解得：，
则这个三位数为648．
14．（2024春 沛县月考）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示：
类型 进价/（元/个） 售价/（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元．
（1）求m和n的值．
（2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3000元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：，
∴m的值为80，n的值为60；
（2）根据题意得：120x+90y＝3000，
∴40x+30y＝1000，
∴（120﹣80）x+（90﹣60）y＝40x+30y＝1000，
答：该商场可获利1000元；
（3）设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球，
根据题意得：（120﹣80﹣10）a+（90×3﹣60×3﹣10×2）b＝600，
∴，
又∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球．
15．（2024 泰兴市二模）某公司组织50名员工外出团建，有两种出行方案及对应费用如表：
方案类型 坐动车人数 坐飞机人数 总费用
方案一 10人 40人 24000元
方案二 15人 35人 23750元
根据表中信息，求动车和飞机票价分别是多少元？
【解答】解：设动车票价是x元，飞机票价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：动车票价是440元，飞机票价是490元．
16．（2024春 海门区期末）为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．
（1）如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”；
（2）如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？
【解答】解：（1）设去年秋季有x名民工子女进入主城区小学学习，y名民工子女进入主城区中学学习，
根据题意得：，
解得：，
∴500×20%x+1000×30%y＝500×20%×3400+1000×30%×1600＝820000（元）．
答：今年秋季新增的1160名中小学生共免收820000元“借读费”；
（2）根据题意得：3400×（1+1+20%）÷40×2+1600×（1+1+30%）÷40×3
＝7480÷40×2+3680÷40×3
＝374+276
＝650（名）．
答：按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备650名中小学教师．
17．（2024春 南京期末）某校计划创建大小图书角共20个，现有图书3200册，其中每个小图书角需图书100册，每个大图书角需图书250册，问该校创建的大小图书角分别有多少个？
（1）小亮根据题意，列出方程组，请分别指出未知数x，y表示的意义：x表示 大图书角所需的图书册数 ，y表示 小图书角所需的图书册数 ．
（2）小丽“设该校创建的大图书角m个，小图书角n个”，请按照小丽的思路列出方程组，并求m，n的值．
【解答】解：（1）x表示大图书角所需的图书册数，y表示小图书角所需的图书册数，
故答案为：大图书角所需的图书册数，小图书角所需的图书册数；
（2）由题意得：，
解得：，
答：m＝8，n＝12．
18．（2024春 丹阳市期末）【定义】我们把关于x、y的两个二元一次方程ax+by＝c与bx+ay＝c（a≠b）叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于x、y的“对称二元一次方程组”．例如：2x+y＝3与x+2y＝3是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于x、y的“对称二元一次方程组”．
【理解】
（1）方程2x﹣3y＝5的“对称二元一次方程”是 ﹣3x+2y＝5 ；
（2）若关于x、y的方程组为“对称二元一次方程组”，则a＝ 2 ，b＝ ﹣1 ；
【探究】
（3）解下列方程组（直接写出方程组的解）：
①的解为 ；
②的解为 ；
③的解为 ；
（4）根据你的发现，直接写出方程组的解为 ；
【拓展】
（5）若关于x、y的方程组的解是，那么关于x、y的方程组的解为 ．
【解答】解：（1）由题意，∵关于x、y的两个二元一次方程ax+by＝c与bx+ay＝c（a≠b）叫作“对称二元一次方程”，
∴方程2x﹣3y＝5的“对称二元一次方程”是﹣3x+2y＝5．
故答案为：﹣3x+2y＝5．
（2）由题意，∵关于x、y的方程组为“对称二元一次方程组”，
∴．
∴．
故答案为：2，﹣1．
（3）①∵，
∴5x+5y＝20，则x+y＝4．
∴（2x+3y）﹣（2x+2y）＝10﹣8．
∴y＝2．
∴x＝2．
∴原方程组的解为．
故答案为：．
②∵，
∴7x+7y＝﹣14，则x+y＝﹣2．
∴（3x+4y）﹣（3x+3y）＝﹣7﹣（﹣6）．
∴y＝﹣1．
∴x＝﹣1．
∴原方程组的解为．
故答案为：．
③∵，
∴﹣3x﹣3y＝﹣12，则x+y＝4．
∴（2x﹣5y）﹣（2x+2y）＝﹣6﹣8．
∴﹣7y＝﹣14，则y＝2．
∴x＝2．
∴原方程组的解为．
故答案为：．
（4）由题意，可以发现，方程组的解为．
∴的解为．
故答案为：．
（5）由题意，∵，
∴．
又∵关于x、y的方程组的解是，
∴，即．
∴方程组的解为．
故答案为：．
19．（2024春 高新区校级月考）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
【解答】解：（1）设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10﹣x）件，
由题意，x+3（10﹣x）＝14，
解得x＝8，
∴10﹣x＝2，
∴A种产品应生产8件，B种产品应生产2件．
（2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10﹣m）件，
由题意得，
解这个不等式组，得2≤m＜5，
∵m为正整数，m可以取2或3或4；
∴生产方案有3种：
①生产A种产品2件，B种产品8件；
②生产A种产品3件，B种产品7件．
③生产A种产品4件，B种产品6件．
（3）设总利润为y万元，生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件，
则利润y＝x+3（10﹣x）＝﹣2x+30，
则y随x的增大而减小，即可得，A产品生产越少，获利越大，
所以当生产A种产品2件，B种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3＝26（万元）．
20．（2024春 沛县月考）阅读下列材料：
[数学问题]已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
[问题解决]∵x﹣y＝2，∴x＝y+2．
又∵x＞1，
∴y+2＞1，∴y＞﹣1．
又∵y＜0，
∴﹣1＜y＜0．①
同理得：1＜x＜2．②
由①+②得：﹣1+1＜x+y＜0+2．
即：0＜x+y＜2．
[类比探究]
（1）在数学问题中的条件下，x+2y的取值范围是 ﹣1＜x+2y＜2 ．
（2）已知x﹣y＝5，且x＞2，y＜0，
①求y的取值范围．
②求x+2y的取值范围．
（3）已知y≥1，x＜﹣1，若x+y＝a（a＞0），直接写出x﹣2y的取值范围（用含a的代数式表示）．
【解答】解：（1）∵﹣1＜y＜0，
∴﹣2＜2y＜0，
∵1＜x＜2，
∴﹣1＜x+2y＜2；
故答案为：﹣1＜x+2y＜2；
（2）①∵x﹣y＝5，
∴x＝5+y，
又∵x＞2，
∴5+y＞2，
∴y＞﹣3，
又∵y＜0，
∴﹣3＜y＜0，
②∵x﹣y＝5，
∴y＝x﹣5，
又∵y＜0，
∴x﹣5＜0，
∴x＜5，
∴2＜x＜5，
∵﹣3＜y＜0，
∴﹣6＜2y＜0，
∴﹣4＜x+2y＜5．
（3）∵x+y＝a，
∴x＝a﹣y，
又∵x＜﹣1，
∴a﹣y＜﹣1，
∴y＞1+a，
又∵y≥1，a＞0，
∴y＞1+a，
∴﹣2y＜﹣2﹣2a
同理得：x＜﹣1，
∴x﹣2y＜﹣3﹣2a，
∴x﹣2y的取值范围是x﹣2y＜﹣3﹣2a．
21．（2024春 亭湖区校级期末）如图，①AB∥CD，②BE平分∠ABD，③DE平分∠BDC，④∠1+∠2＝90°．（1）若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是 真 （“真”或“假”）命题；
（2）若（1）为真命题，证明（1）中的结论：若（1）为假命题，请举出反例．
【解答】解：（1）即若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是真命题，
故答案为：真；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠1，
∵DE平分∠BDC，
∴∠CDE＝∠2，
∵∠ABD+∠CDB＝180°，
∴∠ABE+∠1+∠CDE+∠2＝180°，
∠1+∠1+∠2+∠2＝180°，
2（∠1+∠2）＝180°，
∠1+∠2＝90°．
22．（2024春 睢宁县期末）如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
（1）这三个命题中，真命题的个数为 3 ；
（2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据）
如图，已知 ①∠1＝∠2，②∠C＝∠D ，
求证： ③∠A＝∠F
证明： ∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知），
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠4＝∠C（等量代换），
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
【解答】解：（1）由 ①②，得 ③；由①③，得②；由②③，得①；均正确，
故答案为3
（2）已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F，
证明：如图所示：
∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知），
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠4＝∠C（等量代换），
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
证明步骤同上．
故答案为：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D；∠A＝∠F；
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