期末真题重组练习卷-2024-2025学年高中数学苏教版（2019）必修第二册（含解析）

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期末真题重组练习卷-2024-2025学年高中数学苏教版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2023春 周至县校级期末）复数z＝2﹣i的虚部是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣i
2．（2021春 安庆期末）已知向量，若，则实数m的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
3．（2024秋 武威期末）半径为4的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 石景山区期末）某袋中有编号为1，2，3，4的4个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 浦东新区校级期末）已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面，a α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（2024春 锡山区校级期末）若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024春 仓山区校级期末）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，底面△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥P﹣ABC的体积为．过点A作AM⊥PB于M，过M作MN⊥PC于N，则三棱锥P﹣AMN外接球的体积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023秋 扬州期末）已知0＜β＜α，sinαsinβ，cosαcosβ，则cos2α＝（　　）
A．0 B． C． D．1
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 涪城区校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．从容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3则p1＝p2＝p3
B．若，则事件A与事件B相互独立
C．一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．若P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且事件A与事件B相互独立，则P（A∪B）＝0.58
（多选）10．（2024秋 承德期末）已知正三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为36π，则下列结论正确的是（　　）
A．正三棱锥P﹣ABC外接球的体积为36π
B．当AB＝3时，点P到底面ABC的距离为2
C．若满足条件的正三棱锥P﹣ABC存在两个，则0＜AB＜3
D．正三棱锥P﹣ABC体积的最大值为8
（多选）11．（2023春 泸县校级期末）如图，平面四边形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE组成的直角梯形，AD＝1，，现将Rt△ACD沿斜边AC翻折成△ACD1（D1不在平面ABC内），若P为BC的中点，则在Rt△ACD翻折过程中，下列结论正确的是（　　）
A．AD1与BC不可能垂直
B．三棱锥C﹣BD1E体积的最大值为
C．若A，C，E，D1都在同一球面上，则该球的表面积是2π
D．直线AD1与EP所成角的取值范围为（）
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 天津期末）复数（其中i为虚数单位），则z的虚部为 　 　 ．
13．（2024秋 白城校级期末）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5：4：6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 　 　 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 　 　 ．
14．（2024秋 裕安区校级期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是侧棱AA1的中点，则平面B1CE截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形的周长是 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 资中县校级期末）已知锐角△ABC的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若锐角△ABC外接圆的半径为，求2c﹣b的取值范围．
16．（2017秋 石家庄期末）已知函数f（x）ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x），求x取值的集合．
17．（2024秋 葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．
（1）求；
（2）若，λ，μ为正实数，求2λ+8μ的最小值．
18．（2024秋 内江期末）在中国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指4个面都是直角三角形的四面体．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AE⊥CD，且DE＝AE＝AB＝2．现将△ADE沿AE翻折，使四面体DACE为一个鳖臑，并得到四棱锥D﹣ABCE．
（Ⅰ）设F为ED的中点，求证：AF∥平面BCD；
（Ⅱ）求证：CD⊥平面ADE．
19．（2024秋 北京校级期末）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：
（1）为了更进一步了解A地区用户的不满意原因，将A地区抽取的400名用户作为一个总体，按照评分再用分层抽样的方法抽取40人进行面对面交流，那么应从评分在[20，40），内的用户中抽取几人？
（2）从B地区随机抽取两名用户，且这两名用户评分独立，以频率估计概率，求这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分的概率；
（3）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为μ1，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为μ2，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为μ0，试比较μ0和的大小．（结论不要求证明）
期末真题重组练习卷-2024-2025学年高中数学苏教版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C A A B D A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD ACD BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2023春 周至县校级期末）复数z＝2﹣i的虚部是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣i
【解答】解：复数z＝2﹣i的虚部是﹣1．
故选：C．
2．（2021春 安庆期末）已知向量，若，则实数m的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【解答】解：向量，且，
所以1×（﹣4）﹣2m＝0，
解得m＝﹣2，
所以实数m的值为﹣2．
故选：B．
3．（2024秋 武威期末）半径为4的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：显然圆锥的母线长为 l＝4，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝4π，即r＝2，
所以圆锥的高，
圆锥的体积 ，
故选：C．
4．（2024秋 石景山区期末）某袋中有编号为1，2，3，4的4个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：某袋中有编号为1，2，3，4的4个小球（小球除编号外完全相同），
甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，
甲先从袋中摸出一个球，有4种可能的结果，
乙再从袋中摸出一个球，有4种可能的结果，
如果按（甲，乙）方法得出总共的结果为：16个，
甲、乙两人所摸出球的编号不同的结果为12个，
甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是．
故选：A．
5．（2024秋 浦东新区校级期末）已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面，a α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：a α，因为b∥α可得a，b无公共点，
当a，b无公共点时，可能b与α相交，也可能b α，有可能b∥α，
所以“b∥α”是“a，b无公共点”充分不必要条件．
故选：A．
6．（2024春 锡山区校级期末）若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，
又圆锥的表面积为πrl+πr2，球的表面积为，
所以πrl+πr2＝πl2，即，
解得．
故选：B．
7．（2024春 仓山区校级期末）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，底面△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥P﹣ABC的体积为．过点A作AM⊥PB于M，过M作MN⊥PC于N，则三棱锥P﹣AMN外接球的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题可知△ABC中，，BC＝2，
所以
又PA⊥面ABC，三棱锥P﹣ABC的体积为
所以
则PA＝4
因为PA⊥面ABC，所以PA⊥BC
又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB 面PAB
所以BC⊥面PAB，又AM 面PAB
则BC⊥AM，已知AM⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC 面PBC
所以AM⊥面PBC，又PC，MN 面PBC，则AM⊥PC，AM⊥MN
又MN⊥PC，AM∩MN＝M，AM，MN 面AMN
所以PC⊥面AMN
则三棱锥P﹣AMN的四个顶点可以与一个长方体的四个顶点重合，如图所示：
则该长方体的外接球即三棱锥P﹣AMN的外接球，设外接球半径为R
故PA＝2R＝4，所以R＝2
三棱锥P﹣AMN外接球的体积为：．
故选：D．
8．（2023秋 扬州期末）已知0＜β＜α，sinαsinβ，cosαcosβ，则cos2α＝（　　）
A．0 B． C． D．1
【解答】解：已知sinαsinβ，cosαcosβ，
则cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，
又0＜β＜α，
则，，
则cos2α＝cos[（α+β）+（α﹣β）]＝cos（α+β）cos（α﹣β）﹣sin（α+β）sin（α﹣β）．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 涪城区校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．从容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3则p1＝p2＝p3
B．若，则事件A与事件B相互独立
C．一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．若P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且事件A与事件B相互独立，则P（A∪B）＝0.58
【解答】解：对于选项A，由简单随机抽样的性质，可知p1＝p2＝p3，故选项A正确；
对于选项B，，
故选项B正确；
对于选项C，设事件A＝{两次均为中}＝{中枪次数为0}、事件B＝{至多中一次}＝{中枪的次数为0，1}，
由A∩B＝A，则事件B包含事件A，故选项C错误；
对于选项D，由，则，
因为事件A与事件B相互独立，
所以0.3×0.4+0.3×（1﹣0.4）+（1﹣0.3）×0.4＝0.58，故选项D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（2024秋 承德期末）已知正三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为36π，则下列结论正确的是（　　）
A．正三棱锥P﹣ABC外接球的体积为36π
B．当AB＝3时，点P到底面ABC的距离为2
C．若满足条件的正三棱锥P﹣ABC存在两个，则0＜AB＜3
D．正三棱锥P﹣ABC体积的最大值为8
【解答】解：设正三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，半径为R，由4πR2＝36π，得R＝3，
所以正三棱锥P﹣ABC外接球的体积为，A正确；
设AB＝a，点P到底面ABC的距离为PD＝h，如图，
则△ABC外接圆的半径，
球心O到平面ABC的距离为OD＝|h﹣R|，
由，得，
当时，h2﹣6h+9＝0，得h＝3，B错误；
若满足条件的正三棱锥P﹣ABC有两个，则方程有两个正解h1，h2
则解得，C正确；
由，得，
则正三棱锥P﹣ABC的体积为，
设函数，则，
得f（h）在（0，4）上单调递增，在（4，6）上单调递减，所以，D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（2023春 泸县校级期末）如图，平面四边形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE组成的直角梯形，AD＝1，，现将Rt△ACD沿斜边AC翻折成△ACD1（D1不在平面ABC内），若P为BC的中点，则在Rt△ACD翻折过程中，下列结论正确的是（　　）
A．AD1与BC不可能垂直
B．三棱锥C﹣BD1E体积的最大值为
C．若A，C，E，D1都在同一球面上，则该球的表面积是2π
D．直线AD1与EP所成角的取值范围为（）
【解答】解：对于A选项：由AD⊥CD，则AD1⊥CD1，
当AD1⊥D1B时，且D1B＜AB，此时满足AD1⊥平面BCD1，因此AD1⊥BC，故A错误；
对于B，取AC的中点O，连接OE，OD1，
则，且OD1⊥AC，
因为，
当平面ACD1⊥平面ABC时，三棱锥C﹣BD1E体积的最大值，
在Rt△BCE中，，则，
此时，
所以三棱锥C﹣BD1E体积的最大值为，故B正确；
对于C，因为，
所以A，C，E，D1都在同一球面上，且球的半径为，
所以该球的表面积是，故C正确；
对于D，作AM∥EP，
因为P为BC的中点，所有EP＝1，，所以，
所以∠BAM＝∠ABC＝30°，所以∠MAC＝15°，AD1可以看成以AC为轴线，以45°为平面角的圆锥的母线，
所以AC与AD1夹角为45°，AC与AM夹角为15°，
又D1不在平面ABC内，60°＝45°+15°，30°＝45°﹣15°，
所以AD1与AM所成角的取值范围，所以D正确，
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 天津期末）复数（其中i为虚数单位），则z的虚部为 　　 ．
【解答】解：，
则z的虚部为．
故答案为：．
13．（2024秋 白城校级期末）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5：4：6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 　0.05　 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 　　 ．
【解答】解：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n，4n，6n，所以总数为15n，
所以甲盒中黑球个数为40%×5n＝2n，白球个数为3n；
乙盒中黑球个数为25%×4n＝n，白球个数为3n；
丙盒中黑球个数为50%×6n＝3n，白球个数为3n；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，
所以，P（A）＝0.4×0.25×0.5＝0.05；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B，
黑球总共有2n+n+3n＝6n个，白球共有9n个，
所以，．
故答案为：0.05；．
14．（2024秋 裕安区校级期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是侧棱AA1的中点，则平面B1CE截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形的周长是 　32　 ．
【解答】解：根据题意，连接B1E，与BA的延长线交于点F，连接CF与AD交于点G，
如图：AEBB1，且AE∥BB1，
∴A为BF的中点，则G为AD的中点，
故截面为梯形B1CGE，
其中B1C2，EG，CG＝B1E，
则梯形B1CGE的周长为32，即所得的截面图形的周长是32．
故答案为：32．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 资中县校级期末）已知锐角△ABC的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若锐角△ABC外接圆的半径为，求2c﹣b的取值范围．
【解答】解：（1）在三角形中，A+B+C＝π，因为，
所以，即，
则由正弦定理可得，而sinB≠0，
锐角三角形中，，
所以，即，
所以；
（2）由正弦定理得，
所以，
故，
又A+B+C＝π，所以，
解得，
所以，
又，所以，所以，
所以2c﹣b的取值范围为．
16．（2017秋 石家庄期末）已知函数f（x）ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x），求x取值的集合．
【解答】解：（Ⅰ）∵
，
因为周期为，所以ω＝1，故．
由，得，
故函数f（x）的单调递减区间为．
（Ⅱ），即，
由正弦函数得性质得，
解得，所以，
则x取值的集合为．
17．（2024秋 葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．
（1）求；
（2）若，λ，μ为正实数，求2λ+8μ的最小值．
【解答】解：（1）根据题意：，，
由G是△ABC的重心，
可得，
所以；
（2）由，
可得，，
所以，
因为E，F，G三点共线，所以，
则，
当且仅当，即λ＝1，时等号成立，
所以2λ+8μ的最小值为6．
18．（2024秋 内江期末）在中国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指4个面都是直角三角形的四面体．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AE⊥CD，且DE＝AE＝AB＝2．现将△ADE沿AE翻折，使四面体DACE为一个鳖臑，并得到四棱锥D﹣ABCE．
（Ⅰ）设F为ED的中点，求证：AF∥平面BCD；
（Ⅱ）求证：CD⊥平面ADE．
【解答】（Ⅰ）证明：取DC的中点M，连接FM，BM，
因为F为DE的中点，所以FM为△DEM的中位线，所以FM∥CE，且FMCE，
在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AE⊥CD，且DE＝AE＝AB＝2，DE＝AE＝AB＝2，
可得FM∥AB且FM＝AB，所以四边形AFMB是平行四边形，所以AF∥BM，
而AF 平面BCD，FM 平面BCD，
所以AF∥平面BCD；
（Ⅱ）证明：由题意可得CE＝4，AC2，ADAE＝2，
四面体DACE为一个鳖臑，易知△ADE，△AEC是直角三角形，需要△DCE，△ADC为直角三角形，
当CD⊥DE时，则CD2，
因为AE⊥EC，AE⊥DE，EC∩ED＝D，
可得AE⊥平面DEC，而CD 平面DEC，
所以AE⊥CD，AE∩DE＝E，
所以CD⊥平面ADE，AD 平面ADE，
所以CD⊥AD，
所以AC2＝AD2+DC2，即（2）2＝（2）2+（2）2，
显然成立，所以假设成立，
即证得CD⊥平面ADE．
19．（2024秋 北京校级期末）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：
（1）为了更进一步了解A地区用户的不满意原因，将A地区抽取的400名用户作为一个总体，按照评分再用分层抽样的方法抽取40人进行面对面交流，那么应从评分在[20，40），内的用户中抽取几人？
（2）从B地区随机抽取两名用户，且这两名用户评分独立，以频率估计概率，求这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分的概率；
（3）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为μ1，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为μ2，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为μ0，试比较μ0和的大小．（结论不要求证明）
【解答】解：（1）根据题意可得：
A地区用户对该公司产品的评分在[20，40）分的人数为：40×20×0.005＝4；
（2）根据题意可得：B地区用户对该公司产品的评分小于60分与大于60分的频率均为0.5，
设这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分为事件A，
则；
（3）μ1＝（30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01）×20＝64，
μ2＝（30×0.015+50×0.01+70×0.02+90×0.005）×20＝56，
所以 ，，
则．
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