期末真题重组练习卷-2024-2025学年高中数学苏教版(2019)选择性必修第二册(含解析)

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名称 期末真题重组练习卷-2024-2025学年高中数学苏教版(2019)选择性必修第二册(含解析)
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资源类型 试卷
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-05-30 15:27:08

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期末真题重组练习卷-2024-2025学年高中数学苏教版(2019)选择性必修第二册
一.选择题(共8小题)
1.(2024秋 常德期末)(x+y﹣1)5的展开式中所有二次项(即含x2,xy,y2的项)的系数和为(  )
A.﹣40 B.﹣20 C.0 D.40
2.(2021春 黄山期末)如果某地财政收入x(亿元)与支出y(亿元)满足线性回归方程bx+a+e(单位:亿元),其中b=0.8,a=2,|e|≤0.5,如果今年该地区的财政收入为10亿元,则年支出预计不会超过(  )
A.9亿元 B.9.5亿元 C.10亿元 D.10.5亿元
3.(2024秋 阜南县校级期末)已知空间向量,,且2,56,72,则一定共线的三点是(  )
A.A、B、C B.B、C、D C.A、B、D D.A、C、D
4.(2024秋 博乐市期末)如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱A1D1的中点,则(  )
A.4 B.5 C.6 D.
5.(2024秋 辽宁期末)已知随机变量X﹣N(μ,σ2),若其对应的正态密度函数f(x)满足f(2﹣x)=f(x),且P(X≤0)=0.1,则P(1≤X≤2)=(  )
A.0.8 B.0.5 C.0.4 D.0.1
6.(2024秋 石景山区期末)如图所示,空间四边形OABC中,,点M在OA上,且,N为BC中点,则等于(  )
A. B.
C. D.
7.(2024秋 大连校级期末)空间直角坐标系中过点(1,2,﹣1)的直线l的一个方向向量为(1,1,1),则直线l与y轴之间的距离为(  )
A.2 B. C. D.
8.(2024秋 大连校级期末)若,则a1+a3+a7+a9的值为(  )
A. B. C. D.
二.多选题(共3小题)
(多选)9.(2024秋 黑龙江校级期末)已知随机事件B,A,则(  )
A.
B.若P(B|A)=P(B),则A,B独立
C.若P(B|A)=P(A|B),则A,B互斥
D.若,则
(多选)10.(2024秋 南通期末)设l1⊥平面α,l2⊥平面β,,分别为l1,l2的一个方向向量,则下列结论正确的是(  )
A.若⊥,则α⊥β
B.若cos,,则l1,l2所成角为60°
C.若cos,,则l1与β所成角为60°
D.若cos,,则α,β的夹角为60°
(多选)11.(2024秋 枣庄期末)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E是棱CD上的动点(含端点),则(  )
A.三棱锥A1﹣AB1E的体积为定值
B.EB1⊥AD1
C.二面角E﹣A1B1﹣A的平面角的大小为
D.存在某个点E,使直线A1E与平面ABCD所成角为60°
三.填空题(共3小题)
12.(2022春 滨州期末)(x)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为    .
13.(2024秋 深圳期末)已知空间向量,则向量在向量上的投影向量的坐标是     .
14.(2024秋 深圳校级期末)在三棱锥P﹣ABC中,AB与PC中点分别为M,N,点G为MN中点.若D在PA上满足,E在PB上满足,平面DEG交PC于点F,且,则λ=     .
四.解答题(共5小题)
15.(2024秋 红桥区期末)已知展开式的二项式系数和为64.
(Ⅰ)求n的值;
(Ⅱ)若展开式中的常数项为20,求m的值.
16.(2024秋 梧州期末)学习小组设计了如下试验模型:有完全相同的甲、乙两个袋子,袋子里有形状和大小完全相同的小球,其中甲袋中有2个红球和8个白球,乙袋中有6个红球和4个白球.从这两个袋子中选择1个袋子,再从该袋子中随机摸出1个球,称为一次摸球.多次摸球直到摸出白球时试验结束.假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为.
(1)求首次摸球就试验结束的概率;
(2)在首次摸球摸出红球的条件下.
①求选到的袋子为乙袋的概率;
②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子,继续进行第二次摸球时有如下两种方案:方案一,从原来袋子中摸球;方案二,从另外一个袋子中摸球,请通过计算,说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大.
17.(2024秋 楚雄市校级期末)如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,四边形ABCD与四边形A1BCD1均为菱形,∠ABC=A1BC=60°,cos∠A1AB.
(1)证明:平面A1BCD1⊥平面ABCD;
(2)求二面角A1﹣DD1﹣C1的正弦值.
18.(2024秋 深圳期末)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2.BC=3,E为PD的中点,点F在PC上,且.
(1)证明:平面PCD⊥平面PAD;
(2)求PC与平面AEF所成角的正弦值;
(3)若棱PB上一点G满足λ,且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为,求λ.
19.(2024秋 金山区期末)如图,在空间四边形OABC中,点D为BC的中点,,设.
(1)试用向量表示向量;
(2)若OA=OB=OC=2,∠AOC=∠BOC=∠AOB=90°,求的值.
期末真题重组练习卷-2024-2025学年高中数学苏教版(2019)选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C B C B B C
二.多选题(共3小题)
题号 9 10 11
答案 AB ABD ABC
一.选择题(共8小题)
1.(2024秋 常德期末)(x+y﹣1)5的展开式中所有二次项(即含x2,xy,y2的项)的系数和为(  )
A.﹣40 B.﹣20 C.0 D.40
【解答】解:根据题意,二项式(x+y﹣1)5.
当k=0,1,2,4,5时,的展开式中不含x2,xy,y2的项.
当k=3时,,
这部分含x2,xy,y2的项系数分别为﹣10,﹣20,﹣10.
将含x2,xy,y2的项系数相加,即﹣10﹣20﹣10=﹣40.
则(x+y﹣1)5的展开式中所有二次项的系数和为﹣40.
故选:A.
2.(2021春 黄山期末)如果某地财政收入x(亿元)与支出y(亿元)满足线性回归方程bx+a+e(单位:亿元),其中b=0.8,a=2,|e|≤0.5,如果今年该地区的财政收入为10亿元,则年支出预计不会超过(  )
A.9亿元 B.9.5亿元 C.10亿元 D.10.5亿元
【解答】解:∵某地的财政收入x与支出y满足的线性回归模型是y=bx+a+e(单位:亿元),其中b=0.8,a=2,
∴y=0.8x+2+e
当x=10时,y=0.8x+2+e=10+e
∵|e|≤0.5,∴﹣0.5≤e≤0.5
∴9.5≤y≤10.5,
∴今年支出预计不超出10.5亿元
故选:D.
3.(2024秋 阜南县校级期末)已知空间向量,,且2,56,72,则一定共线的三点是(  )
A.A、B、C B.B、C、D C.A、B、D D.A、C、D
【解答】解:∵56,72,
∴,
∵2,
∴,即A,B,D共线.
故选:C.
4.(2024秋 博乐市期末)如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱A1D1的中点,则(  )
A.4 B.5 C.6 D.
【解答】解:在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱A1D1的中点,
故5.
故选:B.
5.(2024秋 辽宁期末)已知随机变量X﹣N(μ,σ2),若其对应的正态密度函数f(x)满足f(2﹣x)=f(x),且P(X≤0)=0.1,则P(1≤X≤2)=(  )
A.0.8 B.0.5 C.0.4 D.0.1
【解答】解:根据题意,f(2﹣x)=f(x),则正态密度函数f(x)关于x=1对称,即μ=1,
则P(1≤X≤2)=P(0≤X≤1)=0.5﹣P(X≤0)=0.5﹣0.1=0.4.
故选:C.
6.(2024秋 石景山区期末)如图所示,空间四边形OABC中,,点M在OA上,且,N为BC中点,则等于(  )
A. B.
C. D.
【解答】解:,
故选:B.
7.(2024秋 大连校级期末)空间直角坐标系中过点(1,2,﹣1)的直线l的一个方向向量为(1,1,1),则直线l与y轴之间的距离为(  )
A.2 B. C. D.
【解答】解:设P(0,t,0)为y轴上的动点,设点(1,2,﹣1)为A,
设,
若点P(0,t,0)在直线l上,则,
显然与不平行,
所以点P(0,t,0)不在直线l上,
又直线l的一个方向向量为,y轴的一个方向向量为,
所以直线l与y轴不平行,
所以直线l与y轴异面,
设B为l上一动点,且(λ,λ,λ),
又因为A(1,2,﹣1),
所以点B(λ+1,λ+2,λ﹣1),所以,
当,时,取最小值,
所以当时,取最小值,
即λ=0,t=2时,取最小值,
所以P(0,2,0),B(1,2,﹣1)时,取最小值,
此时,
所以的最小值为,
即直线l与y轴之间的距离为.
故选:B.
8.(2024秋 大连校级期末)若,则a1+a3+a7+a9的值为(  )
A. B. C. D.
【解答】解:由题意,令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=1①,
令x=0,的a0﹣a1+a2﹣…+a10=0②,
①﹣②得:,
又,则,
所以.
故选:C.
二.多选题(共3小题)
(多选)9.(2024秋 黑龙江校级期末)已知随机事件B,A,则(  )
A.
B.若P(B|A)=P(B),则A,B独立
C.若P(B|A)=P(A|B),则A,B互斥
D.若,则
【解答】解:对于A,P(A|B)+P(|B)1,故A正确;
对于B,,得到P(AB)=P(A)P(B),则A,B独立,故B正确;
对于C,当P(B|A)=P(A|B)≠0,则A,B不互斥,故C错误;
对于D,若P(B|A)=P(|A)时,则,
所以,
因为无法判断A,B是否独立,所以无法得到P(B)=P(),故D错误.
故选:AB.
(多选)10.(2024秋 南通期末)设l1⊥平面α,l2⊥平面β,,分别为l1,l2的一个方向向量,则下列结论正确的是(  )
A.若⊥,则α⊥β
B.若cos,,则l1,l2所成角为60°
C.若cos,,则l1与β所成角为60°
D.若cos,,则α,β的夹角为60°
【解答】解:设l1⊥平面α,l2⊥平面β,分别为l1,l2的一个方向向量,
则分别为平面α,β的法向量,
对于A:因为,所以α⊥β,所以A正确;
对于B:因为,
设l1,l2所成角为θ1,θ1∈(0°,90°],
则.
所以θ1=60°,故B正确;
对于C:因为,
设l1与β所成角为θ2,θ2∈(0°,90°],
则,
所以θ2=30°,故C错误;
对于D:因为,
设α,β的夹角为θ3,θ3∈(0°,90°],
则,
所以θ3=60°,故D正确.
故选:ABD.
(多选)11.(2024秋 枣庄期末)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E是棱CD上的动点(含端点),则(  )
A.三棱锥A1﹣AB1E的体积为定值
B.EB1⊥AD1
C.二面角E﹣A1B1﹣A的平面角的大小为
D.存在某个点E,使直线A1E与平面ABCD所成角为60°
【解答】解:因为
又E是棱CD上的动点(含端点)
易知CD∥平面A1AB1,
所以点E到平面A1AB1的距离为定值,
又为定值,
所以三棱锥A1﹣AB1E的体积为定值,故A正确;
对于B:B1,E两点在平面ADD1A1上的射影分别为A1,D,所以直线B1E在平面ADD1A1上的射影为A1D,又因为A1D⊥AD1,
根据三垂线定理可得EB1⊥AD1,故B正确;
对于C:因为二面角E﹣A1B1﹣A即二面角D﹣A1B1﹣A,
又DA1⊥A1B1,AA1⊥A1B1,DA1 平面EA1B1,AA1 平面AA1B1,
所以∠DA1A即为二面角E﹣A1B1﹣A的平面角,
在正方形ADD1A1中,,
所以二面角E﹣A1B1﹣A的大小为,故C正确;
对于D:因为A1A⊥平面ABCD,所以直线A1E与平面ABCD所成角为∠AEA1,当点E和点D重合时,A1E在平面ABCD射影最小,
这时直线A1E与平面ABCD所成角θ最大值为,故D不正确.
故选:ABC.
三.填空题(共3小题)
12.(2022春 滨州期末)(x)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为 15  .
【解答】解:因为(x+y)5的展开式中x2y3,x4y的系数分别为C53,C54,
所以(x)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为C53+C55=15,
故答案为:15.
13.(2024秋 深圳期末)已知空间向量,则向量在向量上的投影向量的坐标是    .
【解答】解:,,
∴向量在向量上的投影向量的坐标是:.
故答案为:.
14.(2024秋 深圳校级期末)在三棱锥P﹣ABC中,AB与PC中点分别为M,N,点G为MN中点.若D在PA上满足,E在PB上满足,平面DEG交PC于点F,且,则λ=    .
【解答】解:在三棱锥P﹣ABC中,AB与PC中点分别为M,N,点G为MN中点.
若D在PA上满足,E在PB上满足,平面DEG交PC于点F,
由条件可知,,
因为,,,
所以,因为点G,D,B,F四点共面,
所以,解得:.
故答案为:.
四.解答题(共5小题)
15.(2024秋 红桥区期末)已知展开式的二项式系数和为64.
(Ⅰ)求n的值;
(Ⅱ)若展开式中的常数项为20,求m的值.
【解答】解:(Ⅰ)因为展开式的二项式系数和为64,即2n=64,解得n=6;
(Ⅱ)若展开式中的常数项为20,则由Tr+1 x6﹣r x6﹣2r mr,
令6﹣2r=0,解得r=3,所以 m3=20,即m3=1,解得m=1.
16.(2024秋 梧州期末)学习小组设计了如下试验模型:有完全相同的甲、乙两个袋子,袋子里有形状和大小完全相同的小球,其中甲袋中有2个红球和8个白球,乙袋中有6个红球和4个白球.从这两个袋子中选择1个袋子,再从该袋子中随机摸出1个球,称为一次摸球.多次摸球直到摸出白球时试验结束.假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为.
(1)求首次摸球就试验结束的概率;
(2)在首次摸球摸出红球的条件下.
①求选到的袋子为乙袋的概率;
②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子,继续进行第二次摸球时有如下两种方案:方案一,从原来袋子中摸球;方案二,从另外一个袋子中摸球,请通过计算,说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大.
【解答】解:(1)设摸球一次,“取到甲袋”为事件A1,“取到乙袋”为事件A2,“摸出白球”为事件B1,“摸出红球”为事件B2.
所以.
所以摸球一次就试验结束的概率为.
(2)①因为B1,B2是对立事件,.
所以,
所以选到的袋子为乙袋的概率为.
②由①,得,
所以方案一中取到白球的概率为.
方案二中取到白球的概率为,
因为.
所以方案二中取到白球的概率更大,即选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大.
17.(2024秋 楚雄市校级期末)如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,四边形ABCD与四边形A1BCD1均为菱形,∠ABC=A1BC=60°,cos∠A1AB.
(1)证明:平面A1BCD1⊥平面ABCD;
(2)求二面角A1﹣DD1﹣C1的正弦值.
【解答】解:(1)证明:连接AC,A1C,因为四边形ABCD与四边形A1BCD1均为菱形,且∠ABC=A1BC=60°,
所以△ABC与△A1BC均为等边三角形,
取BC的中点O,连接AO,A1O,则AO⊥BC,A1O⊥BC,
设AB=2,则,
在△ABA1中,由及余弦定理,
得,
即,
所以舍去).
所以,
所以AO⊥A1O,
因为BC∩A1O=O,BC,A1O 平面A1BCD1,
所以AO⊥平面A1BCD1,
又AO 平面ABCD,
所以平面ABCD⊥平面A1BCD1.
(2)由(1)可知,OA,OB,OA1两两垂直,以O为原点,以OA,OB,OA1
所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,
设AB=2,则,

设平面A1DD1的一个法向量,
则,由得
取x1=1,解得y1=0,z1=1,
故,
设平面C1D1D的一个法向量,
则,由得
取x2=1,解得,
故,
所以,
设二面角A1﹣DD1﹣C1的大小为θ,
所以.
18.(2024秋 深圳期末)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2.BC=3,E为PD的中点,点F在PC上,且.
(1)证明:平面PCD⊥平面PAD;
(2)求PC与平面AEF所成角的正弦值;
(3)若棱PB上一点G满足λ,且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为,求λ.
【解答】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PA⊥CD,
又AD⊥CD,PA∩AD=A,PA、AD 平面PAD,
所以CD⊥平面PAD,
因为CD 平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.
(2)解:以A为原点,AD,AP所在直线分别为y,z轴,作Ax∥CD为x轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(0,1,1),F(,,),
所以(0,1,1),(,,),(2,2,﹣2),
设平面AEF的法向量为(x,y,z),则,
取y=1,则z=﹣1,x=1,所以(1,1,﹣1),
设PC与平面AEF所成角为θ,则sinθ=|cos,|1,
所以PC与平面AEF所成角的正弦值为1.
(3)解:由(2)知,B(2,﹣1,0),平面AEF的一个法向量为(1,1,﹣1),
所以λλ(2,﹣1,﹣2),λ∈[0,1],
所以(0,0,2)+λ(2,﹣1,﹣2)=(2λ,﹣λ,2﹣2λ),
设平面AFG的法向量为(a,b,c),则,
取a=﹣2,则b=2﹣6λ,c=3λ,所以(﹣2,2﹣6λ,3λ),
因为平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为,
所以|cos,|,
整理得18λ2+3λ﹣1=0,即(6λ﹣1)(3λ+1)=0,
解得λ或(舍负),
所以λ.
19.(2024秋 金山区期末)如图,在空间四边形OABC中,点D为BC的中点,,设.
(1)试用向量表示向量;
(2)若OA=OB=OC=2,∠AOC=∠BOC=∠AOB=90°,求的值.
【解答】解:(1)根据题意可知,空间四边形OABC中,点D为BC的中点,,
设,
根据平行四边形法则,可知,
根据平行四边形法则,可知;
(2)根据题意可知,OA=OC=2,OB=2,∠AOC=∠BOC=∠AOB=90°,
∴,
利用三角形法则,得,


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