2025年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟
数 学
参考解析及评分标准
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A C B D D A B ACD BD ACD
填空题：
12. 13. 14.
参考解析：
1.解析：，,则集合的真子集个数为7个，故选C.
2.解析：，则.故选A.
3.解析：.故选C.
4.解析：过点作的垂线，垂足为，则，，则该建筑物的高度.故选B.
5.解析：因为直线，圆所以，，由于圆的半径为2，所以恰好有3个对应的点到直线的距离等于.故选D.
6.解析：因为所以，.
故选D.
7.解析：因为，所以，，
在中，令，得，所以，，则.故选A.
8.解析：在三角形中，
所以，设的外接圆半径为，据正弦定理：
；
设外接圆圆心为G，过G作，则球心必在垂线上，连接,则，
设，则可列：，解之，则
所以，三棱锥的外接球表面积为.故选B.
9.解析：因为正实数满足，对A选项：，故A对；
对B选项：，，故B错；
对C选项：令，故C对；
对D选项：，当且仅当时，等号成立，故D对；
故选ACD.
10.【解析】对A. 当时，；
对B. 因为，所以点的轨迹为线段，的最大值为；
对C. 因为，且分为三等分，所以的中点到平面的距离为；
对D. 当时，与重合，此时与平面所成角最小，其正弦值为
故选BD.
11.【解析】对A.当 ，，令，可得，所以，故A对；
对B. 当时，恒成立，令，可得，故B错；
对C. 法1：因为，所以，令，可得C对.
法2：构造函数，易证：在单调递增，所以，，可得，
可知，.故C对；
对D. 构造函数，，，，所以， 在，可得，令，所以，故D对.
故选ACD.
【解析】的展开式的系数：，
则展开式中的系数为.
【解析】对一切实数均成立，所以当时，显然成立；当时，，
解之，；故的取值范围为.
【解析】在抛物线中，若，则直线过定点，故点是以为直径的圆上
的动点，其轨迹方程为：，而点又在圆上，则的
最大值为：.
解答题：
15.解析：
（1）证明：因为，所以， 1分
在直三棱柱中，，
，所以， 3分
又因为，，所以
又因为，所以平面. 5分
（2）建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系.
由于，分别是的中点．则 ，，
，， 7分
设平面的法向量为，
据（1）可知，，所以平面，
所以平面的法向量为；10分
设平面的法向量为，，，
则；
令，可得； 11分
平面和平面的夹角的余弦值.
故平面和平面的夹角的余弦值为. 13分
16.解析：
（1）据题可得：，当时，，2分
两式子作差可得：
，
又，所以， 5分
当时，，
所以，数列是以为首项，2为公差的等差数列. 7分
（2）令，据（1）可知：.
所以； 则， 9分
得： ，
，
两式相减可得： 13分
所以 ，
综上所述，数列的前n项和. 15分
17.解析：（1）已知函数的定义域为，
导函数，令，解得：，，
所以点到直线距离的最小值； 5分
（2）若，定义域为
令，可得，
则函数的零点的个数与的零点个数相同； 7分
，
再令，则， 9分
所以在单调递减，又因为.
在单调递增；在上单调递减，
则； 11分
当. 12分
所以，当时，恒成立，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，，在和分别有1个零点，
即有2个零点；
当时，，在有1个零点，在上，恒成立，即只有1个零点； 14分
综上所述，当时， 无零点；
当时，有1个零点；
当时， 有2个零点. 15分
（ 其它解法酌情给分 ）
18.解析：（1）由题意知，该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值平均数为：
； 2分
该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为：
； 4分
按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5名员工，则抽取3名男员工，2名女员工。
从这5名员工随机选择3人，记抽到男员工的人数为，可得的取值为1，2，3.
可得的分布列为：
1 2 3
所以期望； 9分
设第n天选择A餐厅用餐的概率为.
则可列：.11分
∴；
∴且 12分
所以是以为首项，为公比的等比数列.
∴， 14分
∴，即一年以后，员工选择A餐厅的概率约为.
设400名员工选择A餐厅的人数为X，， 15分
所以400名员工中选择A餐厅的平均人数约为（人），
，A餐厅每天准备180人的用餐是不合理的. 17分
19.解析：（1）设，，设，则，，
且①，②，
两式相减得：，
，即．3分
设椭圆的方程：，已知椭圆过点
则，所以椭圆的标准方程：.4分 （2）椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，设，线段的中点， 则，
由题意知 ，
两式作差，变形可得：，
即，又，解得：，因为线段的中点在椭圆的内部，
所以，解得：或，
综上可知，的取值范围为：.10分
（3）由已知得，不妨设，所以直线的方程为：（其中），
与椭圆方程联立得，
由韦达定理，所以，
故；
同理可得：，，
所以，
所以直线的斜率为. 17分
（ 其它解法酌情给分 ）绝密★启用前
2025年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟
数学试卷
本卷满分150分，考试用时150分钟
一、选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 .
已知全集，，，则集合的真子集个数为
A． B． C． D．
设复数，则
A． B． C． D．
已知，且，则与的夹角的余弦值为
A． B． C． D．
某学生准备测量如图中某建筑物高度，选择高为的大楼进行测量，在大楼顶部处测得该建筑物的顶部的仰角为，底部的俯角为，则该建筑物的高度为
A． B．
C． D．
直线，圆，则圆上的点到直线的距离等于的点有
A．个 B．个
C．个 D．个
要得到函数的图象，只要将函数的图象
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
函数的定义域为，且，，则
A． B． C． D．
已知为坐标原点，已知双曲线的左右焦点分别为，过作的垂线交双曲线于，现将轴左侧的半平面绕轴旋转，原来的左焦点经旋转后得到点，求三棱锥的外接球表面积为
A． B. C. D．
二、选择题: 本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
若正实数满足，则下列结论正确的是
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
已知棱长为1的正方体，点满足，点是线段的中点，则下列说法正确的是
A．当时，
B．点是底面上的动点，且，则最大值为
C．的中点到平面的距离为
D．与平面所成角的正弦值的取值范围为
下列不等关系中，正确的是
A． B．
C． D．
三、填空题: 本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
的展开式中的系数为 ．
若函数定义域为，则a的取值范围是 .
抛物线的顶点为坐标原点，抛物线上两点满足：，过点作的垂线，垂足为，若点是圆的一个动点，则的最大值为 ．
四、解答题: 本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（13分）
在直三棱柱中，，，分别是的中点．
证明：平面平面；
求平面和平面的夹角的余弦值．
（15分）
已知正项数列的前项和为，且．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）令，求数列的前n项和．
（15分）
已知函数，直线.
（1）若点是函数图象上的一点，求点到直线距离的最小值；
（2）若，讨论函数的零点的个数.
（17分）
某单位有400名员工，其中男员工240人，女员工160人，该单位为了了解该单位员工的高密度脂蛋白胆固醇情况，以便调整食堂菜品，使员工身体更加健康。该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.4，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.5，该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.6，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.3. 为了让员工吃得更健康，该单位设立了营养餐厅A和素食餐厅B两家餐厅，经过统计分析发现：一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为；前一天选择了B餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为，如此往复.
（1）求该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值与方差；
（2）按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5名员工，再从这5名员工中随机选择3人参加座谈会，记抽到男员工的人数为，求的分布列及数学期望；
（3）设第n天选择A餐厅用餐的概率为，求；经过一年（365天）后，在A餐厅和B餐厅就餐的员工趋于稳定，如果A餐厅准备每天180人的用餐，是否合理，请说明理由.
（17分）
已知椭圆过点分别为椭圆的左右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点（点在第一象限），是椭圆上异于的点，直线与直线的斜率之积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，求的取值范围；
（3）若直线和分别交椭圆于点，且直线的斜率为，求直线的斜率.2025年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
数学答 题卡 解答题 16．
15．
姓 名 准考证号
考 场 号
座 位 号
填涂样例
贴缺考标识
正确填涂
注 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写清楚，并认真核准准考证号条形码上的
以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
意 2．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
事 3．选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字
体工整，笔迹清楚。
项 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
选择题
$ 犃 犅 犆 犇 % 犃 犅 犆 犇 & 犃 犅 犆 犇
! 犃 犅 犆 犇 ' 犃 犅 犆 犇 $" 犃 犅 犆 犇
# 犃 犅 犆 犇 ( 犃 犅 犆 犇 $$ 犃 犅 犆 犇
) 犃 犅 犆 犇 * 犃 犅 犆 犇
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填空题
12．
13．
14．
请勿在此区域作答
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书
姓 名 座 位 号
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17． 18． 19．
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