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【精准提分】专题03 平行线中常见的几何模型（浙教2024）
【“猪蹄”、“铅笔”、“鸡翅”、“综合”4个模型】
模型一：“猪蹄”模型（也称M字型或“内拐点”问题） 1
模型二：“铅笔”模型（“外拐点”模型） 6
模型三：“鸡翅”模型（“臭脚”模型） 11
模型四：三种模型综合压轴题 15
模型一：“猪蹄”模型（也称M字型或“内拐点”问题）
特点：点P在直线EF左侧且在直线AB、CD内部。
结论1：若AB∥CD，则∠AEP+∠PFC=∠EPF；
结论2：若∠AEP+∠PFC=∠EPF，则AB∥CD。
例题1（2025·陕西宝鸡·一模）如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，与交于点，平分，平分．如图1，当，时，的度数为 ；如图2，当时，的度数为 ；当时，的度数为 ．（用含的式子表示）
【变式1-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，交于点，平分，平分，与互补吗？为什么？
【变式1-4】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线，点是直线与直线之间一点，点，分别在直线，上，连接，．
【思路梳理】
（1）如图1，过点作，若，，求的度数；
【类比引申】
（2）如图2，过点作，点是直线上一点（点在点左侧），连接并延长，与的延长线交于点，过点作，已知，求证：．
【变式1-5】（24-25七年级下·山西·期中）综合与实践
【问题情境】平面内两直线的位置关系只有两种：相交和平行．若证明两直线相交可借助定义确定它们有一个公共点；若证明两直线与平行，无法直接利用定义说明，根据对课本知识的学习，有两种方法可以说明，如图1，引入直线，借助角的关系说明两直线平行；如图2，引入直线也可以说明两直线平行．
【问题探究】如图3，的顶点在直线与之间，若，求证：．
小红借助图1的思路，延长交于点，如图4，可以证明；小白借助图2的思路，过点作，如图5，可以证明；请你选择其中一种思路，完成证明．
【方法延伸】
若是的一个内角，，，顶点在直线上，与交于点，如图6，
（1）当时，则与之间的数量关系是________________（用含的式子表示）；
（2）若，且平分交于点，则与之间的数量关系是________（用含的式子表示）．
【变式1-6】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点，满足．
(1)试问，，满足怎样的数量关系？
解：由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为______________________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为______________________．
(2)如图3，，分别平分和，且点在左侧．
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
【变式1-7】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）（1）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的．
如图一，已知，请说明．
证明：分别过点作．
因为___________①___________，所以．
由___________②___________，可知．
由题知，所以___________③___________．
则，即___________④___________．
由___________⑤___________，可得．
请根据自己的理解，将上述证明过程补充完整．
（2）【迁移应用】如图二，已知的交点为．判断．之间的关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为：第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三、若，求的大小．
【变式1-8】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足．
(1)试问，，满足怎样的数量关系？
解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________．
(2)如图3，，分别平分和，且点在左侧．
①若，则________°．
②猜想与的数量关系，并说明理由．
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
模型二：“铅笔”模型（“外拐点”模型）
特点：点P在直线EF右侧且在直线AB、CD的内部
结论1：若AB∥CD，则∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；
结论2：若∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°，则AB∥CD；
例题2（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，现调节台灯使外侧光线，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】如图，已知（其中），添加以下一个条件：①；②；③；④．能判定的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，点 E ， F 在直线 上 （F 在 E 的左侧），点 G 在直线上， ，垂足为H ， P 为 线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点 Q ，且点 Q 在直线 之间的区域，则： ．
【变式2-3】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，，那么 ．
【变式2-4】已知，解答下列问题：
(1)如图①， ；
(2)如图②，求的度数；
(3)如图③，求的度数；
(4)如图④，根据以上结论，试探究： ．
(5)
【变式2-5】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）【阅读思考】如图①，已知，探究之间关系，小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是．
证明过程如下：
如图①，过点C作，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即．
(1)【理解应用】如图②，已知，求的度数；
(2)【拓展探索】如图③，已知，点C在点D的右侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在直线与之间，点B在点A的右侧，且，若，则度数为多少？（用含n的代数式表示）
【变式2-6】（23-24七年级下·广西玉林·期中）课题学行线的“等角转化”功能．
【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程：
解：过点A作，
∴____， ____．
又∵，
∴．
【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明．
【解决问题】
（3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数．
【变式2-7】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图．已知，直线分别交，于点、．
(1)如图1，点P为直线、之间，直线右侧一点，且满足，．求的大小：
(2)如图2，在（1）的条件下，射线交的延长线于点，若，求证：平分；
(3)如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点（不与点F重合），内靠近的三等分线交于点，若，直接写出的大小．（用含的式子表示）
【变式2-8】（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知，解决下列问题：
(1)如图①，分别平分、，若，则的度数为__________．
(2)如图②，若，，则与的数量关系为__________．
(3)如图③，若，，设，则的度数为__________．（直接用含的代数式表示）．
模型三：“鸡翅”模型（“臭脚”模型）
特点：点P在直线EF的右侧且在直线AB、CD的外侧。
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP;
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD。
例题3（24-25九年级上·重庆·期末）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则的度数用含x的式子一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（24-25七年级上·河南南阳·期末）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）如图，，和的平分线相交于点F，若，则 ．
【变式3-4】（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、．
(1)当，平分，平分时：
①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ；
②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数；
(2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．
【变式3-6】（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图1，，的两边与，分别交于，两点．
(1)若，，求的度数；
(2)如图2，直线，相交于点，且满足，．
①当时，若，求的度数；
②试探究与的数量关系．
【变式3-7】（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知分别在上，点G在之间，连接．
(1)当平分平分时，
①如图1，若，则的度数为_______（直接写出结果）；
②如图2，在的下方有一点平分平分，求的值；
(2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，且满足时，求的值．
【变式3-7】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图．已知，直线分别交，于点、．
(1)如图1，点P为直线、之间，直线右侧一点，且满足，．求的大小：
(2)如图2，在（1）的条件下，射线交的延长线于点，若，求证：平分；
(3)如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点（不与点F重合），内靠近的三等分线交于点，若，直接写出的大小．（用含的式子表示）
【变式3-7】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数t（），使得，则称是的“t系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”．
【概念理解】
（1）若，在，，中，的“2系数补角”是 ；的“3系数补角”是 （填）．
【深入探索】
（2）如图，平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点，平面内一点G位于直线上方，直线右侧，连接．请说明：；
【问题解决】
（3）在（2）的条件下，若是的“6系数补角”，当时，求的大小．
模型四：三种模型综合压轴题
例题4（24-25七年级下·河北唐山·期中）（1）【感知】如图1，，点在直线与之间，试说明．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整．
证明：如图1，过点作，
，（___________①___________）
（已知），（辅助线作法），
，（②）
___________③___________，（___________④___________）
，
；
（2）【探究】当点在如图2的位置时，其他条件不变，则___________度；
（3）【应用】如图3，延长线段交直线于点，已知，，直接写出的度数．
【变式4-1】（24-25七年级下·北京·期中）如图1，，点、分别在直线、上，点在线段上，交于点．
(1)补全图形，可得______°．
(2)在（1）的前提下，的平分线与的平分线所在直线交于点（点与点不重合），若，求的大小．
(3)如图2，，若，，并且，则______．（用含的代数式表示）．
【变式4-2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知，直线和直线，分别交于点，，并把平面分成六个区域（如图1），点是六个区域中的任意一点（不在直线，，上），连接，.
(1)图2是点在区域⑤的情况，探究，，之间的数量关系时，嘉嘉猜想出，请帮她完善说理过程（填写结论或依据）；
理由：过点作 （ ）， ， （ ）， ______（ ）， ______， 又， .
(2)图3是点在区域②的情况，请判断（1）中的结论还成立吗？说明理由.
【变式4-3】（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上．
(1)如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为______；
(2)如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数：
(3)如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值．
【变式4-4】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）如图，直线，一副直角三角板中，．
(1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分；
(2)若如图2摆放时，求的度数；
(3)若图2中△ABC固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3），求的度数；
(4)若图2中固定，（如图4）将△ABC绕点A以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请求出t的值．
【变式4-5】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）课题学行线的“等角转化”功能．
阅读理解：（1）如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，_______，，，．
运用猜想：（2）如图2，已知，请直接写出的度数：_______；
拓展探究：（3）已知，点A、B在上，C、D在上，且点C在点D的右侧，，平分，平分，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，若，，时，请将图形补充完整，并求度数．（用含n的代数式表示）
【变式4-6】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知直线，直线分别与、相交于、．
【阅读理解】
（1）如图1，、分别平分和，求证：．请在下面的括号里填写相应的依据．
解：、分别平分和，
可设，（ ），
，
（ ），
．
又，
．
，即．
【推广应用】
（2）如图2，点在射线上，点在射线上，、分别平分和，若，，请模仿（1）设元的方法，求和的度数．
【拓展提升】
（3）如图3，点在线段上，点是直线上的动点（不与重合），、分别平分和，设，请直接用含的代数式表示的度数．
【变式4-7】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确．
证明过程如下：
如图1：延长到点，过点作，
，
①_____，②_____，
③_____．
．
(1)补全小安证明过程中①②③所缺的内容：
(2)如图2，现有一锐角，在的两边上分别取点、，过点、分别作直线、，且，点在、之间，
①若点是下方一点，连接、．若平分，平分，则、、这三个角有什么关系；并说明理由．
②如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，直接写出的度数．
【变式4-8】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，直线，一副三角尺，中，，，，．
(1)若将三角尺如图①摆放，当平分时，则______．
(2)若将三角尺和三角尺如图②摆放，的顶点恰好落在直线上，三角尺的一边在直线上，且边与边在同一直线上，作和的平分线交于点，求的度数．
(3)若图③中三角尺固定，将三角尺绕点顺时针方向旋转（如图③），旋转到边与直线首次重合时停止旋转，在这旋转的过程中，当边与三角尺的一边平行时，请直接写出的度数．
1．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）【问题情境】
如图，直线与直线交于点．
【问题探究】
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点在直线之间，且在直线的右侧，连接，过点作，，求证：；
【问题解决】
（3）如图3，在（2）的条件下，分别作的平分线和的平分线交于点与交于点，求的大小．
2．已知．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，与的角平分线所在直线相交于点P，求的大小；
(3)如图③，若平分，延长交于点F，且，当时，求的大小．
3．（24-25七年级下·广东佛山·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动．
(1)【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数；
(2)【探索证明】：如图②，小颖把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由；
(3)【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，求（用含的式子表示）．
4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，点为直线上一点，射线交直线于点，．
(1)求证：；
(2)如图2，点为，内部，右侧一点，点在上，连接，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，，，求的度数．
5．（24-25七年级下·福建南平·期中）【问题情境】（1）如图1，，，求度数．
小明的思路：过P作，通过平行线性质来求．
按小明的思路，易求得的度数为 度．
【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动．记，．
当点P在 B、D两点之间运动时，问：与，之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P在线段或射线上运动，（不与O、B、D三点重合），请直接写出与，之间的数量关系．
【拓展创新】（3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，并将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，顺次连接各点，天文小组发现线段恰好经过点G，且，，，请你根据这些信息求出的度数．
6．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图1，已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，设，，求证：．
证明：如图2，过点作，，
，，，，
，即．
运用以上结论解答下列问题：
【类比应用】：
（1）如图3，已知，，，求的度数．
【拓展提升】：
（2）如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，，则，，之间有何数量关系？请说明理由．
7．（24-25七年级下·重庆·期中）（1）已知，点是直线外一点，连接、，如图1，若，，求的度数．
（2）已知，点在直线之间，为上一点，，，直线交于点，平分，平分，如图2，试探究与的数量关系．
8．（24-25七年级下·江西宜春·期中）综合与实践
【课题学行线的“等角转化”．
如图1，A是外一点，连接，，求的度数．
解：如图1，过点A作，
∴________，________
又∵，
∴________
【问题解决】
（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图2，，，，，交于点E，求证：．
（3）如图3，，点P在下方，求证：．中小学教育资源及组卷应用平台
【精准提分】专题03 平行线中常见的几何模型（浙教2024）
【“猪蹄”、“铅笔”、“鸡翅”、“综合”4个模型】
模型一：“猪蹄”模型（也称M字型或“内拐点”问题） 1
模型二：“铅笔”模型（“外拐点”模型） 14
模型三：“鸡翅”模型（“臭脚”模型） 29
模型四：三种模型综合压轴题 45
模型一：“猪蹄”模型（也称M字型或“内拐点”问题）
特点：点P在直线EF左侧且在直线AB、CD内部。
结论1：若AB∥CD，则∠AEP+∠PFC=∠EPF；
结论2：若∠AEP+∠PFC=∠EPF，则AB∥CD。
例题1（2025·陕西宝鸡·一模）如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
【详解】解：如图：过A作，则，
，
，
，
∵，直线，
∴
，
故选C．
【变式1-1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】过点作，过点M作，
∵，
∴，，
∴，，
∴．
∵，，
∴，，
∴，，
同理可求，．
故选D．
【变式1-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，与交于点，平分，平分．如图1，当，时，的度数为 ；如图2，当时，的度数为 ；当时，的度数为 ．（用含的式子表示）
【答案】
【详解】解：过E作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵平分平分，
∴，，
∴，
则；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
过E作，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：，，
【变式1-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，交于点，平分，平分，与互补吗？为什么？
【答案】与互补，理由见解析
【详解】解：与互补，理由如下：
，
，
平分，
，
同理，，
，
，
．
【变式1-4】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线，点是直线与直线之间一点，点，分别在直线，上，连接，．
【思路梳理】
（1）如图1，过点作，若，，求的度数；
【类比引申】
（2）如图2，过点作，点是直线上一点（点在点左侧），连接并延长，与的延长线交于点，过点作，已知，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）解：，，
，
，，
，
．
（2）证明：，，
，
由（1）得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
即．
【变式1-5】（24-25七年级下·山西·期中）综合与实践
【问题情境】平面内两直线的位置关系只有两种：相交和平行．若证明两直线相交可借助定义确定它们有一个公共点；若证明两直线与平行，无法直接利用定义说明，根据对课本知识的学习，有两种方法可以说明，如图1，引入直线，借助角的关系说明两直线平行；如图2，引入直线也可以说明两直线平行．
【问题探究】如图3，的顶点在直线与之间，若，求证：．
小红借助图1的思路，延长交于点，如图4，可以证明；小白借助图2的思路，过点作，如图5，可以证明；请你选择其中一种思路，完成证明．
【方法延伸】
若是的一个内角，，，顶点在直线上，与交于点，如图6，
（1）当时，则与之间的数量关系是________________（用含的式子表示）；
（2）若，且平分交于点，则与之间的数量关系是________（用含的式子表示）．
【答案】【问题探究】见详解；【方法延伸】（1）（2）
【详解】解：（问题探究）小红：，
，
；
小白：，
，
，
，
，
；
（方法延伸）（1）过点作；
，，
，，
，
；
，
；
；
故答案为：
（2）解：平分，
，
在四边形中，
，
，
；
故答案为：
【变式1-6】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点，满足．
(1)试问，，满足怎样的数量关系？
解：由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为______________________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为______________________．
(2)如图3，，分别平分和，且点在左侧．
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
【答案】(1)；
(2)①；②．
【详解】（1）解：如图1，当点在的左侧时，过点作，
，
，
，，
；
如图2，当点在的右侧时，
，
，
，，
，
；
（2）解：①，分别平分和，
设，，
，，
由（1）可知，，，
，，
，
，
；
②与的角平分线交于点，
，，
，
同理可得，，，……
则，
，
，
，
．
【变式1-7】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）（1）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的．
如图一，已知，请说明．
证明：分别过点作．
因为___________①___________，所以．
由___________②___________，可知．
由题知，所以___________③___________．
则，即___________④___________．
由___________⑤___________，可得．
请根据自己的理解，将上述证明过程补充完整．
（2）【迁移应用】如图二，已知的交点为．判断．之间的关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为：第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三、若，求的大小．
【答案】（1）①；②两直线平行，内错角相等；③；④；⑤内错角相等，两直线平行；（2），理由见解析；（3）
【详解】解：（1）分别过点C，D作，．
因为，所以．
由两直线平行，内错角相等，可知，，．
由题知，所以．
则，即．
由内错角相等，两直线平行，可得．
故答案为：①；②两直线平行，内错角相等；③；④；⑤内错角相等，两直线平行；
（2），理由如下：
如图，过作，
，
，
，，
，
；
（3）和的平分线交点为，
．
和的平分线交点为，
；
和的平分线，交点为，
；
以此类推，．
当时，等于．
【变式1-8】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足．
(1)试问，，满足怎样的数量关系？
解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________．
(2)如图3，，分别平分和，且点在左侧．
①若，则________°．
②猜想与的数量关系，并说明理由．
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
【答案】(1)（1），
(2)①150；②与的数量关系为，理由见解析；③
【详解】（1）如图1，过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
如图2，过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）①如图3，过点作，过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
同理：，
∵，
∴，
∴，
∵，分别平分和，
∴
∴；
②由（1）可知，，
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴；
③由（2）②知，
同理可证：，
，
……
，
故答案为：．
模型二：“铅笔”模型（“外拐点”模型）
特点：点P在直线EF右侧且在直线AB、CD的内部
结论1：若AB∥CD，则∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；
结论2：若∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°，则AB∥CD；
例题2（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，现调节台灯使外侧光线，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式2-1】如图，已知（其中），添加以下一个条件：①；②；③；④．能判定的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：添加①，
过F作，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，故①正确；
添加②，
过F作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
添加③，
则，
而F不在，
故不能证明，故③错误；
添加④，
∵，
∴，即，
无法证明，故④错误；
故选：C
【变式2-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，点 E ， F 在直线 上 （F 在 E 的左侧），点 G 在直线上， ，垂足为H ， P 为 线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点 Q ，且点 Q 在直线 之间的区域，则： ．
【答案】/度
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，，
，
，
，
∴，
与的角平分线交于点，
∴，，
∵，
∴
，
∵，
∴，
即，
∴；
故答案为：．
【变式2-3】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，，那么 ．
【答案】/540度
【详解】解：过点作，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式2-4】已知，解答下列问题：
(1)如图①， ；
(2)如图②，求的度数；
(3)如图③，求的度数；
(4)如图④，根据以上结论，试探究： ．
(5)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
（3）解：过点作，
∵，
∴，
∴，
由（）可得，
∴，
即
（4）解：由图①得，
由图②得，
由图③得，
，
∴，
故答案为：．
【变式2-5】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）【阅读思考】如图①，已知，探究之间关系，小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是．
证明过程如下：
如图①，过点C作，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即．
(1)【理解应用】如图②，已知，求的度数；
(2)【拓展探索】如图③，已知，点C在点D的右侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在直线与之间，点B在点A的右侧，且，若，则度数为多少？（用含n的代数式表示）
【答案】(1)(2)
【详解】解：（1）如图②，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图③，过点E作，
∵平分平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【变式2-6】（23-24七年级下·广西玉林·期中）课题学行线的“等角转化”功能．
【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程：
解：过点A作，
∴____， ____．
又∵，
∴．
【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明．
【解决问题】
（3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数．
【答案】（1），；（2），见解析；（3）
【详解】
解：（1）过点A作，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：，；
（2）如图，过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
（3）如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴．
【变式2-7】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图．已知，直线分别交，于点、．
(1)如图1，点P为直线、之间，直线右侧一点，且满足，．求的大小：
(2)如图2，在（1）的条件下，射线交的延长线于点，若，求证：平分；
(3)如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点（不与点F重合），内靠近的三等分线交于点，若，直接写出的大小．（用含的式子表示）
【答案】(1)；(2)见解析；(3)或．
【详解】（1）解：如图，过作于点，
，
，
，
，
，
，
，
.
；
（2）证明:过作，则，
则，
设，则，
，
，
.
，
由（1）可知，
，
，
根据平角的定义可得，
，
平分；
（3）解:①当在左侧时，
设，，
．
，
，
是靠近的三等分线，
，
，
：
②当在右侧且在左侧时，
设，，
，
，
，
是靠近的三等分线，
，
；
③当在右侧时，
设，，
，
，
，
是靠近的三等分线，
．
此时负值舍去；
综上，或．
【变式2-8】（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知，解决下列问题：
(1)如图①，分别平分、，若，则的度数为__________．
(2)如图②，若，，则与的数量关系为__________．
(3)如图③，若，，设，则的度数为__________．（直接用含的代数式表示）．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：如图①，过作，过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵分别平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：如图②，过作，过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图③，过作，过点P作，
∵，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
模型三：“鸡翅”模型（“臭脚”模型）
特点：点P在直线EF的右侧且在直线AB、CD的外侧。
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP;
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD。
例题3（24-25九年级上·重庆·期末）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过点作，
，
∵，
∴，
∴，，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，
∴，，
∴，，
设，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴由①②可得：，
故选：C．
【变式3-1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则的度数用含x的式子一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，即
过点作，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【变式3-2】（24-25七年级上·河南南阳·期末）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如下图所示，过点作，
，，
，
，
又，
．
故选：D．
【变式3-3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）如图，，和的平分线相交于点F，若，则 ．
【答案】30
【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵和的平分线相交于点F，
∴，
∴，
故答案为：30．
【变式3-4】（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、．
(1)当，平分，平分时：
①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ；
②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数；
(2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)①；；②；(2)
【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作，
，
，
∴
，
，
同理可得: ，
∵，
∴，
∴，
∵平分平分；
，
∴．
②如图，过点Q作，
∵平分平分，
，，
设，
∵，，
∴，
，
∵，
，
，
，
，
由（1）可知，
∴．
（2）解：如图，在的上方有一点O，平分，线段的延长线平分，
设H为线段的延长线上一点，则，，
设，,，
如图，过点O作，则，
，，
，
，
由（1）可知：，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴．
【变式3-6】（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图1，，的两边与，分别交于，两点．
(1)若，，求的度数；
(2)如图2，直线，相交于点，且满足，．
①当时，若，求的度数；
②试探究与的数量关系．
【答案】(1)(2)①；②
【详解】（1）解：如图所示，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图所示，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴；
如图所示，过点D作，则，
∴，
∴
；
②如图所示，过点B作，过点D作，则，
同理可得，，
∵，，
∴，
∴
．
【变式3-7】（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知分别在上，点G在之间，连接．
(1)当平分平分时，
①如图1，若，则的度数为_______（直接写出结果）；
②如图2，在的下方有一点平分平分，求的值；
(2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，且满足时，求的值．
【答案】(1)①；②(2)
【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作，
，
，
∴
，
，
同理可得: ，
∵，
∴，
∵平分平分；
，
∴．
故答案为：．
②如图，过点Q作，
∵平分平分，
，，
设，
∵，，
，
∵，
，
，
，
，
由（1）可知，
∴．
（2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分，
设H为线段的延长线上一点，则，，
设，,，
如图，过点O作，则，
，，
，
，
由（1）可知：，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴．
【变式3-7】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图．已知，直线分别交，于点、．
(1)如图1，点P为直线、之间，直线右侧一点，且满足，．求的大小：
(2)如图2，在（1）的条件下，射线交的延长线于点，若，求证：平分；
(3)如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点（不与点F重合），内靠近的三等分线交于点，若，直接写出的大小．（用含的式子表示）
【答案】(1)；(2)见解析；(3)或．
【详解】（1）解：如图，过作于点，
，
，
，
，
，
，
，
.
；
（2）证明:过作，则，
则，
设，则，
，
，
.
，
由（1）可知，
，
，
根据平角的定义可得，
，
平分；
（3）解:①当在左侧时，
设，，
．
，
，
是靠近的三等分线，
，
，
：
②当在右侧且在左侧时，
设，，
，
，
，
是靠近的三等分线，
，
；
③当在右侧时，
设，，
，
，
，
是靠近的三等分线，
．
此时负值舍去；
综上，或．
【变式3-7】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数t（），使得，则称是的“t系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”．
【概念理解】
（1）若，在，，中，的“2系数补角”是 ；的“3系数补角”是 （填）．
【深入探索】
（2）如图，平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点，平面内一点G位于直线上方，直线右侧，连接．请说明：；
【问题解决】
（3）在（2）的条件下，若是的“6系数补角”，当时，求的大小．
【答案】（1），；（2）见详解（3）
【详解】解：（1）设的“2系数补角”是，
∵，，
∴，解得，
∴的“2系数补角”是；
设的“3系数补角”是，
∵，，
∴，解得，
∴的“3系数补角”是．
故答案为：，；
（2）证明：如下图，过点作，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可知，，
∴，
∵是的“6系数补角”，
∴，
∴，
解得．
模型四：三种模型综合压轴题
例题4（24-25七年级下·河北唐山·期中）（1）【感知】如图1，，点在直线与之间，试说明．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整．
证明：如图1，过点作，
，（___________①___________）
（已知），（辅助线作法），
，（②）
___________③___________，（___________④___________）
，
；
（2）【探究】当点在如图2的位置时，其他条件不变，则___________度；
（3）【应用】如图3，延长线段交直线于点，已知，，直接写出的度数．
【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；②平行于同一直线的两条直线平行；③；④两直线平行，内错角相等；（2）360；（3）
【详解】（1）证明：如图1，过点E作，
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵（已知），（辅助线作法），
∴，（平行于同一直线的两条直线平行）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，
∴；（等量代换）
（2）证明：过点E作，如图2所示：
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点E作，如图
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式4-1】（24-25七年级下·北京·期中）如图1，，点、分别在直线、上，点在线段上，交于点．
(1)补全图形，可得______°．
(2)在（1）的前提下，的平分线与的平分线所在直线交于点（点与点不重合），若，求的大小．
(3)如图2，，若，，并且，则______．（用含的代数式表示）．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：过点作，
，
，
则，，
，
，
故；
故答案为：
（2）解：根据题意，作图如下：
过点作，
，
，
根据（1）可得；
，
；
（3）解：根据题意，作，，
，，，，
，
，
，
，
则；
，
，
，
，
，
，
；
，
；
故答案为：
【变式4-2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知，直线和直线，分别交于点，，并把平面分成六个区域（如图1），点是六个区域中的任意一点（不在直线，，上），连接，.
(1)图2是点在区域⑤的情况，探究，，之间的数量关系时，嘉嘉猜想出，请帮她完善说理过程（填写结论或依据）；
理由：过点作 （ ）， ， （ ）， ______（ ）， ______， 又， .
(2)图3是点在区域②的情况，请判断（1）中的结论还成立吗？说明理由.
【答案】(1)见解析(2)不成立，证明见解析
【详解】（1）解：过点作
（两直线平行，内错角相等），
，
（平行于同一直线的两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
，
又，
.
（2）解：不成立，证明：如图，过点作，
，
，，
，
，
．
又，即．
故（1）中的结论不成立．
【变式4-3】（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上．
(1)如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为______；
(2)如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数：
(3)如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值．
【答案】(1)64(2)(3)18或90
【详解】（1）解：过C作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：64；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
过D作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：分两种情况进行讨论：
①当位于与之间时，如图①，
由得：，
∵，经过时间t，
有，
则
而，
∴，
又∵，平分，
∴，
而，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
则，
解得：；
②当位于下方时，如图②，
∵，
∴，
经过时间，
同理：，
则，
而，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
解得，
综上：或90．
【变式4-4】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）如图，直线，一副直角三角板中，．
(1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分；
(2)若如图2摆放时，求的度数；
(3)若图2中△ABC固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3），求的度数；
(4)若图2中固定，（如图4）将△ABC绕点A以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请求出t的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)(4)或15或20
【详解】（1）证明：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：如图，过点作，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）解：如图，分别过点，作，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵和的角平分线、相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（4）解：设旋转时间为t秒，
由题意得每秒转，旋转时间为秒，
分三种情况：
①当时，如图，此时，
∴，
∴，
解得：；
②当时，如图，
∴，
∴，
∴，
解得：；
③当时，如图，延长交于K，延长交于R，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
综上所述：绕点A顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行．
【变式4-5】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）课题学行线的“等角转化”功能．
阅读理解：（1）如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，_______，，，．
运用猜想：（2）如图2，已知，请直接写出的度数：_______；
拓展探究：（3）已知，点A、B在上，C、D在上，且点C在点D的右侧，，平分，平分，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，若，，时，请将图形补充完整，并求度数．（用含n的代数式表示）
【答案】（1）；；（2）；（3）①；②补全图形见解析，
【详解】解：（1），
，（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：；；
（2）过作，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）①过作，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
；
②如图，过作，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
．
【变式4-6】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知直线，直线分别与、相交于、．
【阅读理解】
（1）如图1，、分别平分和，求证：．请在下面的括号里填写相应的依据．
解：、分别平分和，
可设，（ ），
，
（ ），
．
又，
．
，即．
【推广应用】
（2）如图2，点在射线上，点在射线上，、分别平分和，若，，请模仿（1）设元的方法，求和的度数．
【拓展提升】
（3）如图3，点在线段上，点是直线上的动点（不与重合），、分别平分和，设，请直接用含的代数式表示的度数．
【答案】（1）角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补
（2），
（3）或
【详解】解：（1）、分别平分和，
可设，（角平分线的定义），
，
（两直线平行，同旁内角互补），
．
又，
，
，即．
故答案为：角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补；
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
（3）分以下两种情况：
当点在点的右边时，如图3所示：
∵、分别平分和，
∴可设，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点在点的左边时，如图所示：
∵、分别平分和，
∴可设，，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述：的度数为或．
【变式4-7】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确．
证明过程如下：
如图1：延长到点，过点作，
，
①_____，②_____，
③_____．
．
(1)补全小安证明过程中①②③所缺的内容：
(2)如图2，现有一锐角，在的两边上分别取点、，过点、分别作直线、，且，点在、之间，
①若点是下方一点，连接、．若平分，平分，则、、这三个角有什么关系；并说明理由．
②如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，直接写出的度数．
【答案】(1)①A，②B，③．(2)①；理由见详解；②
【变式4-1】【详解】（1）证明：延长到点，过点作，
，
， ，
．
，
故答案为：①A，②B，③．
（2）解：①如图2，过作，过点作，若平分，平分，则、、这三个角有什么关系；并说明理由．
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
②如图3，过作，过作，设，，
∵交于M，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式4-8】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，直线，一副三角尺，中，，，，．
(1)若将三角尺如图①摆放，当平分时，则______．
(2)若将三角尺和三角尺如图②摆放，的顶点恰好落在直线上，三角尺的一边在直线上，且边与边在同一直线上，作和的平分线交于点，求的度数．
(3)若图③中三角尺固定，将三角尺绕点顺时针方向旋转（如图③），旋转到边与直线首次重合时停止旋转，在这旋转的过程中，当边与三角尺的一边平行时，请直接写出的度数．
【答案】(1)(2)(3)或或．
【详解】（1）解：平分，
；
（2）解：过点作交于，过点作，如图2所示：
设，
平分
，
，，
，
，，，
平分
；
（3）解：分三种情况：
当时，如图，
此时，
，
∵
∴
∴；
②当时，如图，
，
；
③当时，如图，
延长交于，延长交于，
，
，
∴；
综上所述，的度数为或或．
1．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）【问题情境】
如图，直线与直线交于点．
【问题探究】
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点在直线之间，且在直线的右侧，连接，过点作，，求证：；
【问题解决】
（3）如图3，在（2）的条件下，分别作的平分线和的平分线交于点与交于点，求的大小．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点K作，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
2．已知．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，与的角平分线所在直线相交于点P，求的大小；
(3)如图③，若平分，延长交于点F，且，当时，求的大小．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：如图①，过点N作交于点F，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图②，设的平分线是，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴，
即，
∵，由（1）得，
∴，
∴；
（3）解：如图③，∵平分，
∴，
设，
∴，
由（1）得，
由（2）得，
∵，
∴，
∴，
∴．
3．（24-25七年级下·广东佛山·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动．
(1)【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数；
(2)【探索证明】：如图②，小颖把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由；
(3)【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，求（用含的式子表示）．
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）解： ∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，点为直线上一点，射线交直线于点，．
(1)求证：；
(2)如图2，点为，内部，右侧一点，点在上，连接，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，，，求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)．
【详解】（1）解：．
．
．
（2）过点作
．
∵
．
．
（3）∵
设
过点作
5．（24-25七年级下·福建南平·期中）【问题情境】（1）如图1，，，求度数．
小明的思路：过P作，通过平行线性质来求．
按小明的思路，易求得的度数为 度．
【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动．记，．
当点P在 B、D两点之间运动时，问：与，之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P在线段或射线上运动，（不与O、B、D三点重合），请直接写出与，之间的数量关系．
【拓展创新】（3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，并将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，顺次连接各点，天文小组发现线段恰好经过点G，且，，，请你根据这些信息求出的度数．
【答案】（1）110；（2） ①，理由见解析；② 或（3）
【详解】解：（1）过点P作，如图1，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：110；
（2）①，
理由：如图2，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图3所示，当P在延长线上时，设与交于点，
∵
∴
又
∴；
如图4所示，当P在延长线上时，同理可得．
（3）如图5．过点C作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
6．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图1，已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，设，，求证：．
证明：如图2，过点作，，
，，，，
，即．
运用以上结论解答下列问题：
【类比应用】：
（1）如图3，已知，，，求的度数．
【拓展提升】：
（2）如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，，则，，之间有何数量关系？请说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析
【详解】解：（1）如图③，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2），理由如下：
如图④，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
7．（24-25七年级下·重庆·期中）（1）已知，点是直线外一点，连接、，如图1，若，，求的度数．
（2）已知，点在直线之间，为上一点，，，直线交于点，平分，平分，如图2，试探究与的数量关系．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）过点C作，如图1所示，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵平分，平分，
∴
．
8．（24-25七年级下·江西宜春·期中）综合与实践
【课题学行线的“等角转化”．
如图1，A是外一点，连接，，求的度数．
解：如图1，过点A作，
∴________，________
又∵，
∴________
【问题解决】
（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图2，，，，，交于点E，求证：．
（3）如图3，，点P在下方，求证：．
【答案】（1）;（2）见解析；（3）见解析．
【详解】解：（1）如图1，过点A作，
∴，，
又∵，
∴；
故答案为：．
（2）过点作，
，
，
，，
，
，
，
．
（3）过点作，
，
，
，
，
，
，
．
