2025年山东省济南市莱芜区九年级中考数学三模考试试题（含答案）

2025 年初中学业水平阶段性诊断测试数学试题
注意事项:
本试题共 8 页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为 40 分，非选择题部分满分为 110 分。全卷满分为 150 分。考试时间为 120 分钟.
答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置.
答题时，选择题部分每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。非选择题部分，用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答，直接在试题上作答无效.
本考试不允许使用计算器。考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.的相反数是（ ）.
A. B. C. D. 5
2.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）.
3.我国新能源汽车产销量逐年增加，预测 2025 年我国新能源汽车销量将达 16500000 辆。将数据 16500000 用科学记数法表示为（ ）.
A. 1.65×105 B. 1.65×106 C. 1.65×107 D. 1.65×108
4.若从一个正n边形的一个顶点出发可以画 2 条对角线，则n是（ ）.
A. 五 B. 六 C. 七 D. 八
5.如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1=30°，则∠2=（ ）.
A. 80 B.70° C. 60 D. 50
6.下列代数式运算正确的是（ ）.
A. += B. ( 2b3)2= 6b6 C. 5+=5 D. (a b)(a2+ab+b2)=a3 b3
7.已知点A( 4,y1)、B( 1,y2)、C(2,y3)都在反比例函数y=(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）.
A. y38.2025 年春节档热映多部精彩电影。小明、小亮分别从如图所示的四部影片中随机选择一部观看，则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ）.
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，∠BAC=108 ，∠B=36 分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE分别交AC、BC于点F、G，以G为圆心，GC长为半径作弧，交BC于点H，连结AG，AH. 下面结论错误的是（ ）.
AH=2GF B. ∠C=2∠BAH C. BG2=BC·CG D. =
10.定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x<0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互相关函数。例如：正比例函数y=x，它的相关函数为y=，已知点M，N的坐标分别为( ,1)，(,1)，连结MN，若线段MN与二次函数y=x2 4x+m(m>0)的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）.
A. 1≤n<5 B. 1二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。请直接填写答案.）
11.因式分解m2 3m= .
12.现有下列长度的四根木棒：3，6，9，11，从中任取三根，可以组成三角形的概率为 .
13.一把折扇展开后如图所示，其纸面部分近似的看作是两个扇形围成的，其中∠AOD=150 ，OB=1，AB=2，则折扇纸面部分的面积是 .
14.虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒 U 形管自动流动的过程。如图 1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高 16cm，设甲容器中的液面高为y1（单位：cm），乙容器中的液面高为y2（单位：cm），小明绘制了y1，y2关于时间x（单位：s）的函数图，如图 2 所示。当甲容器中的液面比乙容器中的液面低 2cm 时，x的值为 .
15.正方形ABCD中，AB=6，O是BC边的中点，点E是平面内一动点，OE=2，将线段DE绕点D逆时针旋转90 得DF，则OF最大值为 .
三、解答题（本大题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16.（本题满分 7 分）计算：+( 1)0 () 1+∣ ∣﹣2cos45
17.（本题满分 7 分）解不等式组：，并求它的所有整数解.
18.（本题满分 7 分）如图，在□ABCD中，点E、F在BD上，且DE=BF，求证：∠AED=∠CFB
19.（本题满分 8 分）汽车尾气对环境的污染一直是一大难题，近几年新能源汽车特别是电车内环保特性、能源节约、低噪声作出了巨大贡献，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，某校数学实践小组开展了测量该小区充电站长度的实践活动，在实地测量后填写了活动报告，报告部分内容如下表:
如图是矩形PQMN 充电站的平面示意图，矩形ABCD 是其中一个停车位， GH⊥CD , GH 是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列决定．
根据以上信息回答下列问题：
（1）求充电站的宽MN的长；
（2）该充电站有 30 个停车位，求QM的长.（参考数据：sin53 ≈0.80，cos53 ≈0.60）
20.（本题满分 8 分）为深入学习 2025 年全国两会精神，某校开展了以 “学习两会精神，永远跟党走，奋进新征程” 为主题的知识竞赛，发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于 60 分。现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中 “80≤x<90” 这组的数据如下：83，83，84，84，85，86，87，87，87，88，89，89.
根据以上信息，解答下列问题。
（1）a= ，m= ；
（2）扇形统计图中 3 组的圆心角度数是 度；
（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是 分；
（4）若学生竞赛成绩达到 85 分以上（含 85 分）为优秀，请你估计全校 2000 名学生中优秀学生的人数.
21.（本题满分 9 分）在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，延长CA至点D，以AD为直径的⊙O交
BA的延长线于点E，过点E作⊙O的切线交BC的延长线于点F.
（1）求证：BF=EF；
（2）若OA=AB=5，BE=13，求BF的长.
22.（本题满分 10 分）为增强学生的科技兴趣与实践能力，某中学计划采购一批科技产品，包括无人机和遥控车。已知某品牌无人机的单价比遥控车的单价高出 40 元，用 2400 元购买无人机的数量是用 2000 元购买遥控车数量的.
（1）求无人机和遥控车的单价；
（2）学校在采购时遇到商家 “科技节” 促销：无人机享受七五折优惠，若计划购买无人机和遥控车共 150 个，且无人机的数量不少于遥控车数量的. 请问应如何购买，才能使总费用最低？
23.（本题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx 2的图象与反比例函数y=的图象交于点A(1, 4)，B( 2,n)两点.（图形略）
（1）求反比例函数的关系式和一次函数的关系式；
（2）如图 1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若△ABC的面积为 6，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形BCMN是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.
24.（本题满分 12 分）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx 3与x轴交于A( 1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于C点。设抛物线的对称轴为直线l，点M为抛物线上一点.（图形略）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，点M在直线l右侧，且点M的纵坐标大于 3，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N，若tan∠MCN=，求点M的坐标.
（3）如图 2，连接AC，BC，若M点在抛物线上B，C两点之间，过点M作AC的平行线交BC于点P，求PM最大值及此时M点的坐标.
25.（本题满分 12 分）
【结论探究】（1）如图 1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90 ，点D是BC上一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转90 得到AE，连接EC.
①求证：BD=CE；
②如图 2，若M为DE的中点，延长CM至点F，使FM=CM，连接BF，试判断△BDF的形状，并证明你的结论；
【拓展应用】（2）如图 1，在等边△ABC中，D是△ABC内一点，将BD绕点D逆时针旋转120 得到DE，取AE的中点M，连接DM，CD，若BC=，BD=2，∠DBC=30 ，求DM的长.
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.的相反数是（ B ）.
A. B. C. D. 5
2.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ B ）.
3.我国新能源汽车产销量逐年增加，预测 2025 年我国新能源汽车销量将达 16500000 辆。将数据 16500000 用科学记数法表示为（ C ）.
A. 1.65×105 B. 1.65×106 C. 1.65×107 D. 1.65×108
4.若从一个正n边形的一个顶点出发可以画 2 条对角线，则n是（ A ）.
A. 五 B. 六 C. 七 D. 八
5.如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1=30°，则∠2=（ C ）.
A. 80 B.70° C. 60 D. 50
6.下列代数式运算正确的是（ D ）.
A. += B. ( 2b3)2= 6b6 C. 5+=5 D. (a b)(a2+ab+b2)=a3 b3
7.已知点A( 4,y1)、B( 1,y2)、C(2,y3)都在反比例函数y=(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ A ）.
A. y38.2025 年春节档热映多部精彩电影。小明、小亮分别从如图所示的四部影片中随机选择一部观看，则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ C ）.
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，∠BAC=108 ，∠B=36 分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE分别交AC、BC于点F、G，以G为圆心，GC长为半径作弧，交BC于点H，连结AG，AH. 下面结论错误的是（ D ）.
AH=2GF B. ∠C=2∠BAH C. BG2=BC·CG D. =
10.定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x<0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互相关函数。例如：正比例函数y=x，它的相关函数为y=，已知点M，N的坐标分别为( ,1)，(,1)，连结MN，若线段MN与二次函数y=x2 4x+m(m>0)的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ A ）.
A. 1≤n<5 B. 1二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。请直接填写答案.）
11.因式分解m2 3m= m(m﹣3) .
12.现有下列长度的四根木棒：3，6，9，11，从中任取三根，可以组成三角形的概率为 .
13.一把折扇展开后如图所示，其纸面部分近似的看作是两个扇形围成的，其中∠AOD=150 ，OB=1，AB=2，则折扇纸面部分的面积是 .
14.虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒 U 形管自动流动的过程。如图 1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高 16cm，设甲容器中的液面高为y1（单位：cm），乙容器中的液面高为y2（单位：cm），小明绘制了y1，y2关于时间x（单位：s）的函数图，如图 2 所示。当甲容器中的液面比乙容器中的液面低 2cm 时，x的值为 .
15.正方形ABCD中，AB=6，O是BC边的中点，点E是平面内一动点，OE=2，将线段DE绕点D逆时针旋转90 得DF，则OF最大值为 2+3 .
三、解答题（本大题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16.（本题满分 7 分）计算：+( 1)0 () 1+∣ ∣﹣2cos45
=2+1﹣2+﹣
=2﹣1
17.（本题满分 7 分）解不等式组：，并求它的所有整数解.
解：解不等式①得，x <3;
解不等式②得，x ≥-2,
原不等式组的解集为：-2≤ x <3,
不等式组的整数解为：-2,-1,0,1,2.
18.（本题满分 7 分）如图，在□ABCD中，点E、F在BD上，且DE=BF，求证：∠AED=∠CFB
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AD // CB , AD = CB
∴∠ADE =∠CBF
∵DE=BF
∴△ADE≌△CBF
∴∠AED =∠CFB .
19.（本题满分 8 分）汽车尾气对环境的污染一直是一大难题，近几年新能源汽车特别是电车内环保特性、能源节约、低噪声作出了巨大贡献，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，某校数学实践小组开展了测量该小区充电站长度的实践活动，在实地测量后填写了活动报告，报告部分内容如下表:
如图是矩形PQMN 充电站的平面示意图，矩形ABCD 是其中一个停车位， GH⊥CD , GH 是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列决定．
根据以上信息回答下列问题：
（1）求充电站的宽MN的长；
（2）该充电站有 30 个停车位，求QM的长.（参考数据：sin53 ≈0.80，cos53 ≈0.60）
解：(1）∵四边形PQMN 是矩形
∴∠N =90°
∵四边形 KLRT 是矩形，
∴RL = KT =6.2
∴TM =1.8
∴KM = KT + TM =6.2+1.8=8
在Rt△KNM 中，∠NKM =53°, KM=8
∴MN = KM·sin 53°=8x0.8=6.4.
答：充电站的宽 MN 的长约为6.4m.
四边形 PQMN 是矩形
∴KN∥RM
∴∠RMK =∠NKM =53°
在 Rt△RTM 中, RM =1.8÷0.6=3
由题意得 AB = RL =6.2,∠ABQ =∠RMT T =53°
在Rt△ABQ 中, BQ = AB ·cos53=6.2x0.6060=3.72
∵该充电站有30个停车位,
∴QM =BQ+30RM=3.72+3030×3=93.72。
答: QM 的长约为93.72m.
20.（本题满分 8 分）为深入学习 2025 年全国两会精神，某校开展了以 “学习两会精神，永远跟党走，奋进新征程” 为主题的知识竞赛，发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于 60 分。现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中 “80≤x<90” 这组的数据如下：83，83，84，84，85，86，87，87，87，88，89，89.
根据以上信息，解答下列问题。
（1）a= ，m= ；
（2）扇形统计图中 3 组的圆心角度数是 度；
（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是 分；
（4）若学生竞赛成绩达到 85 分以上（含 85 分）为优秀，请你估计全校 2000 名学生中优秀学生的人数.
(1)10;40 （2）86.4 (3)87
(4)2000x3=1120
答:优秀的人数是1120人.
21.（本题满分 9 分）在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，延长CA至点D，以AD为直径的⊙O交
BA的延长线于点E，过点E作⊙O的切线交BC的延长线于点F.
（1）求证：BF=EF；
（2）若OA=AB=5，BE=13，求BF的长.
(1)连接 OE
∵OA = OE
∴∠AEO =∠EAO
∵∠EAO=∠BAC
∴∠AEO =∠BAC
∵∠ACB =90
∴∠BAC +∠ABCC =90°
∵EF切⊙O于点 E
∴OE⊥EF
∴∠OEA+∠AEF =90°
∴∠ABC =∠AEF
∴BF = EF
(2)连接ED
∵AD 为直径
∴∠AED =90°
∵AE = BE - AB =13-5=8
∴DE=6.
∵∠FEB +∠BEO =∠BEO+ ∠OED =90°
∴∠FEB =∠OED ,
∵OE =OD
∴∠D =∠OED ,
又∵∠ABC =∠AEF , ∠B =∠D
∴△OED∽△FEB
∴=
∴BF=
22.（本题满分 10 分）为增强学生的科技兴趣与实践能力，某中学计划采购一批科技产品，包括无人机和遥控车。已知某品牌无人机的单价比遥控车的单价高出 40 元，用 2400 元购买无人机的数量是用 2000 元购买遥控车数量的.
（1）求无人机和遥控车的单价；
（2）学校在采购时遇到商家 “科技节” 促销：无人机享受七五折优惠，若计划购买无人机和遥控车共 150 个，且无人机的数量不少于遥控车数量的. 请问应如何购买，才能使总费用最低？
解:(1)设遥控车的单价为×元,则无人机的单单价为( x +40)元。
根据题意得：=×
解得 x =80
经检验， x =80是原方程的解
x +40=80+40=120.
答：遥控车单价为80元，无人机的单价为120元．
(2）设购买无人机 m 个，则购遥控车（150- m）个，学校花费 W元
∵无人机的数量不少于遥控车数量的
∴m ≥=(150- m )，解得 m ≥60
根据题意得： W =120x0.75m+80(150- m )=10m+12000
∵10>0，当 m =60时，W取最小值，此时150- m =150-60=90
购买无人机60个，购买遥控车90个，学校花费最少．
23.（本题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx 2的图象与反比例函数y=的图象交于点A(1, 4)，B( 2,n)两点.（图形略）
（1）求反比例函数的关系式和一次函数的关系式；
（2）如图 1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若△ABC的面积为 6，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形BCMN是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1）把 A (1,-4）代入 y =kx -2得， k=-2
∴一次函数的表达式为 y =-2x-2
把 A (1.-4)代入y=得，m =-4
∴反比例函数的表达式为y=
（2）C（﹣1，4）
（3）N（6，﹣2）或（﹣1，1.5）
24.（本题满分 12 分）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx 3与x轴交于A( 1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于C点。设抛物线的对称轴为直线l，点M为抛物线上一点.（图形略）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，点M在直线l右侧，且点M的纵坐标大于 3，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N，若tan∠MCN=，求点M的坐标.
（3）如图 2，连接AC，BC，若M点在抛物线上B，C两点之间，过点M作AC的平行线交BC于点P，求PM最大值及此时M点的坐标.
（1）把A( 1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx 3得
解得
∴y=x2﹣2x 3
（2）M（，﹣）
（3）PM最大值为，此时M（1.5，﹣）
25.（本题满分 12 分）
【结论探究】（1）如图 1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90 ，点D是BC上一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转90 得到AE，连接EC.
①求证：BD=CE；
②如图 2，若M为DE的中点，延长CM至点F，使FM=CM，连接BF，试判断△BDF的形状，并证明你的结论；
【拓展应用】（2）如图 1，在等边△ABC中，D是△ABC内一点，将BD绕点D逆时针旋转120 得到DE，取AE的中点M，连接DM，CD，若BC=，BD=2，∠DBC=30 ，求DM的长.
（1）①证明： AD 绕点 A 逆时针旋转90°得到 AE
∴AD = AE , ∠DAE =90°
∵∠BAC =90°
∴∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC
即∠BAD =∠CAE
∵AB = AC
∴△BAD≌△CAE
∴BD = CE
②△ BDF 为等腰直角三角形，(5分）
证明：连接 EF ,
∵M 为 DE 的中点，
∴MD = ME ,
∵FM = CM
∴四边形 DCEF 为平行四边形
∵AB = AC ,∠BAC =90°
∴∠ABD =∠ACB =45°,.
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABD =∠ACE =45°, BD = CE
∴∠ECD =45°+45°=90°
∴平行四边形 DCEF 为矩形
∴∠FDC =90°, FD = EC
∴∠FDB =180°-90=90°
∵BD = CE
∴BD = FD
∴△BDF 为等腰直角三角形．
（2）DM=