中考数学复习知识梳理第五章四边形第20课时菱形、矩形、正方形、梯形课件（共53张PPT）

(共53张PPT)
第五章　四　边　形
第20课时　菱形、矩形、正方形、梯形
课前循环练
（限时5分钟）
1. （广东真题）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ）
C
B
3. （广东真题）如图5-20-1，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列式子中一定成立的是 （ ）
A. AC⊥BD
B. OA=OC
C. AC=BD
D. AO=OD
图5-20-1
B
4. （广东真题）方程x2=2x的解是　 　.
5. （广东真题）如图5-20-2，在☉O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为　 　.
图5-20-2
x1=0，x2=2
3
①理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系.
②探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直.探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.
课标要求
对接教材 人教：八下第十八章　平行四边形（18.2 特殊的平行四边形）
北师：九上第一章　特殊平行四边形 　
考点梳理
广东省对应考点例题
例1. 在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是 （ ）
A.∠D=90°　　　　　 B. AB=CD
C. AD=BC D. BC=CD
A
考点复习
1.矩形的概念
有一个角是　 　的平行四边形叫做矩形
直角
2.矩形的性质
（1）具有平行四边形的所有性质.
（2）矩形的四个角都是　 　.
（3）矩形的对角线　 　.
（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有　 　条对称轴
直角
相等
2
图5-20-3
B
3.矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线　 　的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是　 　的四边形是矩形
相等
直角
例3. 如图5-20-4，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定四边形ABCD是矩形的是 （ ）
A. AC=BD
B. AC⊥BD
C. OA=OC
D. AB=AD
图5-20-4
A
4.菱形的概念
有一组邻边　 　的平行四边形叫做菱形
例4. 下面四个定义中不正确的是 （ ）
A.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B.有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
D.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
相等
B
5.菱形的性质
（1）具有平行四边形的所有性质.
（2）菱形的四条边都　 　.
（3）菱形的对角线互相　 　，每条对角线平分一组对角.
（4）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有　 　条对称轴
相等
垂直
2
例5. 在菱形ABCD中，AC，BD为对角线，下列说法一定正确的是（ ）
A. AC=BD　　　　　
B. AC⊥BD
C.∠ABD=∠BAC　
D.∠BAC+∠CAD=90°
B
6.菱形的判定
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
（2）四条边　 　的四边形是菱形.
（3）对角线互相　 　的平行四边形是菱形
相等
垂直
例6. 如图5-20-5，下列选项中，能证明 ABCD是菱形的条件有 （ ）
① AC⊥BD；② BA⊥AD；③ AB=BC；④ AC=BD.
A. ①②③ B. ②③
C. ③④ D. ①③
图5-20-5
D
7.正方形的概念
有一组邻边　 　，并且有一个角是　 　的平行四边形叫做正方形
例7. 在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，∠A=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 （ ）
A. ∠D=90°　　 B. AB=CD
C. BC=CD　 D. AC=BD
相等
直角
C
8.正方形的性质
正方形具有矩形和菱形的性质：
（1）边：四条边都　 　，对边平行.
（2）角：四个角都是　 　.
（3）对角线：对角线相等且　 　，每条对角线　 　一组对角.
（4）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有　 　条对称轴
相等
直角
互相垂直平分
平分
4
例8. 如图5-20-6，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD交于点O.下列结论：① OA=OB；② ∠ACB=45°；③ AC⊥BD；④正方形ABCD有4条对称轴.上述结论正确的有 （ ）
A. ①②③④ B. ①②③
C. ②③④ D. ①③④
图5-20-6
A
9.正方形的判定
（1）有一组邻边　 　的矩形是正方形.
（2）对角线互相　 　的矩形是正方形.
（3）有一个角是　 　的菱形是正方形.
（4）对角线　 　的菱形是正方形
相等
垂直
直角
相等
例9. （1）在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该矩形成为正方形，可添加的一个条件是　 ；
（2）在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该菱形成为正方形，可添加的一个条件是　 .
AB=AD（答案不唯一）　
AC=BD（答案不唯一）　
10.平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系
（1）从边、角分析：
（2）从对角线分析：
例10. 如图5-20-7，已知 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，请你添加两个适当的条件：　 ，使 ABCD变为正方形.
图5-20-7
AB=BC，∠ABC=90°（答案不唯一）　
11.梯形的概念
只有一组对边　 的四边形叫做梯形.其中有一个角是直角的梯形叫做　 梯形，两腰相等的梯形叫做　 梯形
平行　
直角　
等腰　
例11.如图5-20-8，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=CD=4，∠A=120°，则下底BC的长为　 　.
图5-20-8
7
广东中考
1. （2022·广东题13，3分，菱形的性质）菱形的边长为5，则它的周长是
　 　.
2. （2024·广东题15，3分，菱形的性质；三角形的面积）如图5-20-9，菱形ABCD的面积为24，E是AB的中点，F是BC上的动点. 若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为　 　.
图5-20-9
20
10
高分击破
【典型考点】矩形的判定与性质 得分点分析
1. （2024·兰州）如图5-20-10，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.
　图5-20-10
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=∠ADB=90°.
············1分（利用三线合一的性质得1分）
∵CE∥AD，∴∠ECD=∠ADB=90°. ··················2分（利用平行线的性质得1分）
∵AE⊥AD，∴∠EAD=90°. ··································3分（利用垂直的定义得1分）
∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°.∴四边形ADCE是矩形. ··················4分（利用矩形的判定得1分）
　图5-20-10
（2）若BC=4，CE=3，求EF的长.

　图5-20-10
温馨提示：此类考题可能见于广东省中考数学试卷的第19题，分值一般为9分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！
【典型错例】重复证明的错误
2. 如图5-20-11， ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形.
　图5-20-11
错解分析
错解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠EAO=∠FCO.
∵EF垂直平分AC，
∴AE=CE，AF=CF，AO=CO，EF⊥AC.
又∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA）.
∴AE=CF，OE=OF.∴AE=CE=CF=AF，AC与EF互相垂直平分.
∴四边形AFCE是菱形.
剖析：该解题过程犯了重复证明的错误，在证明四边相等后，又证明了对角线互相垂直平分，这两组条件都可以判定菱形，选其中一个即可.
　图5-20-11
【生长式训练】知识生长→变式创新
3. （中考创新，原创题）如图5-20-12①，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD，并且测得AB=3 cm，BC=4 cm.
图5-20-12
知识种子：基本概念
（1）将这两张三角形纸片按图5-20-12②的方式摆放，连接BD，则AC与BD的位置关系是　 ；
图5-20-12
AC⊥BD　
种子生长：矩形的判定与性质
（2）如图5-20-12③，将图5-20-12②中的△A'C'D纸片沿射线CA方向平移，连接BC'，BA'，直至BC'∥A'D.
①判断四边形A'BC'D的形状，并说明理由；
解：①四边形A'BC'D是矩形.
理由：如图5-20-12①，
在矩形ABCD中，∠D=90°，AD=BC，AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD.
∴在图5-20-12③中，BC=A'D，∠ACB=∠C'A'D，∠D=90°.
∵BC'∥A'D，∴∠C'A'D=∠A'C'B.
∴∠A'C'B=∠ACB.∴BC'=BC.
∴BC'=A'D.∴四边形A'BC'D是平行四边形.
又∵∠D=90°，∴四边形A'BC'D是矩形.
图5-20-12
答图5-20-1
②求平移的距离AC'；
生长变式：图形变式
（3）如图5-20-13，将图5-20-12①中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α=∠BAC，得到△AC'D，过点C作AC'的平行线，与DC'的延长线交于点E，判定四边形ACEC'的形状，并说明理由；
解：四边形ACEC'是菱形.
理由：如图5-20-12①，在矩形ABCD中，AB∥CD ∴∠ACD=∠BAC.
如图5-20-13，由旋转的性质，得AC'=AC，∠AC'D=∠BAC.
∵∠CAC'=∠α，∠α=∠BAC，
∴∠CAC'=∠AC'D.∴AC∥C'E.
又∵CE∥AC'，∴四边形ACEC'是平行四边形.
又∵AC'=AC，∴四边形ACEC'是菱形.
图5-20-13
种子成树：综合创新
（4）如图5-20-14①，将图5-20-13中的△AC'D继续按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，连接CC'，取CC'的中点F，连接AF并延长至点G，使FG=AF，连接CG，C'G.
图5-20-14
①判断四边形ACGC'的形状，并说明理由；
解：①四边形ACGC'是正方形.
理由：∵F为CC'的中点，∴C'F=CF.
又∵FG=AF，∴四边形ACGC'是平行四边形.
又∵AC=AC'，∴四边形ACGC'是菱形.
∵∠AC'D=∠BAC，∠AC'D+∠DAC'=90°，
∴∠BAC+∠DAC'=90°.
∴∠CAC'=180°-（∠BAC+∠DAC'）=90°.
∴四边形ACGC'是正方形.
图5-20-14
②如图5-20-14②，将图5-20-14①中△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时点A平移至点A'，A'C与BC'交于点P，连接CC'，求tan∠C'CP的值.
图5-20-14
中考演练
（限时15分钟）
一、选择题
1. （2024·成都）如图5-20-15，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是 （ ）
A. AB=AD
B. AC⊥BD
C. AC=BD
D. ∠ACB=∠ACD
图5-20-15
C
图5-20-16
C
3. （2024·通辽）如图5-20-17， ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明 ABCD是菱形的是 （ ）
A. ∠BAC=∠BCA
B. ∠ABD=∠CBD
C. OA2+OB2=AD2
D. AD2+OA2=OD2
图5-20-17
D
图5-20-18
B
图5-20-19
B
二、填空题
6. （2024·甘孜州）如图5-20-20，在菱形ABCD中，AB=2，则菱形ABCD的周长为　 　.
图5-20-20
8
7. （2024·兰州）如图5-20-21，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F.若AD=4，则EF=　 　.
图5-20-21
2
8. （2023·陕西）如图5-20-22，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.点E在边AD上，且ED=3，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM=BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN.若PM+PN=4，则线段PC的长为　 　.
图5-20-22
三、解答题
9. （2024·广安）如图5-20-23，菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，BE=BF，求证：∠DEF=∠DFE.
图5-20-23
10. （2024·长沙）如图5-20-24，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=90°.
（1）求证：AC=BD；
图5-20-24
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形.∴AC=BD.
（2）点E在BC边上，满足∠CEO=∠COE. 若AB=6，BC=8，求CE的长及tan∠CEO的值.
答图5-20-2
命题趋势
（ 限时 5 分钟）
图5-20-25
【知识技能】 （1）如图5-20-25①，当OE⊥AC时，G，Q，C三点重合，此时OQ与OP的数量关系为　 ；
图5-20-25
【数学理解】（2）当正方形OEFG旋转到如图5-20-25②所示的位置时，猜想OQ与OP的数量关系，并说明理由；
答图5-20-3
答图5-20-3
【拓展探索】（3）在正方形的旋转过程中，
当DE=EF时，请直接写出DF的长.
答图5-20-4
答图5-20-5
命题解读：根据最新课程标准和近三年中考命题动向，预测2025年中考命题方向可能注重考查特殊四边形的基本概念、性质和判定方法，如通过具体图形判断它们的类型、计算相关角度或边长等；强调与其他几何图形的综合运用，可能与三角形、平行四边形、圆等结合；还可能会考查综合探究类题型，通过变换图形位置或构造特殊图形综合考查.