中考数学复习知识梳理第六章圆第21课时圆的有关概念及性质课件（共52张PPT）

(共52张PPT)
第六章　圆
第21课时　圆的有关概念及性质
课前循环练
（限时5分钟）
A
D
C
4. （广东真题）如图6-21-1，在△ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，且∠A+∠B=120°，则∠ANM= 　 .
图6-21-1
60°　
5. （广东真题）如图6-21-2，已知AB是☉O的直径，BC为弦，∠ABC=30°. 过圆心O作OD⊥BC交☉O于点D，连接DC，则∠DCB=　 　.
图6-21-2
30°
①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念.
②探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等. 了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.
课标要求
对接教材 人教：九上第二十四章　圆
北师：九下第三章　圆 　
考点梳理
考点复习
1.圆
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中，定点称为　 　，定长称为　 　
圆心
半径
广东省对应考点例题
例1. 下列条件中，能确定一个圆的是 （ ）
A.以点O为圆心
B.以2 cm长为半径
C.以点O为圆心，5 cm长为半径
D.经过点A
C
2.圆的对称性
（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条　 的直线，有
　 　条对称轴.
（2）圆是中心对称图形，对称中心为　 　
过圆心　
无数
圆心
例2. 下列说法中，不正确的是 （ ）
A.圆是轴对称图形，有无数条对称轴
B.圆是中心对称图形，有无数个对称中心
C. 圆的任意一条直径所在直线都是圆的对称轴
D.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B
3.与圆有关的概念
（1）弧：圆上任意　 　的部分叫做圆弧，简称弧.
（2）弦：连接圆上任意两点的　 　叫做弦.
（3）直径：经过　 　的弦叫做直径.
（4）圆心角：顶点在　 　的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在　 　，两边分别与圆还有另一个交点.像这样的角，叫做圆周角
两点间
线段
圆心
圆心
圆上
例3. 下列命题：①圆上任意两点间的部分叫弧；②圆心角相等则它们所对的弧相等；③在同一个圆中，直径是最长的弦；④直径是圆的对称轴；⑤顶点在圆上的角是圆周角；⑥顶点在圆心的角是圆心角.
其中正确的有 （ ）
A. ①③⑤ B. ②④⑥
C. ①③⑥ D. ②③⑤
C
4.圆心角、弧、弦之间的关系
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧　 　，所对的弦
　 　.
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别　 　
相等
相等
相等
图6-21-3
D
5.垂径定理及其推论
（1）垂径定理：垂直于弦的直径　 　这条弦，并且　 　弦所对的弧.
（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径　 　于弦，并且　 　弦所对的弧；
②弦的垂直平分线经过　 　，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径　 弦，并且　 　弦所对的另一条弧
平分
平分
垂直
平分
圆心
垂直平分　
平分
图6-21-4
B
6.圆周角定理及其推论
（1）圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的______
　 　.
（2）推论：①同弧或等弧所对的圆周角　 　；
②半圆（或直径）所对的圆周角是　 　，90°的圆周角所对的弦是　 　；
③圆内接四边形的对角　 　
一半
相等
直角
直径
互补
例6. 如图6-21-5，四边形ABCD内接于☉O，E为DC延长线上一点，BF为☉O的直径，连接DF，DB，∠FBD=40°，则∠BCE的度数为 （ ）
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 130°
图6-21-5
B
广东中考
1. （2023·广东题9，3分，圆周角定理的推论）如图6-21-6，AB是☉O的直径，∠BAC=50°，则∠D= （ ）
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 80°
图6-21-6
B
图6-21-7
B
3. （2022·广东题22，12分，圆周角定理的推论；等腰直角三角形；勾股定理）如图6-21-8，四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直径，∠ADB=∠CDB.
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
图6-21-8

图6-21-8
高分击破
【典型考点】圆内接四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；圆周角定理
得分点分析
1. （2022·广东改编，综合探究）如图6-21-9①，已知四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直径，∠BAC=∠ADB.
····································································
图6-21-9
（1）试说明△ABC的形状；
解：（1）∵AC为☉O的直径，
∴∠ABC=90°.
··············1分（利用“直径所对的圆周角是直角”得1分）
∵∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠ADB，
··············2分（利用“同弧所对的圆周角相等”得1分）
∴∠BAC=∠ACB.∴AB=BC. ··················3分（利用等量代换，等角对等边得1分）
∴△ABC是等腰直角三角形. ··············4分（利用等腰直角三角形的判定得1分）
图6-21-9
图6-21-9
②将△ABD沿BD所在的直线折叠（如图6-21-9②），得到△A'BD，连接A'C，求∠BA'C的度数.

图6-21-9
∴折叠后，点A的对应点A'恰好落在DC上. ·······10分（确定点A'的位置得1分）
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+60°=105°， ····························11分（求出∠BAD的度数得1分）
∴∠BA'D=∠BAD=105°. ···································12分（利用折叠的性质得1分）
∴∠BA'C=180°-∠BA'D=180°-105°=75°. ····························13分（求出∠BA'C的度数得1分）
图6-21-9
温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第22题，分值一般为13分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！
【典型错例】无图题考察圆周角的应用时没有分类讨论导致漏解
2. 已知☉O是△ABC的外接圆，过顶点A，B分别作☉O的切线，它们交于点P，若∠APB=50°，求∠ACB的度数.
答图6-21-1

图6-21-10
图6-21-11
60°　
120°　
<
种子生长：垂径定理
（2）若AE=CD，BE=2，求☉O的半径；
答图6-21-2
生长变式：图形变式
（3）如图6-21-12，在（2）的条件下，延长AG，DC交于点F，连接DG.若G是AF的中点，求AG的长；
　图6-21-12
解：如答图6-21-3，连接BG.
∵AB是☉O的直径，∴∠AGB=90°.∴∠B+∠BAG=90°.
∵AB⊥CD，∴∠AEF=90°.∴∠F+∠BAG=90°.
∴∠B=∠F.
∵∠ADG=∠B，∴∠ADG=∠F.
又∵∠DAG=∠FAD，∴△ADG∽△AFD.
　答图6-21-3
　答图6-21-3
答图6-21-4
答图6-21-4
答图6-21-5
中考演练
（限时15分钟）
一、选择题
1. （2024·湖南）如图6-21-13，AB，AC为☉O的两条弦，连接OB，OC.若∠A=45°，则∠BOC的度数为 （ ）
A. 60° B. 75°
C. 90° D. 135°
图6-21-13
C
图6-21-14
B
图6-21-15
C
4. （2024·广元）如图6-21-16，已知四边形ABCD是☉O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC=128°，则∠CDE等于 （ ）
A. 64°
B. 60°
C. 54°
D. 52°
图6-21-16
A
5. （2024·通辽）如图6-21-17，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心.若AB=1 m，CD=2.5 m，则拱门所在圆的半径为 （ ）
A. 1.25 m B. 1.3 m
C. 1.4 m D. 1.45 m
图6-21-17
B
二、填空题
6. （2024·苏州）如图6-21-18，△ABC是☉O的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠A=　 　°.
图6-21-18
62
7. （2024·巴中）如图6-21-19，四边形ABCD为☉O的内接四边形. 若四边形ABCO为菱形，则∠ADC的大小为　 　.
图6-21-19
60°
8. （2024·牡丹江）如图6-21-20，在☉O中，直径AB⊥CD于点E，CD=6，BE=1，则弦AC的长为　 　.
图6-21-20
三、解答题
9. （2024·安徽）如图6-21-21，☉O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交☉O于另一点F，FA=FE.
（1）求证：CD⊥AB；
（1）证明：∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA.
∵∠FAE=∠FCB，∠FEA=∠CEB，∴∠FCB=∠CEB.
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE.
∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠FCB=90°.
∴∠DCE+∠CEB=90°.∴∠CDE=90°.∴CD⊥AB.
图6-21-21
（2）作FM⊥AB，垂足为M，若OM=OE=1，求AC的长.
图6-21-21
10. （2024·浙江）如图6-21-22，在圆内接四边形ABCD中，AD（1）若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数；
图6-21-22
（1）解：∵CD为直径，
∴∠CAD=90°.
∵∠ADC=∠AFE=60°，
∴∠ACD=90°-∠ADC=30°.
∴∠ABD=∠ACD=30°.
（2）求证：①EF∥BC；
（2）证明：①∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠AFE=∠ADC，∴∠AFE+∠ABC=180°.∴EF∥BC.
图6-21-22
②EF=BD.
答图6-21-6
命题趋势
（ 限时 5 分钟）
（教材改编）如图6-21-23，△ABC内接于☉O，连接AO并延长交BC于点D，且AD⊥BC于点D.
【知识技能】（1）如图6-21-23①，求证：∠B=∠C；
图6-21-23
（1）证明：∵AD⊥BC，AD过圆心O，
∴BD=CD.∴AB=AC.∴∠B=∠C.
答图6-21-7
【拓展探索】（3）如图6-21-23③，在（2）的条件下，过点A作AF⊥CE交CE的延长线于点F，若AE=5，AB=13，求AF的长.
答图6-21-8
命题解读：根据最新课程标准和近三年中考命题动向，预测2025年中考命题方向可能注重考查圆的基本概念、性质和定理，如圆的对称性、圆周角定理、垂径定理等；强调与三角形、四边形等几何图形的综合运用，可能涉及三角形的相似、三角函数等知识；还可能会考查综合探究类题型，通过变换图形位置或构造特殊图形综合考查.