中考数学复习专练三圆的综合题课件（共41张PPT）

(共41张PPT)
专练三　圆的综合题
与圆有关的常考题型与方法总结
类型 常考问题设计 解题通用技法
母题
（证明两个角
相等） 证明两角相等的方法：
1.计算法：
①证明两个角的度数相同；
②利用三角函数
2.几何证明法：
①利用圆周角定理；
②利用圆内接四边形的性质；
③证明等腰三角形；
④同角或等角的余角（补角）相等；
⑤证明全等或相似三角形；
⑥利用平行线的性质
答图Z3-1
以下对于上述母题设计若干常考问题，并进行分析
类型 常考问题设计 解题通用技法
求线段长 　　　　　　 　　　　　　　　　　
（1）如图Z3-2，若BE=2，CD=8，求AD的长.
图Z3-2 求线段长的方法：
1.若题干中作辅助线后有直角三角形存在，考虑用勾股定理求长度；
2.若题中无直角三角形时，考虑用三角形相似或特殊角的三角函数求长度；
3. 若题干中含有30°，45°，60°等角度或出现三角函数sin α，cos α，
tan α时，考虑用三角函数求长度
答图Z3-2
类型 常考问题设计 解题通用技法
证明两条
线段相等 （2）如图Z3-3，若AD=GD，求证：△FCG为等腰三角形.
　
图Z3-3 证明两条线段相等的方法：
1.若所证两条线段相连且不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰三角形的性质（等角对等边）来证明；
2.若所证两条线段在不同的两个三角形中，则可考虑利用两个三角形全等来证明；
3.若所证两条线段相连且共线，则可以考虑等腰三角形“三线合一”或直角三角形“斜边上的中线等于斜边的一半”来证明；
4.若所证两条线段在同一个特殊四边形中，则可考虑利用特殊四边形的性质来证明
证明：∵A，D，C，G四点共圆，
∴∠FGC=∠ADC=∠AGD，∠FCG=∠GAD.
∵AD=GD，
∴∠GAD=∠DGA.
∴∠FCG=∠FGC.
∴FC=FG.
∴△FCG为等腰三角形.
图Z3-3
类型 常考问题设计 解题通用技法
证明两条
线段垂直 （3）如图Z3-4，若DG是☉O的直径，连接BG，求证：BG⊥AF.
图Z3-4 证明两条线段垂直的方法（要证两条线段垂直，即要证两条线段所夹的角为90°）：
1.证明图中另外的线段与所要求证的两条垂直线段中的一条线段平行，根据垂直于同一直线的两条直线平行证得；
2.设法将两条垂直的线段构成的夹角放在一个三角形中，通过角度间的等量代换，证得其余两角之和为90°
证明：由题意可得∠DAB=∠DGB，OA=OD，
则∠OAD=∠ODA.
∴∠ODA=∠DGB.
∴AD∥GB.
∴∠DAG=∠BGF.
∵DG是☉O的直径，
∴∠DAG=90°.
∴∠BGF=∠DAG=90°，即BG⊥AF.
图Z3-4
类型 常考问题设计 解题通用技法
证明两直
线平行 （4）如图Z3-5，若FC=FG，求证：AD∥GC.
　 图Z3-5 证明两直线平行的方法：
1.根据同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的方法证明，通过角度间等量代换或找到相等的角或互补的角即可；
2.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
证明：∵A，D，C，G四点共圆，
∴∠FCG=∠DAG.
∵FC=FG，
∴∠FCG=∠FGC.
∴∠DAG=∠FGC.
∴AD∥GC.
类型 常考问题设计 解题通用技法
证明直线
与圆相切 （5）如图Z3-6，设BG与CD交于点H，M是DF上一点，且MH=MG.求证：MG是☉O的切线.
图Z3-6 证明直线与圆相切的方法：
1.定义法：若直线与圆有唯一公共点，则直线与圆相切；
2. d=r法：证明圆心到直线的距离d等于该圆的半径r，就能判定直线与圆相切；
3.利用“切线的判定定理”证明，即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证明：如答图Z3-3，连接OG，则OG=OB=OA.
∴∠OGB=∠B.
∵CD⊥AB于点E，
∴∠BEC=90°. ∴∠BHE+∠B=180°-90°=90°.
∵MH=MG，
∴∠MGH=∠MHG=∠BHE.
∴∠OGM=∠MGH+∠OGB=∠BHE+∠B=90°.
∴MG⊥OG.
∵OG是☉O的半径，且MG⊥OG，
∴MG是☉O的切线.
答图Z3-3
题型一：圆的有关性质综合题
例1.如图Z3-7，四边形ABCD内接于☉O，AB=AC，∠ABD=∠CBE，D，C，E三点共线.
图Z3-7
（1）证明：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，即∠ABC=∠DBE.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∴∠DBE=∠ACB.
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠DBE=∠ADB.
∴BE∥AD.
图Z3-7
（1）求证：BE∥AD；
（2）解：如答图Z3-4，设BE与☉O交于点M，连接MC，过点M作MN⊥CE于点N.
∵∠ABC=∠DBE，∠BDE=∠BAC，
∴∠E=∠ACB.
∵∠DBE=∠ACB，
∴∠E=∠DBE.
∵四边形DBMC内接于☉O，
∴∠DBE+∠DCM=180°.
答图Z3-4
答图Z3-4
题型二：圆与相似三角形
例2.如图Z3-8，在☉O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF.
（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是☉O的切线；
图Z3-8
（1）证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA. ∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC=90°.
又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°.∴OB⊥FB.
∵点B在☉O上， ∴BF是☉O的切线.
（2）求证：GB2=GD·GF；
答图Z3-5
图Z3-8
如答图Z3-5，连接OC.
设圆的半径为r，则OC=r，OE=r-9.
在Rt△OCE中，由勾股定理，得CE2+OE2=OC2，
即122+（r-9）2=r2.
解得r=12.5.
∴☉O的半径为12.5.
答图Z3-5
图Z3-9
（1）证明：如答图Z3-6，连接OE.
∵CD为☉O的直径，
∴∠CED=90°. ∴∠OED+∠OEC=90°.
∵OC=OE，
∴∠OEC=∠OCE. ∴∠OCE+∠OED=90°.
∵∠PEF=∠DCE，
∴∠PEF+∠OED=90°.∴∠OEP=180°-∠OED-∠PEF=180°-90°=90°.
∴OE⊥PE.
∵OE为☉O的半径，∴PE是☉O的切线.
答图Z3-6
（1）求证：PE是☉O的切线；
（2）当∠DCE=15°时，求证：AM=2ME；
答图Z3-6
（3）在点E的移动过程中，判断AN·CM是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
（3）解：在点E的移动过程中，AN·CM为定值，该定值为2r2.
∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°.
∴∠AEC=45°.
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°.
∵∠AMC=∠AEC+∠DCE=45°+∠DCE，∠ACN=∠ACO+∠DCE=45°+∠DCE，
∴∠ACN=∠AMC.
图Z3-9
图Z3-9
　图Z3-10

答图Z3-7
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若☉M的切线交x轴正半轴于点P，交y轴负半轴于点Q，切点为N，且∠OPQ=30°，试判断直线PQ是否经过抛物线的顶点？说明理由；

答图Z3-7
（3）K是☉M位于y轴右侧上的一动点，连接KB交y轴于点H，问是否存在一个常数k始终满足BH·BK=k？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由.
答图Z3-7
图Z3-11
（2）求证：△AEB∽△BEC；

答图Z3-8
∴∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°，∠BEC=180°-∠MEB=135°.
∴∠AEB=∠BEC.
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°.
∴∠ABM=∠CBE.
∴∠BAE=∠CBE.
∴△AEB∽△BEC.
答图Z3-8
（3）求证：AD与EF互相平分.
答图Z3-8
∴△AOE∽△BDE. ∴∠BED=∠AEO=90°.∴∠DEF=90°.
∴∠AFB=∠DEF.
∴AF∥DE.
由（2）知，∠AEB=135°，
∴∠AEF=180°-∠AEB=45°.
∵∠DFB=∠DAB=45°，
∴∠DFB=∠AEF.
∴AE∥FD.
∴四边形AEDF是平行四边形.
∴AD与EF互相平分.
答图Z3-8
2. （2024·凉山州）如图Z3-12，AB是☉O的直径，点C在☉O上，AD平分∠BAC交☉O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F.
（1）求证：EF是☉O的切线；
图Z3-12
（1）证明：如答图Z3-9，连接OD.
∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠OAD.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA. ∴∠DAE=∠ODA.
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE.
∵OD是☉O的半径，
∴EF是☉O的切线.
答图Z3-9
（2）连接EO并延长，分别交☉O于M、N两点，交AD于点G，若☉O的半径为2，∠F=30°，求GM·GN的值.
答图Z3-9
答图Z3-9
图Z3-13
答图Z3-10
（2）过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F.
①判断DF与☉O的位置关系，并说明理由；
答图Z3-10
②若△ABC为锐角三角形，求DF的取值范围.
答图Z3-11
答图Z3-12