湖南省衡阳县第四中学2024-2025学年高一下学期期末复习模拟卷（一） 数学试题（含解析）

衡阳县四中2024-2025学年高一下学期期末复习模拟卷（一）
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在中，点M是边所在直线上的一点，且，点P在直线上，若向量，则的最小值为( )
A.3 B.4 C. D.9
2.已知，，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知复数z满足：，且z的实部为2，则( )
A.2 B. C. D.5
4.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
5.向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则( )
A. B. C. D.
7.若，，则( )
A. B.
C. D.
8.设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线( )
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，，则正确的有( )
A. B.是与同向的单位向量
C. D.与平行
10.已知复数，则( )
A. B.
C.为纯虚数 D.z在复平面内对应的点位于第四象限
11.已知为锐角，若，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，，，且，，则____________.
13.在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知，是两个相交平面，空间两条直线、在上的射影是直线、，、在上的射影是直线，.用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件：______.
14.已知向量、满足，，，则_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15.（13分）已知，，.
（1）若，求的值：；
（2）若，求的值域.
16.（15分）已知函数部分图象如图所示.
(1)求的单调递增区间；
(2)已知，求的值.
17.（15分）已知复数（，i为虚数单位），其共轭复数为.
(1)若，求；
(2)若复数为纯虚数，求实数a的值；
(3)若复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数a的取值范围.
18.（17分）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，边长为2，且，，D是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，与平面所成的角为，求四棱锥的体积.
19.（17分）在中，已知.
（1）若，且，求的面积；
（2）若，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，，，点A，P，M三点共线，，又，，，当且仅当，即，时，等号成立，的最小值为4.故选：B.
2.答案：D
解析：因为，所以，两边除以，得．故选：D．
3.答案：B
解析：设，则，而，∴，解得，∴，故.故选：B.
4.答案：C
解析：设圆锥的高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积，故，故圆锥的体积．故选：C．
5.答案：C
解析：因为，，则，所以，在方向上的投影向量为.故选：C.
6.答案：C
解析：方法一：，，，（舍去），又，，又，，故选C.
方法二：由得，即，，又知，，又，.
.故选C.
7.答案：A
解析：将平方得，结合可得，即，即，即，故CD错误；
又，故A对，B错；故选：A.
8.答案：C
解析：对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，，因为只有一个线线垂直，所以既不能证明，也不能证明，则不一定成立，故B错误；
对于C，若，，，此时m，n分别是两平面，的法线，所以，故C正确；
对于D，若，，，则或三条直线n，l，m相交于同一点，故D错误；故选：C.
9.答案：ABC
解析：，，，故选项A正确；
，是与同向的单位向量，故选项B正确；
，，，，故选项C正确；
，与不平行，故选项D错误.故选：ABC.
10.答案：ABD
解析：，，A正确；
，B正确；
不是纯虚数，C错误；
z在复平面内对应的点位于第四象限，D正确.故选：ABD.
11.答案：AC
解析：因为，所以，选项A正确；
，选项B错误；
，选项C正确；
由，易得，所以，选项D错误.故选：AC.
12.答案：0
解析：由，，且，可得，解得；又，，且，可得，解得；所以.故答案为：0.
13.答案：，且与相交(或：，且与相交)
解析：当、是异面直线时，、在上的射影是直线、，可能平行或相交；、在上的射影是直线、，可能平行或相交；但当直线与直线，同时成立时，则可能平行；而当直线与、直线与，均相交时，则与可能相交，所以能确定与是异面直线的充分条件是，且与相交(或：，且与相交).故答案为：，且与相交(或：，且与相交)
14.答案：
解析：因为，则，可得，所以，.故答案为：.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）由可得，即，
则.
（2），
由可得，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
所以的值域为.
16.答案：(1)，
(2)
解析：(1)由函数部分图象可得，
可得函数的最小正周期，所以，可得，
又，可得，，
又，可得时，，所以，
令，，解得，，
可得的单调递增区间为，；
(2)由于，可得，
所以当的终边在第一象限时，，
所以；
当的终边在第二象限时，，
所以.
17.答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)当时，，则，
所以，.
(2)因为为纯虚数，
所以，解得.
(3)，
因为复数在复平面内所对应的点位于第二象限，所以，解得，
因此，实数a的取值范围是.
18.答案：(1)证明见解析
(2)2
解析：(1)证明：连接，设，连接.
因为三棱柱的侧面为平行四边形，所以E为的中点.
在中，因为D是的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
(2)因为为正三角形，所以，，
因为平面平面，平面平面，所以平面，
所以为与平面所成的角，所以，所以，
因为，D为中点，所以.
所以.
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理得，又，从而，
由得，从而，
所以的面积.
（2）由，
又，当且仅当时取等号，从而，所以，
又因为中，，从而，所以a的范围是.