5.2 第2课时 线段垂直平分线的性质 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
北师大版数学七年级下册
第五章 图形的轴对称
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
5.2 第2课时 线段垂直平分线的性质
5.2　简单的轴对称图形
目录
壹
学习目标
贰
新课导入
叁
新知探究
肆
随堂练习
伍
课堂小结
第壹章节
学习目标
学习目标
1.了解线段的轴对称性。
2.理解并掌握线段垂直平分线的性质。
3.能用尺规作线段的垂直平分线。
第贰章节
新课导入
新课导入
1.什么样的图形叫作轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形。
2. 下列各图中，可看作轴对称图形的是( )
A
B
C
D
B
3.线段是轴对称图形吗
第叁章节
新知探究
新知探究
A
B
在纸片上画一条线段 AB，然后对折 AB，使 A，B 两点重合，设折痕与 AB 的交点为 O. 你发现了什么？
线段垂直平分线的性质
O
AO = BO
1
线段是轴对称图形吗？如果是请描述它的对称轴的特点.
线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线 (简称中垂线).
A
B
O
知识要点
线段垂直平分线的性质
2
思考1：如图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，
点 C 是 l 上的任意一点. 在线段 AB 上画出关于直线 l 成轴对称的点 D 和 D'，连接 CD 和 CD'.
(1) 你认为线段 CD 和 CD' 之间有什么关系 说说你的理由.
D
D'
C
l
A
B
CD = CD' 且关于直线 l 对称
(2) 特别地，当点 D 与点 A 重合时，点 D' 位于什么位置 此时，线段 CD 和 CD' 之间还有 (1) 中的关系吗 由此你能得到什么结论
点 D' 与点 B 重合，线段 CD 和 CD' 之间还有 (1) 中的关系：CD = CD' 且关于直线 l 对称.
D
D'
C
l
A
B
结论：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
你能验证这个结论吗
已知：如图，MN ⊥ AB，垂足为点 C，AC = BC，点 P 是直线 MN 上的任意一点.
试说明：PA = PB.
证一证
C
B
P
N
A
M
∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA = PB.
解：∵MN⊥AB，
∴∠PCA = ∠PCB = 90°.
在△PCA 和△PCB 中，
AC = BC，
∠PCA =∠PCB，
PC = PC，
知识要点
B
P
A
l
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
几何语言：
因为点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，
所以 AP = BP.
利用尺规作线段的垂直平分线
3
思考 2：如图，已知线段 AB，如何作出它的垂直平分线 假设线段 AB 的垂直平分线已作出，那么
(1) 这条直线有什么特征
(2) 如何确定这条直线上的两个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试.如果只用尺规呢 与同伴进行交流.
A
B
注意：需要确定的点是线段对称轴上的点，因此应当从线段两端进行“对称”的操作.
例1 利用尺规，作线段 AB 的垂直平分线.
作法：
1.分别以点 A 和 B 为圆心，以大
于 AB 的长为半径作弧，
已知：线段 AB.
求作：线段AB 的垂直平分线.
2. 作直线 CD．直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线.


A
B
C
D
两弧相交于点 C 和 D；


典例精析
作法：①以点 P 为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点 A，B；
思考3：如图，已知直线 l 和 l 上的一点 P，如何用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 能说明你的作法的道理吗
B
P
A
l
② 分别以点 A 和 B 为圆心，以大
于 AB 的长为半径作弧，
直线MN 即为直线 l 的垂线.
两弧相交于点 M 和 N，
N
M
合作探究
例2 如图，AC 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点E，AB＝12 cm，BC＝10 cm，则△BCD 的周长为(　)
A．22 cm B．16 cm
C．26 cm D．25 cm
解析：根据线段垂直平分线的性质
得 CD＝AD，故△BCD 的周长为
DC＋BD＋BC＝AD＋BD＋BC
＝AB＋BC＝12＋10＝22 (cm).故选A
A
典例精析
例3 如图，某地由于居民增多，要在公路 l 边增加一个公共汽车站，A，B 是路边两个新建小区，这个公共汽车站 C 建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
解：这个公共汽车站 C 的位置如图所示.
解析：连接 AB，作 AB 的垂直平分线交
直线 l 于点 C，交 AB 于点 E.
因为 EC 是线段 AB 的垂直平分线，
所以点 C 到 A，B 的距离相等.
此时两个小区到车站的路程一样长.
1. 如图，AB 是△ABC 的一条边，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 E，并交 BC 于点 D，已知 AB = 8 cm，BD = 6 cm，那么 EA =_____cm，DA =_____cm.
A
B
E
D
C
4
6
练一练
第肆章节
随堂练习
随堂练习
1．如图，政府计划在A，B，C三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在(　 　)．
A．△ABC三边垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
　A　
2．如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC，则点D在
(　 　)．
A．AC的垂直平分线上
B．∠BAC的平分线上
C．BC的中点
D．AB的垂直平分线上
　A　
3．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，AC的垂直平分线交边AC于点D，交边BC于点E，连接AE，求∠BAE的度数．
80°
4．如图，在△ABC中，将∠B和∠C按如图所示方式折叠，点B，C均落于边BC上一点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝94°，则∠MGE＝
　 　．
　94°　
5．尺规作图：如图，请用圆规和无刻度的直尺作出Rt△ABC中斜边AC上的中线BO．(保留作图痕迹，不要求写作法)
解：如图，线段BO即为所求．
　答案图
6．如图，A，B是小河同侧的两个村庄，为解决用水问题，两村合资在河上修建一座水站．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论)
(1)为使水站到A村和B村的距离相等，求水站的位置C；
解：(1)如图，点C即为水站的位置．
答案图
(2)如图，点D即为水站的位置．
答案图
(2)为使水站到A村和B村的水管总长最短，求水站的位置D．
7．在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．
(1)AD与BD的数量关系为　 　；
(2)求BC的长；
(3)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
　AD＝BD　
解：(2)∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC．∵△ADE的周长为6，
∴AD＋DE＋AE＝6，∴BD＋DE＋EC＝6，即BC＝6．
(3)∵l1是线段AB的垂直平分线，∴OA＝OB．
∵l2是线段AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∴OB＝OC．
∵△OBC的周长为16，BC＝6，∴OB＋OC＝10，
∴OA＝OB＝OC＝5．
答案图
(1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：在图1中作△ABC的中线AD，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE(保留作图痕迹，不写作法)．线段AC和线段BE的数量关系和位置关系是　 　；
8．已知△ABC．
　AC＝BE、AC∥BE　
解：(1)如图1，AD，DE，BE即为所求．
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，ED＝AD，∴△BDE≌△CDA，
∴BE＝AC，∠BED＝∠CAD，∴BE∥AC．
答案图1
(2)如图2，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE．
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，ED＝AD，∴△BDE≌△CDA，
∴BE＝AC，∠DBE＝∠DCA．∵∠ABC＋∠DCA＝90°，
∴∠ABE＝∠DBE＋∠ABC＝90°＝∠BAC，又AB＝AB，
∴△ABE≌△BAC，∴AE＝BC，
∴AD＝AE＝BC．
(2)当∠BAC＝90°时，如图2所示，若AD是△ABC的中线，
试探究AD与BC的数量关系，并说明理由；
答案图2
(3)当∠B＝90°时，如图3所示，若AD是△ABC的中线，AB＝3，CE⊥BC，∠ADE＝90°，CE＝5，连接AE，请直接写出AE的长．
(3)如图3，延长ED到点F，使得DF＝DE．
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD．
又∵∠BDF＝∠CDE，DF＝DE，
∴△BDF≌△CDE，
∴BF＝EC＝5，∠DBF＝∠DCE＝90°．
∵∠ABC＝90°，∴AF＝AB＋BF＝3＋5＝8．
∵DF＝DE，∠ADE＝90°，
∴AE＝AF＝8．
答案图3
第伍章节
课堂小结
课堂小结
线段
作线段的垂直平分线
概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴
线段的垂直平分线
尺规作图
轴对称性
人教版数学八年级下册
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
谢谢观看