成都市高2023级高三零诊模拟考试数学试题（含解析）

成都市高2023级高三零诊模拟考试数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、的展开式中常数项为（ ）
A 10 B 15 C 20 D 30
2、复数Z= +2i（i为虚数单位），在复平面内对应的点位于（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
3、双曲线-=1的渐近线方程为（ ）
A y=x B y=x C y=x D y=2x
4、\已知函数f(x)=lnx+（aR）的最小值为1，则a=（ ）
A B e C D 1
5、全国文明典范城市是以全国文明城市为基础的文明城市典范，是城市治理“桂冠上的明珠”，为争创全国文明典范城市，某城市特邀请甲，乙两组评委分表从公共服务，文化建设，社会治理等10个不同维度对城市建设进行评分，每个维度满分为10分，现将两组评委的评分制成如图所示的茎叶图，其中茎叶图中茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小数，则下列结论中正确的是（ ）
A 甲组评分的平均数小于乙组评分的平均数 B 甲，乙两组评分的中位数不相同
C 甲组评分的极差大于乙组评分的极差 D 甲组评分的众数小于乙组评分的众数
6、若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
7、函数f(x)= -2023|x-2|的零点个数为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
8、某学校有A，B两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐，如果某天去A餐厅，那么第二天还去A餐厅的概率为，如果某天去B餐厅，那么第二天还去B餐厅的概率为，若张同学第一天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第三天去A餐厅用餐的概率为（ ）
A B C D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9、如图，在正方体ABCD—中，已知E，F，G，H分别是，AD，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ，F， C，G 四点共面 B 直线EF//平面BD
C 平面HCG//平面BD D 直线EF和HG所成角的正切值为
记函数f(x)的导函数为(x)，若函数f(x)为奇函数，且当x（ -，0）时恒有f(x)<
(x)tanx成立，则下列结论错误的是（ ）
A f（-）>f（-） B f（-）>-f（）
C f（）>f（） D f（-）已知函数f(x)=ax（a0），则（ ）
A 若a=c=1，则函数g(x)=f(x)-2有且仅有1个零点 B 若f(x)在x=2处取得极值，则c=2
C 若f(x)无极值，则c=0 D 若f(x)的最小值小于0，则ac>0
三填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12、记函数f(x)的导函数是（x），若f(x)= （1）-，则（-1）的值为 。
13、已知直线l经过抛物线=4x的焦点，且与抛物线相交于P，Q两点，若点（-1，1）在以PQ为直径的圆上，则直线l的方程为 。
14、已知四个整数a，b，c，d满足0四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分13分）
已知函数f(x)=2sinxcosx+2cosx-1，在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足f(A)=1。
（1）求A的值；
（2）若b=1，求2+bc的取值范围。
16、（本小题满分15分）
某建设行政主管部门对辖区内A，B，C三类工程共120个项目，进行验收评估，规定评估分数在85分及其以上的项目被确定为“验收合格”项目，未达到85分的项目被确定为“有待整改”项目，现通过分层抽样的方法获得了三类工程的12个项目，其评估分数如下：A类：
88，90，86，87，79；B类：85，82，91，74，92；C类：84，90。
（1）试估算A，B，C这三类工程中每工类程项目的个数；
（2）在选取的样本中，从B类的5个工程项目中随机选取2个项目进行深度调研，求选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的概率。
17、（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱ABC—中，BC，AB=A=AC=2。
（1）求证：AC平面AB；
（2）若D，E分别为棱AB，AC上的动点，且BD=AE，当三棱锥A-DE的体积最大时，求二面角A—D—E的余弦值。
18、（本小题满分17分）
已知函数f(x)= lnx+a，其中aR。
（1）当a=-2时，求函数f(x) 的单调区间；
（2）当x>1时，若f(x)<恒成立，求整数a的最大值。
19、（本小题满分17分）
已知双曲线C： -=m（m＞0），点（5，4）在C上，k为常数，0＜k＜n(n=2，3，---)，过斜率为k的直线与C的左支相交于点，令为关于y轴的对称点，
记的坐标为（，）。
（1）若k=，求，；
（2）证明数列｛-｝是公比为的等比数列；
（3）设为的面积，证明对任意的正整数n，=。
成都市高2023级高三零诊模拟考试数学答案解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、的展开式中常数项为（ ）
A 10 B 15 C 20 D 30
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理，运用二项展开式通项公式，结合问题条件求出的展开式中的常数项就可得出选项。
【详细解答】==，由6-2r=0解得：r=3， 的展开式中的常数项为==20，C正确，选C。
2、复数Z= +2i（i为虚数单位），在复平面内对应的点位于（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【解析】
【考点】①复数定义与性质；②复数运算法则和运算的基本方法；③确定复数在复平面对应点坐标的基本方法。
【解题思路】根据复数的性质，运用复数运算法则和运算的基本方法，结合问题条件得到复数Z的代数表示式，利用确定复数在复平面内对应点坐标的基本方法得出复数在复平面内对应点的坐标，就可得出选项。
【详细解答】 Z=+2i= +2i = +2i=-1+i， 复数Z在复平面内对应点的坐标为（-1，1）位于第二象限，B正确，选B。
3、双曲线-=1的渐近线方程为（ ）
A y=x B y=x C y=x D y=2x
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②双曲线渐近定义与性质；③已知双曲线方程，求双曲线渐近线方程的基本方法。
【解题思路】根据双曲线和双曲线渐近线的性质，运用已知双曲线方程，求双曲线渐近线方程的基本方法，求出双曲线-=1的渐近线方程就可得出选项。
【详细解答】 双曲线-=1， =2，=1，==， 双曲线-=1
的渐近线方程为： y=x ， A正确，选A。
4、\已知函数f(x)=lnx+（aR）的最小值为1，则a=（ ）
A B e C D 1
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数最值定义与性质；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数和函数最值的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法和运用函数导函数求函数最值的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值就可得出选项。
【详细解答】（x）=-=，若a≤0，（x）>0在（0，+）上恒成立，
函数f(x)在（0，+）上单调递增，此时函数f(x)没有最值，显然与题意不符；若a>0，由
（x）=0解得x=a，x（0，a）时，（x）<0，，x（a，+）时，（x）>0，
函数f(x)在（0，a）上单调递减，在（0，+）上单调递增，=f(a)=lna+1=1，
lna=0，即a=1，D正确，选D。
5、全国文明典范城市是以全国文明城市为基础的文明城市典范，是城市治理“桂冠上的明珠”，为争创全国文明典范城市，某城市特邀请甲，乙两组评委分表从公共服务，文化建设，社会治理等10个不同维度对城市建设进行评分，每个维度满分为10分，现将两组评委的评分制成如图所示的茎叶图，其中茎叶图中茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小数，则下列结论中正确的是（ ）
A 甲组评分的平均数小于乙组评分的平均数 B 甲，乙两组评分的中位数不相同
C 甲组评分的极差大于乙组评分的极差 D 甲组评分的众数小于乙组评分的众数
【解析】
【考点】①茎叶图定义与性质；②数据平均数定义与性质；③数据中位数定义与性质；④数据极差定义与性质；⑤数据众数定义与性质。
【解答思路】根据茎叶图，数据平均数，中位数，极差和众数的性质，运用茎叶图的数据分别求出甲组，乙组评分的平均数，中位数，极差和众数，对各选项结论的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，==8.06，
==8.16,8.06<8.16， A正确；
对B， 甲组评委评分的中位数为=8.05，,乙组评委评分的中位数为
=8.05，8.05=8.05，B错误；对C， 甲组评委评分的极差为8.6-7.5=1.1，,乙组评委评分的极差为9.8-7.5=23，1.1<2.3，C错误；对D， 甲组评委评分的众数为8.3，,乙组评委评分的众数为7.8，8.3>7.8，D错误，综上所述A正确，选A。
6、若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法得到关于k的不等式，求解不等式求出实数k的取值范围就可得出选项。
【详细解答】 (x)= k-=，①当k0时， (x)<0在（1，+）恒成立，函数f(x)在（1，+）上单调递减，与题意不符；②当k>0时，令 (x)=0解得x=，函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增， 1，k2，综上所述，若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是[2，+），B正确，选B。
7、函数f(x)= -2023|x-2|的零点个数为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②指数函数定义与性质；③分段函数函数定义与性质；④确定函数零点的基本方法。
【解题思路】根据分段函数，指数函数和函数零点的性质，运用确函数零点的基本方法，结合问题条件得出、函数f(x)= -2023|x-2|的零点个数就可得出选项。 y
【详细解答】 f(x)= -2023|x-2|=0，=2023|x-2|， 1
在同一直角坐标系中作出函数y=和函数y=2023|x-2|的 0 1 2 x
图像如图所示，由图知函数y=和函数y=2023|x-2|有三个不同的交点，函数f(x)=
-2023|x-2|的零点个数为3个，D正确，选D。
8、某学校有A，B两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐，如果某天去A餐厅，那么第二天还去A餐厅的概率为，如果某天去B餐厅，那么第二天还去B餐厅的概率为，若张同学第一天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第三天去A餐厅用餐的概率为（ ）
A B C D
【解析】
【考点】①随机事件定义与性质；②相互独立事件定义与性质；③互斥事件定义与性质；④求随机事件，相互独立事件和互斥事件概率的基本方法。
【解题思路】根据随机事件，相互独立事件和互斥事件的性质，运用求随机事件，相互独立事件和互斥事件概率的基本方法，结合问题条件求出张同学第三天去A餐厅用餐的概率就可得出选项。
【详细解答】设张同学第三天去A餐厅用餐的事件为C，张同学第三天去A餐厅用餐有四种可能，其一是只有第餐三天去A餐厅用餐，其二是第二天与第三天去A餐厅用餐，其三是第一天与第三天去A餐厅用餐，其四是三天都去A餐厅用餐，p（C）=
+++=+++=，C正确，选C。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9、如图，在正方体ABCD—中，已知E，F，G，H分别是，AD，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ，F， C，G 四点共面 B 直线EF//平面BD
C 平面HCG//平面BD D 直线EF和HG所成角的正切值为
【解析】
【考点】①平面定义与性质；②直线平行平面判定定理及运用；③平面平行平面判定定理及运用；④异面直线所成角定义与性质。
【解题思路】根据平面和异面直线所成角的性质，运用直线平行平面和平面平行平面的判定定理，对各选项结论的正确与错误平行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，如图，连接G，F，CG，CF， F，G分别是AD，的中点，容易证明F=CG，G=CF，四边形FCG是平行四边形，F//CG，，F， C，G 四点共面，A正确；对B，如图，分别取AB，的中点M，N，连接MF，FN，EN，EM，BD， ，M，F分别是AB，AD的中点，MF//BD，MF平面BD，BD平面BD，MF//平面BD，同理可证NF//平面BD，平面MFNE//平面BD，EF//平面BD，B正确；对C，如图，分别取BC，CD的中点J，K，连接JK，KH，HG，JG，容易证明平面JKHG//平面BD，平面JKHG平面HCG=HG，平面HCG与平面BD 相交，C错误；对D，如图，设正方体ABCD—的棱长为1，FM//BD// //GH，EFM是异面直线EF与HG所成的角，,在RtEMF中，FM=BD=，EM=1，tanEFM==，直线EF和HG所成角的正切值为，D正确，综上所述，A，B，D正确， 选A，B，D。
10、记函数f(x)的导函数为(x)，若函数f(x)为奇函数，且当x（ -，0）时恒有f(x)<
(x)tanx成立，则下列结论错误的是（ ）
A f（-）>f（-） B f（-）>-f（）
C f（）>f（） D f（-）【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②正切三角函数定义与性质；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数和正切三角函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件得到函数f(x)的解析式，利用函数导函数判断函数单调性的基本方法，对各选项的正确与错误进行判断，就可得出选项。
【详细解答】设函数f(x)=，(x) ==-，当x（ -，0）时，f(x)-(x)tanx=+）=（cosx+）<0恒成立，且函数设函数f(x)奇函数，函数f(x)=符合题意，对A，f（-）=
=-，f（-）=-1，-<-1，f（-）f（-）==-，-f（）=-=-3，->-3，f（-）>-f（），B正确；对C，f（）==，f（）=-=，<，f（）-3，f（-）>f（-），D错误，综上所述，A，B，C错误，选A，B，C。
11、已知函数f(x)=ax（a0），则（ ）
A 若a=c=1，则函数g(x)=f(x)-2有且仅有1个零点 B 若f(x)在x=2处取得极值，则c=2
C 若f(x)无极值，则c=0 D 若f(x)的最小值小于0，则ac>0
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数极值（或最值）定义与性质；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数求函数极值（或最值）的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数和函数极值（或最值）的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法和运用函数导函数求函数极值（或最值）的基本方法，结合问题条件对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】当a=c=1时，函数g(x)=f(x)-2=-2+x-2=(x-2)(+1)，令g(x)=0解得：x=2，函数g(x)有且仅有一个零点x=2，A正确；（x）=3a-4acx+a=a（3x-c）(x-c)，令（x）=0解之得：x=，或x=c，函数f(x)在x=2处取得极值，c=2，或c=6，B错误；当c=0时，（x）=3a，若a>0，（x）≥0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增，此时函数f(x)无极值；若a<0，（x）≤0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递减，此时函数f(x)无极值，C正确；若a>0，c>0，x（，c）时，（x）<0，，x（c，+）时，（x）>0，函数f(x)在（，c）上单调递减，在（c，+）上单调递增，=f(c)=0，；若a<0，c<0，x（c，）时，（x）>0，，x（-，c）时，（x）<0，函数f(x)在（-，c）上单调递减，在（c，）上单调递增，=f(c)=0，D错误，综上所述，A，C正确，选A，C。
三填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12、记函数f(x)的导函数是（x），若f(x)= （1）-，则（-1）的值为 。
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数是（x），就可求出（-1）的值。
【详细解答】（x）=2 （1）x+，（1）=2 （1）+1，（1）=-1，（-1）=2+1=3。
13、已知直线l经过抛物线=4x的焦点，且与抛物线相交于P，Q两点，若点（-1，1）在以PQ为直径的圆上，则直线l的方程为 。
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②圆定义与性质；③弦长公式及运用；④线段中点坐标定义与性质；⑤圆方程的基本方法。
【解题思路】根据抛物线，圆和线段中点坐标的性质，运用弦长公式和求圆方程的基本方法，结合问题条件得到以PQ为直径的圆的方程，由点（-1，1）在圆上得到关于m的等式，从而求出m的值就可求出直线l的方程。
【详细解答】设P（，），Q（，），抛物线=4x的焦点为F（1，0），直线l经过点F，直线l的方程为x=my+1，联立直线l和抛物线方程得：-4my-4=0，+=4m，.=-4，+=m（+）+2=-4+2。线段PQ的中点坐标为（-2+1，-2m），|PQ|=4=4（1+），以|PQ|为直径的圆的方程为+=4，点（-1，1）在圆上，4+
= 4，12-4m-1=0，m=或m=-，当m=-时，以|PQ|为直径的圆不过点（-1，1），m=，直线l的方程为2x-y-2=0。
14、已知四个整数a，b，c，d满足0【解析】
【考点】①整数定义性质；②等差中项定义与性质；③等比中项定义与性质。
【解题思路】根据整数，等差中项和等比中项的性质，结合问题条件就可求出a+b+c+d的值。
【详细解答】设b=a+r，c=a+2r，d=，四个整数a，b，c，d满足00，-a=48，
4r（r-12）=3a(16-r)，12四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分13分）
已知函数f(x)=2sinxcosx+2cosx-1，在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足f(A)=1。
（1）求A的值；
（2）若b=1，求2+bc的取值范围。
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式及运用；②三角函数辅助角公式及运用；③三角形正弦定理及运用；④三角形余弦定理及运用；⑤三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）根据三角函数二倍角和辅助角公式，结合问题条件得到函数f(x)正弦型三角函数的表示式，就可求出A的值；（2）根据三角形余弦定理，结合已知条件求出c关于a的表示式，从而求出b，c的值，运用三角形面积公式就可求出ABC的面。
【详细解答】（1）函数f(x)=2sinxcosx+2cosx-1=sin2x+cos2x=2sin(2x+)，
f(A)=2sin(2A+)=1，sin(2A+)=，2A+=2k+，或2A+=2k+，
A=k，或A=k+（kZ），ABC是锐角三角形，A=；（2）b=1，A=，=1+-2c=-c+1，2+bc=2-2c+2+c=2-c+2，02+bc=2-c+2在（，2）上单调递增，2-+2=2<2+bc=2-c+2<24-2+2
=8，2+bc的取值范围是（2，8）。
16、（本小题满分15分）
某建设行政主管部门对辖区内A，B，C三类工程共120个项目，进行验收评估，规定评估分数在85分及其以上的项目被确定为“验收合格”项目，未达到85分的项目被确定为“有待整改”项目，现通过分层抽样的方法获得了三类工程的12个项目，其评估分数如下：A类：
88，90，86，87，79；B类：85，82，91，74，92；C类：84，90。
（1）试估算A，B，C这三类工程中每工类程项目的个数；
（2）在选取的样本中，从B类的5个工程项目中随机选取2个项目进行深度调研，求选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的概率。
【解析】
【考点】①分层抽样定义与性质；②分层抽样各层抽样数计算的基本方法；③组合定义与性质；④组合数计算公式及运用，⑤古典概率定义与性质；⑥求古典概率的基本方法。
【解题思路】（1）根据分层抽样的性质，运用分层抽样各层抽样数计算的基本方法，结合问题条件分别求出A，B，C这三类工程中每工类程项目的个数，就可估算出A，B，C这三类工程中每工类程项目的个数；（2）根据组合的性质，运用组合数计算公式分别求出从B类的5个工程项目中随机选取2个项目的基本事件个数和选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的基本事件个数，利用古典概率的性质和求古典概率的基本求法，就可求出从B类的5个工程项目中随机选取2个项目进行深度调研，选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目]的概率。
【详细解答】（1）设A，B，C这三类工程中每工类程项目的个数分别为x个，y个和z个， =5，x=510=50（个）， =5，y=510=50（个）， =2，y=210=20（个），估算A，B，C这三类工程中每工类程项目的个数分别为50个，50个和20个；
（2）设从B类的5个工程项目中随机选取2个项目进行深度调研，选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目]的事件为D， 从B类的5个工程项目中随机选取2个项目的基本事件个数为==10（个），选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目]的基本事件数为.= 32=6（个），p（D）==，即从B类的5个工程项目中随机选取2个项目进行深度调研，选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目]的概率为。
17、（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱ABC—中，BC，AB=A=AC=2。
（1）求证：AC平面AB；
（2）若D，E分别为棱AB，AC上的动点，且BD=AE，当三棱锥A-DE的体积最大时，求二面角A—D—E的余弦值。
【解析】
【考点】①直三棱柱定义与性质；②正方形定义与性质；③直线垂直平面判定定理及运用；④直线垂直平面性质定理及运用；⑤建立空间直角坐标系的基本方法；⑥基本不等式及运用；⑦三棱锥体积公式及运用；⑧确定空间点坐标的基本方法；⑨求平面法向量的基本方法；⑩求平面与平面所成二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，根据直三棱柱和正方形的性质，结合问题条件得到AAC，四边形AB是正方形，从而得到BA，运用直线垂直平面的判定定理，证明B 平面AC ，由直线垂直平面性质定理得到BAC ，利用直线垂直平面判定定理就可证明A C平面AB；（2）设BD=AE=n，由（1）得到A CAB，根据建立空间直角坐标系的基本方法，以点A为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz，运用三棱锥体积公式和基本不等式，求出n的值，从而得到点A，B，C，E，的坐标，求出向量，，，由求平面法向量的基本方法分别求出平面AB（0，0，2），平面EB的法向量，，利用求二面角余弦值的公式通过运算就可求出二面角A—B—E的余弦值。
【详细解答】（1）如图，在直三棱柱ABC—中，，AB=A， 四边形AB是正方形，BA，BC， A，C平面AC， AC=， B 平面AC， ACB ，A AC，A，B平面AB，AB=， AC平面AB；（2）设BD=AE=n，由（1）知A CAB，以点A为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz，AD=2-n，=n(2-n)，==n(2-n)2≤，当且仅当n=2-n，即n=1时，三棱锥A-DE的体积最大，A（0，0，0），D（1，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0），（0，0，2），=（0，2，0），=（0，-1，2），=（-1，1，0），设平面EB的法向量为=（x，y，z）， ，， .=0-y+2z=0①，.=--x+y+0=0②，联立①②解得： x=2，y=2，z=1，=（2， 2，1），平面AB的一个法向量为=（0，2，0），cos<，>=== ，二面角A—D—E的余弦值为。
18、（本小题满分17分）
已知函数f(x)= lnx+a，其中aR。
（1）当a=-2时，求函数f(x) 的单调区间；
（2）当x>1时，若f(x)<恒成立，求整数a的最大值。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数单调性定义与性质；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数单调性的性质和由函数导函数判断函数单调性的基本方法就可求出函数的单调性；（2）由f(x)<，a<，构造函数g(x)=，根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数g(x)的导函数(x)，运用函数导函数求函数最值的基本方法，求出函数g(x)的最小值就可求出整数a的最大值。
【详细解答】（1）当a=-2时，函数f(x)的定义域为（0，+），(x)= - 4x=，令(x)=0解得：x=，当x（0，）时，(x)>0，当x（，+）时，(x)<0，函数f(x)在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减；（2） f(x)<，a<，设函数g(x)=（x>1），(x)==
，设函数h(x)=2lnx+(x-2)-1（x>1）， (x)=+(x-1)>0（1，+）上恒成立，函数h(x)在（1，+）上单调递增，h()=2ln--1<0，h(2)=2ln2-1>0，存在 （，2），使函数h()=2ln+(-2)-1=0，-ln=(-1)-，当x （1，）时， (x)<0，当x （，+）时， (x)>0，函数g(x)在（1，）上单调递减，在（，+）上单调递增， = g（）===，设函数F（x）=（0在（，2）上恒成立，函数F(x)在（，2）上单调递增，当x（，2）时，F（）=1时，若f(x)<恒成立，则整数a的最大值为1。
19、（本小题满分17分）
已知双曲线C： -=m（m＞0），点（5，4）在C上，k为常数，0＜k＜n(n=2，3，---)，过斜率为k的直线与C的左支相交于点，令为关于y轴的对称点，
记的坐标为（，）。
（1）若k=，求，；
（2）证明数列｛-｝是公比为的等比数列；
（3）设为的面积，证明对任意的正整数n，=（2024全国高考新
高考II）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；③等比数列定义与性质；④证明数列是等比数列的基本方法；⑤三角形面积公式及运用；⑥两条直线平行的充分必要条件及运用。
【解题思路】（1）根据双曲线的性质，结合问题条件求出m的值，从而得到双曲线C左顶点的坐标，运用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，得到的坐标，就可求出（，）；（2）根据等比数列的性质和已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别得出1+k，1-k的表示时，运用证明数列为等比数列的基本方法，就可证明数列｛-｝是公比为的等比数列；（3）根据三角形面积公式，由（2）得到两点之间建立公式和三角形面积公式，结合问题条件得到点B到直线PA的距离，运用两条直线平行的充分必要条件和点到直线的距离公式，就可求出直线l的方程得。
【详细解答】（1）点（5，4）在C上，m=25-16=9，双曲线C的左顶点为（-3，0），过点（-3，0）和（5，4）直线的斜率k==，（-3，0），为关于y轴的对称点，=(3,0), =3,=0；（2）k=，1+k
=，1-k=， =，
=
===1，
=，数列｛-｝是公比为的等比数列；（3）=
=|（-）（-）-（-）（+）|，k== ，
设t=，=k|（-）（+）-（-）（+）|=k|-|
-=（-）==，+==，2=+，
=（+），=k|-（+）（）|=k|(
++18)-( ++9+)|=k|18-()9+)|，只与k相关，与n无关，=。