(共19张PPT)
矩 形 中 的 折 叠 问 题
（人教版）九年级
下
01
教学目标
02
情景引入
03
探究新知
04
05
能力提升
06
中考链接
07
课堂小结
08
分层作业
（人教版）九年级
下
变式训练
01
教学目标
1、通过折叠操作理解图形的轴对称变换，发展几何直观和空间想象能力，掌握图形运动中的不变性。
2、综合运用矩形性质、勾股定理、全等三角形、相似三角形、锐角三角函数等知识解决折叠问题，培养数学建模和逻辑推理能力。
教学重点：
1、轴对称性质的应用（全等线段、角度的不变性）。
2、勾股定理与方程思想解决折叠中的线段计算。
教学难点：
复杂图形中隐藏的基本图形的识别。
02
情景引入
已知，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一点，连接AE，将△ABE沿着AE折叠，点B的对应点记为B′。
问题1：根据上述步骤折纸，并画出相应图形。
问题2：观察所画图形，你能从中得到哪些特殊关系？
02
情景引入
已知，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一点，连接AE，将△ABE沿着AE折叠，点B的对应点记为B′。
问题3：在上述操作过程中，随着点E位置的变化，点B′可能落在哪些特殊位置上？矩形的翻折动画.gsp
在对角线AC上
在边AD上
在矩形ABCD外部
03
探究新知
已知，在矩形ABCD中， AD=4, AB=3，点E是BC边上的一点，连接AE，将△ABE沿着AE折叠，点B的对应点记为B′。
问题1.若点B′恰好落在对角线AC上，则BE的长是多少？
方法1：由△ADC∽△CB′E得
方法2：在Rt△CB′E中，BE=x,则CE=4-x，
解得
方法3： ，解得
方法4： ，解得
03
探究新知
方法归纳：
矩形中的折叠问题中求线段长的常用方法：
1.全等或相似三角形
2.构造直角三角形，利用勾股定理建立方程
3.利用锐角三角函数等角转换
4.等面积法
03
探究新知
已知，在矩形ABCD中， AD=4, AB=3，点E是BC边上的一点，连接AE，将△ABE沿着AE折叠，点B的对应点记为B′。
问题2.若点E与点C重合，B′C与AD的交点为F，
(1)猜想重叠部分是什么图形，并验证你的猜想。
猜想：△ACF是等腰三角形
方法1：证△AB′F≌△CDF，可得AF=CF
方法2：(AD∥BC)平行+(∠BCA=∠ACF)角分=(△ACF)等腰
03
探究新知
已知，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，点E是BC边上的一点，连接AE，将△ABE沿着AE折叠，点B的对应点记为B′。
问题2.若点E与点C重合，B′C与AD的交点为F，
(2)求AF的长和△AFC的面积
方法1：解：设AF=CF=x,则DF=4-x
在Rt△CDF中，x2=(4-x)2+32,解得
即AF= ，则S△AFC= AF·CD=
方法2：过点F作FH⊥AC，交AC于点H
03
探究新知
已知，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，点E是DC边上的一点，连接AE，将△ADE沿着AE折叠，点D的对应点记为D′。
问题3.若点D′恰好落在边BC上，则EC的长是多少？
解：在Rt△ABD′中，
设CE=x,则DE=D′E=3-x,
在Rt△ECD′中,
03
探究新知
已知，在矩形ABCD中， AD=4, AB=3，点E是DC边上的一点，连接AE，将△ADE沿着AE折叠，点D的对应点记为D′。
问题4.若以点B为原点，BC为x轴，AB为y轴建立平面直角坐标系，求折痕AE所在直线的解析式？
解：设折痕AE所在直线的解析式为y=kx+b
将A(0,3)，E(4, )代入，得
04
变式训练
变式：矩形ABCO沿对角线BO折叠，点A恰好落在反比例函数 的图象上点D处，点D恰好是BE的中点，已知C(0,2)，求反比例函数解析式？
分析：过点D作DH⊥y轴于点H
翻折的性质 OD为BE的垂直平分线
↓ ↓
OD=OA，∠ODB=∠OAB=90°∠DOB=∠AOB=∠DOE=30°
∠DOB=∠AOB
OB=4，OD=OA= ，DH= ，OH=3
05
能力提升
如图，把矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F,G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，点A的对称点为点A′，点D的对称点为点D’，若∠FPG=90°，S△A′EP=25，S△D′PH=4，则CD的长为
06
中考链接
如图，矩形ABCD中，AD=13，AB=24，点E是边AB上的一个动点，将△CBE沿CE折叠，得到△CB1E，连接AB1和DB1，若△ADB1为等腰三角形，则BE的长为
解题思路：
(1)求出矩形的相关线段长度及折叠后的等量关系
(2)分情况讨论△ADB1为等腰三角形时的情况
06
中考链接
情形1：AB1=B1D
情形2：AB1=AD
情形3：DB1=AD
07
课堂小结
1.解决矩形中的折叠问题主要运用了哪些知识点？
2.解决矩形中的折叠问题的一般解题思路是什么？
本质：
解题策略：
1.全等或相似三角形
2.构造直角三角形，利用勾股定理建立方程
3.利用锐角三角函数等角转换
4.等面积法
矩形中的折叠问题
常用方法：
翻折
轴对称变换
全等性、轴对称性
找折痕
标全等
建方程
验结果
08
分层作业
基础作业：
在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，P分别在边BC，AD上，将矩形ABCD沿直线PE折叠．
(1)如图①，若C′E与AD交于点G，且∠BEG＝76°，则∠CEP＝_____；
(2)如图②，若点C恰好落在AD边上的点C′处，且AP＝3PD，则cos ∠PC′E的值为________；
(3)如图③，若顶点C恰好落在顶点A处，则折痕PE的长为________；
(4)如图④，若点C恰好落在AB边中点C′处，则DP的长为________.
08
分层作业
拓展作业：
(2023新疆15题)如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为_______
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine《矩形中的折叠问题》教学设计
学科 数 学 年级 九年级 课型 专题课 设计者 仝 荣
课题 矩形中的折叠问题 课时 1课时
课标要求 1、通过折叠操作理解图形的轴对称变换，发展几何直观和空间想象能力，掌握图形运动中的不变性。
2、综合运用矩形性质、勾股定理、全等三角形、相似三角形、锐角三角函数等知识解决折叠问题，培养数学建模和逻辑推理能力。
教材分析 矩形折叠问题是人教版八年级下册《平行四边形》章节的延伸，其本质是轴对称变换，涉及轴对称、全等三角形、勾股定理等核心知识，解决此类问题的主要方法是通过构造直角三角形、方程思想（勾股定理）和转化思想（全等、相似）解决线段与角度计算。中考常以选择、填空或综合题形式出现。考查学生的几何直观、逻辑推理及跨知识点整合能力，是中考高频考点。
学情分析 学生已掌握矩形性质、轴对称基本概念及勾股定理，但缺乏综合应用经验，学习困难可能存在以下几方面：空间想象力薄弱，对非常规折叠图形（如斜切矩形）的三视图还原困难。步骤遗漏，易忽略折叠前后的全等关系或验证等可能性。3、计算规范性不足，线段比例与方程构建易出错。
核心素养目标 1、通过折纸操作感知图形变换，建立二维与三维的空间联系，培养几何直观。
2、利用轴对称性质、全等三角形等推导折叠中的数量关系，培养逻辑推理能力。
3、将生活问题抽象为几何模型，应用方程思想求解、培养学生数学建模意识。
教学重点 1、轴对称性质的应用（全等线段、角度的不变性）。
2、勾股定理与方程思想解决折叠中的线段计算。
教学难点 复杂图形中隐藏的基本图形的识别。
教学方法 探究式教学、信息技术辅助
教学过程（教学环节可结合学科特点自行设置）
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：情境引入 已知，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一点，连接AE，将△ABE沿着AE折叠，点B的对应点记为B′。问题1：根据上述步骤折纸，并画出相应图形。问题2：观察所画图形，你能从中得到哪些特殊关系？结论1：△ABE≌△AB′E结论2：点B与点B′关于直线AE对称，即AE是BB’的垂直平分线。结论3：点A、B、E、B′四点共圆。问题3：在上述操作过程中，随着点E位置的变化，点B′可能落在哪些特殊位置上？利用几何画板演示。在对角线AC上 在边AD上在矩形外部 小组讨论，派代表展示小组的研究成果。学生动手折一折，画一画，量一量，猜想线段、角度、三角形、点之间的特殊关系，并通过逻辑证明结论的正确性。几何画板演示折叠过程，感受折痕的几何作用，并再次验证结论的正确性。 通过动手折叠，感受折叠前后重合的角、线段相等，并体会折叠的本质是图形的轴对称变换。因为折叠而形成的图形较抽象，需要一定的空间想象能力，而这方面能力是学生较欠缺的。通过活动的设计降低折叠的难度，对折叠的几种情况进行分类。
环节二：探究新知 已知，在矩形ABCD中， AD=4, AB=3，点E是BC边上的一点，连接AE，将△ABE沿着AE折叠，点B的对应点记为B′。问题1.若点B′恰好落在对角线AC上，则 BE的长是多少？方法1：由△ADC∽△CB′E得 方法2：在Rt△CB′E中，BE=x,则CE=4-x，，解得方法3：方法4：问题2.若沿对角线AC折叠，B′C与AD的交点为F，(1)猜想重叠部分是什么图形，并验证你的猜想。(2)求AF的长和△AFC的面积 (1)猜想：△ACF是等腰三角形方法1：证△AB′F≌△CDF，可得AF=CF方法2：(AD∥BC)平行+(∠BCA=∠ACF)角分=(△ACF)等腰方法1：解：设AF=CF=x,则DF=4-x在Rt△CDF中，x2=(4-x)2+32,解得即AF=，则S△AFC=AF·CD=方法2：过点F作FH⊥AC，交AC于点H问题3.若△ADE沿AE折叠，点D′恰好落在边BC上，则EC的长是多少？解：在Rt△ABD′中，设CE=x,则DE=D′E=3-x,在Rt△ECD′中,问题4.若以点B为原点，BC为x轴，AB为y轴建立平面直角坐标系，求折痕AE所在直线的解析式？解：设折痕AE所在直线的解析式为y=kx+b 将A(0,3)，E(4, )代入，得 变式：矩形ABCO沿对角线BO折叠，点A恰好落在反比例函数的图象上点D处，点D恰好是BE的中点，已知C(0,2)，求反比例函数解析式？ 一题多解，鼓励学生用勾股定理、相似三角形或等面积法多角度解题。教师进行方法归纳，板书矩形中的折叠问题中求线段长的常用方法。学生独立思考，形成解题思路，在小组内交流，教师说明图中所包含的几何模型。学生体会由于折痕的不同，基本图形虽然发生改变，但做题的基本思路是不变的，此环节加深学生方法的应用。学生在问题3的铺垫下基本能求出解析式，关键是求出点A、E的坐标。本题的综合性较强，利用反比例函数和矩形翻折的性质求得点D的坐标进而求得函数解析式。学生独立思考后小组讨论，派代表上黑板讲解，教师总结解题思路图。 此题是典型的折叠计算的题目，目的是巩固学生对构建直角三角形运用勾股定理建立方程的熟练程度。 讲练结合，让学生在动手做题的过程中，体会解答矩形折叠问题的依据和关键。一题多变，已知条件不变，图形改变，培养学生灵活运用知识的能力。一题多解，培养学生分析问题、解决问题的能力。分析矩形放置在平面直角坐标系的背景下，点的坐标。实现了折叠问题与一次函数、反比例函数的巧妙结合，呈现了知识的延续性。
环节三：能力提升 如图，把矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F,G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，点A的对称点为点A′，点D的对称点为点D′，若∠FPG=90°，S△A’EP=25，S△D’PH=4，则CD的长为 在之前题目的铺垫下，学生掌握了基本的解题策略，但在综合性较强的题目上应用还不够灵活。 从单一折叠拓展到多次折叠，对比不同折痕位置对结果的影响，为优生提供更多类型的题目。
环节四：中考链接 如图，矩形ABCD中，AD=13，AB=24，点E是边AB上的一个动点，将△CBE沿CE折叠，得到△CB1E，连接AB1和DB1，若△ADB1为等腰三角形，则BE的长为 解题思路：(1)求出矩形的相关线段长度及折叠后的等量关系(2)分情况讨论△ADB1为等腰三角形时的情况情形1：AB1=B1D情形2：AB1=AD情形3：DB1=AD 要综合折叠前后图形全等以及勾股定理和方程的应用等知识，分情况讨论，难度较大，让学生的能力得到升华。教师展示多种情况，派学生代表分析在不同情形下BE的长如何求，主要利用的知识点是勾股定理、等腰三角形的性质及矩形翻折的性质。最终在全班展示学生的解题过程。 让学生了解中考题型和考察知识点，锻炼学生应用知识和分类讨论的能力。
总结评价 1.解决矩形中的折叠问题主要运用了哪些知识点？2.解决矩形中的折叠问题的一般解题思路是什么？ 以小组合作形式进行，全员参与，理清知识脉络。 明确矩形中的折叠问题，体会本次探究中获得的经验、方法和数学思想，培养学生用数学语言表达及概括的能力。
分层作业 基础作业：在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，P分别在边BC，AD上，将矩形ABCD沿直线PE折叠．(1)如图①，若C′E与AD交于点G，且∠BEG＝76°，则∠CEP＝_____；(2)如图②，若点C恰好落在AD边上的点C′处，且AP＝3PD，则cos ∠PC′E的值为________；(3)如图③，若顶点C恰好落在顶点A处，则折痕PE的长为________；(4)如图④，若点C恰好落在AB边中点C′处，则DP的长为________.拓展作业：如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为_______
板书设计 矩形中的折叠问题本质：翻折 轴对称变换 全等性、轴对称性解题策略：找折痕 标全等 建方程 验结果常用方法：1.全等或相似三角形2.构造直角三角形，利用勾股定理建立方程3.利用锐角三角函数等角转换4.等面积法
教学反思 本节课亮点：1.通过实物折纸操作和几何画板动态演示，学生能快速定位折叠中的对称轴（折痕），并标记折叠前后的对应点，提升学生几何直观能力。2.学生初步掌握利用勾股定理构建方程的方法，总结出“一标（全等边）、二设（未知数）、三列（方程）、四验（合理性）”四步法，增强学生方程建模能力。存在的问题：1.学生对复杂折叠分析能力不足，如对含多次折叠或非顶点折叠的题目（如将矩形内某点折叠至边中点），学生易混淆对应点，无法准确还原图形。
2.计算过程规范性欠缺，课堂练习重思路轻细节，缺少规范化板书示范，导致部分学生列方程时忽略单位一致性，或未验证解的合理性（如线段长为负数仍保留）。
3.空间迁移能力薄弱，对非矩形折叠问题（如菱形、平行四边形）的拓展题，学生难以类比矩形模型迁移解题策略。
D
A
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
