圆的综合题压轴题 冲刺练 2025年中考数学三轮复习备考

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圆的综合题压轴题 冲刺练
2025年中考数学三轮复习备考
1．如图，以的一边为直径作，与边的交点恰好为的中点，过点作．
(1)求证：为圆O的切线；
(2)连接交于点F，若，求的值．
2．如图，内接于，是的直径，点在圆上，且，过点作，垂足为点，与的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
3．中，，是其外接圆，是圆上的动点．
(1)当时（如图1）求证：；
(2)当平分时，过点作交的延长线于点．（如图2）
①求证：是的切线；
②已知，，求的长．
4．如图，四边形是圆的内接四边形，为圆的直径．以点为圆心，以小于的长为半径画弧，分别交于点；以点为圆心、长为半径画弧，与射线交于点；以点为圆心、长为半径画弧，交以点为圆心且长为半径的弧于点，射线与射线交于点．
(1)求证：是圆的切线；
(2)若，求圆的半径及的长．
5．如图，是的直径，线段，与相切于点，，点是圆上一点，，，三点在同一条直线上，且．过点作于点，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)证明：；
(3)若，的半径为1，则弧的长度为_____．（结果保留）
6．如图，在中，，，以点O为圆心、2为半径画圆，点C是上任意一点，连接．将绕点O按顺时针方向旋转，交于点D，连接．
(1)当与相切时，
求证：是的切线；
求点C到的距离．
(2)直接写出的最大值与最小值的差．
7．在人教版九年级上册数学课本页的实验与探究提及到了圆与圆位置关系，其中内切是指一个圆在另一个圆的内部，且两圆有且只有一个公共点，且过该公共点关于两圆的切线为两个圆的公切线．如图，与内切于点，的半径为，的半径为，，为与的公切线，连接交与于、两点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
8．如图，是圆的直径，是圆上不同于的一点，是的内心，的延长线交圆于点，连结．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
9．【知识技能】如图1，绕点O顺时针旋转得到，作的平分线交线段于点A，连接交于点F．
（1）求证：；
【数学理解】（2）如图2，若，以点O为圆心，长为半径作圆，求证：与相切；
【拓展探索】（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
10．已知在中，，是边上的中线．以点B为圆心，为半径的圆交线段于点E（点E不与点C、点D不重合）．
(1)如图1，如果与边交于点F，，求的度数；
(2)如图2，当时，求的正切值；
(3)如图3，以点E为圆心，为半径的与相交，其中一个交点P在边上．如果，求的长．
11．如图1，图2，点、、、是半径为5的圆的四等分点，将一个直角三角板的直角顶点与点重合，两直角边分别交于点、点（点在点的左侧），直线交直线于点．
(1)①尺规作图：在图1上作出圆的切线（点在点的左侧），切点为（保留作图痕迹，不写作法）；
②在①的条件下，连接，若，求的度数；
(2)在图2中，若是的中点，求的长度；
(3)连接，若，求的长．
12．如图1，是的直径，点是圆上一点（，除外），点，在上，满足的延长线分别交于点．记，
(1)若，求的度数；
(2)连结，求证：；
(3)如图2，连结并延长，交于点，若，
①求的值；
②请直接写出的值
参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理可求出，根据切线的性质可证明，进而得证．
（2）连接．根据圆周角定理得到．故设，则，．根据相似三角形的性质得到，，于是得到结论．
【详解】（1）证明：连接．
为中点，为中点，
．
，
，且点在上，
是的切线；
（2）解：连接．
，
．
为的直径，
．
又为的中点，
．
，
故设，则，．
在中，，
，
．
，
．
，
．
．
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、直径对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质、解直角三角形．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
2．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质得出，得出，证出，根据平行线的性质得出，即可证明；
（2）根据圆周角定理得出，证明，得出，证明，即可得，求出，，，，证明，得出，即可求解．
【详解】（1）解：连接，
，
弧弧，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，，
，
，
，
．
【点睛】该题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，切线的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
3．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题考查全等三角形的判定，圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．
（1）明确两个三角形中相等的边和角．根据全等三角形判定定理得出结论．
（2）①利用角平分线和圆的性质求出相关角度关系．根据平行线的性质和角度关系得出，进而可得结论．
②利用勾股定理求出的长度．证明，根据相似三角形对应边成比例求出的长．
【详解】（1）证明：在和中，
，
．
（2）①连接，
平分，
，
，即．
，
，
．
是的切线．
②解：过点A作，垂足为M，
，
，
四边形是正方形，
在中，，根据勾股定理，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
答：的长为．
4．(1)见解析
(2)圆的半径为，
【分析】（1）由作图可知，圆周角定理结合角的和差关系，推出，即可得证；
（2）延长，交于点，圆周角定理，得到，解直角三角形，直角三角形，求出的长，勾股定理求出的长，即可得到半径的长，证明，求出的长即可．
【详解】（1）证明：由作图可知．
是圆的直径，
，
，
，
即，
∴，
是圆的直径，
是圆的切线．
（2）如图，延长，交于点．
是圆的直径，
．
，，
，
，
，
，
，
圆的半径为．
由（1）知，
又∵，
，
，即．
．
【点睛】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，切线的性质与判定以及切线长定理，求弧长，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）连接，，证明得出，根据是的切线，是半径可得出则，即可得证；
（2）证明，得出，根据则，同理可证，，根据平行线分线段成比例得出，即可得出则；
（3）先求得，进而根据弧长公式，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，，
，，，
．
．
是的切线，是半径，
．
．
是半径，
是的切线．
（2）由（1）已证．
，．
．
．
．
，
．
．
，
．
．
同理可证，．
，是的切线，
．
．
，
同理可证，，
．
．
．
．
（3）解：∵，，
∴
，是的切线，
∴
∵的半径为1，则弧的长度为
故答案为：．
6．(1)详见解析；
(2)
【分析】（1）由切线的性质得，再证，根据全等三角形对应角相等，可得，即可证明是的切线；过点C作，垂足为E，则即为点C到的距离，根据即可求解；
（2）作直线于点H，交于和，当点C位于处时，取最小值，当C位于处时，取最大值，则最大值与最小值的差为．
【详解】（1）证明：∵与相切，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴．
∴．
又∵是的半径，
∴是的切线；
如图，过点C作，垂足为E，则即为点C到的距离，
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
即点C到的距离为．
（2）解：中，，，
∴．
如图，作直线于点H，交于和，
由题意知，当点C位于处时，取最小值，当C位于处时，取最大值，
∴的最大值与最小值的差．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆到直线的距离，解题的关键是掌握切线的判定方法，找出取最值时点C的位置．
7．(1)见解析；
(2)．
【分析】根据切线的性质和圆周角定理可证，，根据可证，从而可证；
由可知，又有，可证，根据相似三角形的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，，设，则，利用勾股定理可得，，，再利用相似三角形的性质可得 ，从而可求．
【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接，连接，
为与的公切线，为的半径，
，
，
，与内切，
、、三点共线，
又为的直径，
，
，，
，
，，
，
又，
，
；
（2）解：，，
，
，，
，，
，
设，则，
在中，
，
解得：，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质、勾股定理，本题的综合性较强，解决本题的关键需要熟练地掌握图形的性质，并综合运用这些性质．
8．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）由内心的定义求得，，推出，根据三角形的外角性质得到，再利用圆周角定理求得，推出是等腰直角三角形，即可证明；
（2）作于点，由垂径定理求得，证明是的中位线，推出，证明是等腰直角三角形，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：作于点，
∴，
由（1）知是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了内心的定义，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
9．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）分别证明，，结合，可得结论；
（2）先证明，结合（1）得，可得，可得．如图，过点O作于点G，则．证明，进一步可得结论；
（3）由旋转的性质，得，，，证明．设，由（2）得，，利用勾股定理可得，可得．再证明，进一步利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】证明：（1）∵绕点O顺时针旋转得到，
∴．
∵平分，
∴．
又，
∴．
（2）∵绕点O顺时针旋转得到，
∴，，．
∵，
∴．
∴．
由（1）得，
∴．
∴．
∴．
∴．
如图，过点O作于点G，则．
又，，
∴．
∴．
∵为的半径，
∴与相切．
（3）由旋转的性质，得，，．
又，
∴．
设，由（2）得，，
．
在中，，
∴，即．
解得．
∴，，．
∵，，
∴．
∴，
即．
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，旋转的性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
10．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由弧等得到，由直角三角形斜边上中线的性质得到，然后根据等边对等角以及三角形的外角性质得到，最后在中，由三角形内角和定理建立方程求解；
（2）过点作于点，由垂径定理得到，设，则， 那么，则，故，由勾股定理得，再由正切的定义即可求解；
（3）连接，先证明，再证明，则，设，则，代入解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：如图：
∵，
∴，
设，
∵，是边上的中线，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，即；
（2）解：过点作于点，
∵过圆心，
∴，
∵，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
由上知，
∵，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
整理得：，
解得：或（舍），
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及圆心角和弧之间的关系，圆与圆的位置关系，垂径定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握并运用圆的相关性质是解题的关键．
11．(1)①见解析；②
(2)
(3)或30
【分析】（1）①连接，过点作的垂线即可；②由题意可得是直径，连接，由切线的性质可得，由等边对等角可得，即可得解；
（2）连接，由题意可得是直径，连接，由切线的性质可得，证明是等边三角形，求出，再由弧长公式计算即可得解；
（3）分两种情况：点在上；当点在上；分别求解即可得解．
【详解】（1）解：①如图，切线即为所作，
；②如图1，
是直径，
连接，
是圆的切线，是切点，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，连接，
，
是直径，
与的交点为，
连接，
，
是的中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（3）解：如图3，点在上，
由（2）得是圆的直径，
，
过点作于点，
，
过点作于点，
，
，
连接，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
如图4，当点在上，
同上可得，，
，
，
，
，
所以的长为或30．
【点睛】本题考查了作垂线，切线的性质，求弧长，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
12．(1)
(2)见解析
(3)①；②
【分析】（1）由题易得，再根据，，可得，，进而得解；
（2）由（1）方法可得，连接，，易得是等腰直角三角形，从而得证；
（3）①先证，得，再根据，设，，则，利用相似比得解；
②连接、，过作于点，先证是等腰直角三角形，得，进而利用勾股定理求得，进而证，所以，利用等面积勾股定理求得，所以，再求出，即可得解．
【详解】（1）解：是的直径，
，
，
，
，，
，，
；
（2）证明：是的直径，
，
，
，
，，
，，
．
连结，，
则，
，
，
；
（3）解：①四边形是圆内接四边形，
，，
，
，
，
设，，则，
，，
，
；
②连接、，过作于点，
由①得，，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
由等面积可得，
，
，
，
．
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