广东省湛江市雷州市第二中学2025届高三下学期5月适应性考试数学试卷（含解析）

2024-2025学年度雷州二中高三数学5月适应性考试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(每小题5分，共40分）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若随机变量，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知两个单位向量满足，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
5．已知是公差为1的等差数列，是其前n项和，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）

A． B．
C． D．
7．已知，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．9
8．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(每小题6分，共18分）
9．为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（ ）.
A．且. B．且.
C．且. D．.
10．如图，正四棱台中，下列说法正确的是（ ）

A．和异面 B．和共面
C．平面平面 D．平面与平面相交
11．已知抛物线，F为抛物线C的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．若抛物线C上一点P到焦点F的距离是4，则P的坐标为、
B．一个顶点在原点O的正三角形与抛物线相交于A、B两点，的周长为
C．抛物线C在点处的切线方程为
D．点H为抛物线C的上任意一点，点，，当t取最大值时，的面积为2
第II卷（非选择题）
三、填空题(每小题5分，共15分）
12．的展开式中，常数项为 ．
13．若双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，则 ．
14．已知数列满足，是数列的前n项和且，则 ．
四、解答题
15．（13分）已知在中，，
(1)求；
(2)若，则三角形的面积为，求
16．（15分）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，.

(1)求证：直线平面PAC；
(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.
17．（15分）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间与极值．
18．（17分）已知椭圆的离心率为，且，抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上.
（1）求椭圆与抛物线的标准方程；
（2）过抛物线焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，为椭圆的左焦点，求.
19．（17分）一个口袋中有个白球和个红球（，且），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．
(1)试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率；
(2)若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取最大值.
参考答案
1．B
【详解】由题意可得，
又因为
所以.
故选：B
2．A
【详解】因为，
所以复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
3．D
【详解】因为随机变量，
所以，，
所以，，D项错误，
故选：D.
4．C
【详解】由两个单位向量，可得，
因为，可得，所以，
则，所以.
故选：C.
5．A
【详解】因为，所以，
由等差数列的性质得，所以，所以．
故选：A.
6．C
【详解】为定义在上的偶函数，图象关于轴对称，
当时，；当时，；
若，则或；
当时，；当时，；
的解集为.
故选：C.
7．C
【详解】由，得，
当且仅当时取等号得出最小值4，
故选：C.
8．B
【详解】，
，
联立可得，
所以.
故选：B
9．ABD
【详解】中位数的计算与比较：
由图甲可判断甲组数据的中位数在[7，10.5)内，
第一组[0，3.5)的数据的频率为0.01×3.5=0.035，第二组[3.5，7)频率为0.10×3.5=0.35，
则，解得 ，
由图乙可判断乙组数据的中位数在[10.5，14)内，
则，解得，所以< .
平均数的计算与比较：
甲组平均数 ：
.
乙组平均数 ：
.
所以 .
众数的计算与比较：
由图甲可得甲组众数 ；
由图乙可得乙组众数，所以 .
标准差的比较：
因甲组数据分布相对分散，乙组数据相对集中在中间区间，所以.
对于A，由前面计算可知<且 ，故A 正确；
对于B，因 且，故B正确；
对于C，由前分析得，，，
，，，故C错误；
对于D ，因，，，则 ，故D正确 .
故答案选 ABD.
10．ABD
【详解】对于A，在四棱台中，，
所以与确定平面，
因为与相交，且与平面相交，由所以和异面，故A正确；

对于B，在正四棱台中，，
所以与确定平面，所以和共面，故B正确；

对于C，因为面，而面，面，面，
由基本事实3可知，平面与平面相交，故C错误；

对于D，因为在正四棱台中，，
所以与可以确定一个平面，
又因为，所以与交于一点设为，
所以，而平面，所以平面，
又，而平面，所以平面，
由基本事实3可知，平面与平面相交，故D正确.

故选：ABD
11．ACD
【详解】A选项：由抛物线C的定义知，
解得代入可得，
所以P的坐标为、，故A正确；
B选项：顶点在原点O的正三角形与抛物线相交与A、B两点，
设正三角形的边长为，则根据对称性可得
且点在抛物线上，所以，解得，
所以这个正三角形的边长为，故B错误；
C选项：由得，，
切线方抛物线C在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，故C正确；
D选项：F为抛物线的焦点，过H作HD垂直抛物线C的准线于点D，
如图，
由抛物线的定义知，
当t取最大值时，取最小值，
即直线GH与抛物线C相切.
设直线HG的方程为，
由得，
所以，解得，
此时，即，
所以，故，
所以，故D正确.
故选:ACD.
12．10
【详解】因为，
又的展开式的通项为，
所以当时，
所以的展开式中常数项为10．
故答案为：.
13．
【详解】双曲线的渐近线方程为，
又为双曲线的一条渐近线，
所以，
设双曲线的半焦距为，因为为其一个焦点，
所以，又，
所以，
所以.
故答案为：.
14．
【详解】由，得，即，
数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
即．
当n为偶数时，，
所以，
所以，故．
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）根据可得，
即，故,
由于，故
（2）由得，
又因为由余弦定理知，
故，结合
解得
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）底面，平面，，
在正方形中，，
又，平面，平面，
平面.
（2）由题意可建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示：

因为，则,0,，,1,，,0,，,1,，,0,，
,1,，,0,，,1,，
设平面的一个法向量为,,，
则，取，则，，
平面的一个法向量为,1,，
设直线与平面所成的角为，
则，
17．(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为和，极小值为0，极大值为.
【详解】（1）因为，所以，
因此曲线在点处的切线的斜率为1，切线方程为．
（2）令，解得：或2．
0 2
0 0
极小值 极大值
所以在、上是减函数，在上是增函数．
因此函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．
综上：的单调递增区间为，单调递减区间为和，极小值为0，极大值为．
18．（1）椭圆，抛物线；（2）.
【详解】（1）由题意可得，可得，则，
所以，椭圆的标准方程为.
设抛物线的标准方程为，
由于抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上，则，，
因此，抛物线的标准方程为；
（2）设点、，可知直线的方程为，
将直线的方程与椭圆方程联立，
消去得，，
由韦达定理得，，
因此，.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）一次摸球从个球中任选两个，有种选法，
其中两球颜色相同有种选法；
∴一次摸球中奖的概率；
（2）若，则一次摸球中奖的概率是，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是；
（3）设一次摸球中奖的概率是，
则三次摸球中恰有一次中奖的概率是，
∵，
∴在是增函数，在是减函数，
∴当时，取最大值.
由.
∴时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大.