2025届辽宁省大连第二十四中学高三下学期第五次模拟考试数学试题（图片版、含答案）

2025年辽宁省大连二十四中高考数学五模试卷
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 A＝{x||x|＞1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则 A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，0）∪（2，+∞） B．（1，2）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D．（﹣1，1）
2．已知甲、乙两组数据如表所示，则下列结论中表述正确的是（ ）
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 82 83 81 82 76 91 83 88 89 93
乙 68 80 88 72 89 88 95 74 90 71
A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B．甲组数据的方差小于乙组数据的方差
C．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
D．甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数
3．已知命题 p：若 m＞0，n＞0，则方程 mx2+ny2＝1表示椭圆；命题 q：已知复数 z＝a﹣2+bi（a，b∈R），
若 z≤1，则 a+b≤3，下列选项中正确的是（ ）
A．p和 q都是真命题 B．p和￢q都是真命题
C．￢p和 q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题
4．已知向量 ， 满足| |＝1， ＝（1，2），| |＝ ，则向量 在向量 方向上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
5．定义：“各位数字之和为 7的四位数叫幸运数”，比如“1006，2023”，则所有“幸运数”的个数为（ ）
A．20 B．56 C．84 D．120
6．已知圆 x2+y2＝1上一点 ，现将点 A绕圆心顺时针旋转 到点 B，且 ，则点
C的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
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7．在三棱锥 P﹣ABC中，PA⊥底面 ABC，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，D是线段 AC上一点，且 AD＝3DC，
三棱锥 P﹣ABC的各个顶点都在球 O的表面上，过点 D作球 O的截面，若所得截面圆的面积的最大值
与最小值之差为 4π，则球 O的表面积为（ ）
A．18π B．22π C．28π D．32π
8．若函数 f（x）＝ax﹣x3+ax2﹣x﹣1（a＞0且 a≠1）在（0，1）上有唯一零点，则 a的取值范围是（ ）
A．2≤a＜e B． C． D．1＜a＜2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分。
（多选）9．将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 2倍，纵坐标不变，得到函
数 g（x）的图象，则（ ）
A．g（x）的最小正周期为 4π
B． 为偶函数
C． 在 上单调递增
D．函数 y＝f（x）﹣g（x）在[0，2π]上有 6个零点
（多选）10．已知定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，设 ex＝f（x）
+g（x），其中 f（x），g（x）分别为奇函数和偶函数，且 ，则（ ）
A．f（x+y）＝f（x）g（y）+f（y）g（x）
B．g（x+y）＝g（x）g（y）+f（x）f（y）
C．
D．已知数列{an}满足 ， ，则
（多选）11．设焦点为 F的抛物线 C：y＝2x2的准线与对称轴交于点 D，过 C上两点 A，B（不与原点重
合）分别作抛物线的切线，两切线交于点 P，记△OAB和△PAB面积分别为 S1，S2，则（ ）
A．过点 A有且仅有两条直线与 C只有一个公共点
B．若直线 AB过点 F，则△OAB面积的最小值为
C．若直线 AB过点 F，且倾斜角为α，∠ADB＝60°，则
D．若直线 AB过点 ，则
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．若随机变量 X：H（N，3，M），且 E（X）＝ ，则 的最小值为 ．
13．在平面四边形 ABCD中，AD＝1，AB＝CD＝2，BC＝3，且四边形 ABCD的面积为 ，则 cos（∠ADC+
∠ABC）＝ ．
14．若点 P（x1，y1）为 C：x2+y2＝4上一动点，Q（x2，y2）为直线 l：kx﹣y﹣2k﹣4＝0上一动点，其中
，记 LPQ＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则 LPQ最小值的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△ABA1均为等腰直角三角形，且 ，
AB＝2， ．
（1）证明：平面 AA1B⊥平面 ABC；
（2）求平面 B1A1C与平面 A1CB夹角的余弦值．
16．若数列{an}和{bn}满足：a1＝1，b1＝7，且 ．
（1）设 cn＝an﹣bn，证明：{cn}是等比数列；
（2）设 ，试求{dn}的前 n项和 Sn．
17．已知 f（x）＝ax2﹣2lnx，x∈（0，e]，其中 e是自然对数的底数．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）设 ， ，存在 x1，x2∈（0，e]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜9成立，试求实数
a的取值范围．
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18．近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术，智能芯片作为人工智能的“心脏”，
不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升．
（1）已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动
检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为 ， ， ．
①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率 p0；
②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰通过筛选的芯片及
未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记 A表示事件“某芯片经过智能检测系统筛
选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较 P（A|B）与 P（A| ）的大小；
（2）改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布 N（5.40，0.052），现从中随机抽取 M
个，这 M个芯片中恰有 m个的质量指标ξ位于区间（5.25，5.45）．若 m＝24，将使得 P（m＝24）的最
大的 M值 M0作为 M的估计值，试求 M0的值．
参考数据：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．
19．在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1，F2，
M为 C上一动点，且当△MF1F2为等腰三角形时， ．
（1）求 C的离心率；
（2）已知 A2（1，0）为 C的右顶点，直线 l与 C的一支交于 A，B两点
①若 A2A⊥A2B，试求直线 l与 x轴交点的坐标；
②“费马点”是十七世纪数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，
使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当△ABC的三个内
角均小于 120°时，使得∠AQB＝∠BQC＝∠CQA＝120°的点 Q即为费马点；当△ABC有一个内角大
于或等于 120°时，最大内角的顶点为费马点．
当 M（2，3），且 l过点（﹣4，6）时，记△MAB的费马点为 P，记△PMA，△PMB，△PAB的面积分
别为 S1，S2，S3，试求 的最小值．
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大连市第二十四中学 2025 届高三第五次模拟考试数学
参考答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8
C B C A B D D B
二、选择题：
9 10 11
BC ABD ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分。
8 1
12. 13. 14. 3 ,
5
3 2 2 2
四、解答题：本题共 6 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）
解：（1）设AB的中点为 E ，连接CE， A1E ，如图所示，
π
因为△ABC与△ABA1 均为等腰直角三角形， ACB AA1B ，2
故 BC A1B AB cos 45 2 ，
CE AB，且CE 1 AB 1 1 ，同理 A1E AB 1，2 2
A C 21 CE
2 A E 21 ，即CE A1E …………………3分
又 AB , A1E 平面 AA1B ， A1E AB E ，
故CE 平面 AA1B …………………5 分
又 CE 平面 ABC，
故平面 AA1B 平面 ABC…………………6 分

（2）由（1）知， EC , EB , EA1 两两垂直，以 E 为原点，EC,EB,EA1的方向分别为 x轴，
y轴， z轴正方向，建立空间直角坐标系.
第五次模拟考试数学试卷参考答案第 1页共 6页
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则C 1,0,0 ,B 0,1,0 ,A1 0,0,1 ,B1 0,2,1 …………………7 分

n AB 0
设平面CA1B1 的一个法向量为 n1 x1,y ,z

1 1 ，则
1 1 1
n1 A1C 0
2y 0
1 x 1
x1 z1 0
，令 1 ，则 n1 1,0,1 …………………9分

n2 A1B 0
设平面CA1B 的一个法向量为 n2 x2, y2,z2 ，则
n2 A1C 0
y z 0
2 2 x 1x z 0，令 2 ，则 n2 1,1,1 …………………11 分 2 2

cos n ,n n n 2 6 1 2 1 2 …………………12 分
n1 n2 2 3 3
故平面 B1A1C 与平面 A CB
6
1 夹角的余弦值为 ．…………………13 分
3
16.（15 分）
解：（1） an 1 bn 2an ,bn 1 3bn 4an
a n 1 bn 1 bn 2 a n 3bn 4 a n 2 a n bn
cn 1 2cn …………………4分
又 c1 a1 b1 6 0…………………5 分
cn 构成以-6 为首项，2 为公比的等比数列…………………6 分
（2） cn 6 2
n 1 3 2 n ，
a n bn 3 2
n bn a
n
n 3 2 an 1 an 3 2
n 2an an 3 2
n
a 2n 1 nn 1 an 2 又 a1 21 1 0
an 2n 构成以-1 为首项，-1 为公比的等比数列
an 2
n 1 1 n 1 1 n a 2n 1 nn
b 2nn 1
n 3 2n 2n 2 1 n
第五次模拟考试数学试卷参考答案第 2页共 6页
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3 2n ,n为奇数
dn …………………10 分
3,n为偶数
n 3
当 n为偶数时， S 3 21 23 2n 1n 3 2n 1 n 2………………12 分2 2
S S d 2n 2 3 n 1 2 3 2n 2 3 n 1当 n为奇数时， n n 1 n 1 ……14 分2 2 2
2n 2 3 n 1 ,n为奇数 2 2
所以 Sn …………………15 分
2n 1 3 n 2,n为偶数
2
17.（15 分）
2 2
解（1） f ' x 2ax 2 2ax 2 2(ax 1) , x 0,e …………………1 分
x x x
'
当a 0时， f x 0，所以 f x 在 0,e 上是减函数…………………2分

2a x a
a
x
当a 0时，
' a af x
x
a 1 a a
①若 e a ，则 f x 在 0, 上是减函数，在 ,e 上是增函数；a e2 a a
a
②若 e 0 1 a ，则 f x 在 0,e 上是减函数. …………………5 分
a e2
1
综上，当a 2 时， f x 的减区间是 0,e ，e
1 a a a

当 2 时， f x 的减区间是 0, a ，增区间是 ,e .…………6分e a
1 a a
（2）当a 2 时，由（1）可知：当 x 时， f (x)min f 1 ln a .……7 分e a a
x
又因为 g x 5 ln 在 0,e 上单调递增，所以 g x g emax 4 ln a …………9 分a
因为存在 x1 , x 2 0, e ，使得 f ( x1 ) g ( x 2 ) 9 成立
第五次模拟考试数学试卷参考答案第 3页共 6页
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所以 f ( x )m in g ( x )max 9…………………10 分
1 lna 4 lna1 9 1
又因为a ，联立 a e2
e2 1 2 a e
e2
1 2
所以 a的取值范围为 2 ,e …………………15 分 e
18.（17 分）
解：（1）①进入第四道工序前，该款芯片的次品率为
P 24 23 22 30 1 1 P1 1 P2 1 P3 1 .…………………3分25 24 23 25
P
P AB
AB P AB P B P AB P B
② P A B P A B
P B P B P B P B
P AB 1 P B P A P AB P B P AB P A P B .
P B P B P B P B
P B | A P B P A P B | A P A P B
P AB P A P B 即 P A B P A B …………………9 分
（2）由已知可得， P 5 .25 5 .45 P 5 .40 3 0 .05 5 .40 0 .05
P 3 X P X P 3 X 3
2
0.6827 0.9973
0.84…………………12 分
2
所以 m B M , 0 .84 ，P m 24 C24M 0.8424 0.16M 24…………………13 分
f x C 24 0.84 24 0.16 x 24设 x ，
f x f x 1 C24 0.8424 0.16 x 24 C24 24 x 23
x x 1
0.84 0.16
则 24 ， f x f x 1 Cx 0.8424 0.16 x 24 C24 24x 1 0.84 0.16 x 25
193 x 200解得 ，又 x N*，所以 x 28
7 7
所以M的估计值 M 0 为 28………17 分
19.（17 分）
第五次模拟考试数学试卷参考答案第 4页共 6页
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解：（1）由对称性，不妨设点M在双曲线右支上，则 MF1 MF2 .
若 MF2 F1F2 ,则 MF2 2c,MF2 2c 2a， MF2F1 MF1F2 F2MF1 ,
又因为 cos FMF 1 1 1 2 ,所以 F1MF2 ，所以 MF2F1 MF1F2 F2MF4 2 3 1
，
矛盾，舍.（也可以利用余弦定理，推出 c 2a，舍）…………2 分
2 2 2
若 MF FF
4c (2c 2a) 4c 1
1 1 2 ,则 MF1 2c,MF2 2c 2a， cos F1MF2 ，2 2c (2c 2a) 4
解得 c 2a， e 2，所以离心率为2…………4 分
y2
（2）由（1）知C : x2 1…………5分
3

x2 y
2
1
设 l : x ty m

， A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ，由 3 ，
x ty m


0
3t2 可得 1 y2 6tmy 3 m2 6tm 1 0，则 y1 y2 …………7 分
3t
2 1
3 m2 1
y1y2 3t2 1

① A2A A2B A2A A2B A2A A2B 0
x1 1 x2 1 y1y2 0 t 2 1 y1y2 t m 1 y1 y2 m 1 2 0
m2 m 2 0 m 2或（1 舍），m 2时，满足 0 .
\ l 与 x轴交点的坐标 2,0 …………9分
②当 AB斜率为0时， l与双曲线两交点分别为 ( 13,6),( 13,6)，

则MA MB ( 13 2)( 13 2) (6 3)(6 3) 13 4 9 0,所以MA MB…10 分
当 AB斜率不为0时，因为 l过点 ( 4,6)，则 4 6t m, m 6t 4

MA MB (x1 2)(x2 2) (y1 3)(y2 3) (ty1 m 2)(ty2 m 2) (y1 3)(y2 3)
(t 2 1) y1 y2 (tm 2t 3)( y
2
1 y2 ) m 4m 13
第五次模拟考试数学试卷参考答案第 5页共 6页
{#{QQABIYax4wAQkAYACJ6bUUFsCAgQsJGQJaouQRCYqA4KABFABAA=}#}
(t 2 1) 3(m
2 1)
2 (tm 2t 3)
6tm
2 m
2 4m 13
3t 1 3t 1
36t 2 2m2 18tm 4m 16 36t 2 72t 2 96t 32 108t 2 96t 32
2 03t 1 3t 2 1
所以MA MB…………12 分
综上，恒有MA MB，所以费马点P在 MAB内部，
且 APB BPC CPA 120 .……13 分
1
S S PA PB PM sin120 1 2 2 PA PB PM PM PM ………14 分
S3 1 PA PB sin120 PA PB PA PB
2
MA 2 MB 2因为 AB 2 ,
PA 2 PM 2 PA PM PB 2 PM 2 PB PM PA 2 PB 2 PA PB，
2 PA PB PA PB
所以 2 PM PA PM PB PM PA PB ，即 2 PM PM PM PM
PA PB
x, y 2 x y xy S1 S 2 x y 2令 ，则 ，所以 1
PM PM S3 xy xy
．
因为 2 x y xy 2 2 xy，当且仅当 x y时等号成立，
x y 1 3 ， xy 4 2 3．
S S
x y 3 1 1 2所以当 时， S 的最小值为 3 1．…………17 分3
第五次模拟考试数学试卷参考答案第 6页共 6页
{#{QQABIYax4wAQkAYACJ6bUUFsCAgQsJGQJaouQRCYqA4KABFABAA=}#}