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第五章 分式与分式方程 单元质量检测卷
一、单选题
1．要使分式有意义，则应满足（ ）
A． B． C． D．
2．把分式中的a，b 的值都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的2倍 D．扩大到原来的3倍
3．“新冠”疫情中，某呼吸机厂家接到一份生产300台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求，需提前供货，每天比原来多生产20台呼吸机，结果提前2天完成任务.设原来每天生产x台呼吸机，下列列出的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾.若甲车单独清理全部垃圾需6小时，设乙车单独清理全部垃圾的时间为 小时，根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．某工厂承接了 60 万只毛线玩具的生产任务， 实际每天的生产效率比原计划提高了 ， 提前 10 天完成任务． 设原计划每天生产 万只毛线玩具，则根据题意， 可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若关于的分式方程的根是正数，则实数的取值范围（ ）.
A．且 B．且
C．且 D．且
7．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8． 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（ ）
①；
②若，则；
③不存在整数x使得的值为负整数；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．要使式子 有意义，则x的取值范围为 .
12．已知，化简求值： ．
13．若分式 的值为零，则x的值为 ．
14．当x 时，式子 有意义．
15．已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为 ．
16．若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是 ．
三、综合题
17．受疫情影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用8000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场用17600元购进第二批这种“84”消毒液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元；
（1）求该商场购进的第一批“84”消毒液的单价；
（2）商场销售这种“84”消毒液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？
18．某商场计划在年前用40000元购进一批新款衬衫进行销售，由于进货厂商促销，实际以8折的价格购进这次衬衫，结果比原计划多购进80件．
（1）该商场实际购进每件衬衫多少元？
（2）该商场打算在进阶的基础上，每件衬衫加价50%进行销售．由于接近年底，可能会出现滞销，因此会有20%的衬衫需要打5折降价出售，该商场要想获得不低于20000元的利润，应至少再购进衬衫多少件？
19．计算
（1）（ ）﹣2﹣（﹣1）2016﹣ +（π﹣1）0
（2）化简： ÷（1﹣ ）
20．为应对新冠疫情，某药店到厂家选购 两种品牌的医用外科口罩， 品牌口罩每个进价比 品牌口罩每个进价多0.8元，若用7000元购进 品牌数量是用4900元购进 品牌数量的2倍．
（1）求 两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？
（2）若 品牌口罩每个售价为2.2元， 品牌口罩每个售价为3.3元，药店老板决定一次性购进 两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进 品牌口罩多少个？
21．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多1元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共1000个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为7元/个、9元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元．
①求与的函数关系式，并求出的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
22．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：升油价：元升续航里程：千米每千米行驶费用：元 新能源车电池电量：千瓦时电价：元千瓦时续航里程：千米每千米行驶费用：____元
（1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用
23．化简：
（1）；
（2）.
（3）先化简，再从0，1，2中选择一个合适的数代入求值：.
24．新冠肺炎疫情期间，佩戴口罩是做好个人防护的重要举措.小明家先后两次在同一电商平台以相同的单价免邮购买了A、B两种型号的口罩.第一次购买20个A型口罩，30个B型口罩，共花费190元；第二次购买30个A型口罩，20个B型口罩，共花费160元.
（1）求A、B两种型号口罩的单价；
（2）“五一”期间，该电商平台举行促销活动，小明发现同样花费160元购买B型口罩，以活动价购买可以比原价多买8个，求“五一”期间B型口罩的活动价.
25．佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
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第五章 分式与分式方程 单元质量检测卷
一、单选题
1．要使分式有意义，则应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴1-x≠0，
解得：x≠1，
故答案为：C.
【分析】用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
2．把分式中的a，b 的值都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的2倍 D．扩大到原来的3倍
【答案】C
3．“新冠”疫情中，某呼吸机厂家接到一份生产300台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求，需提前供货，每天比原来多生产20台呼吸机，结果提前2天完成任务.设原来每天生产x台呼吸机，下列列出的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设原来每天生产x台呼吸机，
根据题意可列方程： ，
整理，得： .
故答案为：D.
【分析】根据“完成前一半所用时间+后一半所用时间=原计划所用时间-2”可列出方程.
4．某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾.若甲车单独清理全部垃圾需6小时，设乙车单独清理全部垃圾的时间为 小时，根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】根据题意，甲车单独清理全部垃圾需6小时，则甲车的工作效率为 ，设乙车单独清理全部垃圾的时间为x时，则乙车的工作效率为 ，根据“两车合作1.2小时清理完另一半垃圾”可列得方程 .
故答案为： D.
【分析】根据题意先计算出甲乙两车的工作效率，再根据“两车合作1.2小时清理完另一半垃圾”找到等量关系，列出方程.
5．某工厂承接了 60 万只毛线玩具的生产任务， 实际每天的生产效率比原计划提高了 ， 提前 10 天完成任务． 设原计划每天生产 万只毛线玩具，则根据题意， 可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
6．若关于的分式方程的根是正数，则实数的取值范围（ ）.
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】D
7．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设这批椽有x株，
可列方程为：
故选：B．
【分析】设这批椽有x株，根据“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，列出分式方程，再作出选择．
8． 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解析】解：∵A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，B种绿植单价是x元，
∴A种绿植单价是3x元．
根据题意得：．
故答案为：C．
【分析】根据A，B两种绿植单价间的关系，可得出A种绿植单价是3x元，利用数量总价单价，结合用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
9．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】由题意可得，
故答案为：C．
【分析】根据时间=路程÷速度，结合骑自行车的时间-乘汽车的时间=20分钟（小时）列出方程即可.
10．已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（ ）
①；
②若，则；
③不存在整数x使得的值为负整数；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
二、填空题
11．要使式子 有意义，则x的取值范围为 .
【答案】 且
【解析】【解答】解：∵式子 有意义，
∴
∴ 且
∴ 且
故答案为： 且 .
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等为0，据此列出不等式，求解可得x的范围.
12．已知，化简求值： ．
【答案】2024
13．若分式 的值为零，则x的值为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：依题意得：3﹣|x|=0且x+3≠0，
解得x=3．
故答案为：3
【分析】分式的值为0，所以分子等于0，分母不等于0，根据两个条件，解出x的值即可。
14．当x 时，式子 有意义．
【答案】＞4
【解析】【解答】解：根据题意得： ，且 ，
即： ，
求解得： ，
故答案为：＞4．
【分析】根据分式的分母不能为0，二次根式的被开方数不能为负数，即可列出不等式，求解即可。
15．已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为 ．
【答案】
16．若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是 ．
【答案】
三、综合题
17．受疫情影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用8000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场用17600元购进第二批这种“84”消毒液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元；
（1）求该商场购进的第一批“84”消毒液的单价；
（2）商场销售这种“84”消毒液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？
【答案】（1）解：设该商场购进的第一批“84”消毒液单价为x元/瓶，依题意得，
．
解得，x=10．
经检验，x=10是原方程的根．
所以该商场购进的第一批消毒液的单价为10元/瓶
（2）解：共获利：（-200）×13+200×13×0.9-（8000+17600）=5340（元）．
在这两笔生意中商场共获得5340元．
【解析】【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意列出算式求解即可。
18．某商场计划在年前用40000元购进一批新款衬衫进行销售，由于进货厂商促销，实际以8折的价格购进这次衬衫，结果比原计划多购进80件．
（1）该商场实际购进每件衬衫多少元？
（2）该商场打算在进阶的基础上，每件衬衫加价50%进行销售．由于接近年底，可能会出现滞销，因此会有20%的衬衫需要打5折降价出售，该商场要想获得不低于20000元的利润，应至少再购进衬衫多少件？
【答案】（1）解：设该商场原计划多购进每件衬衫x元，
根据题意
解得x=125，
经检验x=125是原方程的根，并符合实际，
∴125×0.8=100元，
答该商场实际购进每件衬衫100元；
（2）解：设再购进y件衬衫，
根据题意100×50%×（400+ y）×80%+[100（1+50%）×0.5-100]×（400+ y）×20%≥20000，
整理得40（400+y）-5(400+y)≥20000，
解得y≥，
∵y为整数，
∴应至少再购进衬衫72件，商场获得不低于20000元的利润．
【解析】【分析】（1）设该商场原计划多购进每件衬衫x元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设再购进y件衬衫，根据题意列出不等式100×50%×（400+ y）×80%+[100（1+50%）×0.5-100]×（400+ y）×20%≥20000，求解即可。
19．计算
（1）（ ）﹣2﹣（﹣1）2016﹣ +（π﹣1）0
（2）化简： ÷（1﹣ ）
【答案】（1）解：原式=9﹣1﹣5+1=4
（2）解：原式= ÷ = =
【解析】【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，乘方的意义，以及算术平方根定义计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．此题考查了实数的运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．为应对新冠疫情，某药店到厂家选购 两种品牌的医用外科口罩， 品牌口罩每个进价比 品牌口罩每个进价多0.8元，若用7000元购进 品牌数量是用4900元购进 品牌数量的2倍．
（1）求 两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？
（2）若 品牌口罩每个售价为2.2元， 品牌口罩每个售价为3.3元，药店老板决定一次性购进 两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进 品牌口罩多少个？
【答案】（1）解：设 品牌口罩每个进价为 元，则 品牌口罩每个进价为 元，
依题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
，
答： 品牌口罩每个进价为2元， 品牌口罩每个进价为2.8元
（2）解：设购进 品牌口罩 个，则购进 品牌口罩 个，
依题意，得： ，
解得： ．
答：最少购进 品牌口罩2000个
【解析】【分析】（1） 设 品牌口罩每个进价为 元，则 品牌口罩每个进价为 元，依题意，得： ，解得： ，故 品牌口罩每个进价为2元， 品牌口罩每个进价为2.8元；
（2）设购进 品牌口罩 个，则购进 品牌口罩 个，依题意，得： ，
解得： ．
21．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多1元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共1000个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为7元/个、9元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元．
①求与的函数关系式，并求出的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）甲粽子每个的进价为5元，则乙粽子每个的进价为6元
（2）①；②购进甲粽子667个，乙粽子333个才能获得最大利润，最大利润为2333元
22．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：升油价：元升续航里程：千米每千米行驶费用：元 新能源车电池电量：千瓦时电价：元千瓦时续航里程：千米每千米行驶费用：____元
（1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用
【答案】（1）解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：（元），
即新能源车的每千米行驶费用为元；
（2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
【解析】【分析】（1）根据表中的信息，用电池电量乘以单价再除以续航里程，即可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解并检验即可；
②根据题意，由燃油车续航x千米的燃油费+4800＞新能源车续航x千米的电费+7500，列出不等式，求解即可得出答案.
23．化简：
（1）；
（2）.
（3）先化简，再从0，1，2中选择一个合适的数代入求值：.
【答案】（1）解：
（2）解：
；
（3）解：
，
当时，原分式无意义，
∴或2，
当时，原式
【解析】【分析】（1）先化为同分母，再利用分式的加减法则计算即可；
（2）现将各个分式进行约分，再利用分式的加减法则计算即可；
（3）根据分式的混合运算将原式化简，再从0，1，2中选择一个使分式有意义的值代入计算即可.
24．新冠肺炎疫情期间，佩戴口罩是做好个人防护的重要举措.小明家先后两次在同一电商平台以相同的单价免邮购买了A、B两种型号的口罩.第一次购买20个A型口罩，30个B型口罩，共花费190元；第二次购买30个A型口罩，20个B型口罩，共花费160元.
（1）求A、B两种型号口罩的单价；
（2）“五一”期间，该电商平台举行促销活动，小明发现同样花费160元购买B型口罩，以活动价购买可以比原价多买8个，求“五一”期间B型口罩的活动价.
【答案】（1）解：设A、B两种型号口罩的单价分别为x元、y元，
由题意得： ，解得： ，
答：A、B两种型号口罩的单价分别为2元、5元.
（2）解：设“五一”期间B型口罩的活动价为z元，
由题意得： ，解得： .
经检验： 是原方程的解，且符合题意.
答：“五一”期间B型口罩的活动价为4元.
【解析】【分析】（1）本题有两个相等关系：购买20个A型口罩的钱数+30个B型口罩的钱数=190元；购买30个A型口罩的钱数+20个B型口罩的钱数=160元，据此设未知数列方程组解答即可；
（2）设“五一”期间B型口罩的活动价为 元，根据活动期间花费160元购买B型口罩的个数－按照原价花费160元购买B型口罩的个数=8即可列出关于z的分式方程，求出方程的解后并检验即得结果.
25．佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
【答案】（1）解：设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得： ，解得：x=6。
经检验，x=6是原方程的解。
答：第一次水果的进价为每千克6元。
（2）解：第一次购水果1200÷6=200（千克），第二次购水果200+20=220（千克），
第一次盈利为200×（8﹣6）=400（元），
第二次盈利为100×（9﹣6.6）+120×（9×0.5﹣6×1.1）=﹣12（元），
∴两次共赚钱400﹣12=388（元）。
答：该老板两次卖水果总体上是盈利了，共赚了388元。
【解析】【分析】（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，根据1452元购买的数量-1200元购买的数量=20，列出方程，解出方程并检验即可.
（2）先分别求出两次购买水果的数量，然后分别求出两次的盈利，求出两次的盈利和即可.
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