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第六章 平行四边形 单元综合提升卷
一、单选题
1．平行四边形的一条边的长度为12，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A．6和14 B．10和14 C．18和20 D．12和36
2．如图M2-2，A，B两点被一座山隔开，M，N分别是AC，BC的中点，测量MN的长度为40m，那么AB的长度为（ ）
A．40m B．80m C．160m D．不能确定
3．如图，在平行四边形ABCD中，AD=7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=4，则AB长为（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
4．如图，在中，的平分线交于点E，过点C作，垂足为点F，若，，则的长为（ ）
A．16 B．14 C．13 D．8
5．如图，在中，对角线，相交于点，若，，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且两条对角线的和为36cm，AB的长为9cm，则△OCD的周长为（ ）
A．45cm B．27cm C．22.5cm D．31cm
7．如图所示，E是 ABCD内任一点，若S四边形ABCD=6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．立方根等于它本身的数是0，1，
B．三角形的任意两边之和小于第三边
C．采用抽样调查的方式检查飞机零部件
D．五边形的内角和是
9．多边形的每一个内角都等于150°，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（ ）.
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
10．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（ ）
A．3n B．3n（n+1） C．6n D．6n（n+1）
二、填空题
11．如图，中国古建筑中的亭台楼阁塔很多都采用六边形结构．六边形的内角和为 ．
12．若n边形内角和为1260度，则这个n边形的对角线共有 ．
13．正十边形的每个外角都等于 度．
14．如图，在四边形中，与不平行，分别是的中点，，则的最大值是 ．
15．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
16．在中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则的周长为 ．
三、综合题
17．已知：平行四边形的对角线、相交于点，点、在上，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当，，时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使写出的每条线段的长与的长相等．
18．如图1，中，，D为上一动点，E为延长线上的动点，始终保持，连接和，以为边作正方形，连接．
（1）请判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的度数；
19．如图，在 ABCD中，AB＝AE．
（1）求证：AC＝ED；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°．求∠ACD的度数．
20．以A为顶角顶点的等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，D在BC边上，E在AB边上，F为线段AD上一点，连接FC，∠BDE= ∠FCA．
（1）如图1，若AB= ，∠BAC=30°，求S△ABC；
（2）如图1，求证：FA=FC；
（3）如图2，延长CF交AB于G，延长AB到M使GM=AC，连接CM，∠BAD=∠BCG，N是GC的中点，探究AN与CM之间的数量关系并证明．
21．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是否为平行四边形？请证明你的结论．
（3）若AE=5，求四边形AECF的周长．
22．如图，在
中，
于点
于点
.设
.
（1）求 与 的函数关系式；
（2）若
的周长为25，求
与
的值.
23．如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD∥A交BC于点E．
（1）求证：△BCD为等腰三角形；
（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．
24．已知：直线 与 轴、 轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上，将 沿 折叠后，点 恰好落在AB边上点D处，如图.
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求AC的长；
（3）点P为平面内一动点，且满足以 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出一个符合要求的 点坐标.
25．如图，已知M是△ABC的边AB的中点，D是MC的延长线上一点，满足∠ACM=∠BDM.
（1）求证：AC=BD；
（2）若∠BMC=60°，求 的值.
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第六章 平行四边形 单元综合提升卷
一、单选题
1．平行四边形的一条边的长度为12，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A．6和14 B．10和14 C．18和20 D．12和36
【答案】C
2．如图M2-2，A，B两点被一座山隔开，M，N分别是AC，BC的中点，测量MN的长度为40m，那么AB的长度为（ ）
A．40m B．80m C．160m D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴AB=2MN=80cm.
故答案为：B
【分析】根据三角形的中位线平行且等于第三边的一半解答即可.
3．如图，在平行四边形ABCD中，AD=7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=4，则AB长为（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
【答案】B
【解析】【解答】∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴CD=DE=AD－AE=3，
故答案为：B．
【分析】根据平行线四边形的性质得到AD//BC，再根据角平分线，得到三角形DEC是等腰三角形，得到DE=DC，再利用线段的计算求出DE即可。
4．如图，在中，的平分线交于点E，过点C作，垂足为点F，若，，则的长为（ ）
A．16 B．14 C．13 D．8
【答案】A
5．如图，在中，对角线，相交于点，若，，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=6，AD=4，
∴，，
∵∠ADB=90°，
∴，
∴AC=2OA=10，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得，，再根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出OA的值，即可求解.
6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且两条对角线的和为36cm，AB的长为9cm，则△OCD的周长为（ ）
A．45cm B．27cm C．22.5cm D．31cm
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝9cm，
∴OC＝OA＝ AC，OB＝OD＝ BD，AB＝CD＝9cm，
∵AC+BD＝36cm，
∴OC+OD＝18cm，
∴△OCD的周长是OC+OD+CD＝18cm+9cm＝27cm，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得出OC＝OA＝ AC，OB＝OD＝ BD，求出OC+OD的值，代入OC+OD+CD求出即可。
7．如图所示，E是 ABCD内任一点，若S四边形ABCD=6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：设两个阴影部分三角形的底为AB，CD，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，
∴S△EAB+S△ECD=AB h1+CD h2=AB（h1+h2）
=S四边形ABCD=×6=3．故选B．
【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S阴影=S四边形ABCD．
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．立方根等于它本身的数是0，1，
B．三角形的任意两边之和小于第三边
C．采用抽样调查的方式检查飞机零部件
D．五边形的内角和是
【答案】A
9．多边形的每一个内角都等于150°，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（ ）.
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
【答案】C
【解析】【解答】∵此多边形的每一个内角都等于150°，
∴此多边形的每一个外角都等于180°-150°=30°，
∵多边形的外角和为360°，
∴此多边形的边数为：360°÷30°=12，
∴从一个顶点出发的对角线共有12-3=9条.
故答案为：C.
【分析】根据邻补角的定义可求出每个外角的度数，根据多边形外角和定理即可得出多边形的边数，根据多边形从一个顶点出发的对角线共有n-3条，即可求得对角线的条数．
10．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（ ）
A．3n B．3n（n+1） C．6n D．6n（n+1）
【答案】B
【解析】【解答】从图中我们发现（1）中有6个平行四边形，6=1×6，（2）中有18个平行四边形，18=（1+2）×6，（3）中有36个平行四边形，36=（1+2+3）×6，
∴第n个中有3n（n+1）个平行四边形．
故答案为：B．
【分析】先找出这三个图形中平行四边形的个数，分析三个数字之间的关系，从而找出其中的规律，最后，依据规律进行计算即可.
二、填空题
11．如图，中国古建筑中的亭台楼阁塔很多都采用六边形结构．六边形的内角和为 ．
【答案】
12．若n边形内角和为1260度，则这个n边形的对角线共有 ．
【答案】27条
【解析】【解答】解：由题意得：
（n﹣2）×180=1260，
解得：n=9，
从这个多边形的对角线条数： =27，
故答案为：27条．
【分析】首先根据多边形的内角和公式及内角和的度数，列出方程，求出多边形的边数，然后根据多边形的对角线计算公式即可得出结果。
13．正十边形的每个外角都等于 度．
【答案】36°
【解析】【解答】解：正十边形的每个外角等于360°÷10=36°．
故答案为:36°．
【分析】根据正多边形外角的性质和正多边形外角和等于360°的性质，即可得出答案．
14．如图，在四边形中，与不平行，分别是的中点，，则的最大值是 ．
【答案】8
15．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴，
∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN最大，此时
∴EF长度的最大值为：，
故答案为：5．
【分析】连接DN，根据三角形中位线定理可得EF=DN，当DN最大时，EF就最大，而当点N与点B重合时，DN最大，利用勾股定理求出DN的长即可得解.
16．在中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则的周长为 ．
【答案】
三、综合题
17．已知：平行四边形的对角线、相交于点，点、在上，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当，，时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使写出的每条线段的长与的长相等．
【答案】（1）证明：如图，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
；
（2）解：、、、
【解析】【解答】（2）解：、、、，理由如下：
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，即，
，
是等边三角形，
，
，
，
即，
平分，
，
，
，
．
【分析】（1）利用平行四边形的性质先求出AB=CD，AB//CD，再利用全等三角形的判定方法和性质证明求解即可；
（2）先求出，再求出，最后证明求解即可。
18．如图1，中，，D为上一动点，E为延长线上的动点，始终保持，连接和，以为边作正方形，连接．
（1）请判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的度数；
【答案】（1）解：四边形ABDF是平行四边形，理由如下：
如图，延长交于点M，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】平行四边形的判定定理从边，角，对角线三个方面去理解，同一道题往往会有不同的证明方法，而平时的练习可以一题多解，会大大提高定理的理解程度，从而能在更短的时间里找到最优解.而在求角的度数时，往往会结合等边三角形、直角三角形、正方形等特殊图形的性质求解.
19．如图，在 ABCD中，AB＝AE．
（1）求证：AC＝ED；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°．求∠ACD的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B．
∴∠B＝∠DAE．
在△ABC和△AED中，
，
∴ ABC≌ EAD（SAS），
∴AC＝ED．
（2）解：∵AE平分∠DAB（已知），
∴∠DAE＝∠BAE；
又∵∠DAE＝∠AEB，∠AEB＝∠B．
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．
∴ ABE为等边三角形．
∴∠BAE＝60°．
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°．
∴∠ACD＝∠BAC＝85°．
【解析】【分析】（1）△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B＝∠DAE即可证明 ABC≌ EAD（SAS），进而得出答案；（2）先证明 ABE为等边三角形，利用平行四边形的性质求解即可．
20．以A为顶角顶点的等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，D在BC边上，E在AB边上，F为线段AD上一点，连接FC，∠BDE= ∠FCA．
（1）如图1，若AB= ，∠BAC=30°，求S△ABC；
（2）如图1，求证：FA=FC；
（3）如图2，延长CF交AB于G，延长AB到M使GM=AC，连接CM，∠BAD=∠BCG，N是GC的中点，探究AN与CM之间的数量关系并证明．
【答案】（1）解：如图1中，作BK⊥AC垂足为K．
在Rt△ABK中，∵AB= ，∠BAK=30°，
∴BK= AB= ，
∵AB=AC= ，
∴S△ABC= AC BK= =
（2）证明：如图1中，
∵等腰三角形ABC中，AB=AC，
∴∠ABD=∠ACD，
∵∠CAD+∠ACD=∠ADE+∠EDB，∠EDB+∠ABD=∠AED，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠CAD+∠ACD=∠EDB+∠ABD+∠EDB，
∴∠CAD=2∠EDB，
∵∠ACF=2∠EDB，
∴∠CAD=∠ACF，
∴FA=FC
（3）解：如图2延长GA至点H，使AG=AH，连接BH，
∵点N是CG的中点，
∴AN= CH，
∵∠CAD=∠ACF（2）中已证明，∠DAC=∠CBG，
∴∠CAB=∠BCA，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∠BAC=∠CBA=60°，
∴∠CAH=∠CBM=120°，
∵GM=AC，AC=AB，
∴BM=AG，
∴AH=BM，
在△CAH和△CBM中，
，
∴△CAH≌△CBM（SAS），
∴CH=CM，
∴AN= CM．
【解析】【分析】（1）要求△ABC的面积，作AC边上的高即可．（2）欲证明AF=FC，只要证明∠CAD=∠ACF，根据等腰三角形性质，以及三角形外角的性质定理结合已知条件即可证明．（3）延长CA至点H，构造△CAH≌△CBM，再证明AN是△GCH的中位线即可．
21．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是否为平行四边形？请证明你的结论．
（3）若AE=5，求四边形AECF的周长．
【答案】（1）证明：由折叠可知：∠D=∠D′，CD=AD′，∠C=∠D′AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD．
∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD，
即∠1+∠2=∠2+∠3．
∴∠1=∠3．
在△ABE和△AD′F中
∵ ，
∴△ABE≌△AD′F（ASA）．
（2）证明：四边形AECF是菱形．
证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵△ABE≌△AD′F，
∴AE=AF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AF=AE，
∴平行四边形AECF是菱形．
（3）证明：∵四边形AECF是菱形，AE=5，
∴四边形AECF的周长为：4×5=20．
【解析】【分析】（1）由折叠的性质与四边形ABCD是平行四边形，易证得∠D′=∠B，AB=AD′，∠1=∠3，继而证得：△ABE≌△AD′F；（2）由折叠的性质与△ABE≌△AD′F，可证得AF=EC，然后由AD∥BC，证得四边形AECF是菱形；（3）由四边形AECF是菱形，AE=5，根据菱形的四条边都相等，即可求得其周长．
22．如图，在
中，
于点
于点
.设
.
（1）求 与 的函数关系式；
（2）若
的周长为25，求
与
的值.
【答案】（1）解：根据平行四边形的面积公式得， .
，
∴
∴
（2）解：∵ 的周长为25，
∴
∴
把 代入 中，得 ，
解得 .
∴
【解析】【分析】(1)利用等积法列出等式，即可求出
与 的函数关系式；
(2)先根据平行四边形的周长建立等式，结合(1)的结论，两式联立求解即可.
23．如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD∥A交BC于点E．
（1）求证：△BCD为等腰三角形；
（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AC，
∵OD⊥BC
∴ ＝ ，
∴BD＝CD，
∴△BDC是等边三角形．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AC，
∵点O是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝ AC＝ ×6＝3，
在Rt△OBE中，
∵BE＝4，OE＝3，
∴OB＝ ＝ ＝5，即OD＝OB＝5，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
【解析】【分析】（1）根据OD⊥BC于E可知＝，所以BD＝CD，故可得出结论；（2）先根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，再OD∥AC，由于点O是AB的中点，所以OE是△ABC的中位线，故OE＝ AC，在Rt△OBE中根据勾股定理可求出OB的长，故可得出DE的长，进而得出结论．
24．已知：直线 与 轴、 轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上，将 沿 折叠后，点 恰好落在AB边上点D处，如图.
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求AC的长；
（3）点P为平面内一动点，且满足以 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出一个符合要求的 点坐标.
【答案】（1）对于直线y＝ x+6，令x＝0，得到y＝6，
∴B（0，6），
令y＝0，得到x＝﹣8，
∴A（﹣8，0）．
（2）∵A（﹣8，0）．B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，∵∠AOB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝10，
由翻折不变性可知，OC＝CD，OB＝BD＝6，∠ODB＝∠BOC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，设CD＝OC＝x，
在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴OC＝3，AC＝OA﹣OC＝8﹣3＝5．
（3）符合条件的点P有3个如图所示．
∵A（﹣8，0），C（﹣3，0），B（0，6），
可得P1（﹣5，6），P2（﹣11，﹣6），P3（5，6）．
（只需直接写对一个P点均可给2分）
【解析】【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，即可得到点A以及点B的坐标；
（2）根据题意，由勾股定理计算得到AB的长度，由折叠的性质，在直角三角形ADC中，即可得到OC的长度以及AC的长度；
（3）根据平行四边形的性质，得到点P的坐标即可。
25．如图，已知M是△ABC的边AB的中点，D是MC的延长线上一点，满足∠ACM=∠BDM.
（1）求证：AC=BD；
（2）若∠BMC=60°，求 的值.
【答案】（1）证明：延长CM至F，使MF=CM，连接AF、BF
∵四边形AFBC中对角线CF、AB互相平分
∴四边形AFBC是平行四边形
∴∠BFM=∠ACM，
∵∠ACM=∠BDM.
∴∠BFM=∠BDM，
∴BD=BF=AC
（2）解：延长CM至点E，使EM=CD，连结AE
∴在△ACE和△BDM中
∴△ACE≌△BDM
∴AE=BM=AM
又∠BMC=60°
∴∠AME=60°
∴△AEM是等边三角形
∴AB=2AM=2ME=2CD
∴ .
【解析】【分析】（1）证明：延长CM至F，使MF=CM，连接AF、BF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形AFBC是平行四边形，根据平行四边形的性质得到∠BFM=∠ACM，等量代换得到∠BFM=∠BDM，即可证明BD=BF=AC；(2)延长CM至点E，使EM=CD，连结AE，证明△ACE≌△BDM，根据全等三角形的性质得到AE=BM=AM，又∠BMC=60°，证明△AEM是等边三角形，得到AB=2AM=2ME=2CD，即可求解.
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