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第8章 三角形 单元综合复习卷
一、单选题
1．在中，是中线，已知，的周长为25cm，的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．图中能表示 的BC边上的高的是
A． B．
C． D．
3．一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是（ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
4．如图， 中， ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图△ABC≌△ADE，若∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=25°，则∠EAC的度数为（ ）
A．45° B．40° C．35° D．25°
6．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5 cm，8 cm B．8cm,8cm,18cm
C．0.1cm,0.1cm,0.1cm D．3cm,40cm,8cm.
7．为防止变形，木工师傅常常在门框钉上两条斜拉的木条（如图中的AB，CD），这样做是运用了三角形的（ ）
A．稳定性 B．灵活性 C．全等性 D．对称性
8．如图，在△ABC中，D是BC上延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（ ）
A．20° B．30° C．70° D．80°
9．把一条长为5cm的线段裁成三段，依据“三角形任何两边的和大于第三边”，下列裁法中，能组成三角形的是（ ）.
A． B．
C． D．
10．如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC，②∠ACB=2∠ADB，③∠ADC=90°-∠ABD，④BD平分∠ADC，其中正确结论有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．将一副直角三角板按如图所示位置摆放，点在直角边上，点在直角边上，若，则 ．
12．如图，以为高的三角形共有 个.
13．已知一个三角形的两边长分别是3 cm和4 cm，第三边长为x
cm(x是奇数)，则x的值是
14．两根木棒的长分别是7cm和9 cm，现要你选择第3根木棒，将它们钉成一个三角形，若选择的木棒长度是7的倍数，则你选择的木棒的长为 cm.
15．在△ABC中，D是BC边的中点，PD＝2AP，若△ABC面积为8，则△EDC的面积为 ．
16．如图ABDE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点P，若∠BPD＝44°，则∠C＝ .
三、综合题
17．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝50°．
（1）求∠EAC的度数；
（2）若∠CAD∶∠E＝1∶3 ；求∠E的度数．
18．如图，已知BD、CE是△ABC的两条高，直线BD、CE相交于点H．
（1）在图中找出与∠DBA相等的角，并说明理由；
（2）若∠BAC＝110°，求∠DHE的度数．
19．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标系中的一点，点为y轴上一点，其中a，b满足方程组
（1）求点A，B的坐标；
（2）若点C为y轴负半轴上一点，且的面积为12，求点C的坐标．
20．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？
21．如图，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED，连结DE．
（1）当∠BAD=60°，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试写出∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
22．由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（铰接点长度忽略不计）
（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A，E之间的距离是 米．
（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是 米．
23．如图，AB∥CD，直线F分别与AB、CD交于点G，H，GM⊥EF，HN⊥EF，交AB于点N，∠1=50°.
（1）求∠2的度数；
（2）求∠HNG的度数.
24．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
25．已知：a，b，c为 的三边长.
（1）若a，b，c满足 ，试判断 的形状；
（2）化简： .
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第8章 三角形 单元综合复习卷
一、单选题
1．在中，是中线，已知，的周长为25cm，的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2．图中能表示 的BC边上的高的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：三角形的高是过三角形的顶点向对边所作垂线段的长，则图中能表示△ABC的BC边上的高的是AG；
故答案为：D.
【分析】三角形的高是过三角形的顶点向对边所作垂线段的长，故 的BC边上的高就应该是过点A向BC所在的直线引垂线段，观察图形即可得出答案.
3．一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是（ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
【答案】B
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
则有，
解得：，
这个多边形的边数为7．
故答案为：B．
【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列出方程，再求出n的值即可。
4．如图， 中， ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】如图，延长BO交AC于D
∵∠A＝40°，∠ABO＝20°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABO＝40°＋20°＝60°，
∵∠ACO＝30°，
∴∠BOC＝∠ACO＋∠BDC＝30°＋60°＝90°，
故答案为：B.
【分析】延长BO交AC于D，直接利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，即可得出结论.
5．如图△ABC≌△ADE，若∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=25°，则∠EAC的度数为（ ）
A．45° B．40° C．35° D．25°
【答案】A
【解析】【解答】∵△ABC≌△ADE，
∴∠D=∠B=80°，∠E=∠C=30°，
∴∠DAE=180° ∠D ∠E=70°，
∴∠EAC=∠EAD ∠DAC=45°，
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的性质得出∠D=∠B，∠E=∠C，再求出∠DAE的度数，然后根据∠EAC=∠EAD ∠DAC，即可求出结果。
6．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5 cm，8 cm B．8cm,8cm,18cm
C．0.1cm,0.1cm,0.1cm D．3cm,40cm,8cm.
【答案】C
【解析】【解答】解：由三角形三边的关系：两边之和大于第三边A.3+5=8,不能构成三角形
B.8+8<18，不能构成三角形;C.0.1+0.1>0.1，能构成三角形；D.3+8<40, 不能构成三角形.
【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可。
7．为防止变形，木工师傅常常在门框钉上两条斜拉的木条（如图中的AB，CD），这样做是运用了三角形的（ ）
A．稳定性 B．灵活性 C．全等性 D．对称性
【答案】A
【解析】【解答】这样做是运用了三角形的稳定性．故选A．
【分析】这种做法根据的是三角形的稳定性．
8．如图，在△ABC中，D是BC上延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（ ）
A．20° B．30° C．70° D．80°
【答案】D
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质得，∠A=120°﹣40°=80°．
故选D．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
9．把一条长为5cm的线段裁成三段，依据“三角形任何两边的和大于第三边”，下列裁法中，能组成三角形的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、1+1<3，故不能组成三角形，选项A不符合题意；
B、1+1.5=2.5，故不能组成三角形，选项B不符合题意；
C、1+2>2，故可组成三角形，选项C符合题意；
D、2+0.4<2.6，故不能组成三角形，选项D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据“三角形任何两边的和大于第三边”，对各个选项进行判断即可.
10．如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC，②∠ACB=2∠ADB，③∠ADC=90°-∠ABD，④BD平分∠ADC，其中正确结论有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠ABC=∠ACB，AD平分△ABC的外角∠EAC
又∵
∴
∴AD∥BC，故①正确
∵
∵BD平分∠ABC
∴
∴
∴
故②正确；
∵AD∥BC
∴
∵CD平分∠ACF
∴
又∵
∴
∴
即
∴③正确；
假设BD平分∠ADC
则：
∵
∴
∴
∴ ，且
∴
∵已知条件不具备
∴BD平分∠ADC假设不成立
∴④错误
故答案为：C.
【分析】 根据三角形外角的性质结合已知得出∠EAC=2∠ABC，根据角平分线的性质得出∠EAC=2∠EAD，从而得出∠EAD=∠ABC，根据同位角相等，二直线平行得出AD∥BC；根据二直线平行内错角相等得出∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得出∠ABC=2∠DBC，根据等量代换即可得出 ∠ACB=2∠ADB； 根据二直线平行内错角相等得出∠ADC=∠DCF，由角平分线的定义得出∠ACF=2∠DCF，进而根据平角的定义即可得出∠ADC+∠ABD=90°；利用反证法即可证出 BD平分∠ADC 不成立.
二、填空题
11．将一副直角三角板按如图所示位置摆放，点在直角边上，点在直角边上，若，则 ．
【答案】
12．如图，以为高的三角形共有 个.
【答案】6
13．已知一个三角形的两边长分别是3 cm和4 cm，第三边长为x
cm(x是奇数)，则x的值是
【答案】3或5
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得4-3又∵x是奇数，∴x的值是3或5．
【分析】先求出114．两根木棒的长分别是7cm和9 cm，现要你选择第3根木棒，将它们钉成一个三角形，若选择的木棒长度是7的倍数，则你选择的木棒的长为 cm.
【答案】7cm或14cm
【解析】【解答】设选择的第三根木棒长为acm.
根据“三角形的任意两边之差小于第三边”可知a＞9-7=2
根据“三角形的任意两边之和大于第三边”可知a＜7+9=16
∴ a的取值范围是2＜a＜16
由于所选择木棒长度是7的倍数，且2＜a＜16，
则选择的第三根木棒长为7或14cm.
故答案为7cm或14cm
【分析】先求出a的取值范围是2＜a＜16，再求出所选择木棒长度是7的倍数，且2＜a＜16，最后求解即可。
15．在△ABC中，D是BC边的中点，PD＝2AP，若△ABC面积为8，则△EDC的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵点D是BC边的中点，△ABC的面积为8，
∴，
S△BDE=S△CDE，
∵PD=2AP
∴；
设S△EDC=S△BDE=x，则S△EDA=4-x，
∴，
∵S△BDE=S△BDP+S△PDE，
即
解之：.
故答案为：
【分析】利用三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，求出△ABD和△ADC的面积，易证S△BDE=S△CDE，再根据PD=2AP，易求出△PBD的面积，设S△EDC=S△BDE=x，则S△EDA=4-x，用含x的代数式表示出△PED的面积，然后根据S△BDE=S△BDP+S△PDE建立关于x的方程，解方程求出x的值。
16．如图ABDE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点P，若∠BPD＝44°，则∠C＝ .
【答案】92°
【解析】【解答】解：如图，延长AB交PD于点M，过点C作CN∥AB，
∵BF平分∠ABC，DG平分∠EDC，
∴设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，
∴∠MBP＝∠ABF＝x，
∵AB∥DE，
∴∠AMD＝∠EDP＝y，
∵∠AMD＝∠BPD＋∠MBP，∠BPD＝44°，
∴y＝44°＋x，
∴y－x＝44°，
∵AB∥DE，CN∥AB，
∴CN∥DE，
∴∠CDE＋∠NCD＝180°，
∴∠NCD＝180°－∠CDE＝180°－2y，
∵CN∥AB，
∴∠NCB＝∠ABC＝2x，
∴∠BCD＝∠NCD＋∠NCB
＝180°－2y＋2x
＝180°－2（y－x）
＝180°－2×44°
＝92°，
故答案为：92°.
【分析】延长AB交PD与点M，过点C作CN∥AB，利用角平分线的定义可设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，可得到∠MBP＝∠ABF＝x；再利用平行线的性质表示出∠AMD的度数，利用三角形的外角的性质可用含x的代数式表示出y；利用两直线平行，同旁内角互补，可表示出∠NCD的度数，同时可表示出∠NCB的度数；然后根据∠BCD＝∠NCD＋∠NCB，代入计算求出∠C的度数.
三、综合题
17．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝50°．
（1）求∠EAC的度数；
（2）若∠CAD∶∠E＝1∶3 ；求∠E的度数．
【答案】（1）解：∵∠EAD＝∠EDA
∴∠EAC+∠CAD＝∠B+∠BAD
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD＝∠BAD
∴∠EAC＝∠B
∵∠B＝50°
∴∠EAC＝50°
（2）解：设∠CAD＝x，则∠E＝3x，∠DAB＝x
∵∠B＝50°
∵∠EDA＝∠EAD＝x＋50°
∵∠EDA+∠EAD+∠E＝180°
∴x+50°+x+50°+3x＝180°
∴x＝16°
∴∠E＝3x＝48°
【解析】【分析】（1）中将相等的两角利用三角形外角性质和角的和差分别用两角和表示出来，再利用角平分线的性质，得到其中一组角相等，最后得结果。
（2）中由比例关系，通常用方程思想设1份为x，根据比例关系设出另一个角，然后根据题目条件表示出其他角，最后利用三角形内角和为180°这一等量关系列方程求解即可。
18．如图，已知BD、CE是△ABC的两条高，直线BD、CE相交于点H．
（1）在图中找出与∠DBA相等的角，并说明理由；
（2）若∠BAC＝110°，求∠DHE的度数．
【答案】（1）解： ，理由：
BD、CE是高
（2）解：在四边形HDAE中， ，
，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）依据等角的余角相等，即可得到结论；（2）根据四边形的内角和是360°，求得∠DHE的度数；
19．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标系中的一点，点为y轴上一点，其中a，b满足方程组
（1）求点A，B的坐标；
（2）若点C为y轴负半轴上一点，且的面积为12，求点C的坐标．
【答案】（1）解：因为a，b满足方程组，所以解这个方程组，得，所以，，所以点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）解：设点C的坐标为，又因为点A的坐标为，点B的坐标为，所以，所以，所以点C的坐标为．
【解析】【分析】（1）利用加减消元法求出的解，即可得到点A、B的坐标；
（2）设点C的坐标为，利用求出n的值，即可得到点C的坐标。
20．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？
【答案】（1）解：∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°
（2）解：过E作BC边的垂线，F为垂足，则EF为所求
（3）解：过A作BC边的垂线AG，
∴AD为△ABC的中线，BD=5，
∴BC=2BD=2×5=10，
∵△ABC的面积为40，
∴ BC AG=40，即 ×10 AG=40，解得AG=8，
∵EF⊥BC于F，
∴EF∥AG，
∵E为AD的中点，
∴EF是△AGD的中位线，
∴EF= AG= ×8=4．
【解析】【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；（2）过E作BC边的垂线即可；（3）过A作BC边的垂线AG，再根据三角形中位线定理求解即可．
21．如图，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED，连结DE．
（1）当∠BAD=60°，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试写出∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=105°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC．
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠ADC﹣∠EDC=105°﹣∠EDC=45°+∠EDC，
解得：∠CDE=30°
（2）解：∠CDE= ∠BAD，
理由：设∠BAD=x，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+x，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠CDE，
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠ADC﹣∠CDE=∠45°+x﹣∠CDE=45°+∠CDE，
得：∠CDE= ∠BAD
【解析】【分析】（1）先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°=105°，∠AED=∠C+∠EDC，再根据∠B=∠C，∠ADE=∠AED即可得出结论；（2）利用（1）的思路与方法解答即可．
22．由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（铰接点长度忽略不计）
（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A，E之间的距离是 米．
（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是 米．
【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
∵FB=DF，FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，∠B=∠D，
∴∠FAE=∠B，
∴AE∥BD，
∴ = ，
∴ = ，
∴AE= ，
故答案为 ．
（2）如图中，
作BN⊥FA于N，延长AB、DC交于点M，连接BD、AD、BF、CF．在Rt△BFN中，
∵∠BNF=90°，BN= ，FN=AN+AF= +2= ，
∴BF= = ，同理得到AC=DF= ，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠MBC=∠MCB=60°，
∴∠M=60°，
∴CM=BC=BM，
∵∠M+∠MAF=180°，
∴AF∥DM，∵AF=CM，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF=AM=3，
∵∠BCD=∠CBD+∠CDB=60°，∠CBD=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB=30°，∵∠M=60°，
∴∠MBD=90°，
∴BD= =2 ，同理BE=2 ，
∵ ＜3＜2 ，
∴用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，
∴连接AC、BF、DF即可，
∴所用三根钢条总长度的最小值3 ，
故答案为3 ．
【分析】（1）只要证明AE∥BD，得 = ，列出方程即可解决问题．（2）分别求出六边形的对角线并且比较大小，即可解决问题．本题考查三角形的稳定性、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理．等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形以及平行四边形，属于中考常考题型．
23．如图，AB∥CD，直线F分别与AB、CD交于点G，H，GM⊥EF，HN⊥EF，交AB于点N，∠1=50°.
（1）求∠2的度数；
（2）求∠HNG的度数.
【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠EHD=∠1=50°，
∴∠2=∠EHD=50°
（2）解：∵HN⊥EF，
∴∠NHG=90°
∵∠NGH=∠1=50°，
∴∠HNG=90°﹣50°=40°.
【解析】【分析】（1）根据两直线平行同位角相等可得∠EHD=∠1=50°， 再根据对顶角相等即可求出∠2的度数； （2）由已知条件可得∠NHG=90° ，根据对顶角相等求出∠NGH=∠1=50°， 再根据直角三角形的两锐角互余即可求出∠HNG的度数.
24．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴ ∠ABC=90°-∠A= 50°．
∴ ∠CBD= 130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴ ∠CBE= ∠CBD= 65°
（2）解：∵∠ACB= 90°，∠CBE=65°，
∴ ∠CEB=90°- 65°= 25°．
∵DF∥BE，
∴ ∠F=∠CEB= 25°
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理可求出∠ABC的度数，利用邻补角的定义求出∠CBD的度数，然后利用角平分线的定义求出∠CBE的度数.
（2 ）利用三角形的内角和定理求出∠CEB的度数，再利用平行线的性质可求出∠F的度数.
25．已知：a，b，c为 的三边长.
（1）若a，b，c满足 ，试判断 的形状；
（2）化简： .
【答案】（1）解：由题意得： 或
∴ 或
∴ 为等腰三角形；
（2）
【解析】【解答】解：（2）∵a，b，c为 的三边长
∴ ， ，
∴原式
故填： .
【分析】（1）根据题意得出 或 即可判断 的形状；（2）根据三角形的三边关系先去掉绝对值，然后合并同类项即可.
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