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第19章 矩形、菱形与正方形 单元知识巩固卷
一、单选题
1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．如图，在菱形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，，，点在边上，若平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，证明矩形的对角线相等．已知：四边形 是矩形．求证： ．以下是排乱的证明过程：①∴ ， ；②∵ ；③∵四边形 是矩形；④∴ ；⑤∴ ．
甲的证明顺序是：③①②⑤④
乙的证明顺序是：②③①⑤④
则下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙都对 B．甲和乙都不对
C．甲对乙不对 D．乙对甲不对
5．如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
6．如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M，N分别是边、上的动点，P是线段上的动点，连接，，使．当的值最小时，线段的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．正方形四边中点的连线围成的四边形（最准确的说法）一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
8．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
9．如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．11
10．如图，在菱形中，，O为对角线的交点.将菱形绕点O逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为E，F，G，H.对八边形给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点O到该八边形各顶点的距离都相等；
④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等.
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，EF过点O分别交AB，CD于E，F，已知AB＝8cm，AD＝5cm，那么图中阴影部分面积为 cm2．
12．如图，在矩形中，点、分别是边、上的动点，，若，，则的最小值是．
13．如图，在矩形中，，点E是边上一点，若平分，则的面积为 ．
14．如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是 ．
15．如图，正方形纸片ABCD的边长为6，E是AD上一点．沿BE折叠该纸片，得点A的对应点为点F，延长EF交CD于点G，若G为CD的中点，则AE的长为 ．
16．如图两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，重叠部分为四边形ABCD，且AB+BC＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
三、综合题
17．王华同学要证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”是正确的，她先作出了如图所示的平行四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在平行四边形ABCD中， ，求证：平行四边形ABCD是 ．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按王晓的想法写出证明过程；
证明：
18．如图，在 中， ， 的平分线 ， 分别与线段 交于点 ， ， 与 交于点 .
（1）求证： ， .
（2）若 ， ， ，求 和 的长度.
19．如图，正方形ABCD中，E，F分别在AD，DC上，EF的延长线交BC的延长线于G点，且∠AEB=∠BEG；
（1）求证：∠ABE= ∠BGE；
（2）若AB=4，AE=1，求S△BEG．
20．如图：
（1）观察推理：如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l的同侧，垂足分别为.求证：△AEC≌△CDB．
（2）类比探究：如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB，，连接CB，，求△ACB，的面积.
（3）拓展提升：如图③，在△EBC中，∠E=∠ECB=60°，EC=BC=3，点O在BC上，且OC=2，动点P从点E沿射线EC以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.要使点 F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间t.
21．如图，在中，点E、F分别在、上，且，直线与、的延长线分别交于点G、H．
（1）求证：；
（2）连接、，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
22．数学活动实验、猜想与证明
（1）问题情境
数学活动课上，小颖向同学们提出了这样一个问题：如图（1），在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分别是AB，CD的中点，作射线MN，连接MD，MC，请直接写出线段MD与MC之间的数量关系．
（2）解决问题
小彬受此问题启发，将矩形ABCD变为平行四边形，其中∠A为锐角，如图（2），AB=2BC，M，N分别是AB，CD的中点，过点C作CE⊥AD交射线AD于点E，交射线MN于点F，连接ME，MC，则ME=MC，请你证明小彬的结论；
（3）小丽在小彬结论的基础上提出了一个新问题：∠BME与∠AEM有怎样的数量关系？请你回答小丽提出的这个问题，并证明你的结论．
23．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长度．
24．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC= ．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
25．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CEPD'，旋转角为a.
（1）当点D'恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图2，G为BC中点，且0°
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△ DCD'与A CBD'能否全等 若能，直接写出旋转角α的值：若不能说明理由.
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第19章 矩形、菱形与正方形 单元知识巩固卷
一、单选题
1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】D
【解析】【解答】解：菱形的性质有两组对边分别平行，四边相等，对角线互相垂直平分，对角相等；平行四边形的性质有，两组对边分别平行，两组对边相等，对角线互相平分，对角相等，
菱形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相垂直.
故答案为：D.
【分析】菱形的性质：具有平行四边形的性质，菱形的四条边相等，菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；平行四边形的性质：对边相等，对边平行，对角相等，对角线互相平分，据此判断即可.
2．如图，在菱形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∴∠A=180°-30°-30°=120°，
故答案为：D
【分析】先根据菱形的性质即可得到AB=AD，进而根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求解。
3．如图，在矩形中，，，点在边上，若平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4．如图，证明矩形的对角线相等．已知：四边形 是矩形．求证： ．以下是排乱的证明过程：①∴ ， ；②∵ ；③∵四边形 是矩形；④∴ ；⑤∴ ．
甲的证明顺序是：③①②⑤④
乙的证明顺序是：②③①⑤④
则下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙都对 B．甲和乙都不对
C．甲对乙不对 D．乙对甲不对
【答案】A
【解析】【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD、∠ABC=∠DCB=90°．
∵BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴AC=DB，
∴证明步骤正确的顺序是：③①②⑤④，
∴甲的证明过程符合题意；
证明：∵BC=CB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD、∠ABC=∠DCB=90°．
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴AC=DB，
∴证明步骤正确的顺序是：②③①⑤④，
∴乙的证明过程符合题意；
故答案为：A
【分析】利用矩形的性质与全等三角形的判定与性质对每个选项一一判断求解即可。
5．如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
6．如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M，N分别是边、上的动点，P是线段上的动点，连接，，使．当的值最小时，线段的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
7．正方形四边中点的连线围成的四边形（最准确的说法）一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】C
【解析】【解答】解：连接AC、BD，交于O，
∵正方形ABCD，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∵E是AD的中点，H是CD的中点，F是AB的中点，G是BC的中点，
∴EH∥AC，FG∥AC，EF∥BD，GH∥BD，EF=BD，EH=AC，
∴EF=EH，EF⊥EH，四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是正方形．
故选C．
【分析】连接AC、BD，根据正方形的性质求出AC=BD，AC⊥BD，根据三角形的中位线定理求出EH∥AC，FG∥AC，EF∥BD，GH∥BD，EF=BD，EH=AC，推出EF=EH，EF⊥EH，四边形EFGH是平行四边形即可得出答案．
8．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
【答案】A
【解析】【解答】解：∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，∴BA=BF，
∵折痕为BE，沿EF剪下，∴四边形ABFE为矩形，∴四边形ABEF为正方形．
故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．故答案为：A．
【分析】利用折叠的性质，可证得BA=BF，易证四边形ABFE为矩形，利用一组邻边相等的矩形是正方形，可得出答案。
9．如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．11
【答案】C
10．如图，在菱形中，，O为对角线的交点.将菱形绕点O逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为E，F，G，H.对八边形给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点O到该八边形各顶点的距离都相等；
④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等.
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【解析】【解答】解：延长BD和DB，连接OH，
∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴∠BAO=∠DAO=30°，∠AOD=∠AOB=90°，
∵ 菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D'，
∴点A'、B'、C'、D'一定在对角线AC、BD上，且OD=OD'=OB=OB'，OA=OA'=OC=OC'，∴AD'=C'D，∠D'AH=∠DC'H=30°，
又∵∠D'HA=∠DHC'，
∴△AD'H≌△C'DH（AAS），
∴D'H=DH，C'H=AH，
同理可证D'E=BE，BF=B'F，B'G=DG，
∵∠EA'B=∠HC'D=30°，A'B=C'D，∠A'BE=∠C'DH=120°，
∴△A'BE'≌△C'DH（ASA），
∴DH=BE，
∴DH=BE=D'H=D'E=BF=B'F=B'G=DG，
∴该八边形各边都相等，故①正确；
根据角平分线的性质定理得点O到该八边形各边所在直线的距离相等，故④正确；
根据题意得∠ED'H=120°，
∵∠D'OD=90°，∠OD'H=∠ODH=60°，
∴∠D'HD=150°，
∴该八边形各个内角不相等，故②错误；
∵OD=OD'，D'H=DH，OH=OH，
∴△D'OH≌△DOH（SSS），
∴∠D'OH=∠DOH=45°，∠D'HO=∠DHO=75°，
∴OD≠OH，
∴点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误，
综上，正确的有①④.
故答案为：B.
【分析】延长BD和DB，连接OH，由菱形性质得∠BAO=∠DAO=30°，∠AOD=∠AOB=90°，由旋转性质得点A'、B'、C'、D'一定在对角线AC、BD上，且OD=OD'=OB=OB'，OA=OA'=OC=OC'，从而可用AAS判断出△AD'H≌△C'DH，得D'H=DH，C'H=AH，同理可证D'E=BE，BF=B'F，B'G=DG；由ASA判断出△A'BE'≌△C'DH，得DH=BE，据此可判断①；根据角平分线的性质定理得点O到该八边形各边所在直线的距离相等，可判断④；通过角度计算可判断②；用SSS判断出△D'OH≌△DOH，得∠D'OH=∠DOH=45°，∠D'HO=∠DHO=75°， 据此可判断③.
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，EF过点O分别交AB，CD于E，F，已知AB＝8cm，AD＝5cm，那么图中阴影部分面积为 cm2．
【答案】10
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，，，
，
在与中，
，
阴影部分的面积最后转化为了的面积，
中，，
平分，
阴影部分的面积：
故答案为：10.
【分析】根据矩形的性质可得AB∥CD，∠DAB=90°，OA=OB=OC=OD，根据平行线的性质可得∠EBO=∠FDO，证明△EOB≌△FOD，则可将阴影部分的面积转化为△AOB的面积，根据OB=OD结合三角形的面积公式可得S△AOB=S△ABD，据此计算.
12．如图，在矩形中，点、分别是边、上的动点，，若，，则的最小值是．
【答案】
13．如图，在矩形中，，点E是边上一点，若平分，则的面积为 ．
【答案】6
14．如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是 ．
【答案】
15．如图，正方形纸片ABCD的边长为6，E是AD上一点．沿BE折叠该纸片，得点A的对应点为点F，延长EF交CD于点G，若G为CD的中点，则AE的长为 ．
【答案】2
【解析】【解答】∵ 正方形纸片ABCD的边长为6，G为CD的中点，
∴根据折叠的性质，设AE=EF=x，BA=BF=BC，∠A=∠BFG=∠BCG=90°，DG=CG=3，
∵ BG=BG，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），
∴FG=CG=DG=3
∴EG=x+3，
根据勾股定理，得，
解得x=2，
故AE=2，
故答案为：2．
【分析】设AE=EF=x，利用“HL”证出Rt△BFG≌Rt△BCG，可得FG=CG=DG=3，再利用勾股定理可得，再求出x的值，即可得到AE的长。
16．如图两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，重叠部分为四边形ABCD，且AB+BC＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
【答案】4.5
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，
∴AE＝1，AF＝3，
∴S平行四边形ABCD=BC·AE＝CD·AF=AB·AF，
∴BC＝3AB；
∵AB＋BC＝6，
∴4AB=6
解之：AB＝1.5，
∴S平行四边形ABCD=AB·AF=1.5×3=4.5.
故答案为：4.5.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得AB=CD，结合已知可得到AE，AF的长，利用平行四边形的面积公式可证得BC＝3AB，由AB＋BC＝6，可求出AB的长，然后求出平行四边形ABCD的面积.
三、综合题
17．王华同学要证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”是正确的，她先作出了如图所示的平行四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在平行四边形ABCD中， ，求证：平行四边形ABCD是 ．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按王晓的想法写出证明过程；
证明：
【答案】（1）AC=BD；矩形
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD=BC，
在△ADC和△BCD中，
∵AC=BD，AD=BC，CD=DC
∴△ADC≌△BCD，
∴∠ADC=∠BCD．
又∵AD∥CB，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADC=∠BCD=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形
【解析】【分析】在△ABD和△CDB中， ∵AC=BD，AD=BC，CD=DC，∴△ADC≌△BCD．∴∠ADC=∠BCD，∴AB//CD，AD//CB， ∴四边形ABCD是平行四边形∠ADC+∠BCD=180°，∴∠ADC=∠BCD=90°．一个角是直角的平行四边形是矩形.
18．如图，在 中， ， 的平分线 ， 分别与线段 交于点 ， ， 与 交于点 .
（1）求证： ， .
（2）若 ， ， ，求 和 的长度.
【答案】（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF= ∠BAD.
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE= ∠ADC.
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
即2∠DAF+2∠ADE=180°，
∴∠DAF+∠ADE=90°，
∴∠AGD=180°-（∠DAF+∠ADE）=180°-90°=90°.
∴AF⊥DE；
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠AFB=∠BAF，
∴BF=AB，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CED=∠CDE，
∴CE=CD，
∵AB=CD，
∴BF=CE；
（2）∵BF=AB=6，
∴CE=BF=6.
∴CE+BF=12，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴BC=AD=10.
∴10+EF=12，
∴EF=2，
过点D作DH∥AF交BC的延长线于点H.
∴∠EDH=∠AGD=90°.
∵AF∥DH，AD∥FH，
∴四边形AFHD为平行四边形.
∴DH=AF=8，FH=AD=10.
∴EH=EF+FH=2+10=12，
∴在Rt△DHE中：DE= = ，
∴EF的长度为2，DE的长度为 .
【解析】【分析】（1）由角的平分线和平行线性质易得∠BFA=∠BAD，∠DEC=∠ADC，由平行四边形性质可得∠BAD+∠ADC=180°，即可得∠EGF=90°可得结果；由角的平分线和平行线性质易得BF=AB，CE=CD可得结果；
（2） 过点D作DH∥AF交BC的延长线于点H ，易得 四边形AFHD为平行四边形 ，即DH=AF=8， FH=AD=10 ，根据（1）易得EF的长度，由勾股定理可得结果.
19．如图，正方形ABCD中，E，F分别在AD，DC上，EF的延长线交BC的延长线于G点，且∠AEB=∠BEG；
（1）求证：∠ABE= ∠BGE；
（2）若AB=4，AE=1，求S△BEG．
【答案】（1）解：作GM⊥BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠A=∠ABC=∠BMG=90°，AD∥BG，
∵∠AEB=∠BEG，∠AEB=∠EBG，
∴∠BEG=∠EBG，
∴GE=GB，∵GM⊥EB，
∴∠MGB=∠MBE，BM=EM，
∵∠ABE+∠EBG=90°，∠EBG+∠MGB=90°，
∴∠ABE=∠MGB= ∠EGB
（2）解：在Rt△ABE中，BE= = = ，∴BM= ，
∵∠ABE=∠MGB，∠A=∠GMB=90°，
∴△ABE∽△MGB，
∴ = ，
∴ = ，
∴GM=2 ，
∴S△EBG= × ×2 =17．
【解析】【分析】（1）作GM⊥BE于M．首先证明EG=GB，∠MGB=∠MGE，再证明∠ABE=∠MGB即可．（2）求出BE、GM即可解决问题．
20．如图：
（1）观察推理：如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l的同侧，垂足分别为.求证：△AEC≌△CDB．
（2）类比探究：如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB，，连接CB，，求△ACB，的面积.
（3）拓展提升：如图③，在△EBC中，∠E=∠ECB=60°，EC=BC=3，点O在BC上，且OC=2，动点P从点E沿射线EC以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.要使点 F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间t.
【答案】（1）证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）
（2）解：根据题意得出旋转后图形，AC′⊥AC，过点B′D⊥AC于点D，
∵∠C′AC=∠AC′B′=∠ADB′，
∴四边形C′ADB′是矩形，
∴AC′=B′D=AC=4，
∴S△AB′C的面积= ×AC×B′D= ×4×4=8．
故答案为：8．
（3）解：EP=3+1=4，t=4s．
【解析】【分析】（1）由AEEC，BDCD可得∠AEC=∠CDB=90°，再根据同角的余角相等得出∠ACE=∠CBD，然后利用角角边判定 △AEC和△CDB全等． （2） 过点B′D⊥AC于点D， 根据同角的余角相等可得∠ B′AD=∠ABD，然后利用角角边判定△ B′AD与△ABC全等，由全等三角形的对应边相等可得 B′D=AC=4， 再根据面积计算公式求出即可。（3）由旋转可知∠FOP=120°，OP=OF，根据角角边判定△FBO与△OCP全等，由全等三角形的对应边相等可得PC=OB=1，从而求出BP=4，再由速度，时间，路程的关系求出点P运动的时间即可。
21．如图，在中，点E、F分别在、上，且，直线与、的延长线分别交于点G、H．
（1）求证：；
（2）连接、，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：在中，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）四边形是矩形；
证明：连接、，
在中，，
由（1）知，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【解析】【分析】（1）先证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）连接AH、GC，先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出平行四边形是矩形。
22．数学活动实验、猜想与证明
（1）问题情境
数学活动课上，小颖向同学们提出了这样一个问题：如图（1），在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分别是AB，CD的中点，作射线MN，连接MD，MC，请直接写出线段MD与MC之间的数量关系．
（2）解决问题
小彬受此问题启发，将矩形ABCD变为平行四边形，其中∠A为锐角，如图（2），AB=2BC，M，N分别是AB，CD的中点，过点C作CE⊥AD交射线AD于点E，交射线MN于点F，连接ME，MC，则ME=MC，请你证明小彬的结论；
（3）小丽在小彬结论的基础上提出了一个新问题：∠BME与∠AEM有怎样的数量关系？请你回答小丽提出的这个问题，并证明你的结论．
【答案】（1）MD=MC
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，∠A=∠B=90°
∵点M为AB的中点
∴AM=BM
在△AMD和△BMC中
∴△AMD≌△BMC
∴MD=MC
（2）∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AM=BM，CN=DN
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD
∴AM=BM= CN=DN
∴四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形
∴AD∥MN
∴
∴CF=EF
∵CE⊥AD
∴CE⊥MN
∴MN垂直平分CE
∴ME=MC
（3）∠BME=3∠AEM，证明如下：
∵四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形
∴AD∥MN∥BC，CF∥BM，MN=BC
∴∠AEM=∠EMF，∠NCM=∠BMC
∵AB=2BC，AB=CD=2CF
∴CF=MN
∴∠NCM=∠NMC
∴∠BMC=∠NMC
∵ME=MC，MF⊥CE
∴∠EMF=∠NMC
∴∠BME=∠EMF＋∠NMC＋∠BMC=3∠EMF=3∠AEM
即∠BME=3∠AEM
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AD=BC，∠A=∠B=90°，然后利用SAS证出△AMD≌△BMC，即可得出结论；（2）根据平行四边形的判定证出四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形，利用平行线分线段成比例定理证出CF=EF，从而得出MN垂直平分CE，根据垂直平分线的性质即可证出结论；（3）根据平行四边形的性质可得AD∥MN∥BC，CF∥BM，MN=BC，然后根据平行线的性质、三线合一和等边对等角证出∠AEM=∠EMF、∠BMC=∠NMC、∠EMF=∠NMC，从而证出结论．
23．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明： 四边形 是菱形，
且 ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
四边形 是矩形；
（2）解： 四边形 是菱形， ，
，
，
，
在 中， ，
在 中， ．
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得AD∥BC，AD=BC，结合CF=BE，由线段的和差关系得BC=EF，则AD=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，由垂直的概念可得∠AEF=90°，然后根据矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）进行证明；
（2）根据菱形的性质可得AB=BC=AD=10，则BE=BC-EC=6，然后在Rt△ABE、Rt△AEC中，利用勾股定理进行计算.
24．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC= ．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
【答案】（1）证明：当∠AOF=90°时，
∵∠BAO=∠AOF=90°，
∴AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
在△AOF和△COE中
．
∴△AOF≌△COE（ASA）．
∴AF=EC
（3）解：四边形BEDF可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE
由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，
∴EF与BD互相平分．
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．
在Rt△ABC中，AC= = =2，
∴OA=1=AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．
【解析】【分析】（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，可根据勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB⊥AC，∴∠AOB=45°．
25．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CEPD'，旋转角为a.
（1）当点D'恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图2，G为BC中点，且0°（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△ DCD'与A CBD'能否全等 若能，直接写出旋转角α的值：若不能说明理由.
【答案】（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴CD′=CD=2，
在Rt△ CED′中，CD′=2，CE=1，∴∠ CD′E=30°，
∵ CD∥ EF，∴ ∠ α=30°
（2）证明：∵ G为BC中点，
∴CG=1，∴CG=CE，
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△E′CD中
，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′=E′D
（3）解：能．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，∵CD′=CD′，
∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，
当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，
当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α= =135°，
当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠ BCD′=∠ DCD′= ∠BCD=45°
则α=360°﹣ =315°，即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△ DCD′全等．
【解析】【分析】（1）由旋转的特点可得CD′=CD，可知CE=CD′，由含30°的直角三角形的性质可得∠ CD′E=30°， 再由平行线的性质可得 ∠ α=30° ；
（2）由线段之间的关系推出 CE′=CG， 由角的关系推出 ∠GCD′=∠DCE′ ，利用边角边定理证明△ △GCD′≌△E′CD ，则可得出 GD′=E′D ；
（3）根据旋转的性质可得 △BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形， 可知当两个三角形顶角相等时全等，分两种情况讨论， 当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时和当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，分别求出旋转角a的大小即可 .
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