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第4章 平面内的两条直线 单元模拟测试卷
一、单选题
1．下列现象中，属于平移的是 ( )
A．空中飞翔的风筝
B．篮球被运动员投出并进入篮筐的过程
C．飞机在跑道上滑行至静止的运动过程
D．乒乓球比赛中运动员高抛发球后，乒乓球的运动轨迹
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离
B．同一平面内，若，则
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3．若和的两边分别平行，且比的两倍少，则的度数为( )
A． B． C．或 D．
4．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，且PA=5 cm，PB=4 cm，PC=3 cm，则点P到直线l的距离为( )
A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．不大于3 cm
5．如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠DCE；④∠B+∠BAD=180°，其中能推出 的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
6．下列图形中，根据，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知a∥b，某学生将一直角三角板放置如图所示，如果∠1=35°，那么∠2的度数为（ ）
A．35° B．55° C．56° D．65°
8．如图所示，已知AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF等于（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
9．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°，∠C=（ ）度．
A．40 B．45 C．50 D．55
10．如图，直线m⊥n．在平面直角坐标系xOy中，x轴∥m，y轴∥n．如果以O1为原点，点A 的坐标为（1，1）．将点O1平移2个单位长度到点O2，点A的位置不变，如果以O2为原点，那么点A的坐标可能是（ ）
A．（3，﹣1） B．（1，﹣3）
C．（﹣2，﹣1） D．（2+1，2+1）
二、填空题
11．如图，AB∥CD，EF交AB、CD于点G、H，GM、HM分别平分∠BGH、∠GHD，GM、HM交于点M，则∠GMH ＝ .
12．如图，EN⊥CD，点M在AB上，∠MEN＝156°，当∠BME＝ °时，AB∥CD.
13．如图，，若，，，则∠AEC的度数为 ．
14．如图，直 线l∥m，点A在直线l上，点c在直线m上，且有AB⊥BC，∠1=40°，则∠2= 度．
15．如图，直线 ， 平分 ，若 ，则 .
16．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角的度数为 °．
三、综合题
17．如图，公园里有一个长方形花坛，长为2a米，宽为 米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路(阴影部分)，剩余部分栽种花卉；
（1）栽种花卉部分的面积是多少？
（2）当时，面积为多少？
18．如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2.
（1）请说明AB∥CD；
（2）试判断BM与DN是否平行，为什么？
19．已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）．
（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，总有：∠CPD=∠PCA+∠PDB，请说明理由；
（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系（只需直接给出结论）？
20．问题背景：如图1，已知，点P的位置如图所示，连接PA，PC，试探究∠APC与∠A、∠C之间的数量关系，并说明理由．
解：∠APC与∠A、∠C之间的数量关系是：．
理由：如图1，过点P作，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
总结：本题通过添加适当的辅助线，从而利用平行线的性质，使问题得以解决．
（1）类比探究：如图2，已知，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若，，求∠AEC的度数．
（2）拓展延伸：如图3，若∠ABC与∠ADC的角平分线相交于点F，求∠BFD与∠AEC之间的数量关系．
21．已知点C在射线OA上.
（1）如图①，CD∥OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）；
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系.
22．如图，在△ABC中 ，∠A=∠B，D、E是边AB上的点，DG∥AC，EF∥BC，DG、EF相 交于点H．
（1）∠HDE与∠HED是否相等？并说明理由．
解：∠HDE=∠HED．理由如下：
∵DG∥AC(已知)
∴ ＝ （ ）
∵ EF∥BC (已知)
∴ ＝ （ ）
又∵∠A=∠B (已知)
∴ ＝ （ ）.
（2）如果∠C=90°，DG、 EF有何位置关系？并仿照 (1)中的解答方法说明理由．
解： ．理由如下：
23．如图①②， 的两边分别平行.
（1）在图①中， 与 有什么数量关系？为什么？
（2）在图②中， 与 有什么数量关系？为什么？
（3）由（1）（2）你能得出什么结论？用一句话概括你得到的结论.
24．已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．
（1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数；
（2）求证：CE平分∠OCA；
（3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由．
25．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．
小明的解题思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？
请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
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第4章 平面内的两条直线 单元模拟测试卷
一、单选题
1．下列现象中，属于平移的是 ( )
A．空中飞翔的风筝
B．篮球被运动员投出并进入篮筐的过程
C．飞机在跑道上滑行至静止的运动过程
D．乒乓球比赛中运动员高抛发球后，乒乓球的运动轨迹
【答案】C
【解析】【解答】解：A、空中飞翔的风筝。风筝在空中飞翔时，其运动轨迹通常不是直线，因此不符合平移的定义，则本项不符合题意；
B、篮球被运动员投出并进入篮筐的过程。篮球在投出后，其运动轨迹为抛物线，不是直线运动，因此不符合平移的定义，则本项不符合题意；
C、飞机在跑道上滑行至静止的运动过程。飞机在跑道上滑行时，其运动方向和速度保持一致，直到静止，这符合平移的定义，则本项符合题意；
D、乒乓球比赛中运动员高抛发球后，乒乓球的运动轨迹。乒乓球在高抛发球后，其运动轨迹为抛物线，不是直线运动，因此不符合平移的定义，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平移运动是指物体在运动过程中，其上任意两点的连线方向和距离保持不变的运动。这意味着物体在运动过程中，其形状和大小不发生改变，且运动方向和速度保持一致，据此逐项分析即可.
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离
B．同一平面内，若，则
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
3．若和的两边分别平行，且比的两倍少，则的度数为( )
A． B． C．或 D．
【答案】C
4．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，且PA=5 cm，PB=4 cm，PC=3 cm，则点P到直线l的距离为( )
A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．不大于3 cm
【答案】D
【解析】【解答】根据直线外一点到直线的距离即为垂线段的长度和垂线段最短的性质由垂线段最短，所以点P到直线l的距离为不大于3cm．故答案为：D.
【分析】根据直线外一点到直线的距离即为垂线段的长度和垂线段最短的性质由垂线段最短，求解.
5．如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠DCE；④∠B+∠BAD=180°，其中能推出 的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
【解析】【解答】①∵∠1=∠2，
∴AB∥CD；
②∵∠3=∠4，
∴AD∥BC；
③∵∠B=∠DCE，
∴AB∥CD；
④∵∠B+∠BAD=180°，
∴AD∥BC；
∴能得到AB∥CD的条件是①③.
故答案为：B
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行逐一判断即可.
6．下列图形中，根据，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，不符合题意；
B．∵，
∴，得不到，不符合题意；
C．如图，
∵，
∴，
∵，
∴，符合题意；
D．由得不到，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质求解即可。
7．已知a∥b，某学生将一直角三角板放置如图所示，如果∠1=35°，那么∠2的度数为（ ）
A．35° B．55° C．56° D．65°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠3=∠4，
∵∠3=∠1，
∴∠1=∠4，
∵∠5+∠4=90°，且∠5=∠2，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=35°，
∴∠2=55°，
故答案为：B．
【分析】根据二直线平行同位角相等得出∠3=∠4，根据对顶角相等得出∠3=∠1，故∠1=∠4，根据直角三角形两锐角互余得出∠5+∠4=90°，且∠5=∠2，故∠1+∠2=90°，从而得出答案。
8．如图所示，已知AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF等于（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD∥AB，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵AB∥EF，
∴CD∥EF，
∴∠DCE+∠CEF =180°，
∴∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=360°，
∴∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°，
故答案为：C.
【分析】过点C作CD∥AB，得出∠BAC+∠ACD=180°，根据平行公理得出CD∥EF，得出∠DCE+∠CEF =180°，两式相加即可得出∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.
9．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°，∠C=（ ）度．
A．40 B．45 C．50 D．55
【答案】C
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠BAF=180°﹣∠B=100°．
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF= ∠BAF=50°，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠CAF=50°．
故选C．
【分析】先根据平行线的性质得出∠BAF的度数，再由AC平分∠BAF求出∠CAF的度数，根据平行线的性质即可得出结论．
10．如图，直线m⊥n．在平面直角坐标系xOy中，x轴∥m，y轴∥n．如果以O1为原点，点A 的坐标为（1，1）．将点O1平移2个单位长度到点O2，点A的位置不变，如果以O2为原点，那么点A的坐标可能是（ ）
A．（3，﹣1） B．（1，﹣3）
C．（﹣2，﹣1） D．（2+1，2+1）
【答案】A
二、填空题
11．如图，AB∥CD，EF交AB、CD于点G、H，GM、HM分别平分∠BGH、∠GHD，GM、HM交于点M，则∠GMH ＝ .
【答案】90°
【解析】【解答】解：∵AB∥CD
∴∠BGH+∠GHD=180 （两直线平行，同旁内角互补）
又GM、HM分别平分∠BGH、∠GHD，
∴∠MGH+∠GHM=90 （角平分线的定义）
∴ ∠GMH=180 -（∠MGH+∠GHM）=180 -90 =90 （三角形内角和定理）.
故答案为 90°.
【分析】根据平行线的性质得出∠BGH+∠GHD=180，然后根据角平分线的定义得出∠MGH与∠GHM之和为90°，即可求出∠GMH=90°.
12．如图，EN⊥CD，点M在AB上，∠MEN＝156°，当∠BME＝ °时，AB∥CD.
【答案】66.
13．如图，，若，，，则∠AEC的度数为 ．
【答案】100°
【解析】【解答】解：在△ACD中，∠1＝37°，∠DAC＝89°，
∴∠D＝180° ∠DAC ∠1＝54°，
∵AE∥CD，
∴∠BAE＝∠D＝54°，
∵∠DBC＋∠BAE＋∠AEB＝180°，∠DBC＝46°，
∴∠AEB＝180° 54° 46°＝80°，
∴∠AEC＝180° ∠AEB＝180° 80°＝100°，
故答案为：100°．
【分析】先求出∠AEB＝180° 54° 46°＝80°，再利用邻补角的性质可得∠AEC＝180° ∠AEB＝180° 80°＝100°。
14．如图，直 线l∥m，点A在直线l上，点c在直线m上，且有AB⊥BC，∠1=40°，则∠2= 度．
【答案】50
【解析】【解答】解：过点B作BD∥l，则BD∥m，
∴∠ABD=∠1=40°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBD=50°，
∴∠2=∠CBD=50°．
故答案为：50．
【分析】添加辅助线，转化为基本图形，因此过点B作BD∥l，就可证得BD∥m∥l，根据两直线平行，内错角相等，可证得∠ABD=∠1，∠2=∠CBD，再根据垂直的定义，求出∠CBD的度数，就可求出∠2的度数。
15．如图，直线 ， 平分 ，若 ，则 .
【答案】50°
【解析】【解答】∵AB//CD，
∴∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=130°，
∴∠BDC=180° ∠ABD=50°，
∴∠2=∠BDC=50°.
【分析】由平行线的性质得到∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，由BC平分∠ABD，得到∠ABD=2∠ABC=130°，于是得到结论.
16．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角的度数为 °．
【答案】120
三、综合题
17．如图，公园里有一个长方形花坛，长为2a米，宽为 米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路(阴影部分)，剩余部分栽种花卉；
（1）栽种花卉部分的面积是多少？
（2）当时，面积为多少？
【答案】（1）
（2）
18．如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2.
（1）请说明AB∥CD；
（2）试判断BM与DN是否平行，为什么？
【答案】（1）解：∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴AB∥CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行)
（2）解：BM∥DN.理由如下：
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°(垂直的定义).
∵∠1＝∠2，
∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2，
即∠MBE＝∠NDE.
∴BM∥DN(同位角相等，两直线平行)
【解析】【分析】 (1) 根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 即可说明AB∥CD.
(2)根据同位角相等，两直线平行 可以判断出BM与DN平行.
19．已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）．
（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，总有：∠CPD=∠PCA+∠PDB，请说明理由；
（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系（只需直接给出结论）？
【答案】（1）证明：
如图1，过点P作PE∥a，则∠1=∠CPE．
∵a∥b，PE∥a，
∴PE∥b，
∴∠2=∠DPE，
∴∠3=∠1+∠2，
即∠CPD=∠PCA+∠PDB；
（2）解：∠CPD=∠PCA﹣∠PDB．
理由：
如图2，过点P作PE∥b，则∠2=∠EPD，
∵直线a∥b，
∴a∥PE，
∴∠1=∠EPC，
∵∠3=∠EPC﹣∠EPD，
∴∠3=∠1﹣∠2，
即∠CPD=∠PCA﹣∠PDB
（3）解：∠CPD=∠PDB﹣∠PCA．
证明：如图3，
设直线AC与DP交于点F，
∵∠PFA是△PCF的外角，
∴∠PFA=∠1+∠3，
∵a∥b，
∴∠2=∠PFA，
∴∠2=∠1+∠3，
∴∠3=∠2﹣∠1，
即∠CPD=∠PDB﹣∠PCA．
【解析】【分析】（1）过点P作a的平行线，根据平行线的性质进行求解；（2）过点P作b的平行线PE，由平行线的性质可得出a∥b∥PE，由此即可得出结论；（3）设直线AC与DP交于点F，由三角形外角的性质可得出∠1+∠3=∠PFA，再由平行线的性质即可得出结论．
20．问题背景：如图1，已知，点P的位置如图所示，连接PA，PC，试探究∠APC与∠A、∠C之间的数量关系，并说明理由．
解：∠APC与∠A、∠C之间的数量关系是：．
理由：如图1，过点P作，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
总结：本题通过添加适当的辅助线，从而利用平行线的性质，使问题得以解决．
（1）类比探究：如图2，已知，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若，，求∠AEC的度数．
（2）拓展延伸：如图3，若∠ABC与∠ADC的角平分线相交于点F，求∠BFD与∠AEC之间的数量关系．
【答案】（1）解：如图2，过E点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知：，
如图3，过F点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴，，
∴，
即．
【解析】【分析】 (1)、过E点作， 内错角相等，根据平行的传递性得出CD∥EM，下一步证得内错角相等 ，再根据对顶角相等即可解得.
(2)、过F点作， 内错角相等 ， 两直线平行内错角相等可得 ， 再根据角平分线的性质即可求得.
21．已知点C在射线OA上.
（1）如图①，CD∥OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）；
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系.
【答案】（1）解：∵CD∥OE，
∴∠AOE＝∠OCD＝120°，
∴∠BOE＝360°-∠AOE-∠AOB＝360°-90°-120°＝150°
（2）解：∠OCD+∠BO′E′＝360°-α.
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，
∴OF∥O′E′，
∴∠AOF＝180°-∠OCD，∠BOF＝∠E′O′O＝180°-∠BO′E′，
∴∠AOB＝∠AOF+∠BOF＝180°-∠OCD+180°-∠BO′E′＝360°-（∠OCD+∠BO′E′）＝α，
∴∠OCD+∠BO′E′＝360°-α；
（3）解：∠AOB＝∠BO′E′.
证明：∵∠CPO′＝90°，
∴PO′⊥CP，
∵PO′⊥OB，
∴CP∥OB，
∴∠PCO+∠AOB＝180°，
∴2∠PCO＝360°-2∠AOB，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCD＝2∠PCO＝360°-2∠AOB，
∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′＝360°-α＝360°-∠AOB，
∴360°-2∠AOB+∠BO′E′＝360°-∠AOB，
∴∠AOB＝∠BO′E′.
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AOE＝∠OCD＝120°， 然后根据周角的概念进行计算；
（2）过O点作OF∥CD， 则CD∥O′E′∥OF， 根据平行线的性质可得∠AOF＝180°-∠OCD，∠BOF＝∠E′O′O＝180°-∠BO′E′， 则∠AOB＝∠AOF+∠BOF＝360°-(∠OCD+∠BO′E′)＝α，据此解答；
（3）根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得CP∥OB， 由平行线的性质可得∠PCO+∠AOB=180°， 则2∠PCO＝360°-2∠AOB， 根据角平分线的概念可得∠OCD＝2∠PCO＝360°-2∠AOB， 由（2）知∠OCD+∠BO′E′＝360°-∠AOB， 据此解答.
22．如图，在△ABC中 ，∠A=∠B，D、E是边AB上的点，DG∥AC，EF∥BC，DG、EF相 交于点H．
（1）∠HDE与∠HED是否相等？并说明理由．
解：∠HDE=∠HED．理由如下：
∵DG∥AC(已知)
∴ ＝ （ ）
∵ EF∥BC (已知)
∴ ＝ （ ）
又∵∠A=∠B (已知)
∴ ＝ （ ）.
（2）如果∠C=90°，DG、 EF有何位置关系？并仿照 (1)中的解答方法说明理由．
解： ．理由如下：
【答案】（1）∠A；∠HDE；两直线平行，同位角相等；∠B；∠HED；两直线平行，同位角相等；∠HDE；∠HED；等量代换
（2）DG⊥EF
【解析】【解答】解：(1)∠HDE=∠ＨED．理由如下：
∵DG∥AC(已知)
∴∠A＝∠HDE (两直线平行，同位角相等)
∵ EF∥ BC(已知)
∴∠B＝∠HED (两直线平行，同位角相等)
又∵∠A=∠B(已知)
∴∠HDE ＝∠HED （等量代换）.
（ 2 ）DG⊥EF．理由如下：
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠C＝90°，
∵AC∥DG，
∴∠DHE＝∠AFE＝90°，
∴DG⊥EF.
【分析】（1）由两直线平行，同位角相等可得∠A＝∠HDE；∠B＝∠HED，根据等量代换得 ∠HDE=∠HED ；
（2） DG⊥EF
由两直线平行，同位角相等可得∠AFE＝∠C＝90°，∠DHE＝∠AFE，由等量代换得∠DHE=∠C＝90°，再根据垂线的定义可得DG⊥EF.
23．如图①②， 的两边分别平行.
（1）在图①中， 与 有什么数量关系？为什么？
（2）在图②中， 与 有什么数量关系？为什么？
（3）由（1）（2）你能得出什么结论？用一句话概括你得到的结论.
【答案】（1）解：∠B=∠E
理由：∵BA∥EF，BC∥DE，
∴∠B=∠EOC，∠EOC=∠E，
∴∠B=∠E；
（2）解：∠B+∠E=180°
理由：∵BA∥ED，BC∥EF，
∴∠B=∠DOC，∠BOE+∠E=180°，
∵∠DOC=∠BOE，
∴∠B+∠E=180°；
（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
【解析】【分析】（1）∠B=∠E；理由：由平行线的性质可得∠B=∠EOC，∠EOC=∠E，即得∠B=∠E；
（2）∠B+∠E=180°；理由：由平行线的性质可得∠B=∠DOC，∠BOE+∠E=180°，由对顶角相等可知 ∠DOC=∠BOE， 从而得出∠B+∠E=180°；
（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
24．已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．
（1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数；
（2）求证：CE平分∠OCA；
（3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由．
【答案】（1）解：∵AB∥ON
∴∠O＝∠MCB（两直线平行，同位角相等）
∵∠O＝50°
∴∠MCB＝50°
∵∠ACM+∠MCB＝180°（平角定义）
∴∠ACM＝180°﹣50°＝130°
又∵CD平分∠ACM
∴∠DCM＝65°（角平分线定义）
∴∠BCD＝∠DCM+∠MCB＝65°+50°＝115°
（2）证明：∵CE⊥CD
∴∠DCE＝90°
∴∠ACE+∠DCA＝90°
又∵∠MCO＝180°（平角定义）
∴∠ECO+∠DCM＝90°
∵∠DCA＝∠DCM
∴∠ACE＝∠ECO（等角的余角相等）
即CE平分∠OCA
（3）解：结论：当∠O＝36°或90°时，CA分∠OCD成1：2两部分
①当∠O＝36°时
∵AB∥ON
∴∠ACO＝∠O＝36°
∴∠ACM＝144°
又∵CD平分∠ACM
∴∠ACD＝72°
∴∠ACO＝ ∠ACD
即CA分∠OCD成1：2两部分
②当∠O＝90°时
∵AB∥ON
∴∠ACO＝∠O＝90°
∴∠ACM＝90°
又∵CD平分∠ACM
∴∠ACD＝45°
∴∠ACD＝ ∠ACO
即CA分∠OCD成1：2两部分
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可以得出∠BCM的度数，再根据角平分线的定义即可得出角∠DCM的度数，进而得出∠BCD的度数；
（2）根据CD平分∠ACM，CE⊥CD，利用等角的余角相等即可得出CE平分∠OCA；
（3）当∠O＝36°或90°时，CA分∠OCD成1：2两部分，①当∠O＝36°时，②当∠O＝90°时，分类讨论即可。
25．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．
小明的解题思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？
请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【答案】（1）解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）解：当P在BA延长线时，∠CPD=∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE﹣∠DPE=∠β﹣∠α；
当P在AB延长线时，∠CPD=∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE﹣∠CPE=∠α﹣∠β．
【解析】【分析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
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