陕西省西安市铁一中学2025届高三第八次模拟考试数学试题（含解析）

2025年陕西省西安市铁一中学高考数学八模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则p是q的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知直线l、m、n与平面、，下列命题正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，，则
5.已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.若且，则( )
A. B. C. 5 D. 6
7.已知等差数列的前n项和为，且，是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为R，且对任意，满足，且，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是( )
A. 复数的虚部为
B.
C. 复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为
D. 若复数z满足条件，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界
10.下列说法正确的是( )
A. 数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9
B. 若，，且，则C，D相互独立
C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
D. 若样本数据…，的平均数为4，的平均数为22，则样本数据，，…，，9的方差为20
11.过点P作抛物线的两条切线PA，PB，切点为，，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是( )
A. 点P的坐标为
B. 若线段AB的中点为M，PM与抛物线交于点N，则
C. 设抛物线上A，B之间任意一点Q处的切线分别与PA，PB交于点C，D，记，，的面积分别为，，，则
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，则______.
13.如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高现削去部分铁料不计损耗，将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部.则削去部分与原正四棱台的体积之比为______.
14.如图，平面内有A，B，C，D4个区域，随机在这4个区域之间画3道连线，且任意两个区域之间最多画一道连线，则从A，B，C，D任何一个区域，都可以通过连线及区域到达其它区域的概率为______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题12分
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，
求的面积；
求的值.
16.本小题12分
在哈尔滨2025年第九届亚洲冬季运动会的志愿者选拔工作中，面试满分为100分，现随机抽取了120名候选人的面试成绩分为五组，第一组第二组第三组第四组第五组绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三组的频率成等差数列，第一组的频率等于第五组的频率.
求a，b的值，并估计这120名候选人成绩的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表和中位数中位数精确到；
已知120名候选人中，男、女生各60人，男生想去冰上赛区的有35人，女生想去冰上赛区的有20人，请补全下面列联表.请问是否有的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关？结果精确到
志愿者 性别 合计
男生 女生
想去冰上赛区 35 20
不想去冰上赛区
合计 60 60
附：
滑冰项目的场地服务需要4名志愿者，有4名男生和2名女生通过选拔入围，现随机从6名同学中抽取4人服务该场地，记男生被抽中的人数为X，求X的分布列及期望.
17.本小题12分
如图所示，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别是各边的中点，现将，，分别沿DE，EF，DF折起，使得，，所在平面均与底面DEF垂直.
求证：平面平面DEF；
求二面角的正弦值.
18.本小题12分
设，分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆C的短轴的一个端点，的面积为，椭圆C的离心率为
求椭圆C的方程.
如图，M，N，G是椭圆C上不重合的三点，原点O是的重心.
当直线NG垂直于x轴时，求点M到直线NG的距离；
求点M到直线NG的距离的最大值.
19.本小题12分
已知函数，
求在处的瞬时变化率；
若恒成立；求a的值；
求证：
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合，，
故
故选：
先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：若，则，充分性成立；
若，则或，可知必要性不成立．
综上所述，p是q的充分不必要条件．
故选：
根据三角函数的定义与特殊角的三角函数值，对两个条件进行正反推理论证，进而判断出正确答案．
本题主要考查三角函数的定义、充要条件的判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：为偶函数，A错误；
，为非奇非偶函数，BC错误；
在区间上为严格增函数的奇函数，D正确．
故选：
由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，l与n可能平行，也可能异面，A错误；
对于B，l与可能平行、也能相交，B错误；
对于C，l与m可以平行、也可以相交或异面，C错误；
对于D，若，，必有，D正确；
故选：
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查直线、平面的位置关系，涉及线面平行的判定和性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：双曲线的离心率为，
则，解得，
双曲线的焦点位于y轴，
故，，
则
故选：
根据已知条件，结合双曲线的性质，即可求解．
本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为且，所以，且，所以，且，
且有，，所以，，，
所以，，则，
又因为且，解得
故选：
利用指数与对数的互化可得出m、n的表达式，结合换底公式可求得k的值．
本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：设等差数列的首项为，公差为d，
因为，所以，
得到，即，
因为是以1为公差的等差数列，所以，
则，化简得，
即，因为，所以，解得，
则，，，故A，C错误，
因为，故B正确，
，故D错误．
故选：
设等差数列首项和公差作为基本量，再结合给定条件，为等差数列，建立方程组求解参数，最后结合等差数列的通项公式及求和公式逐个选项分析求解即可得出正确答案．
本题考查等差数列通项公式及前n项和公式的考查，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：当时，
因为，
所以，， ，，
由累加法可得，
又，
，
故，故AB错误，
由，， ，，
所以，
故，所以C错误，D正确．
故选：
根据累加法可得，，即可求解．
本题考查抽象函数的应用，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于复数的虚部为，故A错误；
，故B正确；
复数与分别表示向量与，
则，
因为，
所以表示向量的复数为，故C正确；
对于D：对于D，设复数，若复数z满足条件，
则有，故复数z对应点的集合是以原点O为圆心，
分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界，故D正确．
故选：
对于A，由复数的代数式可判断；对于B，利用复数的乘方运算求解可判断；对于C，结合向量的运算法则，即可求解可判断；对于D，结合复数的几何意义，即可求解判断．
本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：将数据8，6，4，11，3，7，9，10，
从小到大排列为3，4，6，7，8，9，10，11，共8个数，
则，则上四分位数为，故A错误；
由，，且，由条件概率公式得，得到，即C，D相互独立，故B正确；
因为，，
由对称性可知在的概率等于在的概率的2倍，
当越大，数据越离散，其概率越小，故C错误；
由样本数据，，，，的平均数为4，得，，，，，4的平均数为4，
由，，，，的平均数为22，得，
因此，，，，，4的方差为，
，，， ，，9的方差为，故D正确．
故选：
A选项利用上四分位数的计算方法进行计算；B选项利用对立事件及条件概率公式进行检验；C 选项利用正态分布中的意义进行解释；D选项利用方差公式进行计算．
本题主要考查正态分布的对称性，考查计算能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于选项A，由，得到，则，
由导数的几何意义知，曲线在点处的切线方程为，
整理得到，
又，所以，即，
同理可得曲线在点的处切线方程为，
则，
解得，
所以点P的坐标为，故选项A正确；
对于选项B，易知，由选项A知PM的方程为，
所以，代入，
得，
所以N是线段PM的中点，故，所以选项B正确；
对于选项C，由选项B知PM垂直x轴，不妨设，
则
，
由，同理可得，
所以，故选项C错误；
对于选项D，点P的坐标为，点F的坐标为，
则，
又由抛物线定义可知，
所以，故选项D正确．
故选：
对于A，利用导数的几何意义，求出在点A，B处的切线方程，联立切线方程，即可求解；
对于B，根据题设条件，直接求得，即可求解；
对于C，根据题设求得，即可求解；
对于D，利用两点间的距离公式及抛物线的焦半径公式，即可求解．
本题考查抛物线方程的应用，属于难题．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，
，即，
故答案为：
先求出，由可得，进而结合勾股定理求解即可．
本题考查坐标计算向量的模，以及垂直关系的向量表示，属于简单题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意可得正四棱台的体积为，
又该正四棱台的内切圆台的体积为，
所以所求比例为
故答案为：
根据棱台与圆台的体积公式，即可求解．
本题考查台体的体积问题，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：4个区域任意两个区域之间画一道连线，一共可以画出道连线，
从6道连线任意选择3道，共有种情况，
其中不连通的情况为3道连线组成三角形，有4种情况，
所以所求概率为
故答案为：
利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
15.【答案】3；

【解析】由余弦定理，代入，，，，
化简得，解得，则，
由，得，
面积；
由正弦定理，得，
则，
，
由余弦差公式，
根据余弦定理即可求解；
根据正弦定理，余弦差公式即可求解．
本题考查了解三角形，属于中档题．
16.【答案】，，平均值为：，中位数为：；
有的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关；
分布列见解析，
【解析】由题意：又
解得，，平均值为：，
设中位数为：；
志愿者 性别 合计
男生 女生
想去冰上赛区 35 20 55
不想去冰上赛区 25 40 65
合计 60 60 120
，
所以有的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关；
男生被抽中的人数X可能取值为2，3，4，
，，
X的分布列为：
x 2 3 4
P
利用频率分布直方图，求得a，b，从而可得平均值与中位数；
根据题意补全列联表，再利用卡方公式求得结合参考表格即可得解．
可能取值为2，3，4，写出的概率，求出分布列与均值．
本题考查离散型随机变量的均值数学期望，属于中档题．
17.【答案】证明：因为为正三角形，且D，E，F分别是各边的中点，
所以，，均为正三角形，
分别取DE，EF，FD的中点，，，则，，，，
因为平面底面DEF，平面底面，平面ADE，
所以平面DEF，
同理可得平面DEF，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面DEF，平面DEF，
所以平面DEF，
同理可得平面DEF，
又，平面ABC，平面ABC，
所以平面平面
解：由可知，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面CDA的法向量为，则，即，
令，得，，所以，
易知平面EDA的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则，，
所以，
所以二面角的正弦值为
【解析】先利用面面垂直的性质定理证明平面DEF，平面DEF，可得，从而知四边形为平行四边形，进一步得，于是有平面DEF，同理可证平面DEF，然后由面面平行的判定定理即可得证；
以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握空间中线、面平行或垂直的判定与性质定理，利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：设椭圆C的半焦距为c，，
因为椭圆C的离心率为，
所以，
又，
因为的面积为，
解得，
所以，
则椭圆C的方程为；
设，，
因为直线NG垂直于x轴，
所以，
因为原点O是的重心，
所以，
解得，，
因为点M在椭圆上，
所以，
解得，
则M到直线NG的距离为；
当直线NG斜率不存在时，点M到直线NG的距离为；
当直线NG斜率存在时，
设直线NG方程为，，，，
联立，消去y并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
因为原点O是的重心，
所以，
解得，
即，
所以，
整理得，
则点M到直线NG的距离
故当NG与x轴垂直时点M到直线NG的距离最大为
【解析】根据已知可得，，再结合求出椭圆方程．
设出M，N，G三点坐标根据重心坐标公式和已知条件列出方程得到M的纵坐标为0，从而解出横坐标，进而解出结果．
讨论直线NG有无斜率两种情况，有斜率时设出直线NG的方程，与椭圆联立，结合根与系数关系，重心坐标表示出M的坐标，代入椭圆得到一个关系式，利用点到直线距离公式表示点 M到直线 NG的距离并化简，结合式子结构，综合两种情况解出结果．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：，则，
故在处的瞬时变化率为
解：设，
由条件可知恒成立，
由于，且的图象在定义域内是连续不间断的，
是的一个极大值点，则，
又，，解得，
下证当时，对任意的恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，即，而，
当时，，
综上，若恒成立，则，
证明：由可知，，
，
先证，，
令，则，故在单调递增，
故，故，，
，
再证，
设，
则当时，单调递减，
当时，，单调递增，
当，故，当且仅当时取等号，
令，则，，
，
，
综上可知：
【解析】求导，即可根据瞬时变化率的定义求解，
根据可知是的一个极大值点，由，可得，接下来利用导数求证对任意的恒成立即可，
构造函数以及，求导得两个不等式和，即可利用，累加求解．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于难题．