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浙教版2024—2025学年八年级下册期末临考预测猜题卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所围成的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
2．某篮球队 5 名场上队员的身高 (单位： ) 分别是： . 现用一名身高为 的队员换下场上身高为 的队员，与换人前相比，换人后场上队员的身高
A．平均数变小， 方差变小 B．平均数变小， 方差变大
C．平均数变大， 方差变小 D．平均数变大， 方差变大
3．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线垂直的四边形是菱形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．有一个内角为直角的平行四边形是正方形
4．已知点E，F分别在边长为3的正方形的边，上，且点F 为的三等分点，若平分，则的长为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．当时，反比例函数 的函数值为（ ）
A． B． C． D．
6．电动自行车已成为人们日常出行的首选工具，据某品牌电动自行车经销商3至5月份的统计，该品牌电动自行车3月份销售150辆，5月份销售216辆，求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率．设该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在矩形中，，，点是上一点，分别以点为圆心．以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点，直线交于点，且，则的面积是（ ）．
A． B． C． D．
8．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．满足下列条件的四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形
B．对角线互相垂直的菱形
C．对角线相等的矩形
D．有一个角是直角且邻边相等的平行四边形
10．如图所示，已知 为反比例函数 图象上的两点，动点 在 轴正半轴上运动，当 的值最大时，连结 ， 的面积是 （ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某人学习小组在某次测试中，成绩分分别为：，，，，，方差，后来老师发现每人都少加了分，每人补加分后，这人新成绩的方差 ．
12．如图，在中，，，的平分线交于点，的平分线交于点，则线段的长为 ．
13．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于 度．
14．小明在计算方差时，使用公式 ，则公式中的 .
15．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是 ．
16．如图，已知在平面直角坐标系ｘＯｙ中，等腰直角三角形ABC的斜边AB⊥ｘ轴于点A，经过点B的反比例函数 （ｋ＞0，ｘ＞0）的图象交边AC于点D，连结ＯB，ＯC．若点D是AC中点，△ＯBC的面积为1，则ｋ的值是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在中，，D为边上一点，连接，E为中点，过点C作交BE的延长线于F，连接交于点G，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求四边形的面积．
18．如图，在中，点D，E分别是边的中点，，交的延长线于点F，连接交于点O．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
19．为了解甲、乙两个班在数学测试中对某一个解答题的解答情况，分别在两个班随机抽取了20名学生的成绩（满分10分），对其进行整理、描述和分析．下面给出①、②两组信息：
①乙班20名学生成绩的条形统计图如图所示：
②甲、乙两个班所抽取的20名学生成绩的平均数、众数、中位数和方差如下表所示：（单位：分）
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 7 7 7
乙 7 m p
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：上表中 ， ；
（2）求上表中的值，并用样本估计总体的方法分析哪个班学生的成绩表现更稳定？
20．随着合肥都市圈的成立，合肥市将加大对都市圈内基础设施投人，尽快形成合肥都市圈“1小时通勤圈”和“1小时生活圈”．在都市圈内，计划四年完成对某条重要道路改造工程，2019年投入资金2000万元，2021年投入的资金为2420万元，设这两年问每年投人资金的年平均增长率相同．
（1）求出这两年间的年平均增长率．
（2）若对该道路投人资金的年平均增长率不变，预计完成这条道路改造工程的总投入．
21．某水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价后价格为8.1元/kg，并且两次降价的百分率相同.
时间/天 x
销量/kg 120－x
储藏和损耗费用/元 3x2－64x＋400
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg，设销售该水果第x天（1≤x＜10）的利润为377元，求x的值.
22．如图，平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（﹣6，0），D（0，3），点C在反比例函数y的图象上.
（1）直接写出点C坐标，并求反比例函数的表达式；
（2）将平行四边形ABCD向上平移得到平行四边形EFGH，使点F在反比例函数y的图象上，GH与反比例函数图象交于点M.连结AE，求AE的长及点M的坐标.
23．在矩形ABCD中，点E，点F分别为边BC，DA延长线上的点，且CE=AF，连接AE，DE，BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AF=1，AB=2，AD= ，求证：AE平分∠DEB．
24．如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．
25．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的长．
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浙教版2024—2025学年八年级下册期末临考预测猜题卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所围成的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】C
【解析】【解答】解： 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，
， ，EH=FG= BD，EF=HG= AC，
四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
四边形 是正方形，
故答案为：C．
【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其为平行四边形，再根据邻边互相垂直且相等，可得四边形是正方形．
2．某篮球队 5 名场上队员的身高 (单位： ) 分别是： . 现用一名身高为 的队员换下场上身高为 的队员，与换人前相比，换人后场上队员的身高
A．平均数变小， 方差变小 B．平均数变小， 方差变大
C．平均数变大， 方差变小 D．平均数变大， 方差变大
【答案】A
【解析】【解答】解： 当用一名身高为 的队员换下场上身高为 195cm 的队员，换人前后相比，队员的身高总和减小，但队员人数不变，故平均数变小；
原本最大值为195，换人后换成194，数据的波动变小，故方差变小.
故答案为：A.
【分析】根据平均数和方差的定义和意义即可得出答案.
一般地，对于n个数x1，x2，...，xn，我们把叫做这n个数的算术平均数( mean)，简称平均数.
方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，方差越小，数据波动就越小，越稳定.
3．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线垂直的四边形是菱形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．有一个内角为直角的平行四边形是正方形
【答案】C
【解析】【解答】解：A：对角线垂直且平分的四边形是菱形，是假命题；故A不符合题意；
B：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是假命题；故B不符合题意；
C：对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；故C符合题意；
D：有一个内角为直角的平行四边形是矩形，是假命题；故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，根据对角线垂直且平分的四边形是菱形，可判断A；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断B；对角线相等的平行四边形是矩形，可判断C；有一个内角为直角的平行四边形是矩形，可判断D；逐项判断即可解答．
4．已知点E，F分别在边长为3的正方形的边，上，且点F 为的三等分点，若平分，则的长为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
，，
∵平分，
∴∠AEF=∠GEF.
延长EA到点G，使EG=EF，如图所示：
又∵∠AEF=∠GEF，BE=BE，
∴△GBE≌△FBE（SAS），
∴BG=BF.
又∵∠GAB=∠EAB=∠C=90°，
AB=CB，
∴△GAB≌△FCB（HL），
∴AG=CF.
设，则，
∵F为线段CD的三等分点，
①当时，，AG=CF=1.
∴，
在中，由得，
，
解得，
；
②当时，，AG=CF=2.
∴，
由得，
，
解得
．
综上，的长为或．
故答案为：A．
【分析】延长EA到点G，使EG=EF，结合正方形的性质可角平分线的定义，可利用SAS证明△GBE≌△FBE，进而再利用证明△GAB≌△FCB，可得AG=CF.设，则，EF=EG=AG+x．然后分两种情况讨论：①当时，②当时两种情况，在中利用勾股定理列方程求出x的值即可．
5．当时，反比例函数 的函数值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：把代入得，
故答案为：B．
【分析】将代入反比例函数解析式，计算即可得到答案．
6．电动自行车已成为人们日常出行的首选工具，据某品牌电动自行车经销商3至5月份的统计，该品牌电动自行车3月份销售150辆，5月份销售216辆，求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率．设该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 设该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为x，
根据题意，得：150（1+x）2=216.
故答案为：D.
【分析】设该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为x， 根据公式a（1±x）n=m(其中a是变化以前的量，m是变化之后的量，n表示变化的次数，x表示变化率，即可得出方程.
7．如图，在矩形中，，，点是上一点，分别以点为圆心．以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点，直线交于点，且，则的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意知：是线段的垂直平分线，
点在上，
，
又，
，
又在矩形中，
，
，
故选：B．
【分析】由尺规画图的步骤可以判定是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，进而求出长度，再由勾股定理求出，即可求得的面积．
8．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
移项得：
配方得：
即：
故答案为：B
【分析】依据配方法求解一元二次方程的基本步骤，即可解答.
9．满足下列条件的四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形
B．对角线互相垂直的菱形
C．对角线相等的矩形
D．有一个角是直角且邻边相等的平行四边形
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，在四边形ABCD中，，，
观察图形可知，四边形ABCD不是正方形，故ABC不符合题意，
故答案为：D.
【分析】有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形.
10．如图所示，已知 为反比例函数 图象上的两点，动点 在 轴正半轴上运动，当 的值最大时，连结 ， 的面积是 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】当 时， ，当 时， ，
∴ .
连接AB并延长AB交x轴于点 ，当P在 位置时， ，即此时 的值最大.
设直线AB的解析式为 ，
将 代入解析式中得
解得 ，
∴直线AB解析式为 .
当 时， ，即 ，
.
故答案为：D.
【分析】先根据反比例函数解析式求出A，B的坐标，然后连接AB并延长AB交x轴于点P’，当P在P'位置时，PA- PB= 4B ，即此时|AP - BP|的值最大，利用待定系数法求出线AB的解析式，从而求出P'的坐标，进而利用面积公式求面积即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某人学习小组在某次测试中，成绩分分别为：，，，，，方差，后来老师发现每人都少加了分，每人补加分后，这人新成绩的方差 ．
【答案】7.6
【解析】【解答】解：
方法一：每人补加2分后，是：88，90，93，93，96，
平均数是（分），
方差是S2=[(88-92)2+(90-92)2+2×(93-92)2+(96-92)2]=7.6.
方法二：
每人补加2分后，平均数加2，但方差不变，方差与原来的相同，都是7.6.
故答案为：7.6.
【分析】根据方差公式求解：先求出平均数，再求方差；或根据规律解答：当每个数据xk，变成nxk+b，那么平均数变成n+b，方差变成n2S2 .
12．如图，在中，，，的平分线交于点，的平分线交于点，则线段的长为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形
，，
又平分
同理可得：
．
故答案为：4．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得AD∥BC，AB=CD=6，BC=AD=8，由二直线平行，内较长相等及角平分线的定义可得∠AEB=∠EBC=∠EBA，由等角对等边得AE=AB=6，同理可得DF=DC=6，进而根据EF=AE+FD-BC代值计算可得答案.
13．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于 度．
【答案】72
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为n，根据题意，得：
（n-2）×180°=540°，
∴n=5，
∴这个多边形的每一个外角为：360°÷5=72°。
故第1空答案为：72°。
【分析】首先根据多边形内角和定理求出正多边形的边数，然后再根据多边形的外角和恒等于360°，求出正多边形的每一个外角即可。
14．小明在计算方差时，使用公式 ，则公式中的 .
【答案】4
【解析】【解答】解：根据方差公式可知，这组数据分别是：2，3，3，8；
，
故答案为：4.
【分析】首先根据方差的计算方法确定出这组数据，然后根据算术平均数的计算方法计算即可.
15．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是 ．
【答案】10
【解析】【解答】 解：过点F作FGLAB，交AB的延长线于点G，过点D作DHLFG于点H
∴∠G=∠DHG=∠DHF=90°
∵∠ABC=90°
∴GBC=90°
∴四边形BCHG为矩形
∴BC=GH，BG=CH
同理：四边形DEFH为矩形
∴DH= EF， DE=HF
∵BC =4， DE=EF=2
∴GH=4，HF=DH=2
∵AB=CD=3
∴AG=AB+BG=AB+CD+DH=3+3+2=8，GF=GH+HF=4+2=6
∴
故答案为：10
【分析】过点F作FGLAB，交AB的延长线于点G，过点D作DHLFG于点H，则∠G=∠DHG=∠DHF=90°，根据矩形判定定理可得四边形BCHG为矩形，则BC=GH，BG=CH，同理：四边形DEFH为矩形，则DH= EF， DE=HF，再根据边之间的关系可得AG，再根据勾股定理即可求出答案.
16．如图，已知在平面直角坐标系ｘＯｙ中，等腰直角三角形ABC的斜边AB⊥ｘ轴于点A，经过点B的反比例函数 （ｋ＞0，ｘ＞0）的图象交边AC于点D，连结ＯB，ＯC．若点D是AC中点，△ＯBC的面积为1，则ｋ的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点B作EF⊥y轴于点F，过点C作CE⊥EF于点E，过点C作CM⊥AB于点M，
∴∠ABE=∠E=∠BMC=90°，
∴四边形BMCE是矩形，
∵等腰直角△ABC斜边AB⊥ｘ轴于点A，
∴∠ABC=45°，
∴∠EBC=45°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∴BE=CE，
∴四边形BMCE是正方形，
∴BE=CE=CM=AB，
∵ 经过点B的反比例函数 （ｋ＞0，ｘ＞0）的图象交边AC于点D，
设点A（x，0），则
∴BE=CE=CM=，，
∴点C
∵点D是AC的中点，
∴，
∵
∴
整理得
k2=（4-k）x2①；
∵点B，D在反比例函数图象上，
∴
整理得
②
将②代入①得
∵k≠0
解之：.
故答案为：.
【分析】过点B作EF⊥y轴于点F，过点C作CE⊥EF于点E，过点C作CM⊥AB于点M，易证四边形BMCE是矩形，再利用垂直的定义及等腰直角三角形的性质可证得BE=CE，可推出四边形BMCE是正方形，由此可证得BE=CE=CM=AB；设点A（x，0），可表示出点B的坐标，同时可表示出BE，CE的长可得到点C的坐标；利用线段中点坐标的计算方法，可表示出点D的坐标，根据，可得到k2=（4-k）x2①；再根据点B，D在反比例函数图象上，可得方程，整理可得到②，将②代入①，可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在中，，D为边上一点，连接，E为中点，过点C作交BE的延长线于F，连接交于点G，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵E为中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形
（2）解：过点C作于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【解析】【分析】(1)由中点的定义得到CE=DE，再利用平行线的性质通过AAS判定，然后由证得四边形为平行四边形.
(2)先利用的直角三角形的性质求得的三边长度，进而得到高线CH的长，再通过平行四边形的面积公式计算四边形的面积．
18．如图，在中，点D，E分别是边的中点，，交的延长线于点F，连接交于点O．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵点D，E分别是边的中点，
∴
又∵
∴四边形为平行四边形，
∴
（2）解：∵点D，E分别是边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴平行四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴．
【解析】【分析】(1)先利用中位线定理得到，进而判定四边形为平行四边形，再证得.
(2)先利用中位线定理证得BC=BE，进而可得四边形为菱形，再通过菱形的性质可得，，然后由三角形的内角和定理求得的度数．
19．为了解甲、乙两个班在数学测试中对某一个解答题的解答情况，分别在两个班随机抽取了20名学生的成绩（满分10分），对其进行整理、描述和分析．下面给出①、②两组信息：
①乙班20名学生成绩的条形统计图如图所示：
②甲、乙两个班所抽取的20名学生成绩的平均数、众数、中位数和方差如下表所示：（单位：分）
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 7 7 7
乙 7 m p
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：上表中 ， ；
（2）求上表中的值，并用样本估计总体的方法分析哪个班学生的成绩表现更稳定？
【答案】（1）8；7
（2）解：
，
∵，即，
∴乙班学生的成绩表现更稳定．
【解析】【解答】解：(1)由统计图可得，得了8分的人数最多，故众数为8分，
；
20名学生成绩的中位数在第3小组，故中位数为7分，
.
故答案为：8；7.
【分析】(1)一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.
将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间的两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数.
(2)先利用方差公式计算乙班学生成绩的方程，比较可得乙班的方差小于甲班的方差，故乙班学生的成绩表现更稳定．
20．随着合肥都市圈的成立，合肥市将加大对都市圈内基础设施投人，尽快形成合肥都市圈“1小时通勤圈”和“1小时生活圈”．在都市圈内，计划四年完成对某条重要道路改造工程，2019年投入资金2000万元，2021年投入的资金为2420万元，设这两年问每年投人资金的年平均增长率相同．
（1）求出这两年间的年平均增长率．
（2）若对该道路投人资金的年平均增长率不变，预计完成这条道路改造工程的总投入．
【答案】（1）解：设这两年间的年平均增长率为x，根据题意可得：．解得（舍去．）答：这两年间的年平均增长率为．
（2）解：根据题意，2020年投入资金为万元．预计到2022年投入资金为万元．∴完成这条道路改造工程的总投入为万元．
【解析】【分析】（1）设这两年间的年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据题意列出算式求解即可。
21．某水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价后价格为8.1元/kg，并且两次降价的百分率相同.
时间/天 x
销量/kg 120－x
储藏和损耗费用/元 3x2－64x＋400
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg，设销售该水果第x天（1≤x＜10）的利润为377元，求x的值.
【答案】（1）解：设该水果每次降价的百分率为y，依题意，得10（1－y）2＝8.1，
解得y1＝0.1＝10%，y2＝1.9（不合题意，舍去）.
答：该水果每次降价的百分率为10%.
（2）解：依题意，得，
解得x1＝9，x2＝11（舍去）.
答：x的值为9.
【解析】【分析】（1）此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可；
（2）根据“利润=销量×（进价-进价）- 储藏和损耗费用 ”，列出关于x的方程求解，即可解答.
22．如图，平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（﹣6，0），D（0，3），点C在反比例函数y的图象上.
（1）直接写出点C坐标，并求反比例函数的表达式；
（2）将平行四边形ABCD向上平移得到平行四边形EFGH，使点F在反比例函数y的图象上，GH与反比例函数图象交于点M.连结AE，求AE的长及点M的坐标.
【答案】（1）解：；
设反比例解析式为，把坐标代入得：，
则反比例解析式为；
（2）解：，
把代入反比例解析式得：，即，
平行四边形向上平移2个单位，即，
，
把代入反比例解析式得：，即.
【解析】【解答】解：（1）中，，，，
，，
，
【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等并结合已知点的坐标可得AB=CD=4，DC∥AB，则点C的坐标可求解；根据点C在反比例函数的图象上可把点C的坐标代入反比例函数的解析式可求得k的值；
（2）由平移的性质可知B、F两点的横坐标相等，于是把x=-6代入（1）中求得的反比例函数的解析式可求得点F的纵坐标y的值，根据平移的点的坐标变化特征“左减右加、上加下减”可得点H的坐标，而点M与点H的纵坐标相等，把点H的纵坐标代入反比例函数的解析式计算即可得点M的横坐标.
23．在矩形ABCD中，点E，点F分别为边BC，DA延长线上的点，且CE=AF，连接AE，DE，BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AF=1，AB=2，AD= ，求证：AE平分∠DEB．
【答案】（1）证明：∵矩形ABCD
∴AD BC，AD=BC
∵CE=AF
∴DF=BE，DF∥BE
∴四边形BEDF为平行四边形
（2）证明：∵矩形ABCD
∴∠FAB=∠DAB=90°
∵AF=1，AB=2，由勾股定理，
∵四边形BEDF为平行四边形
∴AD=DE=
∴∠DAE=∠DEA
∵四边形BEDF为平行四边形
∴DF BE
∴∠DAE=∠AEB
∴∠DEA=∠AEB
∴EA平分∠DEB
【解析】【分析】（1）借助矩形的性质证明一个四边形是平行四边形，即一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）使用矩形的性质，可以知道△AFB是直角三角形，使用勾股定理可以计算出FB的长度，又因为四边形BEDF是平行四边形，可以得到AD=DE，从而有∠1=∠2，可以证明出EA平分∠DEB．
24．如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CB，∠ABC=90°， ∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°， ∴BE=BF，
∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，
∴∠ABF=∠CBE．
在△ABF和△CBE中，有 ，
∴△ABF≌△CBE（SAS）．
（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下： ∵△EBF是等腰直角三角形， ∴∠BFE=∠FEB=45°，
∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，
又∵△ABF≌△CBE，
∴∠CEB=∠AFB=135°，
∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，
∴△CEF是直角三角形．
【解析】【分析】（1）由正方形的性质、等腰三角形的性质可得AB=CB，BE=BF，再通过等量相减，即可得出∠ABF=∠CBE，由SAS即可证出△ABF≌△CBE；（2）求∠CEF＝90°，即可证出△CEF是直角三角形.
25．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：由作图可知，平分，，四边形是平行四边形，，，，；
（2）解：如图，设交于点．
由作图可知：，，，，四边形是平行四边形，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，在中，，，．故答案为．
【解析】【分析】（1）由作图可知平分， 可得 ，由平行四边形的性质可得 ，利用平行线的性质可得，从而得出 ，根据等腰三角形的判定即证；
（2） 设交于点， 先证四边形是菱形，可得OA=OE，OB=OF=3，利用勾股定理求出OA的长，从而求出AE的长.
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