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【50道热点题型】浙教版数学七年级下册期末试卷·综合题专练
1．为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区．
（1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简）
（2）若，，求出此时种植区的总面积．
2．一水果批发商用410元钱从水果批发市场批发了橙子70千克和香蕉30千克，橙子和香蕉这天的批发价与零售价如下表所示：
品名 橙子 香蕉
批发价（元/千克）
零售价（元/千克） 8 3
其中橙子的批发价比香蕉的批发价多3元．
（1）求a、b的值；
（2）如果当橙子和香蕉总数量卖出一半后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天赚180元，求打折后卖出橙子和香蕉各多少千克
3．在2023中国国际轨道交通和装备制造产业博览会上，展示了国内首列“齿轨”列车，这是国内拥有完全自主知识产权的运用于登山铁路的新型轨道交通车辆．该车采用了“轮轨+齿轨”双制式的牵引模式，“齿轨”运行速度是“轮轨”的，预计2026年将在都江堰与四姑娘山景区（简称“都四”线路）之间全线开通，出行时间可缩短至2小时．已知“都四”线路全长，“齿轨”段运行路程为，求“齿轨”运行的速度是多少？
4．列方程解决问题：
2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某商店销售大、小两种规格的“龙辰辰”，已知大号“龙辰辰”的单价比小号“龙辰辰”贵50元，若顾客用3000元购买小号“龙辰辰”的数量是用1500元购买大号“龙辰辰”数量的4倍，求大号、小号“龙辰辰”的单价各是多少？
5．温州市在今年三月份启动实施“明眸皓齿”工程．根据安排，某校对于学生使用电子产品的一周用时情况进行抽样调查，绘制成以下频数分布直方图．请根据图中提供的信息，解答下列问题．
某校学生使用电子产品的一周用时情况的频数分布直方图
（1）这次共抽取了 名学生进行调查．
（2）用时在2.45～3.45小时这组的频数是 ，频率是 ．
（3）如果该校有1000名学生，请估计一周电子产品用时在0.45～3.45小时的学生人数．
6．已知y=kx+b，当x=1时，y=﹣2；当x=﹣1时，y=4．
（1）求k、b的值；
（2）当x取何值时，y的值小于10？
7．如图，在 中， ，垂足为 ，点 在 上， ，垂足为 .
（1） 与 平行吗？为什么？
（2）如果 ，且 ，求 的度数.
8．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的A、B、C三个顶点都在格点（网格线的交点）上．
（1）已知点F在格点上，将三角形ABC平移，得到三角形DEF，使A与D，B与E，C与F分别对应，画出三角形DEF；
（2）连接AD，连接CF、BE，若AD＝m，则四边形CFEB的周长是多少？（用含m的式子表示）
9．“十一”黄金周期间，北京故宫游园人数大幅度增加，在7天假期中每天旅游的人数较之前一天的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化单位：万人 +3.2 +0.6 +0.3 +0.7 -1.3 +0.2 -2.4
（1）若9月30日故宫的游园人数为2.1万人，请你计算这7天中每天的游园人数．
（2）“十一”黄金周期间，北京故宫游园人数最多和最少分别是哪一天？游园人数为多少？
（3）故宫门票是60元一张，请计算出“十·一”黄金周期间，北京故宫的门票总收入（万元）．
（4）9月30日的游园人数为2.1万人，用折线统计图表示黄金周期间游园人数情况．
10．如图①，已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．
（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？
（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．
（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC=∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）．
11．已知，如图，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D.
（1）求证：AC//DF.
（2）若∠DEC＝150°，求∠GBA.
12．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器入2台，乙型机器人3台，共需24万元．
（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；
（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案 哪个方案费用最低，最低费用是多少万元
13．数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；
方法2： ；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．
14．公式的探究及应用．
（1）如图1可以求出阴影部分的面积是 ．
（2）如图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的面积是 ．
（3）比较图1，图2的阴影部分面积，则可以得到公式（ ）
A． B．
C． D．
（4）根据你得到的等式计算：．
15．探索题：图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法，求图b中阴影部分的面积：方法1： ； 方法2： ；
（2）观察图b，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系，并通过计算验证；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若2a+b=5，ab=2，求（2a﹣b）2的值．
16．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的 ，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
17．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟相遇一次；已知甲比乙跑得慢，甲、乙二人每分各跑多少圈？
18．近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课.甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病.为了让预防甲型流感病毒的扩散，学校准备购买一批医用口罩和洗手液用于日常防护，若医用口罩买500个，洗手液买40瓶，则需1250元；若医用口罩买1000个，洗手液买20瓶，则需1000元.
（1）求医用口罩和洗手液的单价.
（2）学校本次采购准备了400元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为2元的N95口罩个，医用口罩和N95口罩共200个，购买洗手液瓶，钱恰好全部用完，学校一共有几种购买方案？写出所有采购方案.
19．某课题小组为了解某品牌手机的销售情况，对某专卖店该品牌手机在今年1～4月的销售做了统计，并绘制成如图两幅统计图（如图）．
（1）该专卖店1～4月共销售这种品牌的手机 台；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，“二月”所在的扇形的圆心角的度数是 ；
（4）在今年1～4月份中，该专卖店售出该品牌手机的数量的中位数是 台．
20．如图，∠1＝70°，∠2 ＝40°，∠B ＝70°．
（1）求∠C的度数；
（2）如果DE平分∠ADC，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
21．
（1）计算：．
（2）已知，求的值．
22．某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同），绘制了如图两张不完整的人数统计图：
（1）本次被调查的学生有 名；
（2）补全上面的条形统计图1，并计算出喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图中所占圆心角的度数；
（3）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？
23．为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产多少件产品（用含的式子表示）；
（2）更新设备前生产8000件产品比更新设备后生产9000件产品多用5天，求更新设备后每天生产多少件产品．
24．如图，在已标出的五个角中，
（1）直线AC，BD被直线ED所截，∠1与 是同位角；
（2）∠1与∠4是直线 ， 被直线 所截得的内错角；
（3）∠2与 是直线AB， 被直线 所截得的同旁内角．
25．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，则接收方对应收到的密码为A，B，C．双方约定：A=2a﹣b，B=2b，C=b+c，例如发出1，2，3，则收到0，4，5
（1）当发送方发出一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码是多少？
（2）当接收方收到一组密码2，8，11时，则发送方发出的密码是多少？
26．已知：如图，点C在 的一边OA上，过点C的直线 ，CF平分 ， 于C．
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证：CG平分 ；
（3）当 为多少度时，CD平分 ，并说明理由．
27．如图，点D，F在线段AB上，点E，G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1=∠2．
（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3=85°，且∠DCE：∠DCG=9：10，试说明AB与CD有怎样的位置关系？
28．京广高铁线京武段于2022年6月20日实现高标运营．已知甲、乙两站之间相距500千米，高标运营后预计平均速度将增加，时间节省20分钟，求这两站之间高标运营前、后平均速度分别是多少千米/小时？
29．王老师给学生出了一道题：
求(2a+b)(2a﹣b)+2(2a﹣b)2+(2ab2﹣16a2b)÷(﹣2a)的值，其中a＝ ，b＝﹣1，同学们看了题目后发表不同的看法.小张说：条件b＝﹣1是多余的.”小李说：“不给这个条件，就不能求出结果，所以不多余.”
（1）你认为他们谁说的有道理？为什么？
（2）若xm等于本题计算的结果，试求x2m的值.
30．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；
（2）利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
31．把下列各式因式分解：
（1）9x2﹣6xy+3x
（2）2ax2﹣4axy+2ay2
（3）（x﹣1）（x+2）﹣4
（4）（2a+b）2﹣（a+2b）2．
32．解下列方程或方程组
（1）4（2﹣x）2=9
（2） ．
33．孔子说“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣是最好的老师，阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐……各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校名学生中随机抽取了人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，绘制了学生每周自主发展兴趣爱好的时长的频数分布表和频数分布直方图如下：
学生每周自主发展兴趣爱好时长频数分布表
组别 时长t（单位：） 人数累计 人数
A 正正正正正正正正 40
B 正正正正正正正正正正 50
C 正正正正正正正正正正正正正正正正 80
D 正正正正正正 30
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）这名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在 组；
（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则B组的学生人数占调查总人数的百分比为 ，对应的扇形圆心角的度数为 ；
（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？
34．随着全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，重庆一些传统汽车零部件生产工厂也开始转型生产新能源汽车零部件某汽车零部件生产厂的甲车间有工人名，乙车间有工人名，因接到加急生产一批新能源汽车零部件的任务，所以工厂新增名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的．
（1）新分配到甲车间的人数有多少人？
（2）因为甲车间使用的是改良后的新设备，所以甲车间每名工人每天生产的零件数量为乙车间每名工人每天生产的零件数量的倍新增工人后，甲车间生产个零件的天数比乙车间生产个零件的天数少用天，则乙车间每名工人每天生产零件多少个？
35．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨．
（1）每辆大货车、小货车平均一次各可以运货多少吨？
（2）3辆大货车与4辆小货车一次可以运货 吨（直接写出结果）
36．中国是最早发现并利用茶的国家，并形成了具有独特魅力的茶文化．已知某茶店 5 月份第一周绿茶、红茶的销售总额分别为 1500 元、1200 元，红茶每千克的售价是绿茶每千 克售价的 1.5 倍，红茶的销售量比绿茶的销售量少 7 千克．问绿茶、红茶每千克的售价分别是多少 元？
37．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，．
（1）若，则的度数为 ；
（2）直接写出与的数量关系： ；
（3）直接写出与的数量关系： ；
（4）如图2，当且点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出角度所有可能的值 ▲ ．
38．如图．点B是射线CA上一点，点D是射线CE上一点，DFAC．
（1）试判断吗？请说明理由．
（2）用量角器作的角平分线DG交的延长线于点，过点作交射线的反向延长线于点．
①补全图形；
②若，用表示为 ．
39．初中学生带手机上学，给学生带来了方便，同时也带来了一些负面影响．针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如图的统计图：
（1）这次调查的家长总人数为 人，表示“无所谓”的家长人数为 人；
（2）随机抽查一个接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是 ；
（3）求扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数．
40．
（1）先化简，再求值 ，其中 ，
（2）解方程 ．
41．若x满足，求的值．
解：设，则
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足，求的值；
（2）若x满足，求代数式的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为x、E、F分别是AD、DC上的点，且，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
42．如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（﹣2，8），（﹣11，6），（﹣14，0），（0，0）．
（1）求这个四边形的面积．
（2）如果把原来的四边形ABCD向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到新的四边形A1B2C3D4，请直接写出平移后的四边形各点的坐标和新四边形的面积．
43．为了让学生能更加了解西安市的历史，实验中学组织七年级师生共480人参观陕西历史博物馆，学校向租车公司租赁A、B两种车型接送师生往返，若租用A型车6辆，B型车3辆，则空余15个座位；若租用A型车4辆，B型车5辆，则15人没座位.
（1）求A、B两种车型各有多少个座位？
（2）若A型车日租金为400元，B型车日租金为350元，且租车公司最多能提供7辆A型车，应怎样租车能使座位恰好坐满且租金最少，并求出最少租金（A、B型车都要租）.
44．直线ABCD，点P在两平行线之间，点E，F分别在AB、CD上，连接PE，PF．尝试探究并解答：
（1）若图1中∠1=36°，∠2=60°，则∠3= ；
（2）探究图1中∠1，∠2与∠3之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2所示，∠1与∠3的平分线交于点 ，若∠2=α，试求∠的度数（用含α的代数式表示）．
45．如图 1，直线 分别交 于点 (点 在点 的右侧)，若
（1）求证： ；
（2）如图2所示，点 在 之间，且位于 的异侧，连 ， 若 ，则 三个角之间存在何种数量关系，并说明理由.
（3）如图 3 所示，点 在线段 上，点 在直线 的下方，点 是直线 上一点（在 的左侧），连接 ，若 ，则请直接写出 与 之间的数量
46．
（1）计算观察下列各式填空：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ．
（3）利用（2）的猜想结论计算： ．
（4）扩展与应用： ．
47．如图，点C在∠AOB的边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C.
（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；
（2）试说明CG平分∠OCD；
（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF？并说明理由．
48．
（1）如图1，点E为线段BC上一点，点A，D为位于线段BC外同侧的两点，连接AB、AE、DE与DC．若∠D＝∠AED﹣∠BAE，求证：AB∥DC；
（2）如果以上条件不变，在（1）的结论下，如图2，过点A的直线AM∥DE，写出∠MAB与∠D的数量关系并说明理由．
49．平行直线AB与CD被直线MN所截.
（1）如图1，点E在AB、CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，若∠BPE＝160°，∠EQC＝30°，求∠PEQ的值；
（2）如图2，点E在AB、CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE、QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请写出你的结论并说明理由.
（3）如图3，在（2）的条件下，过P点作PH∥EQ交CD于点H，连接PQ.若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数.
50．已知：如图，直线AB//CD，直线EF交AB，CD于P，Q两点，点M，点N分别是直线CD，EF上一点（不与P，Q重合），连接PM，MN．
（1）点M，N分别在射线QC，QF上（不与点Q重合），当∠APM+∠QMN=90°时，
①试判断PM与MN的位置关系，并说明理由；
②若PA平分∠EPM，∠MNQ=20°，求∠EPB的度数．（提示：过N点作AB的平行线）
（2）点M，N分别在直线CD，EF上时，请你在备用图中画出满足PM⊥MN条件的图形，并直接写出此时∠APM与∠QMN的关系．（注：此题说理时不能使用没有学过的定理）
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【50道热点题型】浙教版数学七年级下册期末试卷·综合题专练
1．为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区．
（1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简）
（2）若，，求出此时种植区的总面积．
【答案】（1）， ；
（2）216．
2．一水果批发商用410元钱从水果批发市场批发了橙子70千克和香蕉30千克，橙子和香蕉这天的批发价与零售价如下表所示：
品名 橙子 香蕉
批发价（元/千克）
零售价（元/千克） 8 3
其中橙子的批发价比香蕉的批发价多3元．
（1）求a、b的值；
（2）如果当橙子和香蕉总数量卖出一半后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天赚180元，求打折后卖出橙子和香蕉各多少千克
【答案】（1）；
（2）打折后卖出橙子30千克，香蕉20千克．
3．在2023中国国际轨道交通和装备制造产业博览会上，展示了国内首列“齿轨”列车，这是国内拥有完全自主知识产权的运用于登山铁路的新型轨道交通车辆．该车采用了“轮轨+齿轨”双制式的牵引模式，“齿轨”运行速度是“轮轨”的，预计2026年将在都江堰与四姑娘山景区（简称“都四”线路）之间全线开通，出行时间可缩短至2小时．已知“都四”线路全长，“齿轨”段运行路程为，求“齿轨”运行的速度是多少？
【答案】
4．列方程解决问题：
2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某商店销售大、小两种规格的“龙辰辰”，已知大号“龙辰辰”的单价比小号“龙辰辰”贵50元，若顾客用3000元购买小号“龙辰辰”的数量是用1500元购买大号“龙辰辰”数量的4倍，求大号、小号“龙辰辰”的单价各是多少？
【答案】大号“龙辰辰”的单价为100元，则小号“龙辰辰”的单价为50元
5．温州市在今年三月份启动实施“明眸皓齿”工程．根据安排，某校对于学生使用电子产品的一周用时情况进行抽样调查，绘制成以下频数分布直方图．请根据图中提供的信息，解答下列问题．
某校学生使用电子产品的一周用时情况的频数分布直方图
（1）这次共抽取了 名学生进行调查．
（2）用时在2.45～3.45小时这组的频数是 ，频率是 ．
（3）如果该校有1000名学生，请估计一周电子产品用时在0.45～3.45小时的学生人数．
【答案】（1）400
（2）104；0.26
（3）解： 由频数分布直方图可知，调查的学生中用时在0.45～3.45小时的学生人数是：40+72+104=216（人），故其频率为：216÷400=0.54，则该校 一周电子产品用时在0.45～3.45小时的学生人数为：1000×0.54=540（人）。
【解析】【解答】解：（1）共抽取的学生数是：40+72+104+92+52+40=400（人）；
（2） 由频数分布直方图可知，用时在2.45～3.45小时这组的频数是：104人，频率是：104÷400=0.26；
【分析】（1）根据频数分布直方图把各段人数相加即可求出抽查的学生数；
（2）由图可以直接读出用时在2.45～3.45小时这组的频数，频率=频数÷抽取的学生数；
（3） 先求出抽查的学生中一周电子产品用时在0.45～3.45小时的人数，再求其频率，则该校一周电子产品用时在0.45～3.45小时的学生人数=该校总学生数×频率。
6．已知y=kx+b，当x=1时，y=﹣2；当x=﹣1时，y=4．
（1）求k、b的值；
（2）当x取何值时，y的值小于10？
【答案】（1）解：由题意，得 ，
解这个方程组，得：
（2）解：由（1）得，y=﹣3x+1．
y的值小于10，
即﹣3x+1＜10，
∴x＞﹣3，
∴当x＞﹣3时，y的值小于1
【解析】【分析】①直接利用待定系数法求出一次函数解析式得出答案.
②利用①，代入求出答案.
7．如图，在 中， ，垂足为 ，点 在 上， ，垂足为 .
（1） 与 平行吗？为什么？
（2）如果 ，且 ，求 的度数.
【答案】（1）解：∵已知CD⊥AB，EF⊥AB，根据垂直的意义，∠CDB=∠EFB=90°，∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：∵CD∥EF，∴∠2=∠DCB（两直线平行，同位角相等），又∵∠1=∠2，∴∠1=∠DCB（等量替换），∴DG∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠ACB=∠3=105°（两直线平行，同位角相等）．
【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行，得到CD∥EF；根据两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；求出∠ACB的度数.
8．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的A、B、C三个顶点都在格点（网格线的交点）上．
（1）已知点F在格点上，将三角形ABC平移，得到三角形DEF，使A与D，B与E，C与F分别对应，画出三角形DEF；
（2）连接AD，连接CF、BE，若AD＝m，则四边形CFEB的周长是多少？（用含m的式子表示）
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：根据图形平移的性质，因为，所以，
又因为，所以四边形的周长等于．
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）先求出 ， 再根据 ， 计算求解即可。
9．“十一”黄金周期间，北京故宫游园人数大幅度增加，在7天假期中每天旅游的人数较之前一天的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化单位：万人 +3.2 +0.6 +0.3 +0.7 -1.3 +0.2 -2.4
（1）若9月30日故宫的游园人数为2.1万人，请你计算这7天中每天的游园人数．
（2）“十一”黄金周期间，北京故宫游园人数最多和最少分别是哪一天？游园人数为多少？
（3）故宫门票是60元一张，请计算出“十·一”黄金周期间，北京故宫的门票总收入（万元）．
（4）9月30日的游园人数为2.1万人，用折线统计图表示黄金周期间游园人数情况．
【答案】（1）解：10月1日 2.1+3.2=5.3万人，
10月2日 5.3+0.6=5.9万人，
10月3日 5.9+0.3=6.2万人，
10月4日 6.2+0.7=6.9万人，
10月5日 6.9-1.3=5.6万人，
10月6日 5.6+0.2=5.8万人，
10月7日 5.8-2.4=3.4万人，
（2）解：游园人数最多的是10月4日，达到6.9万人，最少的是10月7日，3.4万人
（3）解：60×（5.3+5.9+6.2+6.9+5.6+5.8+3.4）=2346万元，
答：北京故宫的门票总收入2346万元．
（4）解：用折线统计图表示黄金周期间游园人数情况如图所示：
【解析】【分析】（1）根据表格中所给的数据计算求解即可；
（2）根据（1）中所求求解即可；
（3）求出 60×（5.3+5.9+6.2+6.9+5.6+5.8+3.4）=2346 即可作答；
（4）根据（1）中所求的数据作图即可。
10．如图①，已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．
（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？
（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．
（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC=∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）．
【答案】（1）解：平行．
如图①．
∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．
又∵∠B=∠D=120°，∴∠D+∠A=180°，∴AB∥CD；
（2）解：如图②．
∵AD∥BC，∠B=∠D=120°，∴∠DAB=60°．
∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，∴∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE，
∴∠FAC=∠EAC+∠EAF=（∠BAE+∠DAE）=∠DAB=30°；
（3）解：①如图3，当点E在线段CD上时，
由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：3；
②如图4，当点E在DC的延长线上时，
由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：1．
综上所述：∠ACD：∠AED=2：3或2：1．
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定与性质求解即可；
（2）先求出 ∠DAB=60°，再求出∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE， 最后计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用平行线的性质计算求解即可。
11．已知，如图，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D.
（1）求证：AC//DF.
（2）若∠DEC＝150°，求∠GBA.
【答案】（1）证明：∵∠AGB＝∠DGH，∠AGB＝∠EHF，
∴∠DGH＝∠EHF，
∴，
∴∠D＝∠FEC，
∵∠C＝∠D，
∴∠FEC＝∠C，
∴；
（2）解：∵由（1）知，
∴，
∵∠DEC＝150，
∴∠D＝30，
∵AC//DF，
∴∠GBA＝∠D＝30.
【解析】【分析】（1）由对顶角的性质可得∠AGB=∠DGH，结合∠AGB=∠EHF，得∠DGH=∠EHF，根据同位角相等，两直线平行，推出BD∥CE，根据二直线平行，同位角相等，可得∠D＝∠FEC，结合∠C＝∠D，得∠FEC＝∠C，然后根据内错角相等，两直线平行，进行证明；
（2）由（1）知BD∥CE，根据二直线平行，同旁内角互补，可得∠D+∠DEC=180°，结合∠DEC的度数可得∠D的度数，根据二直线平行，内错角相等可得∠GBA＝∠D，据此解答.
12．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器入2台，乙型机器人3台，共需24万元．
（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；
（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案 哪个方案费用最低，最低费用是多少万元
【答案】（1）（1）设甲型机器人每台价格是x万元，乙型机器人每台价格是y万元，根据题意得
解这个方程组得：
答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元；
（2）（2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人（8-a）台，根据题意得6a+4（8-a）≤41
解这个不等式得0＜a≤
∵a为正整数，
∴a的取值为1，2，3，4，
∵甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，
∴该公司购买甲型和乙型机器人分别是4台和4台才能使得每小时的分拣量最大．
【解析】【分析】（1）利用二元一次方程组解决问题；
（2）根据题意列不等式，即可得到结论
13．数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；
方法2： ；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．
【答案】（1）（a+b）2；a2+b2+2ab
（2）
（3）解：①∵（a-b）2=a2+b2-2ab=13①，
（a+b）2=a2+b2+2ab=25②，
由①-②得，-4ab=-12，
解得：ab=3；
②设2021-a=x，a-2020=y，
∴x+y=1，
∵（2021-a）2+（a-2020）2=5，
∴x2+y2=5，
∵（x+y）2=x2+2xy+y2=1，
∴2xy=1-（x2+y2）=1-5=-4，
解得：xy=-2，
∴（2021-a）（a-2020）=-2．
【解析】【解答】解：（1）方法一：∵大正方形的边长为（a+b），
∴S=（a+b）2；
方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，
∴S=b2+ab+ab+a2=a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
（2）由（1）可得（a+b）2=a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2=a2+b2+2ab；
【分析】（1）方法一：表示出大正方形的边长，根据正方形的公式写出即可.方法二：把2个长方形的面积，2个正方形的面积单独表示出来相加即可.
（2）两种表示大正方形的面积是相等的即可得出等量关系.
14．公式的探究及应用．
（1）如图1可以求出阴影部分的面积是 ．
（2）如图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的面积是 ．
（3）比较图1，图2的阴影部分面积，则可以得到公式（ ）
A． B．
C． D．
（4）根据你得到的等式计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）B
（4）解：
【解析】【解答】（1）大正方形的面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积为；
故答案为：；
（2）长方形的长为a+b，宽为a b，则此长方形的面积为
故答案为：；
（3）由于两图阴影部分的面积相等，故有
故答案为：B
【分析】（1）先求出大正方形的面积为，再求出小正方形的面积为，最后求解即可；
（2）先求出长方形的长为a+b，再求出宽为a b，最后利用长方形的面积公式求解即可；
（3）求出即可作答；
（4）利用平方差公式计算求解即可。
15．探索题：图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法，求图b中阴影部分的面积：方法1： ； 方法2： ；
（2）观察图b，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系，并通过计算验证；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若2a+b=5，ab=2，求（2a﹣b）2的值．
【答案】（1）（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn
（2）解：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；
验证：∵（m﹣n）2=m2﹣2mn+n2，
（m+n）2﹣4mn=m2+2mn+n2﹣4mn=m2﹣2mn+n2，
∴（m﹣n）2=m2﹣2mn+n2
（3）解：∵（2a﹣b）2=（2a+b）2﹣8ab，
∴当2a+b=5，ab=2时，（2a﹣b）2=52﹣8×2=9
【解析】【解答】（1）方法1：图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即m﹣n，故阴影部分面积为（m﹣n）2；
方法2：图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
【分析】（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长，可以直接利用正方形的面积公式得到阴影部分面积；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；（2）利用（1）中图b中的阴影部分的正方形面积，得到（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（3）根据（2）的结论得到（2a﹣b）2=（2a+b）2﹣8ab，然后把2a+b=5，ab=2代入计算即可．
16．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的 ，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【答案】（1）解：设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是 x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，
根据题意得 + = ﹣2，
解得：x=300米/分钟，
经检验x=300是方程的根，
答：乙骑自行车的速度为300米/分钟
（2）解：∵300×2=600米，
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米
【解析】【分析】（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是 x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意列方程即可得到结论；（2）300×2=600米即可得到结果．
17．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟相遇一次；已知甲比乙跑得慢，甲、乙二人每分各跑多少圈？
【答案】乙每分跑圈，甲每分跑圈；
18．近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课.甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病.为了让预防甲型流感病毒的扩散，学校准备购买一批医用口罩和洗手液用于日常防护，若医用口罩买500个，洗手液买40瓶，则需1250元；若医用口罩买1000个，洗手液买20瓶，则需1000元.
（1）求医用口罩和洗手液的单价.
（2）学校本次采购准备了400元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为2元的N95口罩个，医用口罩和N95口罩共200个，购买洗手液瓶，钱恰好全部用完，学校一共有几种购买方案？写出所有采购方案.
【答案】（1）解：设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，
根据题意得：，
解得：，
∴医用口罩的单价为元/个，洗手液的单价为25元/瓶；
（2）解：由题意可得：，
整理得：，
∵a、b均为正整数，
∴，或，或，，
∴学校一共有3种购买方案，
购买N95口罩150个，医用口罩50个，洗手液3瓶；
购买N95口罩100个，医用口罩100个，洗手液6瓶；
购买N95口罩50个，医用口罩150个，洗手液9瓶.
【解析】【分析】（1）设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题中的相等关系“医用口罩买500个的费用+洗手液买40瓶的费用=1250；医用口罩买1000个的费用+洗手液买20瓶的费用=1000”可列方程组，解方程组可求解；
（2）由题中的相等关系“a个单价为2元的N95口罩的费用+（200-a）个医用口罩的费用+b瓶洗手液的费用=400”可得关于a、b的方程，根据a、b为正整数可求解.
19．某课题小组为了解某品牌手机的销售情况，对某专卖店该品牌手机在今年1～4月的销售做了统计，并绘制成如图两幅统计图（如图）．
（1）该专卖店1～4月共销售这种品牌的手机 台；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，“二月”所在的扇形的圆心角的度数是 ；
（4）在今年1～4月份中，该专卖店售出该品牌手机的数量的中位数是 台．
【答案】（1）240
（2）解：如图
（3）135°
（4）55
【解析】【解答】解：（1）由两种统计图可知一月份的销售量为60台，占前四个月销售量的25%，
∴60÷25%=240，
∴专卖店1～4月共销售这种品牌的手机240台；
（2）如图
；
（3）∵ ×360°=135°
∴“二月”所在的扇形的圆心角的度数是135°；
（4）排序后一三两月的销量位于中间位置，
∴中位数为：（60+50）÷2=55台．
【分析】（1）用一月份的销售量除以该月的销售量所占百分比即可得到总得销售量；（2）用销售总量减去其他三个月的销售量即可得到二月份的销售量；（3）用二月份的销售量除以四个月的销售总量即可得到二月份所占百分比；（4）找到销售量位于中间位置的两个月份，其销量的平均数即为四个月销量的中位数．
20．如图，∠1＝70°，∠2 ＝40°，∠B ＝70°．
（1）求∠C的度数；
（2）如果DE平分∠ADC，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
【答案】（1）解：∵∠1=70°∠B=70°
∴∠1=∠B
∴AD∥BC
∴∠C=∠2=40°
（2）解：如果DE平分∠ADC，则AB∥DE
理由：∵DE平分∠ADC，∠2 =40°
∴∠ADE=∠CDE===70°
又∵∠1=70°
∴∠ADE=∠1=70°
∴DE∥AB．
【解析】【分析】（1）先证明AD//BC，再利用平行线的性质可得∠C=∠2=40° ；
（2）先利用角平分线的定义求出∠ADE=∠CDE===70°，再根据∠ADE=∠1=70°，即可得到DE//AB。
21．
（1）计算：．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，，
∴
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式计算即可；
（2）将x、y的值代入计算即可。
22．某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同），绘制了如图两张不完整的人数统计图：
（1）本次被调查的学生有 名；
（2）补全上面的条形统计图1，并计算出喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图中所占圆心角的度数；
（3）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？
【答案】（1）200；
（2）解：200﹣38﹣62﹣50﹣10=40（名），
条形统计图如下：
=90°，
答：喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数为90°；
（3）解：1200×（ ）=144（盒），
答：草莓味要比原味多送144盒．
【解析】【解答】解：（1）10÷5%=200（名）
答：本次被调查的学生有200名，
故答案为：200；
【分析】（1）喜好“核桃味”牛奶的学生人数除以它所占的百分比即可得本次被调查的学生人数；（2）用本次被调查的学生的总人数减去喜好原味、草莓味、菠萝味、核桃味的人数得出喜好香橙味的人数，补全条形统计图即可，用喜好“菠萝味”牛奶的学生人数除以总人数再乘以360°，即可得喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数；（3）用喜好草莓味的人数占的百分比减去喜好原味的人数占的百分比，再乘以该校的总人数即可．
23．为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产多少件产品（用含的式子表示）；
（2）更新设备前生产8000件产品比更新设备后生产9000件产品多用5天，求更新设备后每天生产多少件产品．
【答案】（1）件
（2）120件
24．如图，在已标出的五个角中，
（1）直线AC，BD被直线ED所截，∠1与 是同位角；
（2）∠1与∠4是直线 ， 被直线 所截得的内错角；
（3）∠2与 是直线AB， 被直线 所截得的同旁内角．
【答案】（1）∠2
（2）AB；CD；AC
（3）∠3；CD；BD
【解析】【解答】(1)直线AC，BD被直线ED所截，∠1与∠2是同位角；
故答案为：∠2.
(2)∠1与∠4是直线AB，CD被直线AC所截得的内错角；
故答案为：AB，CD，AC.
(3)∠2与∠3是直线AB，CD被直线BD所截得的同旁内角．
故答案为：∠3，CD，BD.
【分析】（1）两条直线被第三条直线所截时，都在两条直线的同一方向，且在截线的同侧的两个角互为同位角；观察图形可得答案.
（2）两条直线被第三条直线所截时，都夹在两条直线的内部，且在截线两侧的两个角互为内错角；再观察图形，可得到答案.
（3）两条直线被第三条直线所截时，都夹在两条直线的内部，且在截线同侧的两个角互为同旁内角；再观察图形可得答案.
25．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，则接收方对应收到的密码为A，B，C．双方约定：A=2a﹣b，B=2b，C=b+c，例如发出1，2，3，则收到0，4，5
（1）当发送方发出一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码是多少？
（2）当接收方收到一组密码2，8，11时，则发送方发出的密码是多少？
【答案】（1）解：由题意得： ，
解得：A=1，B=6，C=8，
答：接收方收到的密码是1、6、8
（2）解：由题意得： ，
解得：a=3，b=4，c=7，
答：发送方发出的密码是3、4、7
【解析】【分析】（1）根据题意可得方程组，再解方程组即可．（2）根据题意可得方程组，再解方程组即可．此题主要考查了方程组的应用，关键是正确理解题意，根据密文与明文之间的关系列出方程组．
26．已知：如图，点C在 的一边OA上，过点C的直线 ，CF平分 ， 于C．
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证：CG平分 ；
（3）当 为多少度时，CD平分 ，并说明理由．
【答案】（1）∵DE//OB ，
∴∠O=∠ACE，（两直线平行，同位角相等）
∵∠O =40°，
∴∠ACE =40°，
∵∠ACD+∠ACE= (平角定义)
∴ ∠ACD=
又 ∵CF平分∠ACD ，
∴ (角平分线定义)
∴ ∠ECF=
（2）证明：∵CG^ CF，
∴ .
∴
又 ∵ ）
∴
∵
∴ (等角的余角相等）
即CG平分∠OCD ．
（3）结论：当∠O=60°时 ，CD平分∠OCF ．
当∠O=60°时
∵DE//OB，
∴ ∠DCO=∠O=60°.
∴ ∠ACD=120°.
又 ∵CF平分∠ACD
∴ ∠DCF=60°，
∴
即CD平分∠OCF ．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ACE =40°， 再求出
，最后计算求解即可；
（2）先求出
，再求出
，最后求解即可；
（3）先求出 ∠DCO=∠O=60° ，再求出 ∠DCF=60°， 最后求解即可。
27．如图，点D，F在线段AB上，点E，G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1=∠2．
（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3=85°，且∠DCE：∠DCG=9：10，试说明AB与CD有怎样的位置关系？
【答案】（1）解：DG∥BC．
理由：∵CD∥EF，
∴∠2=∠BCD．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DG∥BC
（2）解：CD⊥AB．
理由：∵由（1）知DG∥BC，∠3=85°，
∴∠BCG=180°﹣85°=95°．
∵∠DCE：∠DCG=9：10，
∴∠DCE=95°× =45°．
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC=2∠CDG=90°，
∴CD⊥AB
【解析】【分析】（1）先根据CD∥EF得出∠2=∠BCD，再由∠1=∠2得出∠1=∠BCD，进而可得出结论；（2）根据DG∥BC，∠3=85°得出∠BCG的度数，再由∠DCE：∠DCG=9：10得出∠DCE的度数，由DG是∠ADC的平分线可得出∠ADC的度数，由此得出结论．
28．京广高铁线京武段于2022年6月20日实现高标运营．已知甲、乙两站之间相距500千米，高标运营后预计平均速度将增加，时间节省20分钟，求这两站之间高标运营前、后平均速度分别是多少千米/小时？
【答案】高标运营前平均速度分别是千米/小时，高标运营后平均速度是千米/小时，
29．王老师给学生出了一道题：
求(2a+b)(2a﹣b)+2(2a﹣b)2+(2ab2﹣16a2b)÷(﹣2a)的值，其中a＝ ，b＝﹣1，同学们看了题目后发表不同的看法.小张说：条件b＝﹣1是多余的.”小李说：“不给这个条件，就不能求出结果，所以不多余.”
（1）你认为他们谁说的有道理？为什么？
（2）若xm等于本题计算的结果，试求x2m的值.
【答案】（1）解：小张说的有道理.理由如下：
(2a+b)(2a﹣b)+2(2a﹣b)2+(2ab2﹣16a2b)÷(﹣2a)
＝(2a)2﹣b2+2(4a2﹣4ab+b2)+(﹣2b+8ab)
＝4a2﹣b2+8a2﹣8ab+2b2﹣b2+8ab
＝12a2
∵化简的结果为12a2不含字母b，
∴条件b＝﹣1是多余的，小张说的有道理
（2）解：当a＝ 时，12a2＝12×( )2＝3，
由题意知xm＝3，
∴x2m＝(xm)2＝32＝9，
即x2m的值为9
【解析】【分析】（1）把原式化简后，如果结果中含有b，原式的值与b有关，如果结果中不含b，原式的值与b无关.（2）求出a＝ 时原式的值3，由题意可知xm＝3， 利用幂的乘方底数不变指数相乘即可求出 x2m的值.
30．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；
（2）利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）
（2）①②
31．把下列各式因式分解：
（1）9x2﹣6xy+3x
（2）2ax2﹣4axy+2ay2
（3）（x﹣1）（x+2）﹣4
（4）（2a+b）2﹣（a+2b）2．
【答案】（1）解：9x2﹣6xy+3x=3x（3x﹣2y+1）
（2）解：2ax2﹣4axy+2ay2
=2a（x2﹣2xy+y2）
=2a（x﹣y）2
（3）解：（x﹣1）（x+2）﹣4
=x2+x﹣2﹣4
=x2+x﹣6
=（x﹣2）（x+3）
（4）解：（2a+b）2﹣（a+2b）2
=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）
=3（a+b）（a﹣b）
【解析】【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解；（3）先展开，再合并同类项，再利用十字相乘法分解因式；（4）利用平方差公式分解因式．
32．解下列方程或方程组
（1）4（2﹣x）2=9
（2） ．
【答案】（1）解：∵4（2﹣x）2=9，
∴（2﹣x）2= ，
∴2﹣x=±1.5，
解得x=0.5或3.5
（2）解：
①+②，可得：3x=6，
解得x=2，
把x=2代入①，可得：y=﹣1，
∴方程组的解是
【解析】【分析】（1）根据平方根的含义和求法，求出方程组的解是多少即可．（2）应用加减法，求出方程组的解是多少即可．
33．孔子说“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣是最好的老师，阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐……各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校名学生中随机抽取了人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，绘制了学生每周自主发展兴趣爱好的时长的频数分布表和频数分布直方图如下：
学生每周自主发展兴趣爱好时长频数分布表
组别 时长t（单位：） 人数累计 人数
A 正正正正正正正正 40
B 正正正正正正正正正正 50
C 正正正正正正正正正正正正正正正正 80
D 正正正正正正 30
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）这名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在 组；
（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则B组的学生人数占调查总人数的百分比为 ，对应的扇形圆心角的度数为 ；
（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？
【答案】（1）解：补全统计图如下所示：
（2）C
（3）；
（4）解： 人，
∴该校学生中有 人需要增加自主发展兴趣爱好时间
【解析】【解答】（1）补全统计图如下所示：
（2）∵参与调查的总人数为200人，
∴把学生每周自主发展兴趣爱好的时长从低到高排列，第100名和第101名的时长的平均数即为中位数，
又∵40+50＝90＜100，40+50+80＝170＞101，
∴中位数落在C组，
故答案为：C；
（3）B组的学生人数占调查总人数的百分比为
，对应的扇形圆心角的度数为360°×25%＝90°，
故答案为：25%，90°；
(4)人，
∴该校学生中有 人需要增加自主发展兴趣爱好时间
【分析】（1）根据频数分布表补全统计图即可；
（2）根据中位数的定义进行求解即可；
（3）根据百分比＝该组频数÷总数，圆心角＝百分比×360°，即可得出答案；
（4）用1500乘以A组所占百分比即可得出答案．
34．随着全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，重庆一些传统汽车零部件生产工厂也开始转型生产新能源汽车零部件某汽车零部件生产厂的甲车间有工人名，乙车间有工人名，因接到加急生产一批新能源汽车零部件的任务，所以工厂新增名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的．
（1）新分配到甲车间的人数有多少人？
（2）因为甲车间使用的是改良后的新设备，所以甲车间每名工人每天生产的零件数量为乙车间每名工人每天生产的零件数量的倍新增工人后，甲车间生产个零件的天数比乙车间生产个零件的天数少用天，则乙车间每名工人每天生产零件多少个？
【答案】（1）新分配到甲车间的人数有人；
（2）乙车间每名工人每天生产零件50个．
35．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨．
（1）每辆大货车、小货车平均一次各可以运货多少吨？
（2）3辆大货车与4辆小货车一次可以运货 吨（直接写出结果）
【答案】（1）解：设每辆大货车、小货车平均一次各可以运货x、y吨，由题意可得
解得，
∴每辆大货车平均一次可以运货4吨，每辆小货车平均一次可以运货2.5吨.
（2）22
【解析】【解答】解：（2）3×4+4×2.5=12+10=22（吨）.
故答案为：22.
【分析】（1）设每辆大货车、小货车平均一次各可以运货x、y吨，根据2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨可得2x+3y=15.5；；根据5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨可得5x+6y=35，联立求解即可；
（2）根据每辆大货车一次运的吨数×大货车的辆数+每辆小货车一次运的吨数×小货车的辆数=总吨数进行计算.
36．中国是最早发现并利用茶的国家，并形成了具有独特魅力的茶文化．已知某茶店 5 月份第一周绿茶、红茶的销售总额分别为 1500 元、1200 元，红茶每千克的售价是绿茶每千 克售价的 1.5 倍，红茶的销售量比绿茶的销售量少 7 千克．问绿茶、红茶每千克的售价分别是多少 元？
【答案】绿茶每千克的售价100元，红茶每千克的售价150元．
37．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，．
（1）若，则的度数为 ；
（2）直接写出与的数量关系： ；
（3）直接写出与的数量关系： ；
（4）如图2，当且点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出角度所有可能的值 ▲ ．
【答案】（1）65°
（2）∠1=∠3
（3）∠ACB+∠2=180°
（4）解：存在一组边互相平行；30°或45°或120°或135°或165°．
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，，
即，，
∴，
故答案为：；
（3）由（2）得：
，
∴，
由图可知：，
∴，
故答案为：；
（4）①如图所示：当时，
，
由（2）可知：；
②如图所示：当时，
；
③如图所示：当时，
，
∴；
④如图所示：当时，
，
∴；
⑤如图所示：当时，延长AC交BE于点F，
∴，
∵，
∴，
∴；
综合可得：的度数为：30°或45°或120°或135°或165°，
故答案为：30°或45°或120°或135°或165°．
【分析】（1）先求出，再根据计算求解即可；
（2）根据垂直求出，，再求解即可；
（3）先求出，再求出，最后求解即可；
（4）分类讨论，结合图形，利用平行线的性质计算求解即可。
38．如图．点B是射线CA上一点，点D是射线CE上一点，DFAC．
（1）试判断吗？请说明理由．
（2）用量角器作的角平分线DG交的延长线于点，过点作交射线的反向延长线于点．
①补全图形；
②若，用表示为 ．
【答案】（1）解：FB∥CE；
∵DF∥AC，
∴∠1=∠C，
∵∠1=∠2，
∴ ∠2=∠C，
∴FB∥CE；
（2）解：①补全图形：②
【解析】【解答】解：(2)②，
，
的角平分线，
，
，
，
，即，
∴，
，
，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据平行线的性质和等量关系可得 ∠2=∠C， 再根据平行线的判定即可求解；
（2）①根据要求补全图形即可；②根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质和等量关系可，再根据交的和差关系即可求解。
39．初中学生带手机上学，给学生带来了方便，同时也带来了一些负面影响．针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如图的统计图：
（1）这次调查的家长总人数为 人，表示“无所谓”的家长人数为 人；
（2）随机抽查一个接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是 ；
（3）求扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数．
【答案】（1）200；40
（2）
（3）解：“不赞同”的扇形的圆心角度数为： ×360°=162°．
【解析】【解答】解：（1.）这次调查的家长总人数为：50÷25%=200（人）
表示“无所谓”的家长人数为：200×20%=40（人）
故答案为：200，40．
（2.）“很赞同”的家长人数为：200﹣90﹣50﹣40=20（人）
抽到“很赞同”的家长的概率是20÷200= ，
故答案为： ．
【分析】（1）用“赞同”的家长数除以对应的百分比就是调查的家长总人数，用调查的家长总人数乘“无所谓”的家长百分比就是“无所谓”的家长人数．（2）用总人数减去“赞同”“不赞同”“无所谓”的家长人数就是）“很赞同”的家长人数，“很赞同”的家长人数除以总数就是概率．（3）“不赞同”的扇形的圆心角度数=）“不赞同”的扇形的百分比乘360°．
40．
（1）先化简，再求值 ，其中 ，
（2）解方程 ．
【答案】（1）
=
=
= ；
把 ， 代入，得
原式= ；
（2） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【解析】【分析】（1）先把代数式进行化简，然后把 x=-1 ， y=2 代入计算，即可得到答案；（2）先去分母、去括号，然后移项合并，系数化为1，即可得到答案.
41．若x满足，求的值．
解：设，则
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足，求的值；
（2）若x满足，求代数式的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为x、E、F分别是AD、DC上的点，且，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：设（5－x）＝a，（x－2）＝b，
则（5－x）（x－2）＝ab＝2，
a＋b＝（5－x）＋（x－2）＝3，
∴（5－x）2＋（x－2）2
＝（a＋b）2－2ab
＝32－2×2
＝5；
（2）解：设（6－x）＝a，（3－x）＝b，
（6－x）（3－x）＝ab＝1，
a－b＝（6－x）－（3－x）＝3，
∵（a＋b）2
＝（a－b）2＋4ab
＝13，
∴（a＋b）2＝13，
∵（6－x）＋（3－x）＝a＋b，
∴9－2x＝a＋b，
∴（9－2x）2＝（a＋b）2＝13．
（3）解：∵正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CF＝5，
∴MF＝DE＝x－3，DF＝x－5，
∴（x－3） （x－5）＝48，
∴（x－3）－（x－5）＝2，
∴阴影部分的面积＝FM2－DF2＝（x－3）2－（x－5）2．
设（x－3）＝a，（x－5）＝b，则（x－3）（x－5）＝ab＝48，
a－b＝（x－3）－（x－5）＝2，
∴
∴a＋b＝14，（负根舍去）
∴（x－3）2－（x－5）2＝a2－b2＝（a＋b）（a－b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
【解析】【分析】（1）设（5－x）＝a，（x－2）＝b，进而即可得到a＋b＝（5－x）＋（x－2）＝3，再代入即可求解；
（2）设（6－x）＝a，（3－x）＝b，进而得到a－b＝（6－x）－（3－x）＝3，从而得到（a＋b）2＝13，然后结合题意即可得到9－2x＝a＋b，进而即可求解；
（3）先跟进题意即可得到（x－3）－（x－5）＝2，进而得到阴影部分的面积＝FM2－DF2＝（x－3）2－（x－5）2，设（x－3）＝a，（x－5）＝b，则（x－3）（x－5）＝ab＝48，再根据平方差公式结合题意即可求解。
42．如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（﹣2，8），（﹣11，6），（﹣14，0），（0，0）．
（1）求这个四边形的面积．
（2）如果把原来的四边形ABCD向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到新的四边形A1B2C3D4，请直接写出平移后的四边形各点的坐标和新四边形的面积．
【答案】（1）解：如图，作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，
∵A（﹣2，8），B（﹣11，6），C（﹣14，0），D（0，0），
∴S四边形ABCD=S△AED+S梯形AEFB+S△BCF，
= 2 8+ （6+8） 9+ 3 6
=80．
（2）解：把原来的四边形ABCD向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到新的四边形A1B2C3D4，图象如图所示：A1（﹣4，5）、B2（﹣13，3）、C3（﹣16，﹣3）、D4（﹣2，﹣3），
∵四边形A1B2C3D4是由四边形ABCD平移所得，
∴新四边形面积等于原来四边形面积=80．
【解析】【分析】（1）根据S四边形ABCD=S△AED+S梯形AEFB+S△BCF计算即可．（2）把四边形ABCD的各个顶点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度即可，写出平移后各个顶点的坐标即可，新四边形面积和原来四边形面积相等，由此即可解决问题．
43．为了让学生能更加了解西安市的历史，实验中学组织七年级师生共480人参观陕西历史博物馆，学校向租车公司租赁A、B两种车型接送师生往返，若租用A型车6辆，B型车3辆，则空余15个座位；若租用A型车4辆，B型车5辆，则15人没座位.
（1）求A、B两种车型各有多少个座位？
（2）若A型车日租金为400元，B型车日租金为350元，且租车公司最多能提供7辆A型车，应怎样租车能使座位恰好坐满且租金最少，并求出最少租金（A、B型车都要租）.
【答案】（1）解：设每辆A型车有x个座位，每辆B型车有y个座位，依题意，得：
，
由①×2-②×3解得，x=60，y=45；
答：每辆A型车有60个座位，每辆B型车有45个座位
（2）解：设租m辆A型车，n辆B型车，
依题意，得：60m+45n=480，
解得：m =8– ，
∵A、B型车都要租，
∴m，n为整数，且大于等于1，
∴n=4，m=8- =5或n=8，m=8- =2，
∴有两种租车方案，
方案1：租5辆A型车、4辆B型车，所需费用为400×5+350×4=3400（元），
方案2：租2辆A型车、8辆B型车，所需费用为400×2+350×8=3600（元），
∵3400<3600，
∴租5辆A型车、4辆B型车所需租金最少，最少租金为3400元.
【解析】【分析】（1）设每辆A型车有x个座位，每辆B型车有y个座位，依“ A型车6辆所坐的人数+B型车3辆所坐的人数-15=480及A型车4辆所坐的人数+B型车5辆所坐的人数+1515=480”列出二元一次方程组，采用消元法求解x、y即可解决问题；
（2）设租m辆A型车，n辆B型车，依题意，得：60m+45n=480，求正整数解后，算出不同方案的租金，比较哪种方案租金最少即可求解.
44．直线ABCD，点P在两平行线之间，点E，F分别在AB、CD上，连接PE，PF．尝试探究并解答：
（1）若图1中∠1=36°，∠2=60°，则∠3= ；
（2）探究图1中∠1，∠2与∠3之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2所示，∠1与∠3的平分线交于点 ，若∠2=α，试求∠的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】（1）24°
（2）解：结论：∠2=∠1+∠3．
理由：如图1中，作PMAB．
∵ABCD，ABPM，
∴PMCD，
∴∠1=∠MPE，∠3=∠MPF，
∴∠2=∠1+∠3．
（3）解：如图2中，
∵∠BEP+∠DFP=∠2=α，
∴∠=∠+∠=（∠BEP+∠DFP）=α
【解析】【解答】解：（1）过点P作PM∥AB．
∵AB∥CD，AB∥PM，
∴PM∥CD，
∴∠1=∠MPE=36°，∠3=∠MPF，
∴∠3=∠2-∠1=60°-36°=24°．
故答案为：24°.
【分析】（1）作PM∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥PM， 根据平行线的性质可得∠1=∠MPE，∠3=∠MPF，然后根据∠3=∠2-∠1进行计算；
（2）作PM∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥PM， 根据平行线的性质可得∠1=∠MPE，∠3=∠MPF，然后根据∠2=∠1+∠3进行计算；
（3）易得∠BEP+∠DFP=∠2=α，然后根据∠EP′F=∠BEP′+∠DFP′结合角平分线的概念进行计算.
45．如图 1，直线 分别交 于点 (点 在点 的右侧)，若
（1）求证： ；
（2）如图2所示，点 在 之间，且位于 的异侧，连 ， 若 ，则 三个角之间存在何种数量关系，并说明理由.
（3）如图 3 所示，点 在线段 上，点 在直线 的下方，点 是直线 上一点（在 的左侧），连接 ，若 ，则请直接写出 与 之间的数量
【答案】（1）证明：∵∠1=∠BEF，
∴∠BEF+∠2=180°
∴AB∥CD.
（2）解：
设∠N= ，∠M= ，∠AEM= ，∠NFD=
过M作MP∥AB，过N作NQ∥AB
∵ ，MP∥AB，NQ∥AB
∴MP∥NQ∥AB∥CD
∴∠EMP= ，∠FNQ=
∴∠PMN= - ，∠QNM= -
∴ - = -
即 = -
∴
故答案为
（3）解： ∠N+∠PMH=180°
过点M作MI∥AB交PN于O，过点N作NQ∥CD交PN于R.
∵ ，MI∥AB，NQ∥CD
∴AB∥MI∥NQ∥CD
∴∠BPM=∠PMI
∵∠MPN=2∠MPB
∴∠MPN=2∠PMI
∴∠MON=∠MPN+∠PMI=3∠PMI
∵∠NFH=2∠HFD
∴∠RFN=180°-∠NFH-∠HFD=180°-3∠HFD
∵∠RFN=∠HFD
∴∠PRF=∠FNP+∠RFN=∠FNP+180°-3∠RFM
∴∠MON+∠PRF+∠RFM=360°-∠OMF
即3∠PMI+∠FNP+180°-3∠RFM+∠RFM=360°-∠OMF
∴∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH
∵3∠PMI+∠PNH=180°
∴3∠PMI+∠FNP+∠FNH=180°
∵3∠RFM+∠FNH=180°
∴3∠PMI-3∠RFM+∠FNP=0°
即∠RFM-∠PMI= ∠FNP
∴∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=∠FNP-2(∠RFM-∠PMI)=180°-∠PMH
∠FNP-2× ∠FNP=180°-∠PMH
∠FNP=180°-∠PMH
即 ∠N+∠PMH=180°
故答案为 ∠N+∠PMH=180°
【解析】【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可判定AB∥CD；（2）设∠N= ，∠M= ，∠AEM= ，∠NFD= ，过M作MP∥AB，过N作NQ∥AB可得∠PMN= - ，∠QNM= - ，根据平行线性质得到 - = - ，化简即可得到 ；（3）过点M作MI∥AB交PN于O，过点N作NQ∥CD交PN于R，根据平行线的性质可得∠BPM=∠PMI，由已知得到∠MON=∠MPN+∠PMI=3∠PMI及∠RFN=180°-∠NFH-∠HFD=180°-3∠HFD，根据对顶角相等得到∠PRF=∠FNP+∠RFN=∠FNP+180°-3∠RFM，化简得到∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH，根据平行线的性质得到3∠PMI+∠FNP+∠FNH=180°及3∠RFM+∠FNH=180°，两个等式相减即可得到∠RFM-∠PMI= ∠FNP，将该等式代入∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH，即得到 ∠FNP=180°-∠PMH，即 ∠N+∠PMH=180°.
46．
（1）计算观察下列各式填空：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ．
（3）利用（2）的猜想结论计算： ．
（4）扩展与应用： ．
【答案】（1）；；
（2）
（3）
（4）
【解析】【解答】解：
（1）第1个：；
第2个：；
第3个：；
故答案为：；；；
（2）由（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，
若n为大于1的正整数，
则，
故答案为：；
（3）
，
故答案为：；
（4）
故答案为：．
【分析】
（1）根据整式的运算法则和公式进行计算即可。
（2）运用（1）中规律，推导出结果。
（3）（4）根据（2）中规律，运用添项法求出（3）、（4）结果。
47．如图，点C在∠AOB的边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C.
（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；
（2）试说明CG平分∠OCD；
（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF？并说明理由．
【答案】（1）解：∵DE//OB ，∴∠O=∠ACE，（两直线平行，同位角相等）
∵∠O =40°，
∴∠ACE =40°，∵∠ACD+∠ACE= (平角定义)∴ ∠ACD=
又∵CF平分∠ACD ，
∴ (角平分线定义)
∴ ∠ECF=
（2）证明：∵CG⊥CF，
∴ .
∴
又 ∵ ）
∴
∵
∴ (等角的余角相等）
即CG平分∠OCD
（3）解：结论：当∠O=60°时 ，CD平分∠OCF ．
当∠O=60°时
∵DE//OB，
∴ ∠DCO=∠O=60°.
∴ ∠ACD=120°.
又 ∵CF平分∠ACD
∴ ∠DCF=60°，
∴
即CD平分∠OCF
【解析】【分析】（1）根据平行线“两直线平行，同位角相等”，求得∠ACE＝40°，根据平角的定义以及CF平分∠ACD ，可得到∠ACF＝70°，然后求出∠ECF的度数；
（2）根据∠DCG＋∠DCF＝90°，∠GCO＋∠FCA＝90°，以及∠ACF＝∠DCF，可得到∠GCO＝∠GCD，即可证明CG平分∠OCD；
（3）根据两直线平行，内错角相等得出∠DCO＝∠O＝60°，根据角平分线可得到∠DCF＝60°，以此可得∠DCO＝∠DCF，即CD平分∠OCF．
48．
（1）如图1，点E为线段BC上一点，点A，D为位于线段BC外同侧的两点，连接AB、AE、DE与DC．若∠D＝∠AED﹣∠BAE，求证：AB∥DC；
（2）如果以上条件不变，在（1）的结论下，如图2，过点A的直线AM∥DE，写出∠MAB与∠D的数量关系并说明理由．
【答案】（1）解：过E作EF∥AB，
则∠BAE=∠AEF，
∵∠D=∠AED-∠BAE，
∠DEF=∠AED-∠AEF，
∴∠D=∠DEF，
∴EF∥DC，
∵EF∥AB，
∴AB∥DC；
（2）解：∠MAB与∠D的数量关系为：∠MAB=∠D，
证明：∵AM∥DE，
∴∠MAE=∠AED，
由（1）知 ∠D=∠AED-∠BAE，
∵∠MAB=∠MAE-∠BAE，
∴∠MAB=∠D．
【解析】【分析】（1）过E作EF∥AB，则∠BAE=∠AEF， 根据∠D=∠AED-∠BAE，∠DEF=∠AED-∠AEF，得出∠D=∠DEF，EF∥DC，再利用平行线的判定与性质得出结论；
（2）由（1）知 ∠D=∠AED-∠BAE，根据 ∠MAB=∠MAE-∠BAE，即可得出结论。
49．平行直线AB与CD被直线MN所截.
（1）如图1，点E在AB、CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，若∠BPE＝160°，∠EQC＝30°，求∠PEQ的值；
（2）如图2，点E在AB、CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE、QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请写出你的结论并说明理由.
（3）如图3，在（2）的条件下，过P点作PH∥EQ交CD于点H，连接PQ.若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数.
【答案】（1）解：如图1，过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD，
∴∠BPE+∠PEM＝180°，∠QEM＝∠EQC，
∵∠BPE＝160°，∠EQC＝30°，
∴∠PEM＝180°-160°＝20°，∠QEM＝30°，
∴∠PEQ＝∠PEM+∠QEM＝50°；
（2）解：结论：如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°.
理由：作EH∥AB.
∵AB∥CD，EH∥AB，
∴EH∥CD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4，
∴∠PEQ＝∠2+∠3＝∠1+∠4，
同理可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD，
∵PF平分∠BPE、QF平分∠EQD，
∵∠BPE＝2∠BPF，∠DQE＝2∠FQD，∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°，
∴∠1+∠BPE+∠4+∠EQD＝∠1+∠4+∠BPE+∠EQD＝∠PEQ+2（∠BPF+∠FQD）＝∠PEQ+2∠PFQ＝360°，
∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°.
（3）解：如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x.∠EPQ＝z，
∵QF平分∠EQD，∠QPF：∠EQF＝1：5，
∴∠EQF＝∠FQH＝5y，
∵EQ∥PH，
∴∠EQC＝∠PHQ＝x，
∴∠EQC＋∠EQF＋∠FQH＝ x+10y＝180°，
∵AB∥CD，
∴∠BPH＝∠PHQ＝x，
∵PF平分∠BPE，
∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH，
∴∠FPH＝y+z－x，
∵PQ平分∠EPH，
∴∠EPQ＝∠QPF+∠FPH，
∴z＝y+y+z-x，
∴x＝2y，
∴12y＝180°，
∴y＝15°，
∴x＝30°，
∴∠PHQ＝30°.
【解析】【分析】（1） 过点E作EM∥AB， 根据平行于同一直线的两条直线互相平行得EM∥AB∥CD，根据平行线的性质得∠BPE+∠PEM＝180°，∠QEM＝∠EQC， 进而根据∠PEQ＝∠PEM+∠QEM算出答案；
（2） ∠PEQ+2∠PFQ＝360°，理由如下：作EH∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得 EH∥CD， 根据平行线的性质得∠1＝∠2，∠3＝∠4， 则∠PEQ＝∠2+∠3＝∠1+∠4， 同理可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD，根据角平分线的定义可得∠BPE＝2∠BPF，∠DQE＝2∠FQD，根据平角的定义可得∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°， 从而将两等式相加，再整体替换即可得出结论；
（3）设∠QPF＝y，∠PHQ＝x，∠EPQ＝z，结合已知及角平分线的定义得 ∠EQF＝∠FQH＝5y， 由平行线的性质得∠EQC＝∠PHQ＝x，∠BPH＝∠PHQ＝x，根据平角的定义得 ∠EQC＋∠EQF＋∠FQH＝ x+10y＝180°， 根据角平分线的定义得∠FPH＝y+z－x， z＝y+y+z-x， 则x＝2y， 据此就不难求出答案了.
50．已知：如图，直线AB//CD，直线EF交AB，CD于P，Q两点，点M，点N分别是直线CD，EF上一点（不与P，Q重合），连接PM，MN．
（1）点M，N分别在射线QC，QF上（不与点Q重合），当∠APM+∠QMN=90°时，
①试判断PM与MN的位置关系，并说明理由；
②若PA平分∠EPM，∠MNQ=20°，求∠EPB的度数．（提示：过N点作AB的平行线）
（2）点M，N分别在直线CD，EF上时，请你在备用图中画出满足PM⊥MN条件的图形，并直接写出此时∠APM与∠QMN的关系．（注：此题说理时不能使用没有学过的定理）
【答案】（1）解：①PM⊥MN，理由见解析：
∵AB//CD，
∴∠APM=∠PMQ，
∵∠APM+∠QMN=90°，
∴∠PMQ +∠QMN=90°，
∴PM⊥MN；
②过点N作NH∥CD，
∵AB//CD，
∴AB// NH∥CD，
∴∠QMN=∠MNH，∠EPA=∠ENH，
∵PA平分∠EPM，
∴∠EPA=∠ MPA，
∵∠APM+∠QMN=90°，
∴∠EPA +∠MNH=90°，即∠ENH +∠MNH=90°，
∴∠MNQ +∠MNH +∠MNH=90°，
∵∠MNQ=20°，
∴∠MNH=35°，
∴∠EPA=∠ENH=∠MNQ +∠MNH=55°，
∴∠EPB=180°-55°=125°，
∴∠EPB的度数为125°；
（2）解：当点M，N分别在射线QC，QF上时，如图：
∵PM⊥MN，AB//CD，
∴∠PMQ +∠QMN=90°，∠APM=∠PMQ，
∴∠APM +∠QMN=90°；
当点M，N分别在射线QC，线段PQ上时，如图：
∵PM⊥MN，AB//CD，
∴∠PMN=90°，∠APM=∠PMQ，
∴∠PMQ -∠QMN=90°，
∴∠APM -∠QMN=90°；
当点M，N分别在射线QD，QF上时，如图：
∵PM⊥MN，AB//CD，
∴∠PMQ +∠QMN=90°，∠APM+∠PMQ=180°，
∴∠APM+90°-∠QMN=180°，
∴∠APM -∠QMN=90°；
综上，∠APM +∠QMN=90°或∠APM -∠QMN=90°．
【解析】【分析】（1）①根据平行线的性质得出∠APM=∠PMQ，再根据角的运算得出∠PMQ +∠QMN=90°，即可得出结论；②过点N作NH∥CD，根据角平分线的性质得出∠EPA=∠ MPA，再根据角的运算得出∠ENH +∠MNH=90°，代入计算即可得出答案；
（2）当点M，N分别在射线QC，QF上时，当点M，N分别在射线QC，线段PQ上时，分类讨论即可。
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