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人教版2024—2025学年八年级下册期末试题调研培优卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图象中不能表示y是x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，，，，P为边BC上一动点，于点E，于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A． B． C． D．1.5
3．如图，在□ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．在下列命题中，真命题是（ ）
A．有两边平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有一个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形
5．四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠A＝∠B B．AD∥BC
C．AB＝CD D．对角线互相平分
6．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的正半轴交点P所表示的数是（ ）
A．2.2 B． C． D．.
7．已知△ABC的边长分别是则该三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
8．如图，是一个棱长为的封闭正方体盒子，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线与直线相交于点，直线过点，则关于的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若分式
有意义，则x的取值范围是 ．
12．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．
13．若y，则xy＝ ．
14．在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B＝ °．
15．如图，在 中，，，分别以 ， 为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为 ，，则 的值为
16．小明同学学习了菱形的知识后，结合之前学习的赵爽弦图，编了一个菱形版“赵爽弦图”如图，菱形中，，四边形是矩形，若，则矩形的面积为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知：正方形中，点E，M分别在边，上．
（1）如图1，，垂足为点G，求证：；
（2）如图2，点F，N分别在边，上，若，请判断和的大小关系，并说明理由．
18．一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
19．如图，已知直线与x轴、轴分别交于A，B两点，且，x轴上一点C的坐标为，P是直线上一点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）连接和，当点P的横坐标为2时，求的面积．
20．体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机搶取8名女生进行每人4次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示．
（1）求女生进球数的平均数、中位数、众数；
（2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有女生800人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？
21．如图1，菱形中，，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且交于F，连接．
（1）证明：；
（2）如图2，把菱形改为正方形，其他条件不变，请求出线段与线段的数量关系．
22．在中，，于．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
23．如图，在中，，点在射线上（不与，重合），交直线于点．
（1）如图1，当点在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，请写出，，之间的数量关系，并加以证明．
24．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
25．鲜花饼是一款以云南特有的食用玫瑰花人料的酥饼，是以“花味，云南味”为特色的云南经典点心代表．某网购平台准备购买A、B两种鲜花饼进行销售，如果分别用2000元购买A、B两种鲜花饼，则购买A种鲜花饼的数量比购买B种鲜花饼的数量少20千克，已知B种鲜花饼的单价为A种鲜花饼单价的．
（1）求A、B两种鲜花饼的单价．
（2）该网购平台计划购买A、B两种鲜花饼共90千克，总费用不多于2000元，并且要求A种鲜花饼数量不能低于30千克，那么应如何安排购买方案才能使总费用最少，最少费用应为多少元？
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人教版2024—2025学年八年级下册期末试题调研培优卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图象中不能表示y是x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A选项中，每取一个x的值对应一个或两个y的值，不能表示y是x的函数，A符合题意；
B选项中，每取一个x的值对应一个y的值，能表示y是x的函数，B不符合题意；
C选项中，每取一个x的值对应一个y的值，能表示y是x的函数，C不符合题意；
D选项中，每取一个x的值对应一个y的值，能表示y是x的函数，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】可根据“在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么称y是x的函数，x叫做自变量”进行求解即可。
2．如图，在Rt△ABC中，，，，P为边BC上一动点，于点E，于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A． B． C． D．1.5
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵，，，
∴BC==5，
∵，，，
∴四边形AEPF为矩形，
∴AP=EF，
∵， M为EF的中点 ，
∴AM=EF=AP，
若AP值最小时，则AM的值就最小，
当AP⊥BC时，AP的值最小，
此时△ABC面积=BC·AP=AB·AC，即5AP=3×4，
∴AP=，
∴ AM的最小值为AP=.
故答案为：C.
【分析】由勾股定理求出BC=5，易证四边形AEPF为矩形，可得AP=EF，利用直角三角形斜边中线的性质可得AM=EF=AP，若AP值最小时，则AM的值就最小，当AP⊥BC时，AP的值最小，根据△ABC的面积可求出AP的最小值，继而得出AM的最小值.
3．如图，在□ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在△ABC中，AB=4，AC=6，
∴6-4＜AC＜4+6，即2＜AC＜10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA，
∴2＜2AO＜10，
∴1＜AO＜5，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的三边关系可得2＜AC＜10，由平行四边形的性质可得AC=2OA，可得2＜2AO＜10，继而得解.
4．在下列命题中，真命题是（ ）
A．有两边平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有一个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形
【答案】B
【解析】【解答】解：对于A，有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，若一边平行另一边不平行，则该四边形为梯形，故A错误，不符合题意；
对于B， 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ，故B正确，符合题意；
对于C，有3个角是直角的四边形是矩形或有1个角是直角的平行四边形是矩形，故C错误，不符合题意；
对于D， 有一个角是直角且有一组邻边相等的四边形不构成平行四边形，故构不成正方形，故D错误，不符合题意；
故选：B.
【分析】根据平行四边形及特殊平行四边形的判定定理逐一判断或找出反例进行逐一判断即可.
5．四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠A＝∠B B．AD∥BC
C．AB＝CD D．对角线互相平分
【答案】A
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，
∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，故B正确，不符合题意；
AB=CD，故C正确，不符合题意；
对角线AC与BD互相平分，故D正确，不符合题意；
此时无法进一步判定平行四边形邻角的关系，即无法得出∠A=∠B，故A错误，符合题意.
故选：A.
【分析】根据平行四边形的判定及其性质逐一分析选项即可，即两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
6．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的正半轴交点P所表示的数是（ ）
A．2.2 B． C． D．.
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠OAB=90°，OA=2，AB=1，
在Rt△OAB中，，
依题意，OP=OB=，
∴点P表示的数为，
故选：B.
【分析】根据已知条件结合勾股定理可直接计算斜边OB的长，结合尺规所作等线段即可分析点P表示的数.
7．已知△ABC的边长分别是则该三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴△ABC为直角三角形，
又∵a=c，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：D.
【分析】结合勾股定理逆定理判定该三角形形状，即较短两直角边平方之和等于较长边的平方.
8．如图，是一个棱长为的封闭正方体盒子，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：将点A和点B所在的各面展开为矩形，为矩形对角线的长，
如图所示：
∵矩形的长为6、宽为3，
∴．
故选B．
【分析】根据正方体展开图特征结合勾股定理即可求出答案.
9．如图，直线与直线相交于点，直线过点，则关于的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：直线与直线相交于点，
，
，
，
关于的不等式的解集是，
故选：．
【分析】将点A坐标代入可得，当直线图象在直线图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
10．如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
H为AB中点，连接OH、OD，DH、
∵∠MON=90°，AB=4，
∴OH=AB=×4=2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠BAD=90°，
∵点H是AB的中点，
∴AH=AB=×4=2，
在Rt△DAH中，DH===2，
在△ODH中，根据三角形三边关系可知DH+OH＞OD，
∴当O、H、D三点共线时，OD最大为DH+OH=2+2.
故答案为：A．
【分析】 取AB中点H，连接OH、DH、OD，求出OH和DH值，利用三角形三边关系分析出当O、H、D三点共线时，OD最大为OH+DH。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若分式
有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥﹣3且x≠2
【解析】【解答】解：分式
有意义，
∴，
解之：x≥3且x≠2.
故答案为：x≥3且x≠2.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件：分母不等于0，可得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集.
12．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．
【答案】1：2
【解析】【解答】解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，
∴AB=AM=DM=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，
∴∠BMC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠MBC=∠MCB=45°，
∴BM=CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME=MF，∠BMC=90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
【分析】根据三角形的中位线定理可得NF∥BM，NE∥CM，根据两组对边平行得四边形MENF是平行四边形，根据一组邻边相等和一个角是直角即可判定是正方形.
13．若y，则xy＝ ．
【答案】2
【解析】【解答】解：由题意可得：x-2=2-x=0，
∴x=2，
∴y=0+0+，
∴xy=，
故答案为．
【分析】根据二次根式的双重非负性可得x-2≥0，2-x，0，解不等式组可得x=2，把x=2代入已知的等式可求得y的值，然后代入所求代数式计算即可求解.
14．在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B＝ °．
【答案】60
【解析】【解答】解：在 ABCD中，∠A＝∠C，
∵∠A＋∠C＝240°，
∴∠A＝∠C＝120°
∴∠B＝180° ∠A＝180° 120°＝60°．
故答案为：60．
【分析】根据平行四边形的性质可得∠A＝∠C，再结合∠A＋∠C＝240°，求出∠A＝∠C＝120°，最后求出∠B的度数即可。
15．如图，在 中，，，分别以 ， 为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为 ，，则 的值为
【答案】
【解析】【解答】∵，又，则，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】分别表示出 ，根据勾股定理可得，进而即可求解．
16．小明同学学习了菱形的知识后，结合之前学习的赵爽弦图，编了一个菱形版“赵爽弦图”如图，菱形中，，四边形是矩形，若，则矩形的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点A作于M，过点G作于N，连接GM，
四边形EFGH是矩形，
，
，
，，
四边形ABCD是菱形，，
，，，
，，
，，，
，，，
在和中，
，
≌，
同理：≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：.
【分析】过点A作AM⊥BC于M，过点G作GN⊥BC于N，连接GM，根据矩形的四个角都是直角可得∠AFB=∠AED=∠BGC=∠CHD=90°，结合FA=FB，利用勾股定理可得AB，根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=∠BCD=120°，则∠CBG=15°，∠DAF=75°，易得∠ADE=∠CBG，∠DAE=∠BCG，证明△ABF≌△CDH，△BCG≌△DAE，根据含30°角的直角三角形的性质可得BM，根据三角函数的概念可得AM，然后求出BM、GN，根据S矩形EFGH=S菱形ABCD-2S△ABF-2S△BCG进行计算.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知：正方形中，点E，M分别在边，上．
（1）如图1，，垂足为点G，求证：；
（2）如图2，点F，N分别在边，上，若，请判断和的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
.
（2）解：，
理由：作于点Q，于点P，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
由题意知：四边形和四边形是矩形，
，
，
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得，， 根据垂直及余角的性质可得 ， 根据AAS证明， 利用全等三角形的性质即得结论；
（2）作于点Q，于点P，根据AAS证明△EPF≌△MQN，利用全等三角形的性质即得结论.
18．一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】（1）解：由题意得，AB=CD=13米，OB=5米，
在Rt，由勾股定理得：
AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144，
解得AO=12米，
答：这个梯子的顶端距地面有12米高
（2）解：由题意得，AC=7米，
由（1）得AO=12米，
∴CO=AO-AC=12-7=5米，
在Rt，由勾股定理得：
OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144，
解得OD=12米
∴BD=OD-OB=12-5=7米，
答：梯子的底端在水平方向滑动了7米
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案。
（2）根据题意可得 CO=AO-AC=12-7=5米，根据勾股定理即可求出答案。
19．如图，已知直线与x轴、轴分别交于A，B两点，且，x轴上一点C的坐标为，P是直线上一点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）连接和，当点P的横坐标为2时，求的面积．
【答案】（1）解：，
，
将点代入得：，解得，
则直线的函数表达式为
（2）解：是直线上一点，点的横坐标为2，
∴点的纵坐标为，
，
，
则的面积为．
【解析】【分析】 (1)、 掌握待定系数法求取一次函数解析式； (2)、根据坐标和图形的性质找到三角形的底和高，再计算面积。
20．体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机搶取8名女生进行每人4次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示．
（1）求女生进球数的平均数、中位数、众数；
（2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有女生800人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？
【答案】（1）解：女生进球数的平均数为（个），
女生进球数的中位数是第4个和第5个成绩的平均数，即（个），
女生进球数的众数是2个；
（2）解：，
∴估计为“优秀”等级的女生约为300人．
【解析】【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义结合题意即可求解；
（2）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
21．如图1，菱形中，，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且交于F，连接．
（1）证明：；
（2）如图2，把菱形改为正方形，其他条件不变，请求出线段与线段的数量关系．
【答案】（1）证明：∵菱形中，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵正方形中，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形
∴，即
∴．
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质得到，进而运用三角形全等的判定证明即可求解；
（2）先根据正方形的性质得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，再结合题意即可得到，然后根据正方形的性质得到，即，进而结合题意得到，从而运用勾股定理即可求解。
22．在中，，于．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；∴的度数．
（2）解：在中，，，∴，设，∴，∵在中，，∴， 解得，∴，∴的长为．
【解析】【分析】（1）先求出，再利用三角形的内角和求出即可得到答案；
（2）设，，利用勾股定理可得，求出x的值，即可得到AC的长。
23．如图，在中，，点在射线上（不与，重合），交直线于点．
（1）如图1，当点在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，请写出，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，，，，，，即，在和中，，，，又，，即．
（2）解：，证明如下：四边形是平行四边形，，，，即，，，在和中，，，，又，，即．
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明可得BE=DF，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先利用“AAS”证明可得DE=BF，再利用线段的和差及等量代换可得。
24．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，即AE∥CD，
又∵CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形．
∵AC平分∠BAD，∴∠CAE=∠CAD，
又∵AD∥CE，∴∠ACE=∠CAD，
∴∠ACE=∠CAE，
∴AE=CE，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：△ABC是直角三角形．
证法一：∵E是AB中点，∴AE=BE．
又∵AE=CE，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE，
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°，
∴2∠BCE+2∠ACE=180°，∴∠BCE+∠ACE=90°．
即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
证法二：连DE，由四边形AECD是菱形，得到DE⊥AC，且平分AC，
设DE交AC于F，
∵E是AB的中点，且F为AC中点，
∴EF∥BC．∠AFE=90°，
∴∠ACB=∠AFE=90°，
∴BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形
【解析】【分析】 （1）由AE∥CD，CE∥AD，两组对边分别平行，得四边形AECD是平行四边形；由AC平分∠BAD，AD∥CE，分别得角相等，推得∠ACE=∠CAE ，则AE=CE，根据邻边相等的平行四边形是菱形证得四边形AECD是菱形。
（2）连接CD，由菱形对角线互相垂直平分，E为AB的中点，得EF为三角形ABC的中位线，则EF∥BC，根据两直线平行同位角相等，得∠ACB=90°， 证得△ABC是直角三角形 。
25．鲜花饼是一款以云南特有的食用玫瑰花人料的酥饼，是以“花味，云南味”为特色的云南经典点心代表．某网购平台准备购买A、B两种鲜花饼进行销售，如果分别用2000元购买A、B两种鲜花饼，则购买A种鲜花饼的数量比购买B种鲜花饼的数量少20千克，已知B种鲜花饼的单价为A种鲜花饼单价的．
（1）求A、B两种鲜花饼的单价．
（2）该网购平台计划购买A、B两种鲜花饼共90千克，总费用不多于2000元，并且要求A种鲜花饼数量不能低于30千克，那么应如何安排购买方案才能使总费用最少，最少费用应为多少元？
【答案】（1）解：设A种鲜花饼的价格为x元/千克，则B种鲜花饼的价格为元/千克．依题意，得，解得，经检验是原方程的解，且符合题意，则．答：A、B两种鲜花饼的单价分别为25元/千克和20元/千克．
（2）解：设购买A种鲜花饼m千克，B种鲜花饼千克，总费用w元．根据题意，得，解得．∵，∴m的取值范围为．总费用，∵，∴w随着m的增大而增大，∴当时，总费用最少，（元），∴A种鲜花饼购进30千克，B种鲜花饼购进60千克，总费用最少为1950元．
【解析】【分析】（1）设A种鲜花饼的价格为x元/千克，则B种鲜花饼的价格为元/千克，根据题意列出方程求解即可；
（2）设A种鲜花饼的价格为x元/千克，则B种鲜花饼的价格为元/千克，根据题意列出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可。
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