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华东师大版2024—2025学年八年级下册期末真题严选培优卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列条件，不能判断四边形是平行四边形的是( )
A．， B．，
C．， D．，
2．在一周内体育老师对某运动员进行了次百米短跑测试，若想了解该运动员的成绩是否稳定，老师需要知道他次成绩的( )
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
3．关于一次函数与，下列说法：
①两函数的图象关于x轴对称；
②两函数的图象和y轴围成的三角形的面积为24；
③函数（m是常数，且m≠1）的图象一定过点（-2，0）．
其中正确的个数是
A．3 B．2 C．1 D．0
4．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC，交AD于点E，连接CE．已知△DCE的周长是14，则□ABCD的周长是（ ）
A．7 B．14 C．28 D．56
5．如图：在中，，，是斜边上的一个动点，，，垂足分别为，，则的最小值为（ ）
A．6 B． C．5 D．
6．下列对于一次函数 的描述错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图像经过点
C．图像与直线 相交
D．图像可由直线 向上平移2个单位得到
7．如图，在长方形中，，，对角线，动点从点出发，沿运动，设点的运动路程为（），的面积为（）．若与的对应关系如图所示，则图中（ ）
A． B．1 C．3 D．4
8．若一次函数与的交点坐标为，如图所示，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将正方形ABCD剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到边长为c的四边形EFGH，下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，点O是 的对称中心， ，E、F是 边上的点，且 ；G、H是 边上的点，且 ，若 分别表示 和 的面积，则 与 之间的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，过点作，延长到点，使得，连接，，若，，则的长为 ．
12．函数与的图象如图所示，则关于的方程的解为 ．
13．如果一组数据：5，x，9，4的中位数为6，那么x的值是 ．
14．平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠B＝ 度.
15．如图，将一个边长分别为 8，16 的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是 ．
16．已知一次函数图象上两点和，下列结论：①图象过定点；②若一次函数图象与函数的图象平行，则；③若，则；④若函数图象与x轴的交点在正半轴，则或．正确的是 （填写正确结论的序号）．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
18．如图，一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3，4），其中一次函数与y轴交于B点，且OA＝OB．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求△AOB的面积S．
19．高平素有梨乡之称，高平大黄梨的甘酸适度，维生素、矿物质含量高，以黄梨为原料制成的梨干因食用方便更是受到了人们的青睐． 某超市欲购进A、B两种袋装黄梨干，用160元购进的A种黄梨干与用240元购进的B种黄梨干的数量相同，每袋B种黄梨干的进价比A种黄梨干的进价贵10元．
（1）求A、B两种黄梨干每袋的进价分别为多少元？
（2）若该商店A种黄梨干每袋售价24元，B种黄梨干每袋售价35元，准备再次购进A，B两种黄梨干共100袋．在这100袋两种黄梨干全部售完的情况下，设购进A种黄梨干的数量为a袋，销售这两种黄梨干的利润为w元，写出w与a的函数关系式，若要保证售完后获利不低于468元，该商店该如何进货？
20．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺，分别在图1、图2中按要求作图(保留作图痕迹，不这写作法)
（1）在图1中，在AB边上求作一点N，连接CN，使得CN=AM；
（2）在图2 中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使得CQ=AM．
21．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）试连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
22．2022年4月7日是第73个世界卫生日，某学校为纪念爱国卫生运动以及抗击新冠肺炎疫情决定在八年级举办卫生知识竞赛活动．甲，乙两班各选派5名学生参加学校卫生知识竞赛（满分100分）．成绩如下（单位：分）：
甲班：96，92，94，97，96；
乙班；90，98，97，98，92.
通过数据分析，列表如下：
班级 平均分 中位数 众数
甲班 a 96 96
乙班 95 b c
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）已知乙班学生竞赛成绩的方差为11.2，请计算甲班学生竞赛成绩的方差，并回答哪个班的学生竞赛成绩更稳定？
23．如图，一次函数 的图象经过点A（2，4）、B（n，－1），与y轴交于点C．
（1）求m，n的值；
（2）连接OA，OB，求 的面积．
24．“成都成就梦想”，第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日在成都举行，某特许经销商试销售A，B两类大运会纪念品，若A类纪念品每个进价比B类纪念品每个进价少5元，且用90元购进A类纪念品的数量和100元购进B类纪念品的数量相同．
（1）求A，B两类纪念品每个进价分别是多少元？
（2）若该经销商购进A类纪念品数量比B类纪念品数量的3倍还少5个，两类纪念品的总数不超过95个，且B类纪念品的个数多于24个，求该经销商应购进B类纪念品多少个？
25．如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是 ．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
（1）求点D的坐标；
（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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华东师大版2024—2025学年八年级下册期末真题严选培优卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列条件，不能判断四边形是平行四边形的是( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】【解答】解：A、由AB∥CD，AB＝CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；
B、由AB＝CD，BC＝AD可以判断四边形ABCD是平行四边形；
C、由∠A＝∠C，AD∥BC，可以推出∠B＝∠D，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
D、由AB∥CD，∠A＝∠B不可以判断四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的判定方法逐一判断即可.
2．在一周内体育老师对某运动员进行了次百米短跑测试，若想了解该运动员的成绩是否稳定，老师需要知道他次成绩的( )
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
【答案】B
【解析】【解答】在平均数，方差，中位数，众数这几个指标中，能反映成绩稳定情况的是方差.
故答案为：B
【分析】平均数，中位数，众数反映了数据的大小和一些集中趋势，但不能反映数据的波动情况，方差能够数据的波动情况，看出成绩是否稳定.
3．关于一次函数与，下列说法：
①两函数的图象关于x轴对称；
②两函数的图象和y轴围成的三角形的面积为24；
③函数（m是常数，且m≠1）的图象一定过点（-2，0）．
其中正确的个数是
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】【解答】解：一次函数y1＝3x＋6与y2＝ 3x 6的图象如图所示，
由图象可得，两函数的图象关于x轴对称，故①正确；
两函数的图象和y轴围成的三角形的面积为×12×2＝12，故②错误；
y＝my1＋y2＝m（3x＋6） 3x 6＝（3m 3）x＋6m 6，
当x＝ 2时，y＝ 2（3m 3）＋3m 6＝0，
则函数y＝my1＋y2（m是常数，且m≠1）的图象一定过点（ 2，0），故③正确，
综上所述：正确的个数有2个．
故答案为：B．
【分析】利用一次函数的解析式作出两直线的图形，再结合图象及三角形的面积公式逐项分析判断即可.
4．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC，交AD于点E，连接CE．已知△DCE的周长是14，则□ABCD的周长是（ ）
A．7 B．14 C．28 D．56
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长为：CD＋CE＋DE＝CD＋CE＋AE＝AD＋CD＝14．
∵平行四边形ABCD的周长为2（AD＋CD），
∴ ABCD的周长为2×14=28，
故答案为：C．
【分析】先利用平行四边形的性质可得OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，再利用三角形的周长公式及等量代换可得CD＋CE＋DE＝CD＋CE＋AE＝AD＋CD＝14，最后求出 ABCD的周长为2×14=28即可.
5．如图：在中，，，是斜边上的一个动点，，，垂足分别为，，则的最小值为（ ）
A．6 B． C．5 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
，，，
四边形为矩形，
，
值最小，
值最小，
.
在中，，，
，
，
.
的最小值为.
故选：D.
【分析】连接，即可得到为矩形，进而得到，利用垂线段最短得到时，有最小值，然后根据勾股定理得到长，再利用面积法求出的最小值即可解题.
6．下列对于一次函数 的描述错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图像经过点
C．图像与直线 相交
D．图像可由直线 向上平移2个单位得到
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵-3＜0，∴y随x的增大而减小，不合题意；
B、当x=2时，y=-3×2+2=-4，则图像经过点 ，符合题意；
C、令-3x+2=3x，则x= ，则图像与直线 相交，不合题意；
D、 图像可由直线 向上平移2个单位得到，不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的性质、一次函数上的点以及交点，一次函数的平移分别判断即可。
7．如图，在长方形中，，，对角线，动点从点出发，沿运动，设点的运动路程为（），的面积为（）．若与的对应关系如图所示，则图中（ ）
A． B．1 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：当点在上运动时，，
由图知，点沿运动到时，路程为
，
．
故选：C．
【分析】本题考查用图象表示变量的关系，先求出当点在上运动时，的面积，求得的值，再根据点沿运动到时的路程，列出关系式，求得的，将其代入代数式，进行计算，即可求解.
8．若一次函数与的交点坐标为，如图所示，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵两函数的交点坐标为（3，2），
由图象可知不等式mx+n＜-x+a的解集为x＜3.
故答案为：A.
【分析】利用两函数图象交点的横坐标，观察函数图象可得到不等式mx+n＜-x+a的解集.
9．如图，将正方形ABCD剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到边长为c的四边形EFGH，下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 将正方形ABCD剪去4个全等的直角三角形，
∴EF=GF=GH=EH，∠AEH=∠GHD，∠A=90°，
∴四边形EFGH是菱形，∠AHE+∠AEH=90°，
∴∠GHD+∠AHE=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
S正方形EFGH=c2=（a+b）2-ab=a2+b2，
故答案为：D.
【分析】利用正方形和全等三角形的性质可证得EF=GF=GH=EH，∠AEH=∠GHD，∠A=90°，再证明∠EHG=90°，可得到四边形EFGH是正方形，再利用四边形EFGH的面积等于正方形ABCD的面积-四个直角三角形的面积，列式计算即可.
10．如图，点O是 的对称中心， ，E、F是 边上的点，且 ；G、H是 边上的点，且 ，若 分别表示 和 的面积，则 与 之间的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： ， ，
， ．
点 是 的对称中心，
，
．
即 与 之间的等量关系是 ．
故答案为：B．
【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出 ， ，再由点 是 的对称中心， 根据平行四边形的性质可得 ，从而得出 与 之间的等量关系 ．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，过点作，延长到点，使得，连接，，若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点分别作于点，交的延长线于点，
∴，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
故答案为：．
【分析】过点分别作于点，交的延长线于点，证明四边形为矩形，可得，，再利用证明可求得，，再利用勾股定理可求解的长．
12．函数与的图象如图所示，则关于的方程的解为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵一次函数y=6-x与y=kx图象的交点横坐标为2，
∴关于x的方程kx=6-x的解为x=2.
故答案为：x=2.
【分析】根据一次函数y=6-x与y=kx图象的交点横坐标为2，即可求解.
13．如果一组数据：5，x，9，4的中位数为6，那么x的值是 ．
【答案】7
【解析】【解答】解：∵一共有4个数，
∴中位数是第2和第3个的平均数，
∵中位数为6，
∴第2个数与第3个数的和为12
∵如果x为第1个数，那么4+5≠12，即第2和第3个数的中位数不为6，同理当x为第4个数时，5+9≠12
∴x只能为第2或第3的数
∴x+5=12
解得：x=7，
故答案为：7．
【分析】根据求中位数的方法，可知加上一个数x，那么这组数据的个数就是4，所以处于最中间的两数的平均数就是这组数据的中位数，再根据中位数求得x的值。
14．平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠B＝ 度.
【答案】120
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，∠A=∠C，∠A+∠B=180°，
又∵∠A+∠C=120°，
∴∠A=120°÷2=60°，
∴∠B=180°-∠A=120°.
故答案为：120.
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，再根据已知即可求解.
15．如图，将一个边长分别为 8，16 的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：根据折叠的性质知，EC=AE，∠AEF=∠CEF，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=CE，
由勾股定理得，AB2+BE2=AE2即82+（16-AE）2=AE2，
解得，AE=AF=10，BE=6，
作EG⊥AF于点G，
则四边形AGEB是矩形，有AG=6，GF=4，GE=AB=8，由勾股定理得EF=4．
故答案为：4．
【分析】根据折叠的性质可得EC=AE，∠AEF=∠CEF，再利用勾股定理可得82+（16-AE）2=AE2，求出AE=AF=10，BE=6，作EG⊥AF于点G，再利用勾股定理求出EF的长即可。
16．已知一次函数图象上两点和，下列结论：①图象过定点；②若一次函数图象与函数的图象平行，则；③若，则；④若函数图象与x轴的交点在正半轴，则或．正确的是 （填写正确结论的序号）．
【答案】①②④
【解析】【解答】解：当时，
∴图象过定点， 故①正确，
∵一次函数图象与函数的图象平行，
，
，故②正确，
，
∴随的增大而减小，
，
故③错误，
∵函数图象与轴的交点在正半轴，
令，则
或，
或，故④正确，
故答案为：①②④.
【分析】根据①当两直线平行时，可得k相等（即k1=k2）；②当两直线垂直时，可得k的乘积为-1（即k1×k2=-1）和一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
【解析】【分析】（1）首先由AB//CD以及AC平分∠BAD可得，即AD=CD，已知AD=AB，AB∥CD，利用平行四边形的判定，即可得四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）已知四边形ABCD是菱形对角线交点为O，可得AC⊥BD，，在直角三角形AOB中利用勾股定理求出OA的长度，在利用直角三角形的斜边中线定理即可得出OE的长度.
18．如图，一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3，4），其中一次函数与y轴交于B点，且OA＝OB．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求△AOB的面积S．
【答案】（1）解：设直线OA的解析式为y＝kx，
把A（3，4）代入得4＝3k，解得k＝ ，
所以直线OA的解析式为y＝ x；
∵A点坐标为（3，4），
∴OA＝ ＝5，
∴OB＝OA＝5，
∴B点坐标为（0，﹣5），
设直线AB的解析式为y＝ax+b，
把A（3，4）、B（0，﹣5）代入得 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝3x﹣5
（2）解：∵A（3，4），
∴A点到y轴的距离为3，且OB＝5，
∴S＝ ×5×3＝ ．
【解析】【分析】（1）已知点 A的坐标，把A(3，4)代入y＝kx， 即可求出k值；由于OA=OB，且B在y轴上，根据勾股定理求出OA的长，则可求出B点坐标，根据A、B两点坐标，用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）现知OB的长，把OB看作底，则A的横坐标的绝对值就等于OB边上的高，把OB的长和xA代入三角形面积公式求面积即可。
19．高平素有梨乡之称，高平大黄梨的甘酸适度，维生素、矿物质含量高，以黄梨为原料制成的梨干因食用方便更是受到了人们的青睐． 某超市欲购进A、B两种袋装黄梨干，用160元购进的A种黄梨干与用240元购进的B种黄梨干的数量相同，每袋B种黄梨干的进价比A种黄梨干的进价贵10元．
（1）求A、B两种黄梨干每袋的进价分别为多少元？
（2）若该商店A种黄梨干每袋售价24元，B种黄梨干每袋售价35元，准备再次购进A，B两种黄梨干共100袋．在这100袋两种黄梨干全部售完的情况下，设购进A种黄梨干的数量为a袋，销售这两种黄梨干的利润为w元，写出w与a的函数关系式，若要保证售完后获利不低于468元，该商店该如何进货？
【答案】（1）解：设A种黄梨干每袋的进价为x元，B种黄梨干每袋的进价为元，由题意得：
解得，
经检验，是原分式方程的解且符合题意，
则
答：A、B两种袋装黄瓜干每袋的进价分别为20元，30元；
（2）解：设购进A种黄梨干a袋，则购进B种黄梨干袋，
由题意，得：
∵，
∴当时，则，
∴该商店进货时，A种黄梨干最多购进32袋．
【解析】【分析】（1）设A种黄梨干每袋的进价为x元，B种黄梨干每袋的进价为(x+10)元，用160元购进的A种黄梨干的数量为，用240元购进的B种黄梨干的数量为，然后根据数量相同建立方程，求解即可；
（2）设购进A种黄梨干a袋，则购进B种黄梨干(100-a)袋，根据(售价-进价)×袋数=总利润可得w与a的关系式，然后根据一次函数的性质进行解答.
20．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺，分别在图1、图2中按要求作图(保留作图痕迹，不这写作法)
（1）在图1中，在AB边上求作一点N，连接CN，使得CN=AM；
（2）在图2 中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使得CQ=AM．
【答案】（1）解：连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N，如图1，
（2）解：延长MO交ADE于Q，连结CQ，则CQ为所作，如图2．
【解析】【分析】（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N；
（2）延长MO交ADE于Q，连结CQ，则CQ为所作。
21．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）试连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
．
（2）解：当平分时，四边形是菱形．
理由：如图 ，连接AF，CE，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
．
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明即可；
（2）先证明四边形是平行四边形，再结合 ，即可得到四边形是菱形。
22．2022年4月7日是第73个世界卫生日，某学校为纪念爱国卫生运动以及抗击新冠肺炎疫情决定在八年级举办卫生知识竞赛活动．甲，乙两班各选派5名学生参加学校卫生知识竞赛（满分100分）．成绩如下（单位：分）：
甲班：96，92，94，97，96；
乙班；90，98，97，98，92.
通过数据分析，列表如下：
班级 平均分 中位数 众数
甲班 a 96 96
乙班 95 b c
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）已知乙班学生竞赛成绩的方差为11.2，请计算甲班学生竞赛成绩的方差，并回答哪个班的学生竞赛成绩更稳定？
【答案】（1）95；97；98
（2）解：由（1）知甲班同学竞赛成绩的平均分为95，
∴方差为： ．
∵11.2＞3.2，
∴甲班的学生竞赛成绩更稳定．
【解析】【解答】解：（1）①；
②按从小到大顺序排列乙班成绩：90、92、97、98、98
所以中位数b=97；
③98出现两次，其他成绩只出现一次，所以众数c=98.
故答案为：95；97；98.
【分析】（1）根据平均值定义，用甲班五位同学的总成绩除以5即可求出a；先将乙班成绩从低到高排序，找出位于最中间位的数，即第3位数就是乙班五位同学成绩的中位数；众数是出现次数最多的数据，故找出乙班五位同学成绩出现次数最多的数据即可；
（2）根据方差是各个数据与平均数差的平方和的平均数求得甲班的方差，再与乙班方差作比较，由方差越小，成绩越稳定，即可得出结论.
23．如图，一次函数 的图象经过点A（2，4）、B（n，－1），与y轴交于点C．
（1）求m，n的值；
（2）连接OA，OB，求 的面积．
【答案】（1）解：∵一次函数 的图象经过点A（2，4），
∴ ．
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ．
∵一次函数 的图象经过点B（n，－1）．
∴ ，
解得 ．
（2）解：∵一次函数 与y轴交于点C．
令 ，则 ，
∴点C的坐标为（0，2），
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）将A（2，4）代入y=mx+2，求得m=1，从而可得一次函数解析式，然后将B（n，-1）代入一次函数解析式，求得n=-3；
（2）由一次函数y=x+2可知，直线AB交y轴的点C坐标为（0，2），根据三角形的面积公式分别求得△AOC、△BOC的面积，二者相加即为所求△OAB的面积.
24．“成都成就梦想”，第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日在成都举行，某特许经销商试销售A，B两类大运会纪念品，若A类纪念品每个进价比B类纪念品每个进价少5元，且用90元购进A类纪念品的数量和100元购进B类纪念品的数量相同．
（1）求A，B两类纪念品每个进价分别是多少元？
（2）若该经销商购进A类纪念品数量比B类纪念品数量的3倍还少5个，两类纪念品的总数不超过95个，且B类纪念品的个数多于24个，求该经销商应购进B类纪念品多少个？
【答案】（1）解：设每个A种纪念品为元、则每个B种纪念品的进价为元，由题意得：
，解之得，
经检验：x=45是原方程的解，
则．
答：每个A种纪念品为45元、则每个B种纪念品的进价为50元．
（2）解：设购进种纪念品个，则购进A种纪念品为个，由题可得：
解之得：．
∵为整数，
∴．
答：该经销商应购进B类纪念品25个．
【解析】【分析】（1）设每个A种纪念品为元、则每个B种纪念品的进价为元 ，根据“ 用90元购进A类纪念品的数量和100元购进B类纪念品的数量相同”列出分式方程，解之并检验即可；
（2）设购进种纪念品个，则购进A种纪念品为个 ，根据" 两类纪念品的总数不超过95个，且B类纪念品的个数多于24个 "列出不等式组，求出其整数解即可.
25．如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是 ．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
（1）求点D的坐标；
（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： 四边形ABCO是矩形，点B的坐标是 ．
， ， ，
；
由折叠的性质得： ， ， ，
， ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，解得： ，
；
（2）解：存在，
①OM，OE都为边时，OM=OE=4，
∴M的坐标为(4，0)，（-4，0）
②OM为边OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1
则OG= OE=2，
的解析式为：
设
（舍去），
由 可得：
解得：
∴M（ ，0）
③OM为对角线，OE为边，如图2
由②得：M（ ，0）
综上所述：点M的坐标为 或 或 或 ；
【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得BE=AB=6，DE=AD，故OE=BO-BE=4，∠OED=90°，设D（0，a）则OD=a，DE=AD=OA-OD=8-a，在Rt△EOD中，由勾股定理得到方程即可求出a的值；（2）分①OM，OE都为边；②OM为边OE为对角线；③OM为对角线，OE为边；3种情况进行讨论，分别求出M的坐标．
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