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【综合题强化训练·50道必刷题】华东师大版数学七年级下册期末试卷
1．某村一片山地种植一种果树，原果树共有180棵，该果树品种产量是平均每棵200斤，现种植一种新品种，产量比原树种每棵多50斤，根据村计划新果树成熟后这片山地总产量要不少于原来的1.5倍，求新种植的果树最少应达棵数．
2．有一家庭工厂投资2万元购进一台机器，生产某种商品．这种商品每个的成本是3元，出售价是5元，应付的税款和其他费用是销售收入的．问至少需要生产，销售多少个这种商品，才能使所获利润（毛利润减去税款和其他费用）超过投资购买机器的费用
3．解方程组及不等式组
（1）
（2）
4．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．若购买个“神舟”模型和个“天宫”模型共需元，购买个“神舟”模型和个“天宫”模型共需元．求个“神舟”模型和个“天宫”模型各多少元？
5．某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表：
A B
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地校参加社会实践活动，
设租用A型客车戈辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子填写下表：
车辆数（辆） 载客量 租金（元）
A x 45x 400x
B 5-x
（2）若要保证租车费用不超过1 900元，求x的最大值；
（3）在(2)的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案一
6．已知：如图，AB=AC，PB=PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E．
证明：
（1）PD=PE．
（2）AD=AE．
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC平分线.
（1）若∠B=38°，∠C=70°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B＞∠C，试探求∠DAE、∠B、∠C之间的数量关系.
8．解方程组或不等式组
（1）解方程：
（2）解不等式 x-1>0，并把解集在如图的数轴上表示出来。
9．解方程：
（1）解方程：.
（2）
10．如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=10，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．
（1）求BE的长．
（2）求CF的长．
11．已知： ， ， ， ，垂足分别为D，E，
（1）如图1，
①线段 和 的数量关系是 ；
②请写出线段 ， ， 之间的数量关系并证明．
（2）如图2，若已知条件不变，上述结论②还成立吗？如果不成立，请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系．
12．某商场准备从供货厂家选购甲、乙两种书包，若购进甲种书包5个和乙种书包4个共需570元；若购进甲种书包6个和乙种书包8个共需940元．
（1）求购进每个甲种、乙种书包的价钱分别为多少元？
（2）若该商场每销售1个甲种书包可获利15元，每销售1个乙种书包可获利20元，且该商场将购进甲、乙两种书包共50个全部售出后，要获得的利润不少于800元，问甲种书包至多购进多少个？
13．为了拓宽学生视野，某校计划组织900名师生开展以“追寻红色足迹，传承红色精神”为主题的研学活动．某旅游公司有A，B 两种型号的客车可以租用，已知1辆A型车和1辆B型车可以载乘客85人，3辆A型车和2辆B型车可以载乘客210人．
（1）一辆A型客车和一辆B型客车分别可以载乘客多少人？
（2）该校计划租用A，B两种型号的客车共22辆，其中A型客车数量的一半不少于B型客车的数量，共有多少种租车方案？
14．2019年4月23日，是第23个世界读书日．为了推进中华传统文化教育，营造浓郁的读书氛围，我区某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动，为此，特为每个班级订购了一批新的图书．初一年级两个班订购图书情况如下表：
老舍文集（套） 四大名著（套） 总费用（元）
初一（1）班 2 2 330
初一（2）班 3 2 380
（1）求老舍文集和四大名著每套各多少元？
（2）学校准备再购买老舍文集和四大名著共10套，总费用超过500元而不超过800元，问学校有哪几种购买方案？
15．如图，数轴上有A，B两点，A，B之间距离为15，原点在A，B之间，到的距离是到的距离的两倍.
（1）点表示的数为 ，点表示的数为 ；
（2）点A、点和点(点初始位置在原点)同时向左运动，它们的速度分别为1，2，2个单位长度每秒，则经过多少秒，点到点与点的距离相等
（3）点沿着数轴移动，每次只允许移动1个单位长度，经过6次移动后，点与原点相距1个单位长度.满足条件的点.的移动方法共有多少种
（4）点和点同时沿着数轴移动，两点每次均只允许移动1个单位长度.请判断点和点经过相同次数的移动后，能否同时到达原点 如果能，请给出点和点各自的移动方法；如果不能，请说明理由.
16．如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连结AG，分别交BD、CD于点E、F，连结CE．
（1） 求证：∠DAE=∠DCE；
（2）当CE=2EF时，EG与EF的等量关系是 ．
17．甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下：
购苹果数 不超过10千克 超过10千克但不超过20千克 超过20千克
每千克价格 10元 9元 8元
甲班分两次共购买苹果30千克（第二次多于第一次），共付出256元；而乙班则一次购买苹果30千克.
（1）乙班比甲班少付出多少元？
（2）设甲班第一次购买苹果x千克.
①则第二次购买的苹果为多少千克；
②甲班第一次、第二次分别购买多少千克？
18．为了抗击新冠肺炎，我巿面向社会开展新冠疫苗免费接种工作，现有20000支疫苗从仓库运送到某接种点，准备租用A、B两种型号的专车进行运送.若租用A型专车3辆、B型专车2辆，需要费用2400元；租用A型专车1辆、B型专车3辆，需要费用2200元.
（1）租用每辆A、B型号的专车分别需要多少元？
（2）若A型专车每辆可装载1500支疫苗，B型专车每辆可装载2000支疫苗，现租用A、B两种型号的专车共12辆来一次性运输这批疫苗，且A型专车的数量不少于B型专车的数量，则有哪儿种租车方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？
19．如图，在△ABC中，AE是BC边上的高.
（1）若AD是边BC上的中线，AE＝3cm，S△ABC＝6cm ，求DC的长；
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠C-∠B＝30°，求∠DAE的度数.
20．如图，时钟的时针，分针均按时正常转动．
（1）分针每分针转动了 度，时针每分钟转动了 度；
（2）若现在时间恰好是2点整，求：
①经过多少分钟后，时针与分针第一次成90°角；
②从2点到4点（不含2点）有几次时针与分针成60°角，分别是几时几分？
21．如图所示，根据图中的对话回答问题．
问题：
（1）王强是在求 边形的内角和
（2）少加的那个内角为 度
22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′，请在图中画出△AB′C′．
（2）写出点B′、C′的坐标．
23．解下列各题
（1）解不等式
（2）写出解为 的一个二元一次方程组
24．某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品销售额相同：3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多元．
（1）求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？
（2）若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于万元，则至少销售甲种电子产品多少件？
25．如图所示，在数轴上A点表示数，B点表示数，且、满足．
（1）点A表示的数为_____， 点B表示的数为_____；
（2）若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在点A、点B之间的数轴上找一点C，使，则C点表示的数为_____；
（3）在（2）的条件下，若一动点P从点A出发，以3个单位长度／秒速度由A向B运动；同一时刻，另一动点Q从点C出发，以1个单位长度／秒速度由C向B运动，终点都为B点．当一点到达终点时，这点就停止运动，而另一点则继续运动，直至两点都到达终点时才结束整个运动过程．设点Q运动时间为t秒．
①用含t的代数式表示：点P到点A的距离____，点Q到点B的距离_____；
②当t为何值时，点P与点Q之间的距离为1个单位长度．
26．某中学在运动会前夕准备购买篮球、足球作为奖品．若购买3个篮球和2个足球共花费520元，且购买一个篮球比购买一个足球多花40元．
（1）请问：购买一个篮球，一个足球各需多少元
（2）今年学校计划购买这种篮球和足球共20个，恰逢商场正在开展促销活动，篮球打八折，足球打七五折，若此次购买两种球的总费用不超过1600元，则最多可购买多少个篮球
27．为开展阳光体育活动，某班需要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价30元，羽毛球每盒定价5元，且两家都有优惠：
甲店每买一副球拍赠一盒羽毛球；乙店全部按定价的9折优惠．
（1）若该班需购买羽毛球拍5副，购买羽毛球x盒(不小于5盒)当购买多少盒羽毛球时，在两家商店购买所花的钱相等
（2）若需购买10副羽毛球拍，30盒羽毛球，怎样购买更省钱
28．如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（千米·吨），铁路运费为1元/（千米·吨）．
（1）求该食品厂到A地、B地的距离中，铁路距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
29．某校准备租车运送选拔出来的450名学生去参观市博物馆，已知租1辆甲型客车和2辆乙型客车满载可坐165人；租2辆甲型客车和一辆乙型客车满载可坐150人，学校总务处计划同时租甲型客车m辆，乙型客车n辆，一次将学生运往市博物馆，且恰好每辆客车都满载。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆甲型客车和1辆乙型客车都满载，一次可分别坐多少学生？
（2）请你帮该学校总务处设计租车方案；
（3）已知甲型客车每辆租金200元/次，乙型客车每辆租金250元/次，请你选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
30．某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示.
类型价格 A型 B型
进价（元/盏） 40 65
标价（元/盏） 60 100
（1）这两种台灯各购进多少盏？
（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场计划销售这批台灯的总利润至少为1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？
31．疫情期间某学校储备“抗疫物资”，用8500元购进甲、乙两种医用口罩共计250盒，甲、乙两种口罩的售价分别是25元/盒，40元/盒．
（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
（2）已知甲种口罩每盒50个、乙种口罩每盒100个，按照相关要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足要求．
32．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE.求证：
（1）∠C＝∠E；
（2）AB＝AD.
33．在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解为 ，乙看错了方程组中的b，而得到解为 .
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的解.
34．某电子超市销售甲、乙两种型号的蓝牙音箱，每台进价分别为240元、140元，如表是近两周的销量情况：
销售时段 销售数量 销售收入
甲种型号 乙种型号
第一周 3台 7台 2160元
第二周 5台 14台 4020元
（1）求甲、乙两种型号蓝牙音箱的销售单价．
（2）若超市准备用不多于6000元的资金再采购这两种型号的蓝牙音箱共30台，则甲种型号的蓝牙音箱最多能采购多少台？
35．在中，，，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．
（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：求证：
（2）如果点D在线段BC上运动，请写出AC与CE的位置关系．通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作交直线BC于F，如图2所示，通过证明，可推证等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程．
（3）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
36．某校组织党史知识竞赛，共设50道选择题，各题分值相同，每题必答，答错扣分，下表记录的是其中3名参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 得分
A 50 100
B 48 94
C 37 61
（1）由表格知，答对一题得 分，答错一题扣 分；
（2）某参赛者得73分，求该参赛者答对的题数；
（3）参赛者的得分可能是90吗 请说明理由．
37．某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子.已知该学校从批发市场花4800元购买了
黑白两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
批发价(元) 零售价(元)
黑 色 文化衫 25 45
白 色 文 化 衫 20 35
（1）学校购进黑.白文化衫各几件？
（2）通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润.
38．如图，在边长为1个单位长度的10×8小正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC，点A、C的坐标分别为（﹣3，2），（﹣1，3），直线L在网格线上．
（1）画出△ABC关于直线L对称的△A1B1C1；（点A1、B1、C1分别为点A、B、C的对应点）
（2）点D是ABC内部的格点，其关于直线L的对称点是D1，直接写出点D，D1的坐标．
（3）若点P（a，b）是△ABC内任意一点，其关于直线L的对称点是P1，求点P1的坐标．
39．希望中学计划从荣威公司买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比购买一块B型小黑板多用20元，且购买5块A型小黑板和购买4块B型小黑板共需820元.
（1）求购买一块A型小黑板，一块B型小黑板各需要多少元？
（2）根据希望中学实际情况，需从荣威公司买A，B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号的小黑板的总费用不超过5240元，并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B两种型号的小黑板总数量的 ，请你通过计算，求出希望中学从荣威公司买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？并说明哪种方案更节约资金？
40．某博物馆有A，B两种不同的文创纪念品，花费400元可以购买10件A纪念品和4件B纪念品，或者购买5件A纪念品和10件B纪念品．
（1）A，B两种纪念品的单价各多少元？
（2）如果想购买两种纪念品共20件，其中A纪念品不少于8件，最少花费多少元？请说明理由．
41．如图△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是线段BC上的一个动点，点F在线段AB上，运动中始终保持∠FDB＝∠ACB，过点B作BE⊥FD交DF的延长线于点E．
（1）若点D与点C重合，如图1，试探究线段BE和DF的数量关系，直接写出这个结论．
（2）若点D不与B、C重合，如图2，（1）中线段BE和DF的数量关系是否依然成立，请说明理由．
（3）图2中，若BE＝，求△BDF的面积．
42．小王看到如下两个超市的促销信息：
甲超市：全场 折
乙超市：不超过200元，不予优惠；超过200元而不大于500元，打九折；超过500元，500元的部分优惠 ，超过500元的部分打八折.
（1）
当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？
（2）
当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？
（3）
小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？
43．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），分别以AB、BC为边作等边三角形ABE和等边三角形BCD，连结CE，如图1所示．
（1）直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）判断DC与CE的位置关系，并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，如图2，若∠DEC=45°，求α的值．
44．如图，已知 ，OC是 内部的一条射线，过点O作射线OD，使 .
（1）若 ，则 = ；
（2）若 ，则 = ；
（3）当 绕着点O旋转时， + 是否变化？若不变，求出其大小；若变化，说明理由.
45．数学兴趣小组的同学发现：一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的，如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，这样的一种图形运动，大家讨论后把它称为图形的“翻移运动”，这条直线则称为（这次运动的）“翻移线”如图1，就是由沿直线1翻移后得到的．（先翻折，然后再平移）
（1）在学习中，兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点（指图1中的与，与…）连线是否被翻移线平分发生了争议．对此你认为如何？（直接写出你的判断）
（2）如图2，在长方形中，，点分别是边中点，点在边延长线上，联结，如果是经过“翻移运动”得到的三角形．请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线；联结，线段和直线交于点，若的面积为3，求此长方形的边长的长．
（3）如图3，是（2）中的长方形边上一点，如果，先按（2）的“翻移线”直线翻折，然后再平移2个单位，得到，联结线段，分别和“翻移线”交于点和点，求四边形的面积．
46．某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元
（1）若该超市一次性购进两种商品共80件，且恰好用去1 600元，则购进甲商品 件，乙商品 件；
（2）若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1 640元，且总利润(利润=售价-进价)不少于600元.请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出使该超市利润最大的方案.
47．如图1，已知 ，点A在直线EF上，点B在直线GH上，且 ．
（1）试判断直线EF与GH的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若点B在直线GH上运动，作 ，作 ，试判断 的大小是否随着点B的运动而发生变化？若不变，求出 的大小；若变化，请说明理由．
48．如图，数轴上的点从左往右依次A，B，C对应的数分别为a， b，c，且|(a+3+|b-6|=0，AB的距离比BC的距离大4，动点P从点A出发沿数轴以每秒6个单位的速度向右运动，同时动点Q从点B出发沿数轴以每秒2个单位的速度一直向右运动，当点Р运动到点C之后立即以原速沿数轴一直向左运动，设运动的时间为t秒.
（1）填空： a= ，b= ，点Q在数轴上所表示的数为 (用含t的代数式表示).
（2）当动点P从点A运动到点C过程中，点Q是PC的中点时，则点Q在数轴上所表
示的数是多少
（3）在整个运动过程中，是否存在t使得QB=2PC，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由.
49．探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以做 条对角线；同样，经过B点可以做 条；经过C点可以做 条；经过D点可以做 条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有 条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 条对角线；
图3共有 条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有 条对角线．(用含n的式子表示)
（4）特例验证：
十边形有 对角线.
50．对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”.例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，1，可知原点是点关于点的“2倍分点”，原点也是点关于点的“倍分点”.
在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是2.
（1）若点在线段上，且点是点关于点的“5倍分点”，则点表示的数是______；
（2）若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，求的值；
（3）点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动.当点运动秒时，在，，三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍分点”，直接写出的值.
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【综合题强化训练·50道必刷题】华东师大版数学七年级下册期末试卷
1．某村一片山地种植一种果树，原果树共有180棵，该果树品种产量是平均每棵200斤，现种植一种新品种，产量比原树种每棵多50斤，根据村计划新果树成熟后这片山地总产量要不少于原来的1.5倍，求新种植的果树最少应达棵数．
【答案】新种植的果树最少应达72棵．
2．有一家庭工厂投资2万元购进一台机器，生产某种商品．这种商品每个的成本是3元，出售价是5元，应付的税款和其他费用是销售收入的．问至少需要生产，销售多少个这种商品，才能使所获利润（毛利润减去税款和其他费用）超过投资购买机器的费用
【答案】至少要生产，销售这种商品13334个．
3．解方程组及不等式组
（1）
（2）
【答案】（1） ，
将 得： ③，
将②-③得：
把 代入①得， ，解之得：
所以，方程组的解是 ；
（2）） ，
由①得， ，
由②得， ，
所以，不等式组的解集是 ．
【解析】【分析】（1）把第一个方程乘以2然后和第二个方程进行计算，利用加减消元法求解即可；（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
4．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．若购买个“神舟”模型和个“天宫”模型共需元，购买个“神舟”模型和个“天宫”模型共需元．求个“神舟”模型和个“天宫”模型各多少元？
【答案】个“神舟”模型元，个“天宫”模型元
5．某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表：
A B
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地校参加社会实践活动，
设租用A型客车戈辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子填写下表：
车辆数（辆） 载客量 租金（元）
A x 45x 400x
B 5-x
（2）若要保证租车费用不超过1 900元，求x的最大值；
（3）在(2)的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案一
【答案】（1）解：载客量=汽车辆数X单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，
B型客车载客量=30(5-x)；B型客车租金=280(5-x)；
故填：30(5-x)；280(5-x)．
（2）解：根据题意，400x+280(5-x)≤1 900，
解得：x≤4 ，x的最大值为4
（3）解：由(2)可知，x≤4 ，故x可能取值为0，1，2，3，4，
①A型0辆，B型5辆，租车费用为400 X 0+280×5=1400(元)，但载客量为45 × 0+30 × 5=150<195，故不合题意舍去；
②A型1辆，B型4辆，租车费用为400×1+280×4=1 520(元)，但载客量为45× 1+30× 4=165<195，故不合题意舍去；
③A型2辆，B型3辆，租车费用为400× 2+280×3=1 640(元)，但载客量为45×2+30×3=180<195，故不合题意舍去；
④A型3辆，B型2辆，租车费用为400×3+280×2=1 760(元)，但载客量为45×3+30 x 2=195=195，符合题意；
⑤A型4辆，B型1辆，租车费用为400× 44+280×1=1 880(元)，但载客量为45×4+30×1=210，符合题意；
故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A型3辆，B型2辆
【解析】【分析】 （1）设A型车为x辆，则B型车为(50-x)辆，根据题意，载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，列出代数式即可；
（2）根据题意，表示出租车总费用，结合总费用不超过1900元，列出不等式即可解决；
（3）由（2）得出x的取值范围，逐一列举计算，排除不合题意方案，在合适的方案中选最省钱的方案即可．
6．已知：如图，AB=AC，PB=PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E．
证明：
（1）PD=PE．
（2）AD=AE．
【答案】（1）连接AP．
在△ABP和△ACP中，
，
∴△ABP≌△ACP（SSS）．
∴∠BAP=∠CAP，
又∵PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，
∴PD=PE（角平分线上点到角的两边距离相等）．
（2）在△APD和△APE中，
∵ ，
∴△APD≌△APE（AAS），
∴AD=AE；
【解析】【分析】（1）连接AP，构造全等三角形，再根据角平分线的性质即可证明；（2）利用“AAS”证△APD≌△APE即可得．
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC平分线.
（1）若∠B=38°，∠C=70°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B＞∠C，试探求∠DAE、∠B、∠C之间的数量关系.
【答案】（1）解：∵∠B=38°，∠C=70°，
∴∠BAC=72°，
∵AE是∠BAC平分线，
∴∠BAE=36°，
∵AD是BC边上的高，∠B=38°，
∴∠BAD=52°，
∴∠DAE=52° 36°=16°；
（2）解：如图：∠BAC=180° ∠B ∠C，
∵AE是∠BAC平分线，
∴∠EAC= ，
∠DAC=90° ∠C，
∴∠DAE=90° ∠C = (∠B ∠C).
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得出∠BAC=72°，根据角平分线的定义得出 ∠BAE=36°， 根据直角三角形两锐角互余得出 ∠BAD=52° ，进而根据角的和差，由∠DAE=∠BAD-∠BAE即可算出答案；
（2）根据三角形的内角和得出 ∠BAC=180° ∠B ∠C， 根据角平分线的定义得出 ∠EAC= ，根据直角三角形两锐角互余得出 ∠DAC=90° ∠C， 进而根据角的和差，由 ∠DAE=90° ∠C 即可算出答案。
8．解方程组或不等式组
（1）解方程：
（2）解不等式 x-1>0，并把解集在如图的数轴上表示出来。
【答案】（1）解：
①+②得：3x=6
解得：x=2
把x=2代入②得：2﹣y=3
解得：y=﹣1
所以，方程组的解是
（2）解：移项得，﹣ x＞1
系数化1得，x＜﹣2
所以，不等式﹣ x﹣1＞0的解集为x＜﹣2
在数轴上表示（略）
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程即可；
（2）根据题意，解出不等式的解，在数轴上进行表示即可。
9．解方程：
（1）解方程：.
（2）
【答案】（1）解： ，
（2）
【解析】【分析】（1）先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1；
（2）先去分母（两边同时乘以6，右边的1也要乘以6，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1.
10．如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=10，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．
（1）求BE的长．
（2）求CF的长．
【答案】（1）解：长方形ABCD中，
∵AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，
∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，
∴AE=AD=BC=10，
∴BE=
（2）解：由（1）知BE=6，
∴CE=BC﹣BE=4，
∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，
∴EF=DF=8﹣CF，
∵EF2=CE2+CF2，
∴（8﹣CF）2=42+CF2，
解得：CF=3．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到AD=BC=10，∠D=∠B=∠C=90°，由折叠的性质得到AE=AD=BC=10，根据勾股定理即可得到结果；（2）由（1）知BE=6，于是得到CE=BC﹣BE=4，根据折叠的性质得到EF=DF=8﹣CF，根据勾股定理即可得到结论．
11．已知： ， ， ， ，垂足分别为D，E，
（1）如图1，
①线段 和 的数量关系是 ；
②请写出线段 ， ， 之间的数量关系并证明．
（2）如图2，若已知条件不变，上述结论②还成立吗？如果不成立，请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系．
【答案】（1）解：① ． ②结论： ． 理由如下： 由①得：△ACD≌△CBE， ， ， ．
（2）解：②中的结论不成立．结论：DE=AD+BE．
理由如下：
∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CD+CE=BE+AD，
∴DE=AD+BE．
【解析】【解答】解：① ．
理由如下：
∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE，
∴CD=BE．
【分析】（1）①结论：CD=BE；②结论：AD=BE+DE，只要证明△ACD≌△CBE，即可解决问题．（2）结论不成立．结论：DE=AD+BE．证明方法类似（1）．
12．某商场准备从供货厂家选购甲、乙两种书包，若购进甲种书包5个和乙种书包4个共需570元；若购进甲种书包6个和乙种书包8个共需940元．
（1）求购进每个甲种、乙种书包的价钱分别为多少元？
（2）若该商场每销售1个甲种书包可获利15元，每销售1个乙种书包可获利20元，且该商场将购进甲、乙两种书包共50个全部售出后，要获得的利润不少于800元，问甲种书包至多购进多少个？
【答案】（1）解：设甲种书包每个 元，乙种书包每个 元，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：甲种书包每个50元，乙种书包每个80元
（2）解：设甲种书包购进 个，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：甲种书包最多购进40个．
【解析】【分析】（1）设甲种书包每个 x 元，乙种书包每个 y 元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设甲种书包购进 个，根据题意列出一元一次不等式求解即可。
13．为了拓宽学生视野，某校计划组织900名师生开展以“追寻红色足迹，传承红色精神”为主题的研学活动．某旅游公司有A，B 两种型号的客车可以租用，已知1辆A型车和1辆B型车可以载乘客85人，3辆A型车和2辆B型车可以载乘客210人．
（1）一辆A型客车和一辆B型客车分别可以载乘客多少人？
（2）该校计划租用A，B两种型号的客车共22辆，其中A型客车数量的一半不少于B型客车的数量，共有多少种租车方案？
【答案】（1）一辆A型客车可以载乘客40人，一辆B型客车可以载乘客45人
（2）共有4种租车方案
14．2019年4月23日，是第23个世界读书日．为了推进中华传统文化教育，营造浓郁的读书氛围，我区某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动，为此，特为每个班级订购了一批新的图书．初一年级两个班订购图书情况如下表：
老舍文集（套） 四大名著（套） 总费用（元）
初一（1）班 2 2 330
初一（2）班 3 2 380
（1）求老舍文集和四大名著每套各多少元？
（2）学校准备再购买老舍文集和四大名著共10套，总费用超过500元而不超过800元，问学校有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设老舍文集每套x元，四大名著每套y元，则
，
解得， ，
答：老舍文集每套50元，四大名著每套115元；
（2）解：设学校准备再购买老舍文集m套，四大名著（10﹣m）套，
则500＜50m+115（10﹣m）≤800，
解得，5 ≤m＜10，
∵x为整数，
∴x＝6，7，8，9，共有4种购买方案，
方案一：购买老舍文集6套，四大名著4套；
方案二：购买老舍文集7套，四大名著3套；
方案三：购买老舍文集8套，四大名著2套；
方案四：购买老舍文集9套，四大名著1套．
【解析】【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以列出相应的方程组，本题得以解决；（2）根据题意和（1）中的结果可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题．
15．如图，数轴上有A，B两点，A，B之间距离为15，原点在A，B之间，到的距离是到的距离的两倍.
（1）点表示的数为 ，点表示的数为 ；
（2）点A、点和点(点初始位置在原点)同时向左运动，它们的速度分别为1，2，2个单位长度每秒，则经过多少秒，点到点与点的距离相等
（3）点沿着数轴移动，每次只允许移动1个单位长度，经过6次移动后，点与原点相距1个单位长度.满足条件的点.的移动方法共有多少种
（4）点和点同时沿着数轴移动，两点每次均只允许移动1个单位长度.请判断点和点经过相同次数的移动后，能否同时到达原点 如果能，请给出点和点各自的移动方法；如果不能，请说明理由.
【答案】（1）-10；5
（2）解：设经过t秒，点到点与点的距离相等，
∴
解得：
（3）解：①点B沿着数轴向左移动，经过6次移动后，点B对应的数为-1，
此时点与原点相距1个单位长度，
②点B沿着数轴先向右移动1次，再向左移动5次，经过6次移动i以后，点B对应的数为1，
此时点与原点相距1个单位长度，
③点B沿着数轴先向左移动5次，再向右移动1次，经过6次移动i以后，点B对应的数为1，
此时点与原点相距1个单位长度，
综上所述，满足条件的点B的移动方法共有3种.
（4）解：点和点经过10次移动后，能同时到达原点，移动方法如下：
点A向右移动10次到达原点O，点B先向左移动2次再向右移动1次，接着向左移动2次再向右移动1次，再接着向左移动2次再向右移动1次再向左移动1次，共10次到达原点O.
【解析】【解答】解：（1）设则
∵A，B之间距离为15，
∴
解得：
∴点A表示的数为：-10，点B表示的数为：5，
故答案为：-10，5.
【分析】（1）设则根据"A，B之间距离为15"列方程解出x，即可得到点A和点B所表示的数；
（2）设经过t秒，点到点与点的距离相等，列方程即可求解；
（3）①点B沿着数轴向左移动，经过6次移动后，②点B沿着数轴先向右移动1次，再向左移动5次，③点B沿着数轴先向左移动5次，再向右移动1次，满足条件的点B的移动方法共有3种；
（4）点A向右移动10次到达原点O，点B向左移动2次，接着向右移动1次，依此规律移动10次到达原点O.
16．如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连结AG，分别交BD、CD于点E、F，连结CE．
（1） 求证：∠DAE=∠DCE；
（2）当CE=2EF时，EG与EF的等量关系是 ．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；
在△ADE和△CDE中，
．
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE．
（2）FG=3EF
【解析】【解答】（2.）解：理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠G，
由题意知：△ADE≌△CDE
∴∠DAE=∠DCE，
则∠DCE=∠G，
∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC，
∴ = ，
∵EC=2EF，
∴ = ，
∴EG=2EC=4EF，
∴FG=EG﹣EF=4EF﹣EF=3EF．
故答案为FG=3EF．
17．甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下：
购苹果数 不超过10千克 超过10千克但不超过20千克 超过20千克
每千克价格 10元 9元 8元
甲班分两次共购买苹果30千克（第二次多于第一次），共付出256元；而乙班则一次购买苹果30千克.
（1）乙班比甲班少付出多少元？
（2）设甲班第一次购买苹果x千克.
①则第二次购买的苹果为多少千克；
②甲班第一次、第二次分别购买多少千克？
【答案】（1）解：乙班购买苹果付出的钱数=8×30=240元，
∴乙班比甲班少付出256-240=16元
（2）解：①甲班第二次购买的苹果为（30-x）千克；
②若x≤10，则10x+（30-x）×8=256，
解得：x=8
若10＜x≤15，则9x+（30-x）×9=256
无解.
故甲班第一次购买8千克，第二次购买22千克
【解析】【分析】（1）根据20kg以上每千克的价格为8元可求出乙班付出的钱数，从而可求出乙班比甲班少付出多少．（2）设甲班第一次购买x千克，第二次购买30-x千克，则需要讨论①x≤10，②10＜x≤15，列出方程后求解即可得出答案．
18．为了抗击新冠肺炎，我巿面向社会开展新冠疫苗免费接种工作，现有20000支疫苗从仓库运送到某接种点，准备租用A、B两种型号的专车进行运送.若租用A型专车3辆、B型专车2辆，需要费用2400元；租用A型专车1辆、B型专车3辆，需要费用2200元.
（1）租用每辆A、B型号的专车分别需要多少元？
（2）若A型专车每辆可装载1500支疫苗，B型专车每辆可装载2000支疫苗，现租用A、B两种型号的专车共12辆来一次性运输这批疫苗，且A型专车的数量不少于B型专车的数量，则有哪儿种租车方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？
【答案】（1）解：设租用每辆A型号的专车需要x元，每辆B型号的专车需要y元，
根据题意，得 ，
解得： ，
答：每辆A型号的专车需要400元，每辆B型号的专车需要600元
（2）解：设A型号的专车有a辆，则B型号的专车有（12-a）辆，
根据题意，得 ，
解①得a≤8，
解②得a≥6，
∴不等式组的解集为6≤a≤8，
∵a为整数，
∴a=6，7，8，
∴有如下三种方案：
①A型车6辆，B型车6辆，运费为：400×6+600×6=6000（元）；
②A型车7辆，B型车5辆，运费为：400×7+600×5=5800（元）；
③A型车8辆，B型车4辆，运费为：400×8+600×4=5600（元）；
答：A型车8辆，B型车4辆时费用最低，最低费用是5600元.
【解析】【分析】（1） 设租用每辆A型号的专车需要x元，每辆B型号的专车需要y元， 根据“ 租用A型专车3辆、B型专车2辆，需要费用2400元；租用A型专车1辆、B型专车3辆，需要费用2200元 ”列出二元一次方程组求解即可；
（2）设A型号的专车有a辆，则B型号的专车有（12-a）辆， 根据装载量不少于20000支， A型专车的数量不少于B型专车的数量， 列出一元一次方程组求解，在其范围内取整数分别求出运费即可解答.
19．如图，在△ABC中，AE是BC边上的高.
（1）若AD是边BC上的中线，AE＝3cm，S△ABC＝6cm ，求DC的长；
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠C-∠B＝30°，求∠DAE的度数.
【答案】（1）解：∵AE是BC边上的高，AE＝3cm，S△ABC＝6cm ，
∴ BC AE＝6，
解得：BC＝4cm，
∵AD是边BC上的中线，
∴DC＝ BC＝2cm；
（2）解：∠BAC＝180° ∠B ∠C，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝ ∠BAC=90° ∠B ∠C，
∵AE是BC边上的高，
∴∠CAE＝90°-∠C，
∴∠DAE＝∠CAD ∠CAE＝90° ∠B ∠C-（90°-∠C）= （∠C-∠B）=15°.
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式，由S△ABC＝6cm 可求出BC的长，再利用三角形的中线定义求出DC的长.
（2）利用三角形的内角和定理可证得∠BAC＝180° ∠B ∠C， 利用角平分线的定义可证得 ∠CAD＝90° ∠B ∠C，利用直角三角形两锐角之和为90°，可得到∠CAE＝90°-∠C，然后根据∠DAE＝∠CAD ∠CAE，代入计算求出∠DAE的度数.
20．如图，时钟的时针，分针均按时正常转动．
（1）分针每分针转动了 度，时针每分钟转动了 度；
（2）若现在时间恰好是2点整，求：
①经过多少分钟后，时针与分针第一次成90°角；
②从2点到4点（不含2点）有几次时针与分针成60°角，分别是几时几分？
【答案】（1））6；0.5
（2）解：①设经过x分钟后，时针与分针第一次成90°角，依题意有
6x﹣0.5x﹣60=90，
解得x= ．
故经过 分钟后，时针与分针第一次成90°角；
②2时～3时，时针与分针成60°角，
6m﹣60﹣0.5m=60，
解得m= ；
故3时～4时，时针在前面，分针在后面，时针与分针成60°角，
90+0.5n﹣6n=60，
解得n= ；
3时～4时，分针在前面，时针在后面，时针与分针成60°角；
6t﹣90﹣0.5t=60，
解得t= ．
故从2点到4点（不含2点）有3次时针与分针成60°角，分别是2时 分，3时 分，3时 分．
【解析】【解答】解：（1）分针每分针转动了6度，时针每分钟转动了0.5度．
故答案为：6，0.5；
【分析】（1）分针每分针转动了6度，时针每分钟转动了0.5度；（2）①由时针与分针第一次成90°角，依题意得到方程，求出经过的时间；②2时～3时，时针与分针成60°角，得到方程，求出轻纺城的解；3时～4时，分针在前面，时针在后面，时针与分针成60°角，得到方程，求出时间.
21．如图所示，根据图中的对话回答问题．
问题：
（1）王强是在求 边形的内角和
（2）少加的那个内角为 度
【答案】（1）9
（2）120
【解析】【解答】解：(1)因为1140°÷180°＝ ，故求的是九边形的内角和；（2）少加的内角的度数为(9-2)·180°-1140°＝120°
【分析】（1）设边数为n，根据王强和小军的对话可得（n-2）+，(n-2)，解不等式组即可求解；
（2）少加的内角的度数为(9-2)·180°-1140°＝120°。
22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′，请在图中画出△AB′C′．
（2）写出点B′、C′的坐标．
【答案】（1）解：如图，△AB′C′为所求；
（2）解：B′（﹣1，3）、C′（2，1）
【解析】【分析】旋转的性质：旋转不会改变图形的大小和形状，并且对应点到旋转中心的距离都相等，对应点与旋转中心连线所成的角度都等于旋转的角度。根据旋转的性质，将B'，C'坐标表示出来，连接即可。
23．解下列各题
（1）解不等式
（2）写出解为 的一个二元一次方程组
【答案】（1）解：不等式的解集为x≥2，解集在数轴上的表示如图所示
（2）解： 答案不唯一)
【解析】【分析】（1）对于不等式进行移项，化x前系数为1，可解出不等式的解集，在数轴上表示出来即可。
（2）根据题意，写出满足x、y值的二元一次方程组即可。
24．某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品销售额相同：3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多元．
（1）求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？
（2）若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于万元，则至少销售甲种电子产品多少件？
【答案】（1）解：设甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的单价为元．
根据题意得：，
解得：；
答：甲种电子产品销售单价是元，乙种电子产品的单价为元．
（2）解：设销售甲种电子产品万件，则销售乙种电子产品万件．
根据题意得：．
解得：．
答：至少销售甲种电子产品万件．
【解析】【分析】(1)根据条件所给的数量关系列出二元一次方程组，直接求解即可.
(2)根据条件所给的不等量关系列出一元一次不等式，再求出解集即可.
25．如图所示，在数轴上A点表示数，B点表示数，且、满足．
（1）点A表示的数为_____， 点B表示的数为_____；
（2）若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在点A、点B之间的数轴上找一点C，使，则C点表示的数为_____；
（3）在（2）的条件下，若一动点P从点A出发，以3个单位长度／秒速度由A向B运动；同一时刻，另一动点Q从点C出发，以1个单位长度／秒速度由C向B运动，终点都为B点．当一点到达终点时，这点就停止运动，而另一点则继续运动，直至两点都到达终点时才结束整个运动过程．设点Q运动时间为t秒．
①用含t的代数式表示：点P到点A的距离____，点Q到点B的距离_____；
②当t为何值时，点P与点Q之间的距离为1个单位长度．
【答案】（1），9
（2）1
（3）①，；②当秒或秒或秒时，点P与点Q之间的距离为1个单位长度．
26．某中学在运动会前夕准备购买篮球、足球作为奖品．若购买3个篮球和2个足球共花费520元，且购买一个篮球比购买一个足球多花40元．
（1）请问：购买一个篮球，一个足球各需多少元
（2）今年学校计划购买这种篮球和足球共20个，恰逢商场正在开展促销活动，篮球打八折，足球打七五折，若此次购买两种球的总费用不超过1600元，则最多可购买多少个篮球
【答案】（1）购买一个篮球需要120元，一个足球需80元；
（2）篮球最多可以购买11个．
27．为开展阳光体育活动，某班需要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价30元，羽毛球每盒定价5元，且两家都有优惠：
甲店每买一副球拍赠一盒羽毛球；乙店全部按定价的9折优惠．
（1）若该班需购买羽毛球拍5副，购买羽毛球x盒(不小于5盒)当购买多少盒羽毛球时，在两家商店购买所花的钱相等
（2）若需购买10副羽毛球拍，30盒羽毛球，怎样购买更省钱
【答案】（1）解：设购买羽毛球x盒时，在两家商店购买所花的钱相等，则依题意得：
30×5+5（x﹣5）=（30×5+5x）×0.9
解得：x=20．
答：当购买羽毛球20盒时，在两家商店购买所花的钱相等．
（2）解：到甲店购买10副球拍，得到10副球拍，10盒球．再到乙店购买20盒乒乓球最省钱．
需要30×10+20×5×0.9=390元
【解析】【分析】（1） 设购买羽毛球x盒时，则在甲商店购买需要的费用为：[ 30×5+5（x﹣5） ]元，在乙商店购买需要的费用为： （30×5+5x）×0.9 元，根据在两家商店购买所花的钱相等 列出方程，求解即可；
（2）由于甲店购买一副球拍赠送一盒羽毛球，折合的比例高于九折，而乙店购买的东西一律九折，故到甲店购买10副球拍，得到10副球拍，10盒球．再到乙店购买20盒乒乓球最省钱 .
28．如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（千米·吨），铁路运费为1元/（千米·吨）．
（1）求该食品厂到A地、B地的距离中，铁路距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
【答案】（1）这家食品厂到A地的铁路距离是30千米，到B地的铁路距离是70千米
（2）该食品厂买进原料220吨，卖出食品200吨
29．某校准备租车运送选拔出来的450名学生去参观市博物馆，已知租1辆甲型客车和2辆乙型客车满载可坐165人；租2辆甲型客车和一辆乙型客车满载可坐150人，学校总务处计划同时租甲型客车m辆，乙型客车n辆，一次将学生运往市博物馆，且恰好每辆客车都满载。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆甲型客车和1辆乙型客车都满载，一次可分别坐多少学生？
（2）请你帮该学校总务处设计租车方案；
（3）已知甲型客车每辆租金200元/次，乙型客车每辆租金250元/次，请你选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）甲、乙两种型号的客车一次可分别坐45，60名学生
（2）学校总务处的租车方案有2种：甲型客车2辆，乙型客车6辆，或甲型客车6辆，乙型客车3辆
（3）最省钱的方案为：甲型客车2辆，乙型客车6辆，最少租车费为1900元
30．某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示.
类型价格 A型 B型
进价（元/盏） 40 65
标价（元/盏） 60 100
（1）这两种台灯各购进多少盏？
（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场计划销售这批台灯的总利润至少为1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？
【答案】（1）解：设A型台灯购进x盏，B型台灯购进y盏，
根据题意，得 ，
解得： ，
答：A型台灯购进30盏，B型台灯购进20盏。
（2）解：设购进B种台灯m盏，
根据题意，得利润(100﹣65) m+(60﹣40) (50﹣m)≥1400，
解得，m≥ ，
∵m是整数，
∴m≥27，
答：要使销售这批台灯的总利润不少于1400元，至少需购进B种台灯27盏。
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：购进A新型节能台灯的数量+B新型节能台灯的数量=50盏；购进A新型节能台灯的数量×A型节能台灯的进价+B新型节能台灯的数量×B型节能台灯的进价=2500；再设未知数，列方程组求解即可。
（2）由题意可知不等关系为该商场计划销售这批台灯的总利润≥1400，设未知数，列不等式，求出不等式的最小整数解。
31．疫情期间某学校储备“抗疫物资”，用8500元购进甲、乙两种医用口罩共计250盒，甲、乙两种口罩的售价分别是25元/盒，40元/盒．
（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
（2）已知甲种口罩每盒50个、乙种口罩每盒100个，按照相关要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足要求．
【答案】（1）解：设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，
据题意得：，
①×40-②得：15x=1500，
解得：x=100，
x=100代入x+y=250得：y=150，
方程组的解为：，
答：甲种口罩购进了100盒，乙种口罩购进了150盒．
（2）解：由题意得：
口罩总数量=（个），
10天内所需口罩总数量=（个），
∵20000>18000，
∴购买的口罩数量能满足相关要求；
【解析】【分析】（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，根据题意列出方程组求解即可；
（2）先求出口罩的总数量和10天内需要的口罩的数量，再比较大小即可。
32．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE.求证：
（1）∠C＝∠E；
（2）AB＝AD.
【答案】（1）证明：∵∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD，
又∵∠E＝∠180°﹣∠2﹣∠AFE，∠C＝180°﹣∠3﹣∠CFD，
∴∠E＝∠C.
（2）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）；
∴AB＝AD.
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理并结合已知可求解；
（2）由题意用边角边可证△ABC≌△ADE，根据全等三角形的对应边相等可求解.
33．在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解为 ，乙看错了方程组中的b，而得到解为 .
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的解.
【答案】（1）解：根据题意得：
解得：
（2）解：原方程组是：
利用加减消元法解得：
【解析】【分析】（1）把 代入方程组的第二个方程，把 代入方程组的第一个方程，即可得到一个关于a，b的方程组，即可求解；
（2）把a，b的值代入原方程组，然后解方程组即可.
34．某电子超市销售甲、乙两种型号的蓝牙音箱，每台进价分别为240元、140元，如表是近两周的销量情况：
销售时段 销售数量 销售收入
甲种型号 乙种型号
第一周 3台 7台 2160元
第二周 5台 14台 4020元
（1）求甲、乙两种型号蓝牙音箱的销售单价．
（2）若超市准备用不多于6000元的资金再采购这两种型号的蓝牙音箱共30台，则甲种型号的蓝牙音箱最多能采购多少台？
【答案】（1）解：设甲、乙两种型号蓝牙音箱的销售单价分别为x元、y元，
根据题意得： ，
解得： ，
∴甲、乙两种型号蓝牙音箱的销售单价分别为300元、180元
（2）解：设甲种型号蓝牙音箱采购m台，则乙种型号蓝牙音箱采购 台
根据题意得：240m+140（30-m）≤6000，
解得：m≤18，
∵m的最大整数解为18，
∴甲种型号蓝牙音箱采购最多采购18台．
【解析】【分析】（1） 设甲、乙两种型号蓝牙音箱的销售单价分别为x元、y元， 结合表格列出二元一次方程组求解即可；
（2） 设甲种型号蓝牙音箱采购m台，则乙种型号蓝牙音箱采购 台 ，根据“ 准备用不多于6000元的资金 ”列出一元一次不等式求解即可。
35．在中，，，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．
（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：求证：
（2）如果点D在线段BC上运动，请写出AC与CE的位置关系．通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作交直线BC于F，如图2所示，通过证明，可推证等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程．
（3）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明：
∵∠B=90°
∴∠BDA+∠BAD=90°
∵∠ADE=90°
∴∠BDA+∠EDC-90°
∴∠BAD=∠EDC
（2）解：垂直
∵
∴
∵
∴
在和中
∴
∴，
∵
∴，
∴
即．
∴
又∵
∴，且
∴
即．
（3）解：（2）中的结论仍然成立
如图3所示，过点E作于F
∵
∴
在和中
∴
∴，
∴
即
∴
∴
∴
∴．
【解析】【分析】（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）先求出 ，再求解即可。
36．某校组织党史知识竞赛，共设50道选择题，各题分值相同，每题必答，答错扣分，下表记录的是其中3名参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 得分
A 50 100
B 48 94
C 37 61
（1）由表格知，答对一题得 分，答错一题扣 分；
（2）某参赛者得73分，求该参赛者答对的题数；
（3）参赛者的得分可能是90吗 请说明理由．
【答案】（1）2；1
（2）解：法一设该参赛者答对的题数为x．
依题意，．这个方程，得．
所以，该参赛者答对的题数为41．
法二由（1）知，若少答对一题，则少得3分．
因为，所以，该参赛者答对的题数为．
（3）解：法一
若某参赛者的得分为90，设其答对题数为m．
则，这个方程，得．．
因为不是整数，参赛者的得分不可能是90．
法二
因为，且不是整数，所以参赛者的得分不可能是90
【解析】【解答】（1）由表格知，答对一题得2分，答错一题扣1分；
【分析】（1）根据表格中的数据求解即可；
（2）设该参赛者答对的题数为x，根据题意列出方方程，再求解即可；
（3）设其答对题数为m，根据题意列出方程，再求解即可。
37．某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子.已知该学校从批发市场花4800元购买了
黑白两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
批发价(元) 零售价(元)
黑 色 文化衫 25 45
白 色 文 化 衫 20 35
（1）学校购进黑.白文化衫各几件？
（2）通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润.
【答案】（1）解：设学校购进黑文化衫x件，白文化衫y件，
依题意，得： ，
解得： .
答：学校购进黑文化衫160件，白文化衫40件.
（2）解：(45-25)×160+(35-20)×40＝3800(元).
答：该校这次义卖活动共获得3800元利润.
【解析】【分析】（1）设学校购进黑文化衫x件，白文化衫y件，根据两种文化衫200件共花费4800元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总利润=每件利润×数量，即可求出结论.
38．如图，在边长为1个单位长度的10×8小正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC，点A、C的坐标分别为（﹣3，2），（﹣1，3），直线L在网格线上．
（1）画出△ABC关于直线L对称的△A1B1C1；（点A1、B1、C1分别为点A、B、C的对应点）
（2）点D是ABC内部的格点，其关于直线L的对称点是D1，直接写出点D，D1的坐标．
（3）若点P（a，b）是△ABC内任意一点，其关于直线L的对称点是P1，求点P1的坐标．
【答案】（1）解：如图，根据轴对称的性质找到点，△A1B1C1即为所求；
（2）解：点D（-2，2），D1的坐标（4，2）
（3）解：根据两点关于直线对称，纵坐标相等，中点的横坐标为，则点P1的坐标（2-a，b）
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用轴对称的性质求解即可；
（3）利用轴对称的性质求解即可。
39．希望中学计划从荣威公司买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比购买一块B型小黑板多用20元，且购买5块A型小黑板和购买4块B型小黑板共需820元.
（1）求购买一块A型小黑板，一块B型小黑板各需要多少元？
（2）根据希望中学实际情况，需从荣威公司买A，B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号的小黑板的总费用不超过5240元，并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B两种型号的小黑板总数量的 ，请你通过计算，求出希望中学从荣威公司买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？并说明哪种方案更节约资金？
【答案】（1）设购买一块A型小黑板需要x元，一块B型为 元，
，
解得： ，
∴ ，
购买一块A型小黑板需100元，购买一块B型小黑板需80元；
（2）设购买A型小黑板m块，则购买B型小黑板 块，根据题意得：
，
解得： ，
∵m为整数，
∴m的值为21或22.
当 时， ；
当 时， .
∴有两种购买方案：
方案一：A型21块，B型39块，共需费用100×21+80×39=5220（元）；
方案二：A型22块，B型38块，共需费用100×22+80×38=5240（元）.
故方案一更省钱.
【解析】【分析】（1）设购买一块A型小黑板需要x元，根据“ 购买5块A型小黑板和购买4块B型小黑板共需820元 ”列方程，求解即可；
（2）设购买A型小黑板m块， 则购买B型小黑板 (60-x) 块 根据“购买A、B两种型号的小黑板的总费用不超过5240元及 购买A型小黑板的数量应大于购买A、B两种型号的小黑板总数量的 ，”列出不等式组，可得m的范围，根据m为整数可得m的值，进而可得购买方案.
40．某博物馆有A，B两种不同的文创纪念品，花费400元可以购买10件A纪念品和4件B纪念品，或者购买5件A纪念品和10件B纪念品．
（1）A，B两种纪念品的单价各多少元？
（2）如果想购买两种纪念品共20件，其中A纪念品不少于8件，最少花费多少元？请说明理由．
【答案】（1）解：设A，B两种纪念品的单价分别为x元、y元，根据题意得：
，
解得：，
答：A，B两种纪念品的单价分别为30元、25元．
（2）解：设购买A纪念品m件，则购买B纪念品为件，根据题意得：，
∵，即A纪念品的价格大于B纪念品的价格，且两种纪念品的总件数一定，
∴购买的A纪念品越少花费越少，
∴当购买纪念品8件，纪念品购买（件）时，花费最少，
则最少花费为（元），
答：最少花费为540元．
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程组即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出购买的A纪念品越少花费越少， 最后求解即可。
41．如图△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是线段BC上的一个动点，点F在线段AB上，运动中始终保持∠FDB＝∠ACB，过点B作BE⊥FD交DF的延长线于点E．
（1）若点D与点C重合，如图1，试探究线段BE和DF的数量关系，直接写出这个结论．
（2）若点D不与B、C重合，如图2，（1）中线段BE和DF的数量关系是否依然成立，请说明理由．
（3）图2中，若BE＝，求△BDF的面积．
【答案】（1）．
（2）解：依然成立，理由如下：
如图2，过点D作DG∥AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G，
∵DG∥AC，∠BAC＝90°，
∴∠BDG＝∠C，∠BHD＝∠BAC＝90°
∴∠ABC＝∠ACB＝∠GDB
∴HB＝HD
又∵
∴，
同理（1）可得
∴．
（3）解：∵BE＝FD，BE＝，
∴，
∵BE⊥FD，
∴.
【解析】【解答】解：如图：延长CA与BE交于点G
由题意知：∠FDB=∠ECB=∠ACB
∵BE⊥DE
∴∠BEC =∠GEC =90°
∵CE=CE
∴△BCE≌△GCE(ASA)
∴BE=EG=BG
∵∠GEC = ∠BAC＝ 90°=∠BAG，
∴∠G+∠ACE=90°，∠AFC+∠ACE=90°
∴∠AFC=∠G，AB=AC
∴△ABG≌△ACF(AAS)
∴BG=CF
∴
故答案为．
【分析】
（1）延长CA与BE交于点G，根据题意得出：∠FDB=∠ECB=∠ACB，再结合已知条件，证明△BCE≌△GCE，得到：BE=EG=BG，再根据同角的余角相等，得出：∠AFC=∠G，再根据AB=AC，∠GEC = ∠BAC＝ 90°=∠BAG，证明△ABG≌△ACF，从而得到：BG=CF=2BE，即可得到结论；
（2）过点D作DG∥AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G，得出：∠BDG＝∠C，∠BHD＝∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝∠GDB，可证HB＝HD，由已知条件： ∠FDB ＝∠ACB ，可得：，再根据：（1）可得即：
（3）先根据，BE＝， 求出，再根据三角形面积公式进行计算即：5.
42．小王看到如下两个超市的促销信息：
甲超市：全场 折
乙超市：不超过200元，不予优惠；超过200元而不大于500元，打九折；超过500元，500元的部分优惠 ，超过500元的部分打八折.
（1）
当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？
（2）
当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？
（3）
小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？
【答案】（1） 解：当一次性购物标价总额是300元时，
甲超市实付款 元 ，
乙超市实付款 元
（2） 解：设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样.
当一次性购物标价总额是500元时，
甲超市实付款 元 ，乙超市实付款 元 ，
，
.
根据题意得 ，
解得 .
答：当标价总额是625元时，甲、乙超市实付款一样
（3） 解：小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，
第一次购物付款198元，购物标价可能是198元，也可能是 元，
第二次购物付款466元，购物标价是 元，
两次购物标价之后是 元，或 元.
若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款 元，或 元，
可以节省 元，或 元.
答：若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省 元或22元.
【解析】【分析】（1）根据两家超市的优惠方案，可知当一次性购物标价总额是300元时，甲超市实付款 购物标价 ，乙超市实付款 ，分别计算即可；
（2）设当标价总额是x元时，首先判断出x的范围是超过500元，进而根据甲超市实付款 乙超市实付款列出方程，求解即可；
（3）首先计算出两次购物标价，然后根据优惠方案即可求解.
43．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），分别以AB、BC为边作等边三角形ABE和等边三角形BCD，连结CE，如图1所示．
（1）直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）判断DC与CE的位置关系，并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，如图2，若∠DEC=45°，求α的值．
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠A=∠α，
∴∠ABC=∠ACB=
=90°﹣ ∠α
∴∠ABD=∠ABC﹣∠ABE
=90°﹣ ∠α﹣60°
=30°﹣ ∠α
（2）解：DC与CE垂直；连接AD；∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABE﹣∠DBE=∠DBC﹣∠DBE，即∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中， ，∴△ABD≌△EBC，∴∠ADB=∠ECB，在△ABD和△ACD中， ，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD= ∠α，
∴∠BDA=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣（30°﹣ ∠α ）﹣ ∠α=150°，
∴∠BCE=150°，
∵∠BCD=60°，
∴∠DCE=90°，
即DC与CE垂直
（3）解：∵∠DCE=90°，又∵∠DEC=45°，∴△DEC为等腰三角形，∴DC=DE=BC，∵∠BCE=150°，
∴∠EBC=15°，
∵∠EBC=30°﹣ ∠α=15°，
∴∠α=30°
【解析】【分析】（1）用α的式子表示∠ABC，再利用∠ABD=∠ABC﹣60°；（2）连接AD，构造全等三角形，即△ABD≌△ACD，∠BDA=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣（30°﹣ ∠α ）﹣ ∠α=150°，进而求出∠DCE=90°；（3）由已知可得△DEC为等腰三角形，DC=DE=BC，∠EBC=30°﹣ ∠α=15°，进而∠α=30°
44．如图，已知 ，OC是 内部的一条射线，过点O作射线OD，使 .
（1）若 ，则 = ；
（2）若 ，则 = ；
（3）当 绕着点O旋转时， + 是否变化？若不变，求出其大小；若变化，说明理由.
【答案】（1）30°
（2）解：25°
（3）解：若 绕着点O旋转时， + 会发生变化，理由如下：
若 有一边在 内部
若 两边都在 外，如图
，
若 绕着点O旋转时， + 会发生变化.
【解析】【解答】解：（1） ，
；（2） ，
.
【分析】（1）根据题意求出 的度数，再根据角的和与差即可得出答案；（2）根据已知可得出 ，即可得出答案；（3）分 有一边在 内部及 两边都在 外求 + 是否相等.
45．数学兴趣小组的同学发现：一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的，如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，这样的一种图形运动，大家讨论后把它称为图形的“翻移运动”，这条直线则称为（这次运动的）“翻移线”如图1，就是由沿直线1翻移后得到的．（先翻折，然后再平移）
（1）在学习中，兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点（指图1中的与，与…）连线是否被翻移线平分发生了争议．对此你认为如何？（直接写出你的判断）
（2）如图2，在长方形中，，点分别是边中点，点在边延长线上，联结，如果是经过“翻移运动”得到的三角形．请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线；联结，线段和直线交于点，若的面积为3，求此长方形的边长的长．
（3）如图3，是（2）中的长方形边上一点，如果，先按（2）的“翻移线”直线翻折，然后再平移2个单位，得到，联结线段，分别和“翻移线”交于点和点，求四边形的面积．
【答案】（1）解：如图1，连接，，
则“翻移运动”对应点（指图1中的与，与连线被翻移线平分；
（2）解：作直线，即为“翻移线”直线，如图2所示：
四边形是长方形，
，，
由“翻移运动”的性质得：，，是的中点，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：分两种情况：
①先按（2）的“翻移线”直线翻折，然后再向上平移2个单位，如图3所示：
设翻折后的三角形为，连接，
则，
同（2）得：，，
，，
，
四边形的面积梯形的面积的面积的面积；
②先按（2）的“翻移线”直线翻折，然后再向下平移2个单位，如图4所示：
设翻折后的三角形为，连接，
则，
同（2）得：，，
，，
，
四边形的面积梯形的面积的面积的面积；
综上所述，四边形的面积为11或10．
【解析】【分析】（1）连接AA2、 BB2 、CC2，根据图形的翻折和平移的性质可知 “翻移运动”对应点连线被翻移线平分 ；
（2） 作直线EF，即为“翻移线”直线，连接DE， 由“翻移运动”的性质可知：AB=DC=GD， AF=DF=AD=4，OA=OG，则，可得因F是AD到中点，
，，可得DG=6，则AB=6；
（3）由题意可知应该分为两种情况利用“翻移运动”的性质进行求解： ①先按（2）的“翻移线”直线翻折，然后再向上平移2个单位； ②先按（2）的“翻移线”直线翻折，然后再向下平移2个单位。
46．某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元
（1）若该超市一次性购进两种商品共80件，且恰好用去1 600元，则购进甲商品 件，乙商品 件；
（2）若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1 640元，且总利润(利润=售价-进价)不少于600元.请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出使该超市利润最大的方案.
【答案】（1）40；40
（2）解：（1）设该超市购进甲商品x件 ，则购进乙商品(80-x)件，由题意得 ：
10x+30(80-x)=1600 ，
解得 x=40 ，
∴ 购进乙商品的数量为 ：80-40=40件。
答 ；超市购进甲商品40件，购进乙商品40件 。
（2）设该超市购进甲商品a件，则购进乙商品(80-a)件，
由题意得
解得38≤a≤40，因为a为正整数，
所以a=38，39，40.相应地，80-a=42，41，40.
进而利润分别为
(15-10)×38+(40-30)×42=190+420=610(元)，(15-10)×39+(40-30)×41=195+410=605(元)，(15-10)×40+(40-30)×40=200+400=600(元)，则使该超市利润最大的方案是购进甲商品38件，乙商品42件.
【解析】【分析】（1）设该超市购进甲商品x件 ，则购进乙商品(80-x)件，根据购进甲商品的费用+购进乙商品的费用=1600，列出方程，求解即可；
（2）设该超市购进甲商品a件，则购进乙商品(80-a)件，根据购进甲商品的费用+购进乙商品的费用不超过1 640，售完甲商品的利润+售完乙商品的利润不少于600元.列出不等式组，求解得出a的取值范围，根据a为正整数，从而得出a的值为38，39，40.相应地，80-a=42，41，40.然后分别计算出每种进货方案的利润，再比较总利润即可得出最佳进货方案。
47．如图1，已知 ，点A在直线EF上，点B在直线GH上，且 ．
（1）试判断直线EF与GH的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若点B在直线GH上运动，作 ，作 ，试判断 的大小是否随着点B的运动而发生变化？若不变，求出 的大小；若变化，请说明理由．
【答案】（1）解：平行，理由如下，
过C作 ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解： ∠APB的大小不会随着点B的运动而发生变化，理由如下：
∵∠CAP=2∠CAE，∠CBP=2∠CBG，
∴∠CAP+∠CBP=2∠CAE+2∠CBG=2(∠CAE+∠CBG)=2×80°=160°，
∴∠APB=360°-∠ACB-(∠CAP+∠CBP)=360°-80°-160°=120°．
所以∠APB的大小为120°．
【解析】【分析】（1）如图，过点C作CD//EF，可得∠CAE=∠ACD，由∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°，∠CAE+∠CBG=80°．可得∠BCD=∠CBG，得CD∥GH，进而可得直线EF与GH的位置关系；（2）根据已知条件可得∠CAP+∠CBP=2(∠CAE+∠CBG)=160°，再根据四边形内角和等于360度即可求出∠APB的大小．
48．如图，数轴上的点从左往右依次A，B，C对应的数分别为a， b，c，且|(a+3+|b-6|=0，AB的距离比BC的距离大4，动点P从点A出发沿数轴以每秒6个单位的速度向右运动，同时动点Q从点B出发沿数轴以每秒2个单位的速度一直向右运动，当点Р运动到点C之后立即以原速沿数轴一直向左运动，设运动的时间为t秒.
（1）填空： a= ，b= ，点Q在数轴上所表示的数为 (用含t的代数式表示).
（2）当动点P从点A运动到点C过程中，点Q是PC的中点时，则点Q在数轴上所表
示的数是多少
（3）在整个运动过程中，是否存在t使得QB=2PC，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）-3；6；6+2t
（2）解：时CP=14-6t，CQ=5-2t
∵点Q是PC中点，
∴CP=2CQ
即14-6t=2（5-2t）
解得t=2
把t=2代入6+2t中得：6+4=10
点Q在数轴上所表示的数是10
（3）解： 时
CP=11-（25-6t）=6t-14；
2t=2(-14+6t)
【解析】【解答】（1）解：∵ |a+3|+|b-6|=0
∴a+3=0，b-6=0
∴a=-3，b=6；
∵点Q是从点B出发沿数轴以每秒2个单位的速度向右运动了t秒，
∴点Q在数轴上所表示的数为：6+2t.
故答案为：-3；6；6+2t .
【分析】（1）由绝对值的非负性可求出a、b的值，再根据数轴上点的移动，往左移减去移动距离，往右移加上移动距离，可以得到出点Q在数轴上所表示的数；
（2）首先利用两点坐标可以求出数轴上两点之间的距离，数轴上两点之间的距离可以用右边的数减去左边的数得到，之后再利用点Q是PC的中点，可以得到CP=2CQ，从而建立等式，求解出t；
（3）先利用两点距离公式得到PC= 11-（25-6t）=6t-14 ，再根据 QB=2PC ，求解出t。
49．探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以做 条对角线；同样，经过B点可以做 条；经过C点可以做 条；经过D点可以做 条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有 条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 条对角线；
图3共有 条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有 条对角线．(用含n的式子表示)
（4）特例验证：
十边形有 对角线.
【答案】（1）1；1；1；1；2
（2）5；9
（3）
（4）35
【解析】【解答】解：(1) 四边形经过任意一点可以做1条对角线，其中会出现重复，因此四边形共有2条对角线，(2)五边形经过任意一点可以做2条对角线，其中会出现重复，因此四边形共有5条对角线， 六边形经过任意一点可以做3条对角线，其中会出现重复，因此四边形共有9条对角线，(3) n边形经过任意一点可以做(n－3)条对角线，其中会出现重复，因此四边形共有 条对角线，(4) 十边形经过任意一点可以做7条对角线，其中会出现重复，因此四边形共有35条对角线.
【分析】对角线的定义和对角线的公式进行探索求即可。
50．对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”.例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，1，可知原点是点关于点的“2倍分点”，原点也是点关于点的“倍分点”.
在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是2.
（1）若点在线段上，且点是点关于点的“5倍分点”，则点表示的数是______；
（2）若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，求的值；
（3）点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动.当点运动秒时，在，，三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍分点”，直接写出的值.
【答案】（1）1
（2）解：①当点D在点A左边时，∵点A表示的数是，点B表示的数是2，，
∴点D表示的数为，
∴，，
∴；
②当点D在点A右边时，
∵点A表示的数是，点B表示的数是2，，
∴点D表示的数为6，
∴，
∴；
综上，k的值为或；
（3）解：∵点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，
∴，，
①当时，
即，
解得：；
②当时，
即，
解得：；
③当时，
即，
解得：；
④当时，
即，
解得：；
综上，t的值为或或8或6．
【解析】【解答】（1）∵点C是点A关于点B的“5倍分点”，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
∴点C表示的数1；
故答案为：1
【分析】（1）根据“k倍分点”的定义，即可数轴上两点间的距离即可求出答案.
（2）分两种情况：①当点D在点A左边时；②当点D在点A右边时；根据“k倍分点”的定义，即可求出答案.
（3）根据题意可得，，，①当时；②当时；③当时；④时；根据“倍分点”的定义，列方程，解方程即可求出答案.
（1）∵点C是点A关于点B的“5倍分点”，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
∴点C表示的数1；
故答案为：1；
（2）①当点D在点A左边时，
∵点A表示的数是，点B表示的数是2，，
∴点D表示的数为，
∴，，
∴；
②当点D在点A右边时，
∵点A表示的数是，点B表示的数是2，，
∴点D表示的数为6，
∴，
∴；
综上，k的值为或；
（3）∵点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，
∴，，
①当时，
即，
解得：；
②当时，
即，
解得：；
③当时，
即，
解得：；
④当时，
即，
解得：；
综上，t的值为或或8或6．
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