【综合题强化训练·50道必刷题】华东师大版数学八年级下册期末试卷（原卷版 解析版）

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【综合题强化训练·50道必刷题】华东师大版数学八年级下册期末试卷
1．如图，在平行四边形 中， 平分 交 于点F.
（1）尺规作图：过点A作 平分 交 于点E；注意：不写作法，保留作图痕迹，并标明字母.
（2）求证： .
2．某初中学校为了解学生睡眠情况，随机调查了部分学生一天的睡眠时间．根据统计结果，绘制出如下统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为______，图①中的值为______；
（2）求统计的这组学生一天睡眠时间数据的平均数，众数和中位数．
3．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间的函数关系如图2所示．
（1）求I与R之间的函数表达式；
（2）求时，对应的R的取值范围．
4．如图，在 中，DE平分 ，交AB于点E，BF平分 ，交CD于点 .
（1）求证： .
（2）当AD与 BD满足什么关系时，四边形
DEBF是矩形 请说明理由.
5．如图所示，已知火车站的坐标为(2，1)，文化宫的坐标为(-1，2)。
（1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系。
（2）写出体育场、市场、超市的坐标。
（3）若宾馆的坐标为(4，2)，请在图上标出宾馆所在的位置。
6．如图
（1）如图1，已知ABCD是正方形，P是对角线AC上一点，求证：PB＝PD；
请你完成问题情境中（2）的证明
（2）如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，猜想EF与DP的数量关系，并证明你的猜想．
7．某部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了9小时完成任务．
（1）按原计划完成总任务的时，已抢修道路　 　米；
（2）求原计划每小时抢修道路多少米
8．某商场出售一批进价为元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价元与日销售量之间满足某种函数关系．
（元）
（个）
（1）根据表中的数据请你写出请与之间的函数关系式；
（2）设经营此贺卡的销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价每个最高不能超过元，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能使日销售获得最大利润？
9．上课时老师在黑板上书写了一个分式的符合题意化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：
（1）请你求出盖住部分化简后的结果；
（2）当x＝3时，y等于何值时，原分式的值为5．
10．已知：一次函数y＝（m﹣2）x＋4的图像经过点A（2，6）且与x轴相交于点B．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
11．
（1）解方程：．
（2）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？
12．近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势.小鹏汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装.生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车.
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘 （ ）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元的工资，给每名新工人每月发5000元的工资，那么工厂应招聘多少名熟练工，使熟练工的数量少于新工人，同时工厂每月支出的工资总额尽可能的少？
13．如图，点E为平行四边形ABCD的边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于F.
（1）求证：AD＝CF；
（2）若AB＝2BC，∠B＝70°，求∠F的度数.
14．我市某中学举行“中国梦 校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛.两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示.
（1）根据图示填写下表；
　 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
初中部
　 85
　
高中部 85
　 100
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.
15．某校举办七年级数学素养大赛，比赛共设三个项目：速算比赛、数学推理、巧解方程，每个项目得分都按一定百分比折算后计入总分。甲、乙、丙三位同学的速算比赛得分均为85分，且此项在总分中所占百分比不变，其余两项得分如下图所示(单位：分)。
（1）根据图中信息判断哪位同学总分得分最低？
（2）甲、丙两同学的数学推理与巧解方程两项经折算后的得分和均为52分，求这两项在计入总分时所占的百分比；
（3）写出三个项目各项所占百分比的一组值，使甲或丙同学能获得第一名。
16．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别相交于 ， 两点，过原点的直线 与直线 相交于点 ，且 .
（1）求点 的坐标及直线 的解析式；
（2）若直线 ，且直线 ， ， 不能围成三角形，直接写出 的值.
17．如图，过的边的中点O，作，交于点E，过点A作，与的延长线交于点D，连接，，若平分，于点F.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求证：四边形是矩形.
18．如图①所示，以正方形的点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中线段在y轴上，线段在x轴上，其中正方形的周长为16.
（1）直接写出B、C两点坐标；
（2）如图②，连接，若点P在y轴上，且，求P点坐标.
（3）如图③，若OB//DE，点P从点O出发，沿x轴正方向运动，连接.则，，三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点O，D，C重合的情况）？并说明理由.
19．为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；
（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
20．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第三象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为(0，﹣4)，直角顶点B坐标为(﹣1，0)，一次函数y＝kx+b的图像经过点A、C交x轴于点D．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线AC与坐标轴围成的三角形的面积．
21．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一动点（不与点重合），过点作于点.
（1）当点是中点时，求的面积；
（2）连接，若平分，求此时点的坐标；
（3）平分，在轴上有一动点，横坐标为，过点作直线轴，与线段有交点，求的取值范围；
（4）平分，为轴上动点，为等腰三角形，求坐标.
22．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华糖，买到书后继续去学校，根据小明骑车离家的距离 与时间 建立平面直角坐标系，根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是　 　米．
（2）他折回书店时骑车的速度是　 　米/分，在书店停留了　 　分钟．
（3）在整个上学的途中　 　分钟至　 　 分钟小明骑车速度最快，最快的速度是　 　米/分．
（4）小明距离家900米时，x=　 　 ．
（5）写出整个过程y与x的函数解析式．
23．如图，点在函数的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数的图象于点B、C．
（1）求反比例函数、直线的解析式；
（2）求的面积．
24．我市某校开展了“阳光体育、强身健体”系列活动，小明同学积极参与，他每周末和哥哥一起赛跑．已知他们所跑的路程y（m）与时间x（s）之间的函数关系如图所示，哥哥先让小明跑12m，然后自己才开始跑．
（1）反映小明所跑路程与时间之间关系的是　 　（填写“l1”或“l2”），哥哥的速度是　 　m/s；
（2）何时哥哥在小明的前面？
（3）何时两人相距6m？
25．在初中阶段的函数学习中，我们知道由含有未知数 和 的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数；同时知道任何一个以 为未知数的一元一次不等式都可以变形为 或 的形式，因此我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解或不等式的解集.
（1）在给出的平面直角坐标系中，直接画出函数 的图象；
（2）如图，直线 与 相交于点 ，根据图象直接写出关于 的方程 的解；
（3）根据图象直接写出不等式 的解集.
26．在创建文明城区的活动中，有两条长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y（米）与施工时间x（时）之间的关系的部分图像，请解答下列问题．
（1）甲队在的时段内的速度是 米/时，乙队在的时段内的速度是 米/时；6小时甲队铺设彩色道砖的长度是　米；乙队铺设彩色道砖的长度是＿米．
（2）如果铺设的彩色道砖的总长度为150米，开始6小时后，甲队、乙队均增加人手，提高了工作效率，此后乙队平均每小时比甲队多铺2米，结果两队同时完成铺设任务，求提高工作效率后甲队、乙队每小时铺设的长度分别为多少米？
27．如图，长方形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上.
（1）如图（1），当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时，求AF的长；
（2）如图（2），当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时，求HF的长.
28．如图，在平行四边形中，过点作于，点在边上，，连接、.
（1）求证：四边形是矩形.
（2）若平分，且，，求的长.
29．如图，双曲线y1＝（k为常数，且k≠0）与直线y2＝﹣x+b交于点A（﹣2，a）和B（3c，2﹣c）.
（1）求k，b的值；
（2）求直线与x轴的交点坐标.
30．体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机抽取 名女生进行每人 次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示．
（1）求女生进球数的平均数、众数；
（2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有女生480人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？
31．丰县为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
32．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
33．高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，“五一”期间，乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1小时后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车站，然后再转车出租车取游乐园（换车时间忽略不计），两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y（千米）与乘车时间t（小时）的关系如图所示．
请结合图象解决下面问题：
（1）高铁的平均速度是每小时多少千米？
（2）当颖颖达到杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？
（3）若乐乐要提前18分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小时？
34．元旦节前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将玫瑰每枝降价2元促销，降价后80元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的1.25倍．
（1）试问：降价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不多于1000元的资金再次购进两种鲜花共180枝，康乃馨进价为6元/枝，玫瑰的进价是5元/枝．试问；至少需要购进多少枝玫瑰？
35．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，点E是BC延长线上一点，连接DE，DEAC，DE⊥BD，点D到BE的距离为d．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求d．
36．如图，已知点A，C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）直接写出图中所有相等的线段(AE＝CF除外)．
37．清明节小明和小龙俩去英雄纪念馆．小明家、小龙家与英雄纪念馆的相对位置如图所示，小明和小龙家相距2千米．小明和小龙同时从各自家中出发，小明开始跑步40分钟，速度是13.5千米/小时，再匀速步行到纪念馆，小龙始终匀速步行到纪念馆，结果两人同时到达纪念馆．设小明运动的时间为x，小明运动的路程为y，小龙运动的路程与时间x之间的函数图象如图所示．
根据所提供的信息，回答下列问题：
（1）小龙步行的速度是　 　千米/小时：
（2）求小明运动路程y（千米）与运动时间x（小时）之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出函数图象．
38．甲、乙两人同去某加油站加同种汽油，甲用300元所加的油量比乙用375元所加的油量少10升．
（1）求当天加油站的油价；
（2）当天加油站在其汽油进价的基础上提高25％进行定价，若加油站的经营成本为y元（包含运输成本、水电费用、人员费用等，不包含汽油的进价），销售量为x升，且，要使加油站当天的利润不低于1875元，则加油站当天至少售出多少升汽油？（总成本＝进价＋经营成本）
39．为了促进学校阳光体育运动的发展，推进素质教育，增强学生体质，丰富校园文化，某校举行以“绳”强身健体为主题的一分钟跳绳比赛，每班选出20名同学参赛，以下是甲、乙两班同学的比赛成绩（单位：次）：
甲班：168，175，180，185，172，189，185，182，185，174，192，180，185，178，173，185，169，187，176，180.
乙班：186，180，189，183，176，173，178，167，180，175，178，182，180，179，185，180，184，182，180，183.
整理数据：
次数班别 165.5~170.5 170.5~175.5 175.5~180.5 180.5~185.5 185.5~190.5 190.5~195.5
甲班 2 4 5 6 2 1
乙班 1 2 a b 2 0
分析数据：
班别 平均数 众数 中位数 方差
甲班 180 　 180 43.1
乙班 180 　 　 22.6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）“整理数据”表格中　 　，　 　；
（2）请完成“分析数据”表格中的空缺数据；
（3）结合上述数据信息，请判断哪个班的成绩比较好，并说明理由.
40．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线经过点，，与直线交于点E．
（1）求直线的函数关系式；
（2）连接，求的面积；
（3）设点Q的坐标为，求m的值使得值最小．
41．用函数观点看不等式，如何解不等式？
分析：我们可以把不等号的左边看作正比例函数，右边看作反比例函数，那么这个不等式的解集就是直线在直线下方的所有点的横坐标的取值范围．
解：当时，解得，，可知函数与函数的公共点的坐标为和．
如图，直线在直线下方的所有点，就是直线在点的下方和直线在点和点之间的部分，横坐标的取值范围是或，所以不等式的解集为或．
（1）模仿上述方法，解不等式：；
（2）填空：如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是______．
42．如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF= AB．
（1）求证：EF⊥AG；
（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？
（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB=S△OAB，求△PAB周长的最小值．
43．已知函数 均为一次函数，m为常数.
（1）如图1，将直线 绕点 逆时针旋转45°得到直线 ，直线 交y轴于点B.若直线 恰好是 中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得 成立，求函数 图象间的距离；
（3）当 时，函数 图象分别交x轴，y轴于C，E两点， 图象交x轴于D点，将函数 的图象最低点F向上平移 个单位后刚好落在一次函数 图象上，设 的图象，线段 ，线段 围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围.（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01.）
44．在平面直角坐标系xOy中，直线L：y=kx+2k(k>0)与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数 (x>0)的图象的交点P位于第一象限．
（1）若点P的坐标为(1，6)，
①求m的值及点A的坐标；
② = ▲ ；
（2）直线h：y=2kx-2与y轴交于点C，与直线L1交于点Q，若点P的横坐标为1，
①写出点P的坐标(用含k的式子表示)；
②当PQ≤PA时，求m的取值范围．
45．在正方形 中， ， ， 是 边上一点，连接 ，过点 ， 作 ， ，垂足分别为 ， ，如图1．
（1）请探究 ， ， 这三条线段有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）若点 在 的延长线上，如图2，那么这三条线段的数量关系是　 　（直接写结果）
（3）若点 在 的延长线上，如图3，那么这三条线段的数量关系是　 　（直接写结果）
46．如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）如图1，S△DCP＝　 　．（用t的代数式表示）
（2）如图1，当t＝3时，试说明：△ABP≌△DCP．
（3）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
47．如图1，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 )两点与x轴，y轴分别交于A、B(0，2)两点，如果 的面积为6.
（1）求点A的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式；
（3）如图2，连接DO并延长交反比例函数的图象于点E，连接CE，求点E的坐标和 的面积
48．在平面直角坐标系中，P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴，y轴的垂线，如果由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点P是平面直角坐标系中的“奇点”.例如：如图①，过点P（4，4）分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的周长为16，面积也为16，周长与面积相等，所以点P是奇点.请根据以上材料回答下列问题：
（1）已知点C（2，2）、D（－4，－4）、E（ ，－5），其中是平面直角坐标系中的奇点的有　 　；（填字母代号）
（2）我们可以从函数的角度研究奇点.已知点P（x，y）是第一象限内的奇点.
I.求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
II.借鉴研究一次函数和反比例函数的经验，类似地可以对I中所求出的函数的图象和性质进行探索，下列结论正确的是 ▲ （填写所有正确的序号）；
①图像与坐标轴没有交点
②在第一象限内，y随着x的增大而减小
③对于图像上任意一点（x，y），（x－2）·（y－2）是一个定值
（3）在第一象限内，直线y＝kx＋8（k为常数）上奇点的个数随着k的值变化而变化，直接写出奇点的个数及对应的k的取值范围.
49．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．
50．如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线相交于点，分别交坐标轴于点A，B，C，D．
（1）求直线的解析表达式；
（2）如图，点P是直线上的一个动点，当的面积为20时，求点P的坐标；
（3）直线上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
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【综合题强化训练·50道必刷题】华东师大版数学八年级下册期末试卷
1．如图，在平行四边形 中， 平分 交 于点F.
（1）尺规作图：过点A作 平分 交 于点E；注意：不写作法，保留作图痕迹，并标明字母.
（2）求证： .
【答案】（1）解：如图，AE为所作；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE BAD，∠DCF ∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）由角平分线的定义得∠BAE=BAD，∠DCF=∠BCD，由平行四边形性质得∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，由平行线的性质得∠BAE＝∠DCF，∠ABE＝∠CDF，证明△ABE≌△CDF，据此可得结论.
2．某初中学校为了解学生睡眠情况，随机调查了部分学生一天的睡眠时间．根据统计结果，绘制出如下统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为______，图①中的值为______；
（2）求统计的这组学生一天睡眠时间数据的平均数，众数和中位数．
【答案】（1）40，20
（2）平均数为；众数为9h；中位数为8h．
3．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间的函数关系如图2所示．
（1）求I与R之间的函数表达式；
（2）求时，对应的R的取值范围．
【答案】（1）
（2）
4．如图，在 中，DE平分 ，交AB于点E，BF平分 ，交CD于点 .
（1）求证： .
（2）当AD与 BD满足什么关系时，四边形
DEBF是矩形 请说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD.
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在 与 中，
∴ .
（2）解：当AD=BD时， 四边形DEBF是矩形 ，理由如下：
∵△ADE≌△CBF
∴DE=BF，
∵∠ADB=∠CBD，∠DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∵∠EDB=∠DBF，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE=∠BDE，
若AD=BD时，
∴△ADE≌ △DEB（SAS），
∴∠AEB=∠DEB=90°，
∴平行四边形DEBF是矩形.
【解析】【分析】（1）先由平行四边形性质得AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC，进而得∠ADB=∠CBD，再由角平分线定义，可得∠ADE=∠CBF，最后利用“ASA”定理即可证明三角形全等；
（2）当AD=BD时四边形DEBF是矩形. 由（1）中已证△ADE≌△CBF，得DE=BF，再由平行线的判定定理易证DE∥BF，进而证得四边形DEBF是平行四边形，再由DE平分∠ADB及AD=BD，利用“SAS”证得△ADE≌ △DEB，得∠AEB=∠DEB=90°，可证明四边形DEBF，即可解决问题.
5．如图所示，已知火车站的坐标为(2，1)，文化宫的坐标为(-1，2)。
（1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系。
（2）写出体育场、市场、超市的坐标。
（3）若宾馆的坐标为(4，2)，请在图上标出宾馆所在的位置。
【答案】（1）
（2）解：体育场(-2，4)，市场(6，4)，超市(4，-2)
（3）
【解析】【分析】（1）根据点的坐标作平面直角坐标系即可；
（2）根据平面直角坐标系求点的坐标即可；
（3）根据宾馆的坐标为(4，2)， 求解即可。
6．如图
（1）如图1，已知ABCD是正方形，P是对角线AC上一点，求证：PB＝PD；
请你完成问题情境中（2）的证明
（2）如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，猜想EF与DP的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）证明：在△APB和△APD中，
∵AB＝AD，AP＝AP，∠BAP＝∠DAP＝45°，
∴△APB≌△APD，
∴PB＝PD
（2）解：猜想：PD＝EF．
证明：连接PB．
由（1）可知：PB＝PD．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，
∴四边形PEBF是矩形，
∴PB＝EF，
∴PD＝EF．
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，证明△APB≌△APD求解即可；
（2）根据矩形的性质 ，证明EF=PB，再利用（1）的结论PB＝PD，进而得出。
7．某部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了9小时完成任务．
（1）按原计划完成总任务的时，已抢修道路　 　米；
（2）求原计划每小时抢修道路多少米
【答案】（1）900
（2）解：设原计划每小时抢修道路米，根据题意得：
，
解得：．
经检验：是原方程的解．
答：原计划每小时抢修道路300米．
【解析】【解答】解：（1）按原计划完成总任务的时，已抢修道路为（米），
答：按原计划完成总任务的时，已修建道路900米；
故答案为：900；
【分析】（1）根据题意列出算式求解即可；
（2）设原计划每小时抢修道路米，根据题意列出方程，再求解即可。
8．某商场出售一批进价为元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价元与日销售量之间满足某种函数关系．
（元）
（个）
（1）根据表中的数据请你写出请与之间的函数关系式；
（2）设经营此贺卡的销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价每个最高不能超过元，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能使日销售获得最大利润？
【答案】（1）
（2）
9．上课时老师在黑板上书写了一个分式的符合题意化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：
（1）请你求出盖住部分化简后的结果；
（2）当x＝3时，y等于何值时，原分式的值为5．
【答案】（1）解：盖住部分化简后的结果：
；
（2）解：x＝3时，原分式的值为5，即：，
∴，
解得：，
经检验，是原分式方程的根．
【解析】【分析】（1）将原式变形为 ，再利用分式的混合运算化简即可；
（2）将x的值和原式的值代入原分式可得 ，再求出y的值即可。
10．已知：一次函数y＝（m﹣2）x＋4的图像经过点A（2，6）且与x轴相交于点B．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【答案】（1）解：把A（2，6）代入一次函数y=（m-2）x+4，
得：6=2（m-2）+4，m=3，
∴直线的解析式为：y=x+4；
（2）解：y=x+4与x轴相交于点B，
B点坐标为：（-4，0），
所以△AOB的面积= ×OB×6=12．
故△AOB的面积为12．
【解析】【分析】（1）把A的坐标代入一次函数y=（m-2）x+4，得出m的值，即可得出直线的解析式；
（2）由y=x+4与x轴相交于点B，即可得出B的坐标，即可求出△AOB的面积。
11．
（1）解方程：．
（2）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？
【答案】（1）解：
．
经检验，是原方程的根，
∴方程的解为；
（2）解：∵甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，
∴AO⊥BO，
∵甲以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，
∴OB＝20×2＝40（海里），
∵AB＝50海里，在Rt△AOB中，，
∴乙轮船平均每小时航行30÷2＝15海里．
【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）先利用方向角得到AO⊥BO，再利用勾股定理求出AO的长，最后利用速度=路程÷时间计算即可。
12．近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势.小鹏汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装.生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车.
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘 （ ）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元的工资，给每名新工人每月发5000元的工资，那么工厂应招聘多少名熟练工，使熟练工的数量少于新工人，同时工厂每月支出的工资总额尽可能的少？
【答案】（1）解：设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车.
根据题意，得： ，解得： .
答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆、2辆电动汽车.
（2）解：设工厂有a名新工人.
根据题意，得12（4n+2a）=288，2n+a=12，a=12-2n，
又a，n都是正整数，0＜n＜5，
所以n=1，2，3，4.
即工厂有4种新工人的招聘方案.
方案①：n=1，a=10，即新工人10人，熟练工1人；
方案②：n=2，a=8，即新工人8人，熟练工2人；
方案③：n=3，a=6，即新工人6人，熟练工3人；
方案④：n=4，a=4，即新工人4人，熟练工4人；.
（3）解：根据题意，得
工厂每月支出的工资总额W=8000n+5000a=8000n+5000（12-2n）=60000-2000n.
要使工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少，则n应最大.
又要求熟练工数量少于新工人
所以当n=3，a=6时，工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少.
即招聘3名熟练工，工厂支出的工资总额最少为54000元
【解析】【分析】（1）关键的已知条件为：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车，再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.
（2）设工厂有a名新工人，根据计划一年生产安装288辆，由建立关于a，n的二元一次方程，再根据a，n都是正整数，0＜n＜5，可确定出a，n的值，由此可求出招聘方案.
（3）设工厂每月支出的工资总额为W，利用已知条件可得到W与n自己的函数解析式，再利用一次函数的性质，可求出结果.
13．如图，点E为平行四边形ABCD的边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于F.
（1）求证：AD＝CF；
（2）若AB＝2BC，∠B＝70°，求∠F的度数.
【答案】（1）证明：∵E是边CD的中点，
∴DE＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BF，
∴∠D＝∠DCF，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵△ADE≌△FCE，
∴AD＝FC，
∴AD＝BC＝FC，
∴BF＝2BC，
∵AB＝2BC，
∴BF＝AB，
∴∠BAF＝∠F＝（180°﹣70°）＝55°.
【解析】【分析】（1）根据中点的定义求出DE＝CE，根据平行四边形的性质及平行线的性质求出 ∠D＝∠DCF， 再利用ASA证明 △ADE≌△FCE即可；
（2）根据平行四边形的性质得出AD＝BC，由（1）的结论得出AD＝FC，结合AB＝2BC，推出BF＝AB，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求∠BAF度数即可.
14．我市某中学举行“中国梦 校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛.两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示.
（1）根据图示填写下表；
　 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
初中部
　 85
　
高中部 85
　 100
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.
【答案】（1）填表如下：
　 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
初中部 85 85 85
高中部 85 80 100
（2）初中部成绩好些.
∵两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，
∴在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些.
（3） ，
，
∴ ＜ ，因此，初中代表队选手成绩较为稳定.
【解析】【分析】（1）根据平均数的计算方法算出初中组数据的平均数；再找出初中组数据中出现次数最多的数据得出众数；将高中部这组的成绩按从小到大排列后，排第三位的成绩就是这组数据的中位数；
（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可；
（3）分别求出初中、高中部的方差，进而根据方差越小数据波动越小，成绩越稳定即可得出答案.
15．某校举办七年级数学素养大赛，比赛共设三个项目：速算比赛、数学推理、巧解方程，每个项目得分都按一定百分比折算后计入总分。甲、乙、丙三位同学的速算比赛得分均为85分，且此项在总分中所占百分比不变，其余两项得分如下图所示(单位：分)。
（1）根据图中信息判断哪位同学总分得分最低？
（2）甲、丙两同学的数学推理与巧解方程两项经折算后的得分和均为52分，求这两项在计入总分时所占的百分比；
（3）写出三个项目各项所占百分比的一组值，使甲或丙同学能获得第一名。
【答案】（1）解：因乙同学的数学推理、巧解方程得分最低，所以乙同学总分得分最低。
（2）解：设数学推理占比为x，巧解方程占比为y，根据题意，得：
解得：
∴数学推理占比20%，巧解方程占比40%。
（3）解：本题答案不唯-，只需符合甲胜则数学推理占比大于20%，小于60%；丙胜则巧解方程的占比大于40%，小于60%。例如：
甲胜：速算比赛占比40%，数学推理占比25%，巧解方程占比35%；
丙胜：速算比赛占比40%，数学推理占比15%，巧解方程占比45%。
【解析】【分析】（1）看图可知， 因乙同学的数学推理、巧解方程两项得分都最低，则知其总得分最低；
（2）设数学推理占比为x，巧解方程占比为y，根据题意， 根据加权平均数公式分别列方程，联立求解即可；
（3）利用加权平均数的原理，根据题意分别给三项的赋权重即可求解.
16．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别相交于 ， 两点，过原点的直线 与直线 相交于点 ，且 .
（1）求点 的坐标及直线 的解析式；
（2）若直线 ，且直线 ， ， 不能围成三角形，直接写出 的值.
【答案】（1）解：设 ，
直线 ，令 ，则 ；令 ，则 ，
∴ ， ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将（2，4）代入 ，得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 .
（2）解： ，或 ，或 .
具体过程如下：
由直线 ，且直线 ， ， 不能围成三角形，
可知分以下三种情况：
①当 经过点 时，将（2，4）代入 ，得 ，
②当 时， .
③当 时， .
综上， ，或 ，或 .
【解析】【分析】(1) 设 ， 根据图象上点的坐标特征求出A、B坐标，接着根据 ，求出C的坐标，接着根据待定系数法即可求得 的解析式.
（2）由直线 ，且直线 ， ， 不能围成三角形，可知分以下三种情况，① 经过点 ②③ 即可求出k的值.
17．如图，过的边的中点O，作，交于点E，过点A作，与的延长线交于点D，连接，，若平分，于点F.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求证：四边形是矩形.
【答案】（1）证明：如图，设与交于点F，
平分，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
∴△OBC是等腰三角形；
（2）证明：∵点O是的中点，
，
，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在与中，
，
≌，
，
四边形是矩形.
【解析】【分析】（1）由题意用角边角可证，由全等三角形的性质可得OC=BC，于是结论可求解；
（2）由线段中点定义可得OA=OC，由平行线的性质可得∠DAO=∠BCO，∠ADO=∠CBO，用角边角可证，则AD=BC，结合已知根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，用角边角可证，于是∠EBC=∠EOC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形.
18．如图①所示，以正方形的点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中线段在y轴上，线段在x轴上，其中正方形的周长为16.
（1）直接写出B、C两点坐标；
（2）如图②，连接，若点P在y轴上，且，求P点坐标.
（3）如图③，若OB//DE，点P从点O出发，沿x轴正方向运动，连接.则，，三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点O，D，C重合的情况）？并说明理由.
【答案】（1）解：∵正方形ABCO的周长为16
∴正方形边长为4，
∴点B坐标为（4，4）点C坐标为（4，0）.
（2）解：由题意可知OA=OB=4，
∴，
则
，
设点P的坐标为（0，m），
则OP=，
，
解得，
∴m=8或m=-8，
∴点P坐标为（0，8）或（0，-8）.
（3）解：，理由如下：
如图，过点P作交BC于点Q，
则，
∴，，
∵，
∴.
【解析】【分析】（1）根据正方形ABCO的周长为16可得正方形边长为4，进而可得点B、C的坐标；
（2）由题意可知OA=OB=4，求出△AOB的面积，得到△BOP的面积，设P（0，m），根据三角形的面积公式求出m，据此可得点P的坐标；
（3）过点P作PQ∥OB交BC于点Q，根据平行线的性质可得∠OBP=∠BPQ，∠PED=∠QPE，然后根据∠BPE=∠BPQ+∠EPQ进行解答.
19．为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；
（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
【答案】（1）解：设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
此时，60×（1+20%）=72（米）．
答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；
（2）解：设以后每天改造管网还要增加米，
由题意得：，
解得：．
答：以后每天改造管网至少还要增加36米．
【解析】【分析】（1）设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，根据题意列出方程求解即可；
（2）设以后每天改造管网还要增加米，根据题意列出不等式求解即可。
20．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第三象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为(0，﹣4)，直角顶点B坐标为(﹣1，0)，一次函数y＝kx+b的图像经过点A、C交x轴于点D．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线AC与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）解：如图，过点作轴于点，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设过的直线解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为：，
令，则，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）过点作轴于点，先证明，可得，再结合点B、C的坐标可得，利用线段的和差求出OE的长，即可得到点A的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，再求出点D的坐标，最后利用三角形的面积公式求出即可。
21．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一动点（不与点重合），过点作于点.
（1）当点是中点时，求的面积；
（2）连接，若平分，求此时点的坐标；
（3）平分，在轴上有一动点，横坐标为，过点作直线轴，与线段有交点，求的取值范围；
（4）平分，为轴上动点，为等腰三角形，求坐标.
【答案】（1）解：如图，连接，
直线交轴于点，交轴于点，
点，点，
，，
，
点是中点，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
平分，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴于点.
由得，＝，，
－＝，
∴，
＝，
＝，
的取值范围；
（4）解：设点，过点作轴于点，
则，
同理可得：，，
当时，即，解得或舍去；
当时，同理可得；
当时，同理可得或，
故点的坐标为或或或.
【解析】【分析】（1）连接BP，易得A（4，0），B（0，3），则AO=4，OB=3，利用勾股定理求出AB，根据中点的概念可得AP=OP=2，然后根据三角形的面积公式求出CP，利用勾股定理可得AC，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）连接BP，根据角平分线的概念可得∠OBP=∠CBP，证明△BOP≌△BCP，得到BO=BC=3，OP=CP，由AC=AB-BC可得AC，利用勾股定理求出OP，据此可得点P的坐标；
（3）过点C作CH⊥x轴于点H，易得AP的值，由三角形的面积公式可得CH，根据勾股定理可得AH，然后根据OH=OA-AH求出OH，进而可得a的范围；
（4）设M（x，0），过点C作CH⊥x轴于点H，根据勾股定理可得MC2、CP2、MP2，然后分MC=CP、MC=MP、CP=MP求出x的值，进而可得点M的坐标.
22．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华糖，买到书后继续去学校，根据小明骑车离家的距离 与时间 建立平面直角坐标系，根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是　 　米．
（2）他折回书店时骑车的速度是　 　米/分，在书店停留了　 　分钟．
（3）在整个上学的途中　 　分钟至　 　 分钟小明骑车速度最快，最快的速度是　 　米/分．
（4）小明距离家900米时，x=　 　 ．
（5）写出整个过程y与x的函数解析式．
【答案】（1）1500
（2）300；4
（3）12；14；450
（4） 或7或
（5）解：
【解析】【解答】解：(1)由图象可得，
小明家到学校的路程是1500米，
(2)∵ (米/秒)，
分钟，
(3)通过观察图象，根据越陡越快，
∴12-14分钟速度最快，
速度为 (米/秒)，
(4) 第一部分，设函数解析式为： ，
将 代入得 ，
当 时， ，
第二部分，设函数解析式为： ，
将 ， 代入得 ，
当 时， ，
第三部分， ，不符合，
第四部分，设函数解析式为： ，
将 ， 代入得 ，
当 时， ，
∴小明距离家900米时， 或 或 ，
(5)由(4)得整个过程 与 的函数解析式为：
．
【分析】（1）根据图象，由y轴表示路程，计算得到小明家到学校的路程即可；
（2）根据速度=路程÷时间，结合汽车的速度，计算得到答案即可；
（3）根据题意，由12分钟至14分钟速度，求出答案即可；
（4）根据时间=路程÷速度列式计算即可；
（5）根据题意，利用待定系数法求出答案即可。
23．如图，点在函数的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数的图象于点B、C．
（1）求反比例函数、直线的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：把代入中得：，解得，
∴反比例函数的解析式为；
在中，当时，，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵，，
∴轴，轴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点M的坐标代入中求得k的值，从而求得反比例函数的表达式；设直线的解析式为， 利用待定系数法求得，从而求解；
（2）根据点B、C、M的坐标，求得BM、CM的值，轴，轴，进一步得到， 最后利用三角形的面积公式代入数据即可求解.
24．我市某校开展了“阳光体育、强身健体”系列活动，小明同学积极参与，他每周末和哥哥一起赛跑．已知他们所跑的路程y（m）与时间x（s）之间的函数关系如图所示，哥哥先让小明跑12m，然后自己才开始跑．
（1）反映小明所跑路程与时间之间关系的是　 　（填写“l1”或“l2”），哥哥的速度是　 　m/s；
（2）何时哥哥在小明的前面？
（3）何时两人相距6m？
【答案】（1）l1；5
（2）解：设 为 ，将 代入，
解得 ，
∴的解析式为 ，
设 为 ，将 代入，
解得
∴的解析式为 ，
当 时，哥哥在小明的前面，
解得 ，
故4秒后哥哥在小明的前面；
（3）解：由题意得：
或 ，将各自解析式代入，
当 时， ，
解得 ，
当 ， ，
解得 ，
故2秒或6秒后两人相距6m．
【解析】【解答】解：（1）由题目分析得，哥哥先让小明跑12m，所以反映小明所跑路程与时间之间关系的是l1，
由图可知，哥哥用3秒，跑了15米，则哥哥的速度为：
（米/秒），
故答案为：l1，5；
【分析】（1）观察图像结合题意判断即可；根据速度=路程
时间，即可求出哥哥的速度；
（2）求出小明的速度，再列方程解答即可；
（3）列方程解答即可。
25．在初中阶段的函数学习中，我们知道由含有未知数 和 的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数；同时知道任何一个以 为未知数的一元一次不等式都可以变形为 或 的形式，因此我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解或不等式的解集.
（1）在给出的平面直角坐标系中，直接画出函数 的图象；
（2）如图，直线 与 相交于点 ，根据图象直接写出关于 的方程 的解；
（3）根据图象直接写出不等式 的解集.
【答案】（1）∵ ，
∴ (0，2)和(2，0)两点在 上；
∴如图所示（图中下降趋势直线为画图答案）
（2）∵ 与 相交于(-1，m)，
∴ 的解为： ；
（3）观察图象，当 的图象在 的下方时，
∴ ，
即： .
【解析】【分析】（1）利用两点法画出直线即可；
（2） 直线 与 交点的横坐标即为关于 的方程 的解；
（3）观察图象可知当x＜-1时，直线 的图象在 的下方时，据此即得结论.
26．在创建文明城区的活动中，有两条长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y（米）与施工时间x（时）之间的关系的部分图像，请解答下列问题．
（1）甲队在的时段内的速度是 米/时，乙队在的时段内的速度是 米/时；6小时甲队铺设彩色道砖的长度是　米；乙队铺设彩色道砖的长度是＿米．
（2）如果铺设的彩色道砖的总长度为150米，开始6小时后，甲队、乙队均增加人手，提高了工作效率，此后乙队平均每小时比甲队多铺2米，结果两队同时完成铺设任务，求提高工作效率后甲队、乙队每小时铺设的长度分别为多少米？
【答案】（1）10，5，60，50
（2）甲队每小时铺设的长度为18米、乙队每小时铺设的长度为20米
27．如图，长方形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上.
（1）如图（1），当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时，求AF的长；
（2）如图（2），当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时，求HF的长.
【答案】（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴BF=EF，
∵AB=8，
∴EF=8-AF，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
即42+AF2=(8-AF)2，
解得AF=3；
（2）解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴∠BGF=∠EGF，
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，
∴∠BGF=∠EFG，
∴∠EGF=∠EFG，
∴EF=EG；
∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴EG=BG=10，HE=AB=8，FH=AF，
∴EF=EG=10，
在Rt△EFH中，FH= ，
∴FH=6.
【解析】【分析】（1）根据翻折的性质可得BF=EF，然后用AF表示出EF，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）根据翻折的性质可得∠BGF=∠EGF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BGF=∠EFG，从而得到∠EGF=∠EFG，再根据等角对等边证明EF=EG；再根据翻折的性质可得EG=BG，HE=AB，FH=AF，然后在Rt△EFH中，利用勾股定理列式计算即可得解.
28．如图，在平行四边形中，过点作于，点在边上，，连接、.
（1）求证：四边形是矩形.
（2）若平分，且，，求的长.
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴.
∵，，
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥DC，由已知条件可知DF=BE，推出三角形BFDE为平行四边形，然后结合DE⊥AB以及矩形的判定定理进行证明；
（2）由平行线的性质可得∠BAF=∠DFA，根据角平分线的概念可得∠BAF=∠DAF，推出AD=DF=5，然后利用勾股定理计算即可.
29．如图，双曲线y1＝（k为常数，且k≠0）与直线y2＝﹣x+b交于点A（﹣2，a）和B（3c，2﹣c）.
（1）求k，b的值；
（2）求直线与x轴的交点坐标.
【答案】（1）解：∵点B（3c，2﹣c）在直线y2＝﹣x+b的图象上，
∴，
解得：，
∴直线解析式为y2＝﹣x+2，
∵点A（﹣2，a）在直线y2＝﹣x+2的图象上，
∴，
∴点A坐标为（-2，），
∵点A（-2，）在y1＝图象上，
∴，
解得：.
（2）解：∵直线解析式为y2＝﹣x+2，
∴当y2=0时，x=6，
∴直线与x轴的交点坐标为（6，0）.
【解析】【分析】（1）将B（3c，2-c）代入y2＝-x+b中可得b的值，进而可得直线y2的解析式，将A（-2，a）代入y2中可得a的值，进而可得点A的坐标，然后代入y1＝中就可求出k的值；
（2）令直线y2解析式中的y=0，求出x的值，进而可得与x轴的交点坐标.
30．体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机抽取 名女生进行每人 次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示．
（1）求女生进球数的平均数、众数；
（2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有女生480人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？
【答案】（1）解：女生进球数的平均数： ，
女生进球数的众数：进球3个的人数最多，则女生进球的总数为3；
（2）解：优秀率： （人），
答：全校有女生480人，估计为“优秀”等级的女生约为240人.
【解析】【分析】（1）根据平均数、众数的定义进行计算即可；
（2）先算出样本的优秀率，再估计总体的优秀人数。
31．丰县为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【答案】（1）天
（2）元
32．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠EAF＝∠EDB，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（ASA），
∴AF＝BD，
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，
∴AD＝BD＝DC＝BC，
∴AD＝AF；
（2）解：四边形ADCF是正方形．
∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵AD＝AF，
∴四边形ADCF是正方形．
【解析】【分析】（1）先利用“ASA”证明△AEF≌△DEB可得AF=BD，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得AD＝BD＝DC＝BC，即可得到AD=AF；
（2）先证明四边形ADCF是平行四边形，再结合AD⊥BC，AD＝AF，即可证明四边形ADCF是正方形。
33．高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，“五一”期间，乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1小时后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车站，然后再转车出租车取游乐园（换车时间忽略不计），两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y（千米）与乘车时间t（小时）的关系如图所示．
请结合图象解决下面问题：
（1）高铁的平均速度是每小时多少千米？
（2）当颖颖达到杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？
（3）若乐乐要提前18分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小时？
【答案】（1）解：v==240．
答：高铁的平均速度是每小时240千米
（2）解：设y=kt+b，当t=1时，y=0，当t=2时，y=240，
得：，
解得：，
故把t=1.5代入y=240t﹣240，得y=120，
设y=at，当t=1.5，y=120，得k=80，
∴y=80t，
当t=2，y=160，216﹣160=56（千米），
∴乐乐距离游乐园还有56千米
（3）解：把y=216代入y=80t，得t=2.7，
2.7﹣=2.4（小时），=90（千米/时）．
∴乐乐要提前18分钟到达游乐园，私家车的速度必须达到90千米/小时．
【解析】【分析】（1）由图象可知高铁1小时行驶240千米，利用速度=路程÷时间即可求解；
（2）先分别求出两函数解析式，再求出2小时乐乐行驶的距离，继而求出乐乐距离游乐园的路程；
（3）把y=216代入y=80t， 求出t值，再减去18分钟可得私家车行驶的时间，再利用速度=路程÷时间求解即可.
34．元旦节前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将玫瑰每枝降价2元促销，降价后80元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的1.25倍．
（1）试问：降价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不多于1000元的资金再次购进两种鲜花共180枝，康乃馨进价为6元/枝，玫瑰的进价是5元/枝．试问；至少需要购进多少枝玫瑰？
【答案】（1）解：设降价后每枝玫瑰的售价是 元，
依题意有： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
则降价后每枝玫瑰的售价是8元
（2）解：设购进玫瑰 枝，
依题意有： ，
解得： ，
∴至少购进玫瑰80枝.
【解析】【分析】（1）根据降价后80元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的1.25倍，列方程求解即可；
（2）根据店主用不多于1000元的资金再次购进两种鲜花共180枝，列不等式求解即可。
35．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，点E是BC延长线上一点，连接DE，DEAC，DE⊥BD，点D到BE的距离为d．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求d．
【答案】（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∵DE AC，DE⊥BD，
∴ AC ⊥BD，
∴四边形 ABCD 是菱形
（2）解：如图，过点D 作DF⊥BE ，垂足为点 F ．
由（1）知 ，
在Rt△AOB 中 ．
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ BC =CD = AB = AD =5 ，BD =2OB =8 ，AD CE．
∵ DE /AC，
∴四边形 ACED 是平行四边形，
∴ CE = AD = 5 ，DE= AC = 6 ，
∴
【解析】【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AC⊥BD，即可得到结论；
（2）先利用勾股定理求出OB的长，再利用平行四边形的面积公式求出d的值即可。
36．如图，已知点A，C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）直接写出图中所有相等的线段(AE＝CF除外)．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，DE∥BF，
∴∠E＝∠F，∠DAC＝∠BCA，∴∠DAE＝∠BCF.
在△ADE和△CBF中， ，
∴△ADE≌△CBF，∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）解：AD＝BC，EC＝AF，ED＝BF，AB＝DC.
理由如下：
∵△ADE≌△CBF，∴AD＝BC，ED＝BF.
∵AE＝CF，∴EC＝AF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.
【解析】【分析】（1）先求出 ∠DAE＝∠BCF，再利用ASA证明△ADE≌△CBF， 最后证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出 AD＝BC，ED＝BF，再求出EC＝AF，最后求解即可。
37．清明节小明和小龙俩去英雄纪念馆．小明家、小龙家与英雄纪念馆的相对位置如图所示，小明和小龙家相距2千米．小明和小龙同时从各自家中出发，小明开始跑步40分钟，速度是13.5千米/小时，再匀速步行到纪念馆，小龙始终匀速步行到纪念馆，结果两人同时到达纪念馆．设小明运动的时间为x，小明运动的路程为y，小龙运动的路程与时间x之间的函数图象如图所示．
根据所提供的信息，回答下列问题：
（1）小龙步行的速度是　 　千米/小时：
（2）求小明运动路程y（千米）与运动时间x（小时）之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出函数图象．
【答案】（1）7
（2）解：小明跑了40分钟（小时），路程（千米）
当时，设y与x的函数是经过点的正比例函数，
将代入，解得：，
∴
因为两人同时到达纪念馆，所以小明也是用了3小时到距家23千米的纪念馆．
∴当时，设y与x的函数是经过点与的一次函数
将点与代入得：
解得，
∴．
综上可知，小明运动路程y（千米）与运动时间x（小时）之间的函数关系式为：
图象如下：
【解析】【解答】（1）小龙步行的速度是（千米/小时），
故答案为：7；
【分析】（1）利用函数图象中的数据，再利用速度=路程÷时间求解即可；
（2）利用待定系数法求出函数解析式，最后作出函数图象即可。
38．甲、乙两人同去某加油站加同种汽油，甲用300元所加的油量比乙用375元所加的油量少10升．
（1）求当天加油站的油价；
（2）当天加油站在其汽油进价的基础上提高25％进行定价，若加油站的经营成本为y元（包含运输成本、水电费用、人员费用等，不包含汽油的进价），销售量为x升，且，要使加油站当天的利润不低于1875元，则加油站当天至少售出多少升汽油？（总成本＝进价＋经营成本）
【答案】（1）解：设当天加油站的油价为元/升，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：当天加油站的油价为元/升．
（2）解：根据题意，进价为：元/升，
由，根据题意得，
解得
答：加油站当天至少售出升汽油．
【解析】【分析】 (1)设当天加油站的油价为元/升， 根据 甲用300元所加的油量比乙用375元所加的油量少10升． 列分式方程求解即可得到.
(2)根据要使加油站当天的利润不低于1875元， 列出不等式即可解得。
39．为了促进学校阳光体育运动的发展，推进素质教育，增强学生体质，丰富校园文化，某校举行以“绳”强身健体为主题的一分钟跳绳比赛，每班选出20名同学参赛，以下是甲、乙两班同学的比赛成绩（单位：次）：
甲班：168，175，180，185，172，189，185，182，185，174，192，180，185，178，173，185，169，187，176，180.
乙班：186，180，189，183，176，173，178，167，180，175，178，182，180，179，185，180，184，182，180，183.
整理数据：
次数班别 165.5~170.5 170.5~175.5 175.5~180.5 180.5~185.5 185.5~190.5 190.5~195.5
甲班 2 4 5 6 2 1
乙班 1 2 a b 2 0
分析数据：
班别 平均数 众数 中位数 方差
甲班 180 　 180 43.1
乙班 180 　 　 22.6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）“整理数据”表格中　 　，　 　；
（2）请完成“分析数据”表格中的空缺数据；
（3）结合上述数据信息，请判断哪个班的成绩比较好，并说明理由.
【答案】（1）9；6
（2）解：甲班众数：185乙班众数：180
乙班中位数：180
（3）解：根据以上统计数据信息，从平均数和中位数看，甲、乙两班的平均数和中位数成绩相等，两班成绩一样好；从众数看，甲班众数比乙班众数高，说明甲班成绩好；从方差看，甲班方差比乙班大，所以乙班成绩比较稳定。
【解析】【解答】解：(1)乙班同学的比赛成绩在175.5~180.5范围的有
180，176，178，180，178，180，179，180，180，
共9人，故，
故答案为：9；
乙班同学的比赛成绩在180.5~185.5范围的有
183，182，185，184，182，183，
共6人，故，
故答案为：6.
【分析】(1)从乙班原始数据中找到符合范围的比赛成绩，总计人数即可.
(2)一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；
将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间的两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数.
(3)中位数表示学生的中等水平成绩，方差表示学生成绩的稳定性.
40．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线经过点，，与直线交于点E．
（1）求直线的函数关系式；
（2）连接，求的面积；
（3）设点Q的坐标为，求m的值使得值最小．
【答案】（1）解：设直线解析式为，
把点，代入得：，
解得：，
则直线解析式为
（2）解：对于直线，
令，得到；令，得到，即，，
∴，，
∴，
联立得：，
解得：，即，
∴，
则
（3）解：作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最小，
可得，
设直线解析式为，
把与E坐标代入得：，
解得：，即直线解析式为，
把代入得：，
解得：．
【解析】【分析】（1） 设直线解析式为，已知C.D点坐标，利用待定系数法即可求出答案。
（2）根据直线直线与坐标轴交点的坐标特征可求出A，B点坐标，可得OA=OB=2，利用三角形面积即可求出答案。
（3） 作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最小， 由图像可得A'点坐标，设直线解析式为，已知A'，E点坐标，根据待定系数法可求出直线方程，将代入直线方程即可求出答案。
41．用函数观点看不等式，如何解不等式？
分析：我们可以把不等号的左边看作正比例函数，右边看作反比例函数，那么这个不等式的解集就是直线在直线下方的所有点的横坐标的取值范围．
解：当时，解得，，可知函数与函数的公共点的坐标为和．
如图，直线在直线下方的所有点，就是直线在点的下方和直线在点和点之间的部分，横坐标的取值范围是或，所以不等式的解集为或．
（1）模仿上述方法，解不等式：；
（2）填空：如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是______．
【答案】（1）解：联立，
解得或，由函数图象可知，
当函数的函数图象在函数的图象下方或二者的交点处时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或；
（2）
【解析】【解答】（2）解：当时，函数的图象经过第一、三象限，函数的图象也经过第一、三象限，此时不可能满足关于的不等式的解集为；
当，即时，则关于的不等式即为，此时符合题意；
当时，函数的图象经过第一、三象限，函数的图象经过第二、四象限，此时能满足关于的不等式的解集为；
当时，则关于的不等式即为，此时符合题意；
当时，函数的图象经过第二、四象限，函数的图象也经过第二、四象限，此时不可能满足关于的不等式的解集为；
综上所述，．
故答案为：.
【分析】（1）先联立方程组求出交点坐标，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（2）分类讨论，结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
（1）解：联立，解得或，
由函数图象可知，当函数的函数图象在函数的图象下方或二者的交点处时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或；
（2）解：当时，函数的图象经过第一、三象限，函数的图象也经过第一、三象限，此时不可能满足关于的不等式的解集为；
当，即时，则关于的不等式即为，此时符合题意；
当时，函数的图象经过第一、三象限，函数的图象经过第二、四象限，此时能满足关于的不等式的解集为；
当时，则关于的不等式即为，此时符合题意；
当时，函数的图象经过第二、四象限，函数的图象也经过第二、四象限，此时不可能满足关于的不等式的解集为；
综上所述，．
42．如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF= AB．
（1）求证：EF⊥AG；
（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？
（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB=S△OAB，求△PAB周长的最小值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，
∵点E、G分别是边AD、BC的中点，AF= AB．
∴ = ， = ，
∴ ，
∴△AEF∽△BAG，
∴∠AEF=∠BAG，
∵∠BAG+∠EAO=90°，
∴∠AEF+∠EAO=90°，
∴∠AOE=90°，
∴EF⊥AG；
（2）解：成立；理由如下：
根据题意得： = ，
∵ = ，
∴ ，
又∵∠EAF=∠ABG，
∴△AEF∽△BAG，
∴∠AEF=∠BAG，
∵∠BAG+∠EAO=90°，
∴∠AEF+∠EAO=90°，
∴∠AOE=90°，
∴EF⊥AG
（3）解：过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，如图所示：
则MN⊥AD，MN=AB=4，∵P是正方形ABCD内一点，当S△PAB=S△OAB，∴点P在线段MN上，当P为MN的中点时，△PAB的周长最小，此时PA=PB，PM= MN=2，连接EG、PA、PB，则EG∥AB，EG=AB=4，∴△AOF∽△GOE，∴ = ，∵MN∥AB，∴ = ，∴AM= AE= ×2= ，由勾股定理得：PA= = ，∴△PAB周长的最小值=2PA+AB= +4．
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，证出 ，得出△AEF∽△BAG，由相似三角形的性质得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理证出∠AOE=90°即可；（2）证明△AEF∽△BAG，得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论；（3）过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，则MN⊥AD，MN=AB=4，由三角形面积关系得出点P在线段MN上，当P为MN的中点时，△PAB的周长最小，此时PA=PB，PM= MN=2，连接EG，则EG∥AB，EG=AB=4，证明△AOF∽△GOE，得出 = ，证出 = ，得出AM= AE= ，由勾股定理求出PA，即可得出答案．
43．已知函数 均为一次函数，m为常数.
（1）如图1，将直线 绕点 逆时针旋转45°得到直线 ，直线 交y轴于点B.若直线 恰好是 中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得 成立，求函数 图象间的距离；
（3）当 时，函数 图象分别交x轴，y轴于C，E两点， 图象交x轴于D点，将函数 的图象最低点F向上平移 个单位后刚好落在一次函数 图象上，设 的图象，线段 ，线段 围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围.（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01.）
【答案】（1）解：由题意可得点B坐标为（0，1），
设直线 的表达式为y=kx+1，将点A（-1，0）代入得：k=1，
所以直线 的表达式为：y=x+1，
若直线 恰好是 的图象，则2m-1=1，解得：m=1，
若直线 恰好是 的图象，则2m+1=1，解得：m=0，
综上， ， 或者
（2）解：如图，
，
，
，
设 与x轴、y轴交于T，P， 分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH
，
四边形GPTH是正方形
， ，即
；
（3）解： ，
分别交x轴，y轴于C，E两点
，
图象交x轴于D点
二次函数 开口向上，它的图象最低点在顶点
顶点
抛物线顶点F向上平移 ，刚好在一次函数 图象上
且
，
∴ ，
由 ， 得到 ， ，
由 得到与x轴，y轴交点是 ， ， ，
抛物线经过 ， 两点
的图象，线段OD，线段OE围成的图形是封闭图形，则S即为该封闭图形的面积
探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积.
探究过程：
①观察大于S的情况.
很容易发现
，
，
（若有S小于其他值情况，只要合理，参照赋分.）
②观察小于S的情况.
选取小于S的几个特殊值来估计更精确的S的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下三种特殊位置：
位置一：如图
当直线MN与DE平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN与x，y轴分别交于M，N
，
直线
设直线
，
直线
点
，
位置二：如图
当直线DR与抛物线有唯一交点时，直线DR与y轴交于点R
设直线 ，
直线
，
直线
点
，
位置三：如图
当直线EQ与抛物线有唯一交点时，直线EQ与x轴交于点Q
设直线
，
直线
点
，
我们发现：在曲线DE两端位置时的三角形的面积远离S的值，由此估计在曲线DE靠近中间部分时取值越接近S的值
探究的结论：按上述方法可得一个取值范围
【解析】【分析】（1）由题意，可得点B坐标，进而求得直线 的解析式，再分情况讨论即可解的m值；
（2）由非负性解得m和b的值，进而得到两个函数解析式，设 与x轴、y轴交于T，P， 分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH，证得四边形GPTH是正方形，求出GP即为距离；
（3）先根据解析式，用m表示出点C、E、D的坐标以及y关于x的表达式为 ，得知y是关于x的二次函数且开口向上、最低点为其顶点 ，根据坐标平移规则，得到关于m的方程，解出m值，即可得知点D 、E的坐标且抛物线过D、E点，观察图象，即可得出S的大体范围，如： ，较小的可为平行于DE且与抛物线相切时围成的图形面积.
44．在平面直角坐标系xOy中，直线L：y=kx+2k(k>0)与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数 (x>0)的图象的交点P位于第一象限．
（1）若点P的坐标为(1，6)，
①求m的值及点A的坐标；
② = ▲ ；
（2）直线h：y=2kx-2与y轴交于点C，与直线L1交于点Q，若点P的横坐标为1，
①写出点P的坐标(用含k的式子表示)；
②当PQ≤PA时，求m的取值范围．
【答案】（1）解：①令y＝0，则kx＋2k＝0，
∵k＞0，解得x＝ 2，
∴点A的坐标为（ 2，0），
∵点P的坐标为（1，6），
∴m＝1×6＝6；
（2）解：①把x＝1代入y＝kx＋2k得y＝3k，
∴P（1，3k）；
②由题意得，kx＋2k＝2kx 2，
解得x＝2＋ ，
∴点Q的横坐标为2＋ ，
∵2＋ ＞1（k＞0），
∴点Q在点P的右侧，
如图，分别过点P、Q作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，则点M、点N的横坐标为1，2＋ ，
若PQ＝PA，则 ＝1，
∴ ＝ ＝1，
∴MN＝MA，
∴2＋ 1＝3，解得k＝1，
∵MA＝3，
∴当 ＝ ≤1时，k≥1，
∴m＝3k≥3，
∴当PQ≤PA时，m≥3
【解析】【解答】（1）②∵直线l1：y＝kx＋2k（k＞0）函数 （x＞0）的图象的交点P，且P（1，6），
∴6＝k＋2k，解得k＝2，
∴y＝2x＋4，
令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
∵点A的坐标为（ 2，0），
∴PA＝ ，PB＝ ，
∴ = ，
故答案为 ；
【分析】（1）①把P（1，6）代入函数即可求出m的值，直线 L：y=kx+2k 中，令y=0，即可求得x的值，从而求得A的坐标；②把P的坐标代入L：y=kx+2k 即可求得k的值，进而求得B的坐标，然后根据勾股定理求得PB和PA，即可求得的值；
（2）①把x=1代入L：y=kx+2k ，求得y=3k，即可求得p（1，3k）；②分别过点P、Q作PM⊥x轴于点M，ON⊥x轴于N，则点M、N的横坐标分别为1，2＋ ，若PQ=PA，则 ＝1 ，根据平行线分线段成比例得到 ＝ ＝1， ，得出MN=MA=3，即可得到 2＋ 1＝3，解得k＝1， 根据题意即可得到 当 ＝ ≤1时，k≥1， 则 m＝3k≥3。
45．在正方形 中， ， ， 是 边上一点，连接 ，过点 ， 作 ， ，垂足分别为 ， ，如图1．
（1）请探究 ， ， 这三条线段有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）若点 在 的延长线上，如图2，那么这三条线段的数量关系是　 　（直接写结果）
（3）若点 在 的延长线上，如图3，那么这三条线段的数量关系是　 　（直接写结果）
【答案】（1）解： ．理由如下：
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵在 和 中，
∴△ABE≌△DAF(AAS)，
∴ ， ，
∴ ．
（2）DF=BE+EF
（3）EF=DF+BE
【解析】【解答】解：（2）如图2，和（1）同理可得△ABE≌△DAF，
∴BE=AF，AE=DF，
又∵AF=AE-EF，
∴BE=DF-EF；
（ 3 ）如图3，和（1）同理可证得△ABE≌△DAF，
∴BE=AF，AE=DF，
又∵AF=EF-AE，
∴BE=EF-DF.
【分析】（1） ．理由如下： 根据同角的余角相等得出 ，然后利用AAS判断出 △ABE≌△DAF ，根据全等三角形的对应边相等得出 ， ，然后根据线段的和差及等量代换即可得出结论；
（2）BE=DF-EF；理由如下：和（1）同理可得△ABE≌△DAF，根据全等三角形的对应边相等得出 ， ，然后根据线段的和差由AF=AE-EF，再等量代换即可得出结论；
（3）BE=EF-DF.理由如下：如图3，和（1）同理可证得△ABE≌△DAF，根据全等三角形的对应边相等得出 ， ，然后根据线段的和差由AF=EF-AE，再等量代换即可得出结论。
46．如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）如图1，S△DCP＝　 　．（用t的代数式表示）
（2）如图1，当t＝3时，试说明：△ABP≌△DCP．
（3）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）48﹣8t
（2）解：当t＝3时，BP＝2×3＝6，
∴PC＝12﹣6＝6，
∴BP＝PC，
在△ABP与△DCP中
，
∴△ABP≌△DCP（SAS）．
（3）解：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB＝8，
∴PC＝8，
∴BP＝12﹣8＝4，
∴2t＝4，解得：t＝2，
∴CQ＝BP＝4，v×2＝4，解得：v＝2；
②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，
∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝6，
∴2t＝6，解得：t＝3，
CQ＝AB＝8，v×3＝8，解得： ，
综上所述，当v＝2或 时，△ABP与△PQC全等．
【解析】【解答】解：（1）S△DCP＝ PC CD＝ （12﹣2t） 8＝48﹣8t．
故答案为48﹣8t．
【分析】（1）利用三角形的面积公式计算即可．（2）根据全等三角形的判定即可解答；（3）此题主要分两种情况①△ABP≌△PCQ得到BP＝CQ，AB＝PC，②△ABP≌△QCP得到BA＝CQ，PB＝PC，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．
47．如图1，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 )两点与x轴，y轴分别交于A、B(0，2)两点，如果 的面积为6.
（1）求点A的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式；
（3）如图2，连接DO并延长交反比例函数的图象于点E，连接CE，求点E的坐标和 的面积
【答案】（1）解：如图1，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为6，
∴ ，
∵ ，
∴OA＝4，
∴A(﹣4，0)；
（2）解：如图1，把 代入 得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ，
把 代入得， ，
∴ ，
∵点C在反比例函数 的图象上，
∴m＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为 ；
（3）解：如图2，作 轴于F， 轴于H，
解 ，得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝
【解析】【分析】（1）由三角形面积求出OA=4，即可求得A（-4，0）；
（2）利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，进而求得C点的坐标，把C点的坐标代入 ，求出m的值，得到反比例函数的解析式；
（3）先联立两函数解析式得出D点坐标，根据中心对称求得E点的坐标，然后根据三角形的面积公式计算△CED的面积即可.
48．在平面直角坐标系中，P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴，y轴的垂线，如果由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点P是平面直角坐标系中的“奇点”.例如：如图①，过点P（4，4）分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的周长为16，面积也为16，周长与面积相等，所以点P是奇点.请根据以上材料回答下列问题：
（1）已知点C（2，2）、D（－4，－4）、E（ ，－5），其中是平面直角坐标系中的奇点的有　 　；（填字母代号）
（2）我们可以从函数的角度研究奇点.已知点P（x，y）是第一象限内的奇点.
I.求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
II.借鉴研究一次函数和反比例函数的经验，类似地可以对I中所求出的函数的图象和性质进行探索，下列结论正确的是 ▲ （填写所有正确的序号）；
①图像与坐标轴没有交点
②在第一象限内，y随着x的增大而减小
③对于图像上任意一点（x，y），（x－2）·（y－2）是一个定值
（3）在第一象限内，直线y＝kx＋8（k为常数）上奇点的个数随着k的值变化而变化，直接写出奇点的个数及对应的k的取值范围.
【答案】（1）D、E
（2）解：I.根据题意得，2（x+y）=xy，
∴y＝ ，
∵x=2≠0，
∴x≠2，
∵第一象限内的点的横坐标为正，
∴x＞0，
故自变量的取值范围为：x＞0，且x≠2；①②③；
（3）解：由（2）可知，若奇点P（x，y）在第一象限，则y= +2，且x＞2，
作出y= +2的函数图象（y= 向右平移2个单位，向上平移2个单位得到），
∴直线y=kx+8上有奇点，即为函数y= +2与y=kx+8的交点，
∴直线y=kx+8上的奇点的个数，即为y= +2与y=kx+8的交点个数，
∵直线k=kx+8经过（0，8），
∴直线y=kx+8可以看作一条经过（0，8）并可绕（0，8）任意旋转的直线，
特别地：当k＜0且只有一个交点时，方程 +2=kx+8有唯一解，此时k=-1，
∴通过旋转可知：当k＜-1时，奇点的个数为0.
当k≥0或k=-1时，交点的个数为1个，
当-1＜k＜0时，交点的个数为2个.
【解析】【解答】解：（1）过点C（2，2），分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OACB的周长为8，面积也为4，周长与面积不相等，所有点C不是奇点，
过点D（-4，-4）分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OADB的周长为16，面积也为16，周长与面积相等，所有点D是奇点，
过点E（ ，-5）分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAEB的周长为 ，面积也为 ，周长与面积相等，所有点E是奇点，
故答案为：D，E；
（ 2 ）II.①∵点P（x，y）是第一象限内的奇点，
∴x＞0，y＞0，
∴图象与坐标轴没有交点，
故①正确；
②∵y＝ = ，
∴可设z= （x＞0，且x≠2），m=1+z（z＜0，m＞0），y= （m＞0），
∴z随x的增大而增大，m随z的增大而增大，y随m的增大而减小，
∴在第一象限内，y随着x的增大而减小，
故②正确；
③∵（x-2） （y-2）=（x-2） （ -2）=（x-2） =4，
∴对于图象上任意一点（x，y），（x-2） （y-2）是一个定值，
故③正确；
故答案为：①②③；
【分析】（1）根据新定义进行判断便可；（2）I.根据奇点定义，由面积与周长相等列出x与y的方程，变形为y关于x的函数解析式，根据第一象限内的点的横坐标为正数及函数解析式有意义，得出x的取值范围；II.①根据奇点的定义判断即可.②由y＝ ，可设z= （x＞0，且x≠2），m=1+z（z＜0，m＞0），y= （m＞0），推出z随x的增大而增大，m随z的增大而增大，y随m的增大而减小.③由（x-2） （y-2）=（x-2） （ -2）=（x-2） =4可得结论.（3）由（2）可知，若奇点P（x，y）在第一象限，则y= +2，且x＞2，作出y= +2的函数图象（y= 向右平移2个单位，向上平移2个单位得到），利用图象法解决问题即可.
49．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．
【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形
（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，
由（1）知：AM＝CN，
∴DM＝BN，
∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形ANCM为菱形，
∴AM＝AN＝NC＝AD DM，
∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2＋BN2，
∴（4 DM）2＝22＋DM2，
解得：DM＝
【解析】
【解答】(1)证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形
(2)解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，
由（1）知：AM＝CN，
∴DM＝BN，
∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形ANCM为菱形，
∴AM＝AN＝NC＝AD DM，
∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2＋BN2，
∴（4 DM）2＝22＋DM2，
解得：DM＝
【分析】（1）证明 四边形为平行四边形的方法有很多，本题需要结合条件选择合适的方式，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（2）结合（1）和题目条件MN⊥AC，可得四边形ANCM为菱形；之后建立关于DM的方程式即可
50．如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线相交于点，分别交坐标轴于点A，B，C，D．
（1）求直线的解析表达式；
（2）如图，点P是直线上的一个动点，当的面积为20时，求点P的坐标；
（3）直线上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
【答案】（1）解：将点M的坐标代入并解得：，
故点，
将点M的坐标代入，得，
解得：，
∴；
∴直线的表达式为：；
（2）解：由（1）得直线的表达式为：，
则点，
∴的面积
，
解得：或，
故点或；
（3）或或
【解析】【解答】解： （3）设点F的坐标为 ，点 ，
由（1）知，点B、D的坐标分别为 ，则 ，
当 是边时，如图，
当点F在点N的上方时，则 ，即 ，
解得 ，
则点F的坐标为 或 ．
∵点D在点B的正下方5个单位，
∴点N在点F的正下方5个单位，
∴点 或 ；
当 是对角线时，如图，
∵ 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴点N的坐标为 ．
综上，点N的坐标为 或 或 ．
【分析】（1）先将点M代入即可得到a，进而得到M的坐标，从而结合题意即可求解；
（2）先根据一次函数的性质即可得到点D的坐标，进而运用三角形的面积公式结合的面积即可得到或，从而即可求解；
（3）设点F的坐标为 ，点 ，由（1）知，点B、D的坐标分别为 ，则 ，进而分类讨论：当 是边时，当 是对角线时，再运用菱形的性质结合题意即可求解。
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