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苏科版2024—2025学年八年级下册期末模拟押题通关卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．把分式（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．缩小为原来的 D．不改变
3．如图，正方形的边长为8，为边上一点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．用反证法证明“中，若，则”，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，连结AB、AD、CD，则四边形ABCD是平行四边形．其依据是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
7．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α（0°＜α＜180°），得到△AED，若AC＝1，CE＝ ，则α的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积，这个公式称为海伦–秦九韶公式．在△ABC中，，，，则△ABC的面积是（ ）．
A． B．12 C．24 D．
10．若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知、为实数，且，则 ．
12．如图，中，，，平分，，为的中点，则的长为 ．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ， ， ，垂足为点E，则 ．
14．已知一次函数与反比例函数相交于点，，不等式的解集是 ．
15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且∠B＋∠C＝90°，分别以AB、AD、DC为边向形外作正方形ABEF、正方形ADHG、正方形DCJI，且其面积依次记为S1、S2、S3，若S1＋S3＝4S2，则 ＝ ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（﹣3，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，．
18．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点C，连接，点D为x轴上一点，，连接、．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求的面积．
19．如图，是的中点．
（1）求证：；
（2）连接，在不添加辅助线的情况下，请直接写出与面积相等的所有三角形．
20．如图，在中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，连接DE，求DE的长．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．
（1）求证：AE垂直平分CD；
（2）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．
22．已知蓄电池的电压为定值.使用此蓄电池作为电源时，电流 （单位： ）与电阻 （单位： ）是反比例函数关系，它的图像如图所示.
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过 ，那么该用电器的可变电阻至少是多少？
23．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上的一动点（不与点C，D重合），连接AE，将△ADE沿着AE翻折得到△AEF，延长EF交BC于点G，连接AG，过点E作EH⊥AE交AG的延长线于点H，连接CH.
（1）求∠EAH的度数；
（2）求证：CH＝ DE.
24．如图，分别以Rt的直角边以及斜边向外作等边，等边，已知，垂足为，连接.
（1）求证：；
（2）四边形是平行四边形吗 请说明理由.
25．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝1，连接CF．
（1）当点G在边DC上运动时；探究：点F到边DC的距离FM是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）当DG为何值时，△FCG的面积最小，并求出这个最小值．
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苏科版2024—2025学年八年级下册期末模拟押题通关卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：要使代数式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：D．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）和二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式组求解即可.
2．把分式（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．缩小为原来的 D．不改变
【答案】D
【解析】【解答】解：，分式的值不改变，
故答案为：D．
【分析】 分母的x、y同时扩大为原来的2倍 ，根据分式的基本性质约分化简即可解得。
3．如图，正方形的边长为8，为边上一点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为8，
∴AB=AD=CD=8，∠A=∠D=90°.
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】由正方形的性质可得AB=AD=CD=8，∠A=∠D=90°.在△ABE中利用勾股定理可求得AE长，继而的ED长，再在△DEC中利用勾股定理，即可求得EC的长.
4．小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点A作，
∴，
矩形中，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴．
故选：C
【分析】
过点A作，可得，从而得到，再由，可得，即可求解．
5．用反证法证明“中，若，则”，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A=60°，∠A＜60°三种情况，
因而∠A＞60°的反面是∠A≤60°.
因此用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°.
故答案为：D.
【分析】用反证法证明的第一步应为假设结论不成立，故只需找出∠A>60°的反面即可.
6．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，连结AB、AD、CD，则四边形ABCD是平行四边形．其依据是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】A
【解析】【解答】由题意，以BC、AB为半径画弧，故AD=BC，CD=AB，故其为平行四边形的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
故答案为：A.
【分析】根据作图的方法直接判断能够得到的线段长，以此判断依据.
7．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用正数的算术平方根是正数，可对A，D作出判断；利用二次根式的性质可对B、C作出判断.
8．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α（0°＜α＜180°），得到△AED，若AC＝1，CE＝ ，则α的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可得AE＝AC＝1，∠CAE=α，
∵AE2+AC2＝12+12＝2＝（ ）2＝CE2，
∴△AEC为直角三角形，∠CAE＝90°，
∴旋转角α的度数为90°，
故答案为：D．
【分析】根据旋转的性质，由勾股定理的逆定理，证明得到△AEC为直角三角形，即可得到旋转角的度数。
9．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积，这个公式称为海伦–秦九韶公式．在△ABC中，，，，则△ABC的面积是（ ）．
A． B．12 C．24 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】直接代入公式计算即可．
10．若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】【解答】根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
【分析】令点A为（-0.5，4），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知、为实数，且，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
，
，
.
故答案为：-1.
【分析】根据二次根式和平方数的非负性，可得，进而解得x、y的值，即可计算出x-y的值.
12．如图，中，，，平分，，为的中点，则的长为 ．
【答案】2
【解析】【解答】 解：延长CD，交AB于点G，如图：
、
∵平分，
∴∠GAD=∠CAD
∵，
∴∠ADG=∠ADC=90°，
在△ADG和△ADC中，
∴△ADG≌△ADC（ASA）.
∴DG=DC，AG=AC=6.
∵AB=10，∴BG=4.
∵为的中点，DG=DC，
∴DE是△BCG的中位线，
∴.
故答案为：2
【分析】延长CD与AB交于点G，证明△ADG≌△ADC得到DG=DC，AG=AC=6.计算出BG的长度，再证明DE是△BCG的中位线，利用中位线定理即可得到结论.
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ， ， ，垂足为点E，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，
∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，
∴BC＝13，
∴ ，
∴ ×24×10＝13×DE，
解得：DE＝ ，
故答案为： ．
【分析】本题要注意利用菱形的对角线相互垂直平分，再结合勾股定理即可求DE的长
14．已知一次函数与反比例函数相交于点，，不等式的解集是 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：根据“ 一次函数与反比例函数相交于点，”，画出草图如图：
∵不等式 ，可化为，
∴不等式的要求是反比例函数图象在下，而一次函数的图象在上，对照图象，可知（1）AB之间满足要求，
∴不等式的解析为；
（2）时，也满足要求.
故答案为：或.
【分析】根据“ 一次函数与反比例函数相交于点，”，画出草图，利用数形结合思想求解，不要忽视的情况，因为反比例函数中有限制，但不等式没有这个限制.
15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且∠B＋∠C＝90°，分别以AB、AD、DC为边向形外作正方形ABEF、正方形ADHG、正方形DCJI，且其面积依次记为S1、S2、S3，若S1＋S3＝4S2，则 ＝ ．
【答案】3
【解析】【解答】解：如图，过点A作AQ∥CD，并交BC于点Q，
∴∠AQB=∠QCD，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCQ为平行四边形，
∴AD=QC，AQ=DC，∠BCD=∠AEB，
∵∠ABC+∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠QCD=90°，
∴∠BAQ=90°，
∴AB2+AQ2=BQ2，即AB2+DC2=BQ2，
∴S1+S3=BQ2，
又∵S1＋S3＝4S2，
∴4S2=BQ2=4AD2，
∴BQ=2AD，
∴BC=BQ+QC=2AD+AD=3AD，
∴=3.
故答案为：3.
【分析】如图，过点A作AQ∥CD，并交BC于点Q，易得四边形ADCQ为平行四边形，即得AD=QC，AQ=DC，∠BCD=∠AEB，又∠ABC+∠BCD=90°，推出∠ABC+∠QCD=90°，即得∠BAQ=90°，由正方形面积及勾股定理得AB2+DC2=BQ2，可得S1+S3=BQ2与S1＋S3＝4S2推出4S2=BQ2=4AD2，即得BQ=2AD，进而得BC=BQ+QC=3AD，即可求得的值.
16．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（﹣3，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为 .
【答案】（2，2）
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F.
∵∠AEC＝∠ACB＝∠CFB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠B＝90°，
∴∠ACE＝∠B，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF，EC＝BF，
∵A（﹣3，3），C（﹣1，0），
∴AE＝CF＝3，OC＝1，EC＝BF＝2，
∴OF＝CF﹣OC＝2，
∴B（2，2）.
故答案为：（2，2）.
【分析】过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，根据同角的余角相等可得∠ACE＝∠B，由旋转的性质可得AC=CB，证明△AEC≌△CFB，得到AE＝CF，EC＝BF，根据点A、C的坐标可得AE＝CF＝3，OC＝1，EC＝BF＝2，则OF＝CF-OC＝2，据此可得点B的坐标.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）解：
（2）解：
当，时，
原式
【解析】【分析】（1）根据零指数幂、完全平方公式、二次根式的乘法进行计算即可求解；
（2）先利用分式加法法则和除法法则化简得到最简结果，再代入字母的值计算即可
18．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点C，连接，点D为x轴上一点，，连接、．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
把代入得：，
∴B点坐标为，
把代入，
得，解得
∴一次函数的解析式为
（2）解：代入得，解得，
∴C点坐标为，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入求出k的值，可得反比例函数解析式，再求出点B的坐标，再将点A、B的坐标代入求出a、b的值即可；
（2）先求出点C的坐标，可得OC的长，再结合点A的坐标求出OA的长，再利用线段的和差求出CD的长，最后利用三角形的面积公式及割补法求出三角形ABD的面积即可.
19．如图，是的中点．
（1）求证：；
（2）连接，在不添加辅助线的情况下，请直接写出与面积相等的所有三角形．
【答案】（1）证明：是的中点，．
四边形是平行四边形．
（2）
【解析】【解答】（2）由（1）知：四边形DBCE是平行四边形，
∴DB=CE，且DB∥CE，
∵AE=CE，
∴DB∥AE，且DB∥AE，
∴四边形DBAE是平行四边形，
∴AD∥BE，
∴S△AED=S△ABD，S△DBE=S△ABD，
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE∥BC，
∴S△DBE=S△BCE，
∴S△BCE=S△ABD，
∵点E是AC的中点，
∴S△ABE=S△BCE ，
∴S△ABE=S△ABD，
综上所述，有四个三角形的面积等于△ABD的面积。
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形，即可得出结论；
（2）首先可以说明四边形ADBE是平行四边形，根据AD∥BE，可得S△AED=S△ABD；根据AE∥BD，可得S△DBE=S△ABD；再根据四边形DBCE是平行四边形，可得S△DBE=S△BCE ，故而得出S△BCE=S△ABD；又根据点E是AC的中点，S△ABE=S△BCE ，进一步可得S△ABE=S△ABD。故而得到四个三角形的面积等于△ABD的面积。
20．如图，在中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，连接DE，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵点F为DC的延长线上的一点，∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE，∠ECF＝∠EBA，∵E为BC中点，∴BE＝CE，则在△BAE和△CFE中， ，∴△BAE≌△CFE（），∴AB＝CF，∴CF＝CD；
（2）解：由（1）得：CF＝CD，△BAE≌△CFE，∴AE＝EF，DF＝2CD，∵AB＝CD，∴DF＝2AB，∵AD＝2AB，∴AD＝DF，∵AE＝EF，∴DE⊥AF在中，，∴
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 AE＝EF，DF＝2CD， 再求出 AD＝DF， 最后利用勾股定理计算求解即可。
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．
（1）求证：AE垂直平分CD；
（2）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵∠ACD+∠BCD=∠ABC=90°，
∵∠ADC+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∵ AE平分∠CAB ，
∴AE⊥CD，CE=ED（三线合一），
即AE垂直平分CD；
（2）解：∵∠ABC=90°，
∴AB==10，
由（1）得AD=AC=6，
∴BD=AB-AD=4，
∵CE=ED，CF=FB，
∴EF为△BCD的中位线，
∴EF=BD=2.
【解析】【分析】(1)根据余角的性质求出∠ACD=∠ADC，得出△ACD为等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一的性质，即可证出结论；
(2)根据勾股定理先求出AB，再根据线段的和差关系求出BD，然后根据三角形中位线定理求EF长即可.
22．已知蓄电池的电压为定值.使用此蓄电池作为电源时，电流 （单位： ）与电阻 （单位： ）是反比例函数关系，它的图像如图所示.
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过 ，那么该用电器的可变电阻至少是多少？
【答案】（1）解：设反比例函数表达式为 ，
将 代入得 ， ，
∴反比例函数表达式为 ；
（2）解：对于 ，当 时， ，
由图像可知， 随着 的增大而减小，
∴当 时， ，
答：用电器可变电阻至少 .
【解析】【分析】（1） 设反比例函数表达式为 ， 将（10，4）代入求出k值即可；
（2）由（1）知，可得≤8，求出R的范围即可.
23．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上的一动点（不与点C，D重合），连接AE，将△ADE沿着AE翻折得到△AEF，延长EF交BC于点G，连接AG，过点E作EH⊥AE交AG的延长线于点H，连接CH.
（1）求∠EAH的度数；
（2）求证：CH＝ DE.
【答案】（1）解： 四边形 是正方形，
，
由翻折的性质得： ，
，
在 和 中， ，
，
，
，
又 ，
，
解得 ；
（2）证明：如图，过点 作 的垂线，交 延长线于点 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，即 ，
，
，
在 中， .
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质可得 ，再根据翻折的性质可得 ，然后证出 ，从而可得 ，最后根据角的和差即可得；（2）过点 作 的垂线，交 延长线于点 ，先根据等腰直角三角形的判定与性质可得 ，再证出 ，从而可得 ，然后根据线段的和差可得 ，最后在 中，利用勾股定理即可得证.
24．如图，分别以Rt的直角边以及斜边向外作等边，等边，已知，垂足为，连接.
（1）求证：；
（2）四边形是平行四边形吗 请说明理由.
【答案】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴AB= 2BC，
∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=AE，AB=2AF，
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴（HL）
（2）解：是
由（1）可知，∴EF=AC，
又△ACD是等边三角形，∴AC=AD，∠CAD=60°
∴EF=AD，
∵∠BAC=30°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°
∴∠BAD=∠AFE=90°
∴EF∥AD
∴ 四边形是平行四边形
【解析】【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质得AB=2BC，再由等边三角形的性质得AB=AE，AB=2AF，则AF=BC，由HL即可得出结论；
（2）一个四边形如果它的一组对边平行且相等那么它就是平行四边形；分别证得EF=AD，EF∥AD即可.
25．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝1，连接CF．
（1）当点G在边DC上运动时；探究：点F到边DC的距离FM是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）当DG为何值时，△FCG的面积最小，并求出这个最小值．
【答案】（1）解：点F到边DC的距离是定值．
理由：连接GE
∵ ，
∴∠AEG＝∠MGE
∵ ，
∴∠HEG＝∠FGE
∴∠AEG－∠HEG＝∠MGE－∠FGE，即∠AEH＝∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM＝HA＝1，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值1．
（2）解：由题易知： ，
要使△FCG的面积有最小值，
则需CG最小，所以DG应最大，
在Rt△DHG中，当HG最大时，DG最大，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ 的最小值 ，
即当 时，△FCG的面积最小值为 ．
【解析】【分析】（1）连接GE，根据平行线的性质可得∠AEG＝∠MGE，∠HEG＝∠FGE，两式相减可得∠AEH=∠MGF，由菱形的性质可得HE＝FG，证明△AHE≌△MFG，得到FM＝HA＝1，据此解答；
（2）由题易知S△FCG=FM·CG=CG，要使△FCG的面积有最小值，则需CG最小，DG应最大，根据勾股定理结合AE≤AB可得HE的最大值，同理求出DG的最大值，据此求解.
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